2025届天津市蓟州某中学高三数学上学期第二次学情调研试卷（附答案解析）

2025届天津市蓟州一中高三数学上学期第二次学情调研试卷

一、单选题（本大题共9小题）

1.已知集合/=卜©冲了=1082(4-》)},8=»|了=|_¥-1|”€4},则()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

2.是"1g⑷-加<lg|6|-/"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

已知函数〃x）”+；,g（x）=smx,则图象为如图的函数可能是（）

3.

A.y=/(x)+g(x)-：B.y=/(x)-g(x)-：

c.y=/Wg(x)D-”据

4.已知等比数列｛凡｝的首项为工，若4%,2出，生成等差数列，则数列的前5项和为（

333131

A.——B.2C.—D.——

161664

5.已知45。为球。的球面上的三个点,。9为V/5C的外接圆,若。。1的面积为4兀,

AB=BC=AC=OQ,则球。的表面积为（

A.64兀B.4871C.36兀D.32兀

6.若。=logsA：C,-Jb=log,3,「_如，贝I]()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

7.如图已知正方体45cz）-44GA，M,N分别是4。,的中点，则（）

A.直线&D与直线垂直，直线MN//平面4BCA

B.直线4。与直线。田平行，直线脑V，平面3。，用

C.直线4。与直线DR相交，直线"N//平面N8CD

D.直线4。与直线异面,直线MN_L平面BDD超

8.已知函数〃x）=/cos（0x+9）（/>0,0>0,同<]）的部分图象如图所示，关于该函数有下

①/（x）的图象关于点对称；

②的图象关于直线X=-1Si|r对称；

③/⑺的图象可由y=2sin（2x一胃的图象向左平移个单位长度得到；

④若方程g（x）=/»Qo）在（o,当上有且只有两个极值点，贝心的最大值为裳

I6J10

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

22

9.已知点4B,C都在双曲线r：*-%=1（°>0]>0）上，且点A,B关于原点对称，/C4B=90。.

过A作垂直于x轴的直线分别交r,BC于点/w,M若左=3五7，则双曲线r的离心率是（）

A.B.yfyC.2D.26

二、填空题（本大题共6小题）

10.设复数z满足2z+彳=3+i,则目=.

11.已知。>0,若12+£|5的展开式中含/项的系数为40,则。=.

12.直线/：>=x与圆C：（x_2y+（尸4）2=户卜>0）相交于45两点，若点。为圆C上一点，且

2

为等边三角形，贝化的值为.

13.甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2个黄

球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件4，4，4，4分别表示从甲箱中取

出的是红球、白球、黄球和黑球，事件3表示从乙箱中取出的球是红球，则尸(切4)=,

P⑻=.

14.如图，边长为1的正三角形43C的边NC落在直线/上，/C中点与定点。重合，顶点8与定

点P重合.将正三角形/3C沿直线/顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落

在/上，再以顶点8为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当V48c滚动到△44G时，顶点B运动轨

迹的长度为;在滚动过程中，砺.赤的取值范围为.

P(B)当

15.已知函数/(x)=|a/-|x-2||+x-a,若函数/(x)恰有4个零点，则实数。的取值范围

是.

三、解答题(本大题共5小题)

16.在V48c中，内角45,C的对边分别为a,6,c.已知acosC+ccosN=2bcos3.

(1)求B的值；

(2)若7a=56.

①求siiU的值；②求sin(2/-3)的值.

17.已知底面/3CD是正方形，平面N3C。，PAIIDQ,PA=AD=3DQ=3,点、E、厂分别为

线段尸B、C。的中点.

⑴求证：£尸〃平面尸/。。；

⑵求平面尸C0与平面⑺。夹角的余弦值;

3

⑶线段PC上是否存在点使得直线与平面PC。所成角的正弦值是近1,若存在求出鬻的

7MC

值，若不存在，说明理由.

18.已知椭圆C：5+，=l(a〉b>0)的离心率6=等，椭圆C的上、下顶点分别为4、4，左、

右顶点分别为4、B2,左、右焦点分别为片、鸟.原点到直线4当的距离为呼.

⑴求椭圆。的方程；

⑵过原点且斜率为3的直线/,与椭圆交于E、尸点，试判断/%/是锐角、直角还是钝角，并

写出理由；

(3)尸是椭圆上异于4、4的任一点，直线P4、2分别交X轴于点N、M,若直线“与过点”、

N的圆G相切，切点为7.证明：线段0T的长为定值，并求出该定值.

