2025届新高考数学选填压轴题分类汇编：解析几何（解析版）

2025届新高考数学名校选填压轴题分类汇编解析几何

一、单选题

1.(广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题)设双曲线—=l(a>0,b>

azbz

0)的左、右焦点分别为民后，过月的直线与C的右支交于“，N两点,记ZWK用与

的内切圆半径分别为八办.若32=9a2,则。的离心率为()

A.V2B.V3C.3D.4

【答案】。

【解析】设旧(―c,0),耳(c,0),其中c2=a2+b2,

设与/\NFE的内心Q,。2的横坐标分别为判,x2,

过Q分别作孙、皿取用鸟的垂线，垂足分别为A、S、T,

则\MR\=|MS|、因冏=|RT|、|ES|=—,

又\MF^-\MF^=+田园)-(\MS\+|S£|)=|五同一|S£|=|T^|-|T^|=2a,

且阳园=|TE|+|T月|=2c,则|TE|=a+c,T(a,0),于是电na,同理⑦=a,

因此点Q、。2在直线①=a上，又用Oi平分NTEP,F2O2平分/T%,

2

/PEQ=n,则ZO!^O2=y,\O,T\■\O2T\=|T^|,

而177^|=c—a,lOjTl=rlt\O2T\=r2,

22

则nr2=(c—a),即9a2=(c—a)，解得c=4a,

2.(广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题)设区，田分别是椭

圆=l(a>6>0)的左、右焦点，过后的直线交椭圆于4,8两点，且乐•越

a2匕

=0,毋=4瓦贝1|椭圆E的离心率为()

【答案】B

【解析】设|取|=如

因为崩=4月^,则\AF,\=3x,\BF!\=X,

由椭圆的定义可得|AR|=2a—3/，|班|=2a—

因为国•存=0,即NEA耳苦,

在Rt/\AF,B中，则|4月|2+澳月『=田局2,即:a-3a；)2+(4s)2=(2a-x)2,

解得2=号,可得\AF\\=\AF^=a,

o

在△Rt£A姆E中，可得a?+a?=(2c)2,整理得a2=2c2,

所以椭圆E的离心率为e=&=户=咯.

a\a12

故选：B.

3.(广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题)已知抛物线C:y2

=8①,圆F:(x—2)2+靖=4,直线l:y—k(x—2)(fc0)自上而下顺次与上述两曲线交于

四点,则下列各式结果为定值的是

A.|M峪HMMlB.\FMi\-\FMi\C.D.1HMM

【答案】。

设M(g,%),昭(22,y)，则Xi+x=,3烟=4.

22%。8

k

过点分别作直线I'-.X=-2的垂线，垂足分别为A,B,

则|M尸|二应+2,=X2+2.

对于41ML峪卜昭昭|=(|MF|+2)(|MF|+2)=(Xi+4)(g+4)

=a;巡2+4（刈+Xi）+16，不为定值,故A不正确.

对于B,=（g+2）（电+2）=土任2+2（g+x2）+4，不为定值，故B不正确.

对于。，|河1此卜|峪即|=（|河1*—2）（|皿4月—2）=2逆2=4,为定值,故。正确.

对于。，FMHM/=—2）=（为+2）电,不为定值，故。不正确.

选C.

4.（安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题）可耳是双

曲线E：与一%=l（a,6>0）的左、右焦点，点河为双曲线E右支上一点，点N在2轴上,

a1b

满足4F、MN=5MN=60°,若3MF1+5MF2=，则双曲线E的离心率为

（）

A.B.-f-C.D.J

【答案】。

/.MQ是以3也知|,5|〃国为邻边的平行四边形的一条对角线，

又NEAW=60°,为/EM姆的角平分线，

.•.以3|MF1|,51MZ^|为邻边的平行四边形为菱形，

由双曲线定义知：\MFl\-\MF2\^2a,：.|A^|=3a,\MF{\^5a,

在△瓦伍E中,由余弦定理得：4c2=9a2+25a2-30a2cos120°=34a2+15a2=49a2,

双曲线石的离心率e=Z=、理=1.

