2025年北京高考数学二轮复习：集合和常用逻辑用语（讲义）（原卷版）

专题01集合和常用逻辑用语

目录

01考情透视•目标导航............................................................1

07军nt口旦囱.田姓己I白吉q

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................6

05核心精讲•题型突破............................................................7

题型一：集合间的基本关系7

题型二：集合的运算8

题型三：充分条件与必要条件9

题型四：全称量词与存在量词

重难点突破：以集合为载体的创新题11

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考情透视•目标导航

有关集合的北京高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主,

分值5分.近年来试题以集合的运算为主，多与解不等式等内容交汇，新定义运算也有较小的可能出现，属于基

础性题目，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的

训练.而常用逻辑用语主要考查充分条件与必要条件,容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何内

容交汇，基础性和综合性题目居多.主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年北京卷第1题，5分

2023年北京卷第1题，5分

熟练掌握集合的预测2025年高考，集

2022年北京卷第1题，5分

集合的运算并'交'补集运算合与逻辑用语主要以小题

2021年北京卷第1题，5分

方法形式出现，也有可能会将

2020年北京卷第1题，5分其渗透在解答题的表达之

2018年北京理科第1题，5分中，相对独立.具体评估

为：

(1)以选择题或填空

2023年北京卷第8题，5分题形式出现，考查学生的

2022年北京卷第6题，5分综合推理能力.

理解充分必要，掌

2021年北京卷第3题，5分(2)热点是集合用于

充分条件与必要条件握逻辑判断，熟练

2020年北京卷第9题，5分创新题中，加强学生的逻

应用题解

2019年北京理科第7题，5分辑推理思维能力。

2018年北京理科第6题，5分

以集合为载体的创新题

㈤3

.n过偏—・—拈工弓

1、集合的运算性质

(1)AA=A,A\0=0,A।B=B\A.

(2)AA=A,Al,0=A,A.B=BIA.

(3)A(C")=0,A.(C^A)=U,Q(G7A)=A.

2、集合的常用结论及细节

(1)若有限集A中有"个元素，则A的子集有2'个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1个，非空真子

集有2〃—2个.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

(3)A=BOAB=B=BOCJJBCCUA.

(4)CV(AB)=(QA)l(gB),Cu(AB)=0A)'(C®.

3、集合中涉及的工具

工具1：一元二次不等式

一元二次不等式由？+6x+c〉0(。w0),其中A=Z^-4ac,是方程ar?+6x+c〉0(。w0)的

两个根，且为<%

(1)当a>0时，二次函数图象开口向上.(2)①若A>0,解集为｛x|x>w或

②若A=0,解集为且xw—③若A<0,解集为R.

(2)当a<0时，二次函数图象开口向下.①若A>0,解集为｛尤|玉<]<9｝②若△《()，解集为0

工具2：分式不等式

⑴，)〉0o/(x)・g(x)〉0(2)，<0o/(x)・g(x)<0

gwgw

⑺f(x)[f(x).g(x)>0/(x)：(x)・g(x)W0

g(x)〔g(X)H0g(x)[g(x)Ho

工具3：绝对值不等式

(I)|/(x)|>|g(x)|o"(x)F>[g(x)]2

(2)](刈>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)或f(x)<—g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o—g(x)</(x)<g(x);

工具4：解指对不等式

①简单指数不等式的解法

(1)形如。小)>:g(x)的不等式，可借助y=ax的单调性求解；

(2)形如/⑴〉b的不等式，可将人化为。为底数的指数幕的形式，再借助y=a*的单调性求解；

(3)形如优〉"的不等式，可借助两函数y=优，y="的图象求解.

②简单指数不等式的解法：利用对数函数的单调性求解

4、充分条件、必要条件与充要条件的判断

①从逻辑推理关系看

命题“若?，则4"，其条件p与结论q之间的逻辑关系

①若夕nq,但q小〃，则p是q的充分不必要条件，“是"的必要不充分条件；

②若p今q,但qnp,则p是q的必要不充分条件，q是2的充分不必要条件；

③若p=>q,且qnp,即夕=q,则p、q互为充要条件；

④若豆q书p,则p是q的既不充分也不必要条件.