,,1―1,〃=1.\

19.在数列｛%中，。“=「,「，在等差数列出｝中，前〃项和为S",4=2,2^+S5=28.

[2%+3,"22

⑴求证：｛%+3｝是等比数列，并求数列｛%｝和也｝的通项公式；

⑵设数列匕,｝满足的=(%+3")cosg,匕,｝的前”项和为小求应；

⑶设数列｛4｝满足4=tan%_]tan62,+i,｛",｝的前〃项和为。”，求2,.

e

20.设函数/(x)=—+lnx(x>0).

2x

⑴求/(%)的单调区间；

(2)已知a,6eR,曲线y=〃x)上不同的三点(西,/(3)),仁,/仁))，卜3J(W))处的切线都经过点

(a,b).证明：

(i)若〃>e,贝

...,2e-a112e-a

(ii)右0<Q<e,%i<%2<%3，则q+be厂<F+丁<)-6e?.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

4

参考答案

1.【答案】B

【详解】由4一x>0,得尤<4,又xeN,因此/={0,1,2,3},8={0,1,2},

所以4口2={01,2}.

故选：B

2.【答案】A

【详解】由lg0-/<lg|〃一],可得电]|+1<叨6|+/,

令〃x)=lg|x|+x2,显然函数/(无)为偶函数，且/(无)在(0,也)上单调递增，

所以即0<|。|<|切,

所以"0<a<6"是"lg0-/<]g向的充分不必要条件.

故选：A.

3.【答案】D

【详解】对于A,y=/(x)+g(x)-^-=x2+siiw,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除

A；

对于B,y=/(x)-g(x)-i=x2-sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C,y=/(x)g(x)=sinx,则j/=2xsinx+[x2+；]cosx,

当x=g时，y=-x--+fx>>与图象不符，排除C.

4221164J2

故选：D.

4.【答案】C

【详解】解：设{%}的公比为4,

因为4%,2a,,生成等差数列，所以4a2=4%+%,即4q=4+«2,

所以4=2,

所以%=2-1.

所吟=!，

5

所以是首项为1,公比为g的等比数歹!1,

31

1——16

2

故选：C.

5.【答案】A

【详解】设圆a半径为『，球的半径为尺，依题意，

得7ir2=4肛:.r=2,VABC为等边三角形，

由正弦定理可得48=2届1160。=26，

：.OO\=AB=26根据球的截面性质。01J_平面ABC,

OOt±OtA,R=OA=Qoo：+0/2=^OO2+r2=4,

..•球。的表面积S=4万笈=64%.

故选：A

6.【答案】B

【详解】易知。=log3：<log31=0，b=log23>log22V2=,

2713

因为3<彳~,则0<c=33<—,故得b>c>。，显然B正确.

82

故选：B

7.【答案】A

6

【详解】

连N2，在正方体/3CD-44CQ中,

〃■是4。的中点，所以M为幺2中点，

又N是。8的中点，所以MN//AB,

MNZ平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MV〃平面ABCD.

因为不垂直AD,所以不垂直5。

则"N不垂直平面BDRBi，所以选项B,D不正确;

在正方体48co-44G4中，AD.LAP,

48_1_平面/401。，所以

AD^AB=A,所以4。，平面/8鼻，

。啰匚平面/8。，所以4。，。出，

且直线4。,是异面直线,

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

8.【答案】C

12兀7T7T

【详解】依题意可得/=2,-X—=---,.“=2,

4®312

再根据五点法作图可得2*3+夕=0,解得夕=4,〃尤)=2cos(2x-?].

126V07

因为=2cos(2xt-j=2cosg=0,所以/'(x)的图象关于点对称，故①正确；

因为/[ll)=2cos[-2x*t=2cos(F)=-2，所以/(X)的图象关于直线X=若对称，故②正确;

将y=2sin(2x-。的图象向左平移个单位长度得到

7

y=2sin2(x+W[-[]=2sin12x一寿冗]=-2sin]2r-J,

故③错误；

因为g(x)=/(/x)=2cos]2/x_[],当xe]o,^j时且/>0,2笈一弓e]-[，竿,

因为函数g(x)在(0,管]上有且只有两个极值点，

所以兀〈竺一黄2兀，解得。区巳即f的最大值为与故④正确；

36101010

故选：C

9.【答案】B

【详解】

不妨设由赤=3痂且NM_Lx轴,

所以Mg,-%）,所以=3（。,-2%）=（0,-6%）,

从而无可=%,%=-5%,即N（%T5%）,

设点C(xj),且它在双曲线上,

y+.%V一%

x+xQ

2

b甘山

/‘其中原N==比,

X。X。'

从而与=2,e=/1+4=百.

aVa

故选B.