aV42

故选：D

5.（浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）已知4B是椭圆

4+4=1与双曲线,一手=1的公共顶点，河是双曲线上一点，直线AM,MB分别

交椭圆于。，。两点,若直线CD过椭圆的焦点F,则线段CD的长度为（）

A.yB.3C.2V3D.-|-V3

【答案】B

【解析】由AB是椭圆苧+f=1与双曲线今—£=1的公共顶点，得虫一2,0）,

5（2,0）,

不妨设直线CD过椭圆的右焦点F（l,0）,

设点州（如物），则直线MA,MB的斜率分别为媪4，—=*7，

T0+2x0—2

又因为苧—第=1,可得^=士•号•1

436o+2XQ—24

设点。的如，则直线CA,CB的斜率分别为k=,k=,

CA力1+2CB61—2

又因为年+号二1，所以kc_4/CB=上yi1

X1一24

因为治《=&04,所以看MB-^BD—~^CB'

所以直线CB.DB关于力轴对称,所以直线CD，力轴，

又因为直线CD过椭圆右焦点F,所以C（l,明），代入椭圆方程得历=±等,

所以|GD|=3.

故选：B

6.（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）设双曲线C：三

a2

—£=l（a>0,&>0）的左、右焦点分别为E，岳,点P在双曲线。上，过点P作两条渐

bz

近线的垂线，垂足分别为O,E,若两•两=0,且3\PD\\PE\=Skg,则双曲线C的离

心率为（）

A.考^B.V2C.V3D.2

O

【答案】。

八,,2

【解析】设P（g,%）,则U—方=1，即〃就一a?%=a2b2,

双曲线。的渐近线方程为bx+ay=0,

所以\PD\\PE\=♦—一a洲.|bg+ayo|=一谟一端|=量巳

y/b2+a2V&2+a2c2c2

又IF局—|P£||=2a,平方后得|P7铲一2|PE||PE|+|F^|2=4a2,

又在△用中，由两•两=0可得PF；_L,

所以|PE『+|P月2=4C2,

两式相减,整理得|PE||PE|=2b2,

所以SAPEB=月I=b'2,

因为3|PD||PE|二S"%,

所以3X哗=〃,解得6=遍.

c

故选：C.

7.（广东省（上进联考）2024届高三10月阶段检测考数学试题）已知。为双曲线。:亍-峭

=1右支上一点，过点。分别作。的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点

A,BM\DA\-\DB\^（）

A.2B.V5C.4D.4

42

【答案】c

【解析】设坐标原点为。,。（羯比），易知。的渐近线的方程为y

=

y=—^x,x~^x0—y0

联立解得

y-yo=^(x-xo),

y4“o十2£/o

不妨取%,—,同理可得双.我+%廿3+弓％）,

则Q*=J（02o-%）+（-13+〈％）=（g+y”,

因为四边形OADB是平行四边形，

于是|Z2A|•\DB\=|OB]■\OA\=|y®（）+yo|'^^/工厂认|=t碇—琲

由于点。在。上，所以苧一嗡=1,因此以H。剧=|■，故。正确.

故选：c.

8.（广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）已知椭圆E：今

10

+f=1的左右顶点分别为A1,人2，圆。1的方程为（，+1）2+（u—笄?=],动点P在

曲线E上运动，动点Q在圆Oi上运动，若△44P的面积为4冲,记\PQ\的最大值和最

小值分别为机和九，则馆+外的值为（）

A.V7B.2V7C.3V7D.4V7

【答案】B

【解析】椭圆E：签■+手=1中，4（—4,0）,4（4,0）,设P（g,%）,因AVUT的面积为

164

4V3,

则ylA^I•\y0\=41yoi=4V3,解得y0=-V3或为=,当=一四时，尬=±2,当

=V3时,x0=+2,

即点P（—2,四）或P（—2,——）或P⑵四）或P⑵一四），

圆Q：（工++（y—=.圆心Oi（—,半径r=十,

此时|POJ=4或IPO1I=零或IFOJI=~~或IPO1I=手，显然r<4<

z/乙zz

V31/V39/3V7

丁<F，

又点Q在圆O1上运动，则有|PQ|max=iPQlmax+r=竽+r,

此时点P（2,-V3）,|FQ|min=FQlmin-7=空一「，此时P（-2,V3）,

即m=3,+r,n—-r,所以m+rz=2^7.

故选：B

9.（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考（二）数学试题）已知抛物线C：〃=包的焦点

为F,过点F的直线与。相交于M,N两点，则2|MF|+）|NF|的最小值为（）

A.B.4C.；D.3

【答案】A

由抛物线C的方程为炉=句,焦点坐标为F（0,l）,

设直线I的方程为：g=for+1,河（力（62,纺），

联立方程，整理得X2—4fcr—4=0,则/1+g=4k,力的=—4,

[g—KX十1

故％纺二号•号=1,

又\MF\=yr+^=y1+l,\NF\=y2+^=y2+l>

则2\MF\+=2（%+l）+9（必+1）=2为+得>2,l2y1x^-y2+-|-=

9_

2-，

当且仅当yi=f,g=2时等号成立，故2\MF\+^|NF|的最小值为-1.

故选：A.

10.（湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考（二）数学试卷）在平面直角坐标系力中，已

知直线，:g=for+■与圆C/+婿=1交于两点，则/\AOB的面积的最大值为

【答案】。

【解析】根据题意可得直线hy=版+/恒过点凤0《），该点在已知圆内，

圆C:x2-\-y2=1的圆心为。（0,。），半径『=1,作CD_L/于点。,如下图所示:

易知圆心。到直线Z的距禺为|CD\<\CE\=]，所以cosZ-DCB-----<],

2|CB|2

又/DCBC(0,5),可得3cBe

因此可得乙4cB=2/DCBe[与,元)，

所以ZVIOB的面积为S^OB=^-\CA\\CB\sinAACBxlxlxsin学=卓.

故选：。

11.（湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷）在平面直角坐

标系中，双曲线一”=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为月，月，人为双曲线右支上

a~o2

一点，连接AR交沙轴于点B,若|4B|=|A月，且AR，入月,则双曲线的离心率为

（）

A.V1+V2B.V2+V2C.V5D.V6

【答案】B

【解析】设\AB\—\AF^\=0,则1AR=2a+旧用|=2a,

因为BO，F[F2,AFr±AF2，则cos/ARE=,

IE玛I-B^il

即丝*=白，整理可得m=—2a,则[4F]|=Q,

2c2aaa

22

又因为+|A2^|=\FLF2\>即(1)+(1—2a)=(2c)=

整理可得e4-4e2+2=0,解得e?=2+2或e?=2—舍去),

所以双曲线的离心率为6=员工厉.

故选：B.

二、多选题

12.（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）数学中有

许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线。：d+必=1+加,就是其中之一（如图）.给出下

列四个结论，其中正确结论是

A.图形关于沙轴对称

B.曲线。恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线。上存在到原点的距离超过方的点

D.曲线。所围成的“心形”区域的面积大于3

【答案】

【解析】对于A,将/换成-C方程不变，所以图形关于y轴对称，故A正确；

对于当c=0时,代入可得舅=1,解得g=±1,即曲线经过点（0,1）,（0,—1）,

当，>0时，方程变换为靖一g/+i—1=0,由△=①2—4（rc2—1）>0,解得x6

（0,竽]，所以c只能取整数1，

当，=1时，y2—y=0,解得y=0或y=L即曲线经过

根据对称性可得曲线还经过（-1,0）,（-1,1）,故曲线一共经过6个整点，故B正确；

对于。，当,>0时，由"+姨=1+曲可得/+靖―1=曲<“；，（当/=歹时取等

号），.•.炉+靖W2,.•.痣”《血，即曲线。上9轴右边的点到原点的距离不超过血，根

据对称性可得：曲线。上任意一点到原点的距离都不超过血，故。错误；

对于。，如图所示，在c轴上图形的面积大于矩形ABCD的面积：&=1x2=2,①轴下

方的面积大于等腰三角形ABE的面积：$2=]X2X1=1,所以曲线。所围成的“心形”区

域的面积大于2+1=3,故。正确；

故选：ABD

13.（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试

卷)平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线。是

到两定点用(-2。，。0)°°°°，月(2。,。0)的距离之积为常数2的点的轨迹，设

「(mm)是曲线。上的点，给出下列结论,其中正确的是()