10.【答案】V2

8

【详解】设2=。+从，a,bsR,贝！JZ=Q—bi，

所以2z+彳=2（a+6i）+〃一bi=3〃+bi,又2z+N=3+i,

所以解得所以z=l+i,则忖=炉工=0.

故答案为：V2

11.【答案】2

【详解】展开式的通项公式为人=C产工(与*=C/室。3，

X

令10—3r=4,尚毕得〃=2,

所以一项的系数为C}a2=10a2=40,解得。=±2,又。〉0,所以。二2

故答案为：2

12.【答案】2近

冗

【详解】由题意知，ZADB=~,

2兀

所以乙1C2=5，

则圆心(2,4)到直线/:y=x的距离为:

则r=2亚,

故答案为：2板.

53

13.【答案】--/0.375

12o

【详解】由题意知：尸(4)=小尸(4)=：，尸(4)=5，尸(4)=",

2(刃4)=臂¥=42=5，同理：P⑷4)=!，尸(切4)=]P(5|4)=；,

2

43

由全概率公式可知：*8)=2尸(4)尸(214)=1

1=1O

故答案为：三5，i3

12o

4「G

14.【答案】y0,%

2

【详解】根据题意可知，点8的轨迹为两个圆心角都为的圆弧，且圆弧的半径为1,

9

24

所以顶点5运动轨迹的长度为2xlx§%二§»，

(也、一(⑸

P。，三,OP=0,宁,设8(%,y),则砺=(xj)

所以08•。尸二火^,

2

滚动的过程中5的纵坐标V满足OWyVI,

-----也「6

所以05・0尸=三〉£6+,

故答案为：40,5<3

15.【答案】(1,2)

【详解】函数/(X)=|QX2T%一2||+%-〃的定义域为R,

—ux^+2-〃,x<2

当Q〈0时，/(X)=―办？+区—21+X—Q—

—ux^+2x—2—a,x22

2

当x<2时，/(X)>2-6Z>2,当x22时，f(x)=-a(x+l)+2x-2>2x-2>2f

此时函数/(%)无零点；

\ax2+X-2A+x-a,x<2

当。〉0时，/(%)=1I，

\ax-x+2\+x-a,x>2

当x>2时，若0<a<2,贝！JX—Q〉O,于是/(X)〉0,

若a22,函数>=-7+2的图象对称轴x=2-W!，此函数在［2,+◎上单调递增，

2a4

ax2-x+2>ax2>0,f(x)=ax2-x+2+x-a=a(x2-l)+2>0,

即当。>0且x22时，/(x)>0,函数/(%)无零点；

于是只有当〃〉0且x<2时，函数/0)=|4/+%_21+%_〃才有零点，

当办2+X—2«0，即—"8"«x<——时，f(x)=-ax2-x+2+x-a=-ax2+2—a,

22

当x£［一"'l+8"T+J+吗时,函数>=一办2+2一“，当x=o时，ymax=2-a,

22

当x=」+VH何时,函数y=Ff+2-。取得最小值，而当尤=*近之时，-1+VU8?

222

2-a>0

显然当<_1+Jl+8q,即l<av2时，函数/0)=-"2+2-4有两个零点，

------------------a<0

12

要函数〃%)恰有4个零点，必有l<a<2,

10

当xe(-oo,-叶互I3)U(土巫迎,2)时，函数/(无)="2+2》-2-。的图象对称轴》=一』€(-1,-5,

22。2

1+1+

则函数/*)在(-00,_^+^)上单调递减，在(-^+^,2)上单调递增，

日g]+J1+8。、1+J+8。、—1+d+8。

显然/(------~~)</(——-——)=-----------。<。，

而/(-3a)=9/_7〃-2=7a(a2-1)+2(a3-1)>0,/(2)=3a+2>0,

因此函数/(x)=ax2+2x-2-a(-oo,-1+^+8a),(士手也,2)上各有一个零点,

所以实数。的取值范围是(1,2).

故答案为：(1,2).

16.【答案】(1)8=1

(2)①sin/=K3；②迪

1449

【详解】(1)由acosC+ccos力=2bcosB及余弦定理得:

2ab2bc

整理得6=2bcosB,即cosB=—,

2

71

V0<5<71,:・B=一

3

abTT

(2)①；及7。=56,B=—

sinAsinB3

7

-Q

a5,,573

~—7=F，角军得sin4

smAV3IT

2

・•.A是锐角，且sin4=%回

②•：b>a,

14

cosA=Jl-sin，A=—.