A.曲线。关于原点。成中心对称B.-l<n<l

C.D.△/与耳周长的最小值为

【答案】力。

【解析】由题意，IPEHP勾=2,则倔石口第布•疝1：7不铳=2,

即[(m+A/2)2+n2][(m—V2)2+n2]=4,即(m2+n2+2)2—8m2=4,

将(一?7i,一九)代入有[(—m)2+(―n)2+2]2—8(一馆)2=4成立，

所以曲线。关于原点。成中心对称，A正确；

由(山2+加2+2)2—8力2=4,得稼=J8TTI2+4—Tn?—2,设J8m2+4=t，则±'2,

所以九2=t-[乎―=-♦+厂12=一(1—；y+4，则当t=4时，错有最大值X,

o2oo2

所以一W4八W#,所以B错误；

由B可知，当|"|=时，S"比瓦有最大值为。X(V2+V2)X=1,所以SAP冏同《

1,所以。正确；

由\PF{\+|P周>2/PEIIPEI=2V2,当且仅当|「囿=炉园=V2时等号成立，

△FEE周长的最小值为\PF1\+\PF^+囱园=+22=，

而此时F(0,0)，不能构成三角形,即最小值不是4方,所以。错误.

故选：AC.

14.(广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题)已知O为坐标原点，点

F(l,0)是抛物线(J-2Pxe>0)的焦点，过点F的直线交。于两点，P为。上的

动点(与M,N均不重合)，且点P位于第一象限，过点P向沙轴作垂线，垂足记为点Q,点

4(2,5),则()

A.C-.y2=4xB.ZOPQ+ZFON<180°

C.\PA\+\PQ\的最小值为V26D.AO及W面积的最小值为2

【答案】ABD

【解析】对于A选项，由题意知~=1,故p=2,所以。:量=4,,故A正确；

对于B选项，由题意知PQ〃。轴，所以AOPQ=/.FOP,

所以AOPQ+4FON=4FOP+ZFON=4NOP,

又NNOP<180°,即ZOFQ+AFON<180°，故B正确；

对于。选项，由抛物线的性质知，|R4|+\PQ\=|。闺+|PF|-1,

因此当三点共线时，|P4|+「川取得最小值，

此时|R4|+\PF\=\AF\=V(2-l)2+(5-0)2=V26,

即(\PA\+IPQI)^=体—1,故。错误；

对于。选项，设直线A1N的方程为c=7ng+1,

与抛物线C的方程联立得y?—4my-4=0,

故/\=(—4m)2—4X(—4)=16(m2+l)>0,%+例=4?n,%改=—4,

因此|AW|=Vl+m2|?/i-?/2|=Vl+m2-V(?/I+?/2)2-4W2

=Vl+m2・V16m2+16=4(m2+1),

又因为点。到直线MN的距离为d=JT=/1—，

VI+m2VI+m2

所以△OMN的面积为S=4d|AW|=4x」_*4(环+1)=2/1+小2,

22Vl+m2

当m=0时，△OMN的面积取最小值2,故。正确.

故选：ABD.

15.(广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷)如图，P是椭圆G：

"=l(a>6>0)与双曲线。2：三一4=1(机>0,n>0)在第一象限的交点,

Wbmznz

/理?月=仇且共焦点的离心率分别为生©,则下列结论正确的是(

A.\PF^—a+m,\PF2[—a—,mB.若。=60°,则占+[=4

钳名

C4en

C.若9=90°,则常+易的最小值为2D.tan/-二o-

【答案】4。

【解析】4由题意可知，|尸E|+|P£|=2Q,|PR|—|P同|=2*

得1PE|=Q+?71,庐月=Q—772，故？1正确；

RAPRE中，若夕=60°,设椭圆和双曲线的半焦距为c,

根据余弦定理，4c2=(a+m)2+(a—m)2—(a+m)(a—m),

整理为4c2=a2+3m2,

而5+±=鸟+畔=如2—2力2=4—萼＜4,故B错误;

ef前c2c2czcz

C.若夕=90°,则4c2=(a+m)2+(a—馆丫,则a2+m2=2c2,

贝I]与+绊=2,

c2c2

号+超=芯+*=景号+*

j（2+2/4-4）=2,

2\Va->

当a=?TZ时，等号成立，这与a>m矛盾，所以e?+e,>2,故。错误；

D.在椭圆中，2|PE||PE|cos8=|PEF+一「（E囿+|产网『一2月用PE|一

㈤研，

=4a2-4c2-2|Pg||P月|,

整理为|P为|P£|=I/.,

1+cos夕

在双曲线中，2|PE||P£|cosO=|P局2+|百铲—固勾2=47n2_4c2+21P局|P£|,

整理为|PE||PE|=72三，

1—COS”

2222

fiChi2n_2bBnn_l—cos。_2siny2Q

所以匚寿=邛益>’即亲一2'

而。〈乡<《，则tan《=2，故。正确.

222b

故选：AD

16.（多选题）（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）中国结是一种手工编织

工艺品，因为其外观对称精致,可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审

美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明

中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线,却可以还原成最单纯

的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C:Q2+婿）2=9（"—必）

是双纽线,则下列结论正确的是（）

A.曲线。的图象关于夕=2对称

B.曲线。上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

C.曲线。经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）

D.若直线y=岫与曲线。只有一个交点，则实数A:的取值范围为（—8,—1]U[1,+8）

【答案】BD

【解析】对于A项，把（沙,宓）代入（s2+"2）2=9（〃一y2）得（x2+y2）2=9（姨—/）,

显然点（y，G不满足双纽线方程，

所以曲线。的图象不关于y=x对称，故A项错误；

对于B项，由（d+婿尸=9（/—娟）可得/+靖=21^_U-L=9——，W9,

x2+y2x~+yz

所以曲线。上任意一点到坐标原点O的距离d=7^+7<3,即都不超过3,故B项正

确：

对于。项，令9=0解得2=0或±=±3,即曲线经过（0,0）,（3,0）,（-3,0）,

由题意可知，-3<力<3,

令工=±i,得必=曰号是£<1,

2

令rr=±2,得l<y=―<2,

因此曲线。只能经过3个整点（0,0）,（3,0）,（—3,0）,故。项错误;

对于。项，直线g=与曲线（宏2+靖）2=9（"—媛）一定有公共点（0,0）,

若直线g=for与曲线。只有一个交点，

所以

（（劣2+靖）2=9（2；2—靖）

，整理

=]^X0CO。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

得力（I+fc2）2=9"（1一炉），只有一个解±=0,

即1-卜240,解得（—00,-1]u[1,+8）,故。项正确.

故选：BD

17.（多选题）（山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题）在平面直角坐标系

xOy中，已知点4—1,0）,5（1,0），直线AM,_相交于点Al,且它们的斜率之和是2.

设动点”（自妨的轨迹为曲线。，则（）

A.曲线。关于原点对称

B.曲线。关于某条直线对称

C.若曲线。与直线y=ka:（A;>0）无交点，则上>1

D.在曲线。上取两点P（a,b）,Q（c,d）,其中a<0,c>0,则|PQ|>2

【答案】AC

y

【解析】由已知ky1M+A：BM=2,即H---=2（多力士1）,

X~TLx—1

化简可得动点M的轨迹方程为d-/沙一1=o,

将｛—X,—y）代入曲线方程可得（—2）2—（—2）•（―U）—l=a;2—f―1=0成立,

所以曲线。关于原点对称，A选项正确，

做出曲线"—叼—1=0,易知该曲线可表示渐近线为沙=/及9轴的双曲线,

则对称轴过原点且倾斜角为萼或萼，

OO

1—cos斗77r1—cos空

而tan警-------=1+V2,tan--=

O1+cos普81+cos普

则其对称轴为g=（1±方）/,

又/#±1,所以曲线不是轴对称图形,

B选项错误；

联立直线与曲线方程[]谓T=°,得（1—切炉―1=0无解，则1—%=o或4（1—切

<0,

即％=1或k>l,综上。选项正确；

联立曲线与单位圆匕；?11°（*士1）测（。+加=。,

即曲线与单位圆交于M空,—笄），川一卓,空）两点，

且|MV|=2,

所以当P,Q分别与A1,N重合时，|PQ|=2,。选项错误；

故选：AC.