14

sin24=2sinAcosA=1也

142

_.2,146

cos2/=2cosA-l=-,

142

7171

sin(24-B)=sin2Acos——cos2Asin—

33

1107314668G

—_____V______y___—___

1962196249,

17.【答案】(1)证明见解析

⑵由

7

11

七六PMiPM]_

⑶存在；南=1或疏=

5

【详解】(1)证明：法一：分别取NB、CD的中点G、H,连接EG、GH、FH,

由题意可知点E、F分别为线段尸8、C0的中点.所以EG//PN,FHHQD,

因为尸/〃D。，所以EGHFH,所以点E、G、H、下四点共面，

因为G、7/分别为CD的中点，所以GH//4D,

因为/Du平面AD0P,平面/。。尸，所以G/〃平面

又因为尸H7/QZ),0Z)u平面AD。尸，切仁平面4DQP,所以〃平面N。。尸,

又因为加nG//=〃，FH、G〃i平面EGHF,所以平面EGHF〃平面4DQP,

因为EFu平面EG/所以跖〃平面40。尸；

法二：因为48cD为正方形，且P4_L平面48CD,所以NP、48、40两两互相垂直,

以点A为坐标原点，以N8、AD.4尸所在直线分别为X、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐

标系,

31

则尸(0,0,3)、C(3,3,0)、0(0,3,1)、3(3,0,0)、E1|，°，|]、尸2，工；),

22

所以丽=(0,3,-1),易知平面尸的一个法向量2=(1,0,0),

所以/加=0,所以酢一，

又因为斯。平面ND0P,所以EF〃平面ADQP.

(2)解：设平面尸。。的法向量加=(x,_y,z),PC=(3,3,-3),Cg=(-3,0,1),

m•PC=3x+3y—3z=0

则取x=l,可得m=(1,2,3),

mCQ=-3x+z=0

12

所以平面尸C。的一个法向量为石=(1,2,3),

易知平面C。。的一个法向量3=(0,1,0),设平面PC0与平面C0D夹角为巴

八|/--\|22V14

则COS0=\cos(m,n)\==——/=~j==,

।\八\m\-\n\lxVl+4+9V147

所以平面尸C。与平面C0D夹角余弦值为巫；

7

(3)解：假设存在点M,使得同7=2正=(343九-34，其中4e[0,l],

则而=万+而=(0,0,3)+(34,32,-32)=(32,32,3-32),

由(2)得平面PCQ的一个法向量为碗=(1,2,3),

I/一.-\|\AM-m\I3A+62+9-92I742

由题意可得\cos(AM,m)\==丁，

71——.，，J,=」।2

।'\AM\-y\旧19一+9/+(3_3外27

整理可得12万一82+1=0.即(24—D(62—1)=0,

11PM1PM

因为0W4W1,解得4或!，所以，=或=1.

62MC5MC

2

18.【答案】⑴?+/=1

⑵尸是锐角，理由见解析

(3)证明见解析

【详解】(1)由题意，椭圆C:5+，=l(a>b>0)的离心率0=曰，即工=亭,

设。=2m(jn>0),可得°=y/3m，则/?=\Ja2-c2=m，

可得4(。，6)、4(。,-。)、5](—4,0)、B2(tz,0),

可得直线4劣方程为一砂一，即mx-2my-2m2=0,

所以原点到直线A2B2的距离为〒2"_=怜，解得加=1,

J川+4-5

2

所以4=2,b=\,椭圆方程为土+/=1.

4

2

—+j7=1x=Cx=-A/2(

、F「日—与

(2)联立4得行或<G，即点石

1v=片一

13

2

又因为椭圆3+/=1的右焦点为8(百,0卜

「卜-囹，声-字

所以，6,="-6,

工石・耳尸=(亚一行)(一后一卜-字;，

所以，6C1-,90

所以，/%尸为锐角.

2

(3)由(2)可知4(0,1)、4(0,T，设P(&,yo)，则。+/=1，

直线P4的方程为y-i=9x,令y=0,得XL+；

尤0%-1

-Vn+1X

直线尸4的方程为令片o,得为=n:；

X。%+1

2

根据切割线定理可得|0邛=|0必.阿卜%一4

丫2--，

%

-4

所以，|。7|=2,即线段。7的长度为定值2.

19.【答案】⑴证明见解析，。"=2"-3,“=〃+1

4向一4,.