18.（多选题）（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）在2024年巴

黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国

艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花

瓣的图案,它可看作由抛物线C"2px（p>0）绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、

270°后所得三条曲线与。围成的（如图阴影区域），46为。与其中两条曲线的交点，若

A.开口向上的抛物线的方程为?/=

B.\AB\=4

C.直线c+u=t截第一象限花瓣的弦长最大值为日

D.阴影区域的面积大于4

【答案】ABD

【解析】由题意，开口向右的抛物线方程为。:姨=2以顶点在原点，焦点为用方,0）,

将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为£（0,；）,则其方程为〃=28即

故A正确；

对于根据A项分析，由把=产可解得，8=0或，=2,即工4=2,代入可得外=2,

I®-2y

由图象对称性，可得力（2,2）,B（2,-2）,故3B|=4,即B正确;

对于C,

y

如图,设直线x^y=t与第一象限花瓣分别交于点M,N,

由[yr'+t解得fL,某评1,由解得上

即得+1—〃2力+1,，2力+1—1),7V(V2t+1—1,t+1—〃2力+1),

则弦长为：|皿M=了2(力+2—ijY+1)?—V2\t+2—2,2力+11,

由图知，直线力+沙=1经过点A时土取最大值4,经过点O时力取最小值0,

即在第一象限部分满足0<1&4,不妨设u=不I,则1<UW3,且力=告工，

代入得，|iVCV|=V2〃2”)+2-2u—1(〃一2/—1|,(1<u3)

由此函数的图象知，当u=2时，也W|取得最大值为岑，即。错误；

对于。，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同,故可以先求占部分面积的近似值.

O

如图，

在抛物线9=Q>0)上取一点P,使过点P的切线与直线。4平行,

由式=，=1可得切点坐标为P。,/),因lOA:x—y—O,则点P到直线。4的距离为d

_I__V2

一『丁’

于是SAOM=：xj齐方XW=],由图知，半个花瓣的面积必大于言,

故原图中的阴影部分面积必大于8x^=4,故。正确.

故选：ABD.

19.(多选题)(福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题)抛

物线=2py的焦点为F,P为其上一动点，当P运动到«,1)时，炉间=2,直线/与抛

物线相交于A、B两点，下列结论正确的是()

A.抛物线的方程为：02=8夕

B.抛物线的准线方程为：？/=-l

C.当直线，过焦点F时，以AF为直径的圆与，轴相切

D.\AF\+\BF\>4

【答案】BC

【解析】对于4当P运动到。1）时，|PF|=l+^=2,故p=2,即抛物线为d=包,

故A错误；

对于B：由d=物,故抛物线的准线方程为：夕=—1,故B正确；

对于C：当直线Z过焦点尸时，设A为（%%）,则区4|=%+§=%+1,

故以AF为直径的圆的半径为驾上,又F（O,1）,故以AF为直径的圆的圆心坐标为

（xy+l\

002人

圆心到，轴的距离与该圆半径相等，即该圆与0轴相切，故。正确;

对于。:由题意直线，斜率存在，设Z的方程为夕=for+馆,联立化:平+771

3=4g

整理得X2—4fcr-4m=0,△=（—4k）2+16m>0,即兴+小>0,

所以孙+磔=4k,xAxB——4m,

x2x2

22

^T^yA+yB=k(xA+xB)+2m=4k+2m,以班=才----=m,

s)2

所以\AF\+\BF\—yA-r-A.+yB+\—yA-ryB+2—4/c+2m+2,

不能确定什么时候最小，则。错误.

故选：BC

20.（多选题）（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）1694年瑞士数

学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线,我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐

标系cOg中，把到定点E（—a,0）,E40）距离之积等于a2（a>0）的点的轨迹称为双纽

线，已知点P（g,%）是a=l时的双纽线。上一点，下列说法正确的是（）

A.双纽线。的方程为（炉+靖丫=2（炉—靖）

B.-y

C.双纽线。上满足炉局=庐园的点有2个

D.|PO|的最大值为四

【答案】ABD

【解析】由到定点用（一a,O）,E（a,O）的距离之积等于a?的点的轨迹称为双纽线，

当a=1时,则双纽线C的方程为y/（x+lf+y2XV（$-l）2+y2=1，

化简可得（/+炉）2=2（炉—靖），故A正确；

由等面积法得5明年=/IPEHPE卜sin/RPH=4因EH加，

贝/加=4,sin/RP&所以一—4%&寂,故B正确；

因为网|=为国,环卜|产国=1,

所以P在线段E片的中垂线即①=0上，

令N=0,得Jl+才XJ1+令=1,解得y=Q,

所以双曲线。上满足|PR|=|P£|的点P有一个，故。错误；

因为。在线段凡用的中点,所以用=5（而+而），

所以仍=十（|户研+2|西卜|两|华乙*£+质’），

由余弦定理得4a2=|由『+|反『_2|而卜|FM|-COSZ^P^,

即|两『+|而『—2|西|两|・COS/EPE=4,

2\PF[\-1丽卜cos/RPE+4=|PX|2+\PF^,

所以用2=12+|p^|.|丽卜cos/RP耳=1+cos/月PFW2,

所以|历|的最大值为四，故。正确.