------+3n,〃为偶数

5

⑵&=,

4〃+i+4

---------3〃一3,“为奇数

⑶％-(2«+1)

tan2

【详解】(1)当“22时，％=2。._]+3,故。"+3=2(%_]+3),

又为+3=2片0,故｛%+3｝是等比数列，且公比为2,首项为％+3=2,

所以%+3=2x2"—=2",故为=2"-3,

设｛4｝的公差为d,则由4=2,2(仇+21)+54+104=28,解得”=2,d=\,

故=2+(〃-1)=〃+1.

cos

(2)因为q.r=(%_1+3&“_Jcos色觉"=0,c2„=(a2n+3^2,)~~>

c

故2n-i-(%+物"T)cosm用=0,c2„=(a2„+3a,)cosrat=(-l)"(%"+3&),

14

4n+6n，n=2k

而生—6"，故“=_（4,+6山=21'其中i*，

J=。1+。2+。3+…+°2〃=。2+。4+。6+C2n

=-（4+6）+（42+6x2）-（43+6x3）+-«-+（-l）n（4n+6x〃）

=|^-4+42-43+•■•+（-1）"4"]-6+12-18+•■•+卜1J6n

-4p-（-4）[

1+4-—6+12—18+,•,+卜1）〃6〃，

44，

当〃为偶数时，7；„=~^~X（-6+12）"4+4"+'i

当〃为奇数时，&「"41_6+（12—18）X—"4"4"^^-3.

匕4"+1上-4+3","为偶数

综上所述,耳=

4〃+i+4

-------------3n-37为奇数

（3）因为6“=〃+1,则%"+I=2"+2,

.、一tan2〃+tan「2（〃+1）

因为卜tan[2（〃+l）-2〃]=tan2R苏市^

ri曰r.-tan2w+tanP2+

可行=tanZ?_tan/?=tan2ntan[2^+1）J=-----------------------------1，

2w12n+1tan2

-tan2+tan4-tan4+tan6-tan6+tan8-­-tan4阱tan4/2）

所以2.-------------------------------------------------------------------------------------L2

tan2

tan（4〃+2）-tan2】tan（4〃+）

-（2n+1）.

tan2tan2

20.【答案】(l)〃x)的单调递减区间为[og],单调递增区间为+s

(2)(i)见解析；(ii)见解析.

【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)(i)由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，

,X,a2(m-13](m2-m+12}

(ii)k-m=-<\,则题设不等式可转化为4+4-2-』<^----与——-~~,结合零点满

占em36加《+%)

足的方程进一步转化为In加+_八_-^―------上0,利用导数可证该不等式成立.

72(m+l)

15

2x-e

【详角军】(1)

2x2

当0<x<],r(x)<0；当x>],/%)>0,

故〃X)的单调递减区间为[o,5,/(x)的单调递增区间为1，+j・

(2)(i)因为过(凡为有三条不同的切线，设切点为(x"(x,)),i=l,2,3,

故/(玉)-6=/'(玉)(茗-〃),

故方程/⑺-6=/'3(x-〃)有3个不同的根，

该方程可整理为一")Tn%=°，

设g(x)=—欣+b,

\x2xJ2x

贝”"4端+〔-/+讣一@」琮

=—尤-e)(x-a),

当0<x<e或x>“时，g'(x)<0；当6<》<。时，g,(x)>0,

故g(x)在(O,e),(a,+s)上为单调递减函数，在(e,a)上为单调递增函数,

因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)<0且g(a)>0,

ap

整理得至！J：6<幺+1且工+lna=/(a),

2e2a

此时〜⑷一f>一口时声>17111a

^u(a\=----1na,则/(q)=©2,<0,

-22Qv72a2

3e

故“〃)为(e,+oo)上的单调递减函数，w(tz)<----lne=0,

(ii)当0<〃<e时，同(i)中讨论可得：

故g(x)在(O,a),(e,+8)上为单调递减函数，在(。,e)上为单调递增函数,

不妨设X]<%2<、3，贝！J0<玉<Q<、2<e<13，

16

因为g（x）有3个不同的零点，故g（（z）＜0且g（e）＞0,

e

(ci—Q)-----------Ino+b<0,

V)2a

因为<%2<%3，故0<玉<〃<]2<e<，

寸/、1a+ee。[

又g(%)=1------~~r—Inx+Z)7,

x2x

设f=±,-=me(0,l),贝I]方程1-匕+2一lnx+b=0即为:

xe''x2x

a+ea2、,„、1/nm?i,八

-----1+~-1+In/+6=0即ort—(冽+1)，+t+In，+6