故选：ABD

21.（多选题）（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）已知曲线。：侬+靖—2）2=

4+8收，点P（g,%）为曲线。上任意一点，则（

A.曲线。的图象由两个圆构成

B.城+涕的最大值为22

C.为兽的取值范围为

g+4L7」

D.直线g=c+2与曲线。有且仅有3个交点

【答案】

【解析】对于A中，由（炉+口一2）2=4+8叫，得（d+靖）?—4（/+靖）+4=4+8xy,

即（rc2+y2）2—4（a:+y）2=0,BP（a;2+y2+2x+2y）（x2+y2—2a?-2y）=0,

所以，2+夕2+2/+2y=0或劣2+夕2-2a;—2y=0,

即Q+I）2+3+I）?=2或（①一l）2+（y-l）2=2,

所以曲线C表示以M（—1,—1）,N（1,1）为圆心，V2为半径的两个圆，所以A正确；

对于8中，由就+端表示点（如加）到原点距离的平方，

最大值为（NO+方＞=（2/）2=8,所以B错误；

对于。中,如图所示，设过点A（-4,-2）且与圆N相切的直线方程为y=+4）-2,

则点N到该直线的距禺di==V2，解得ki=1,A；2=7^",

IV1+A;L223

即图中直线AC的斜率为1,可得直线AC的方程为夕=,+2,

点"■到直线AC的距离也=2,则直线AC与圆M相切，

设过点A且与圆河相切的直线方程为g=A/(/+4)—2,

则点M到该直线的距离d?=''-I=2,解得阮=1网=—5,

71+W7

又由眦善表示的是点(%%)到点(-4,-2)的斜率，

g+4

故迎兽的取值范围为J所以C正确；

对于。中，由。项可知直线y=c+2与圆A1、N均相切，

所以直线?/=c+2与曲线。有且仅有2个交点，所以。错误.

故选：AC.

22.(多选题)(安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题)

1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现:在同一平面内，到两个

定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.在平面直角坐标系①。V中，设定点

一(—c,0),月(c,0)，其中c>0,动点满足\PF{\-5月=a2(a>0且a为常数)，化简

可得曲线C"2+靖+c2=J4c2d+a4,则()

A.原点。在曲线。的内部

B.曲线。既是中心对称图形，又是轴对称图形

C.若&=g则QP|的最大值为方a

D.若0Va<2c,则存在点P,使得P网，P用

【答案】BGD

【解析】对于4将0(0,0)代入方程，得。2=&2,所以当时，原点。在曲线。上,所

以4错误，

对于B,以—x代c,得(一工y+y2+c2—V4c2(—rc)2+a4，得炉+炉+c?=4c2x2+a4,所

以曲线关于g轴对称，

—y代y,得22+(―y)2+c2—V4c2x2+a4，得炉+量+c?=y/4c2x2+a4，所以曲线关于rr

轴对称，

以一c代立，一沙代y,得(一a：)?+(―y)2+c2=V4c2(—x)2+a4，得/+必+°2=

5/^帝石，所以曲线关于原点对称，所以曲线。既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以

B正确，

对于。，当a=c时，由d+靖+@2=^4a2x2+a4，得婿=V4a2x2+a4—炉一a?>0,解得

x2<；2a2,

所以QP「="+靖=J4,2a2+a,—a2<V4-2a2-a2+a4—a2—2a2,

所以QP|所以QP|的最大值为2a,所以。正确，

对于D,若存在点P,使得PE，,则两，房,因为丽=(-c—2,—访,属=(c一

x,—y)，所以#—以+吸=0,所以炉+以=c?,

所以由炉+炉+，4c2/+a4，得2c2=J4c222+&』，所以2c所以。<a&"c,

反之也成立,所以当0<aW，^c,则存在点P,使得PE，P£,所以。正确，

故选：BCD

23.(多选题)(安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题)设入用分别为椭

圆。号=1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点，则()

A.存在四个点P,使得

B.若点P不在2轴上，直线PF,的斜率是直线P月的斜率的-3倍，则点P的横坐标为