②从集合与集合间的关系看

若p：xGA,q-.x^B,

①若则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若A是8的真子集，则p是4的充分不必要条件；

③若A=B,则p、4互为充要条件；

④若A不是8的子集且8不是A的子集，则p是“的既不充分也不必要条件.

5、全称量词与存在量词

大前提：全称量词命题“V尤”的否定是存在量词命题：.

存在量词命题“3%eMq(x)”的否定是全称量词命题：VxeM,—.

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

★★会处理参数问题上的技巧

①在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补

级即可.

②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

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心真题砒标•精御皿\\

1.（2024年北京第1题）已知集合M={x|—3<x<1},N={x\-1<x<4},则MUN=()

A.{x|—1<x<1}B.{x\x>—3}

C.{x|—3<x<4}D.(x\x<4}

2.（2023年北京第1题）已知集合M={%|%+2>0],?V={%|%-1<0},则MClN=(

A.{%I—2<%<1]B.{x|-2<%<1]

C.{x\x>-2}D.{%|%<1]

3.（2023年北京第8题）若孙丰0,则“x+y=0”是"?+j=-2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.(2022年北京第1题)己知全集U={x|-3<%<3],集合4={x|-2<x<1},则04=()

A.（-2,1]B.（-3,-2）U[l,3）C.[-2,1）D.（-3,-2]U（1,3）

5.（2022年北京第6题）设{斯}是公差不为0的无穷等差数列，贝为递增数列”是“存在正整数No,当几

>叫）时，an>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2021年北京第1题）已知集合A={x|-l<x<l],B={x\0<xW2},则AUB=（）

A.{%|—1<x<2}B.{x|—1<x<2}

C.{%|0<%<1}D.[%|0<%<2]

7.（2021年北京第3题）已知/（久）是定义在上[0,1]的函数，那么“函数f（久）在[0,1]上单调递增”是“函数f（x）

在[0,1]上的最大值为/（I）”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

题型一：集合间的基本关系

【典例1-1】已知集合4={-1,0,1,2},3={+。〈*<3}.若4=3,则。的最大值为（）

A.2B.0C.-1D.-2

【典例1・2】已知集合人={4^0},3={1,2,3,4,5},则()

A.AcBB.B^A

C.AHB—BD.AfB=0

求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时

还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示

涉及“口”或“峰5,且琼。”的问题，一定要分4=0和4加两种情况进行讨论，其中4=0的情况容易

被忽略，应引起足够的重视

【变式1-1】已知集合&={-1,1},B={x+y\x^A,y^A\,C=={x-小eA,yeA},贝l]()

A.B=CB.BCC.B'C=0D.BC=A

【变式1-2】已知集合人={无eN|-l<x<5},8={0,1,2,3,4,5}，则()

A.ABB.A=BC.B£AD.B^A

【变式1-3】已知集合A={x|T<尤<2},8={0,l},则()

A.ABB.BAC.A=8D.A\B=0

【变式1-4]若全集。=E,A={x\x<l},B={x\x>-l}JiJ()

A.A^BB.B^AC.D.B

命题预测;।

1.集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为旦,不，再「〃$N*).记2为集合区(i=l,2,3,/)中的最

大元素，则4+62+63+=()

A.10B.40C.45D.50

2.已知集合4={*|%-2<0},B={x\x<a},若AB=A,则实数a的取值范围是()

A.(-W,-2]B.[-2,+co)C.(-oo,2]D.[2,+oo)

3.已知集合/={1,2,3,4},N={0,1,2,3},则有()

A.MjNB.NjMC.MN=[1,2,3}D.MN={1,2,3}

4.已知集合P={x|0<尤<4},且河三产，则Al可以是

A.{1,2}B.{2,4}C.{-1,2}D.{0,5}

题型二：集合的运算

【典例2-1】已知集合l={x|(x+3)(x—1)40},N={x|W<2},则()

A.(-2,1]B.[-3,2)C.(-2,3]D.[-1,2)

【典例2-2】设集合A={x[x+l<0},B={x\-2<x<1],则集合AB=()

A.(-oo,2]B.[-2,-1)C.(-1,2]D.(-oo,+oo)

求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”,

在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而

用集合语言表达，增强数形结合的思想方法

【变式2-1】已知集合〃={0,1,2},^={X|X2-3X<0},则MN=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.何04尤<3}D.{x[0<x<

【变式2-2]已知A={Hlog2(x-l)Vl},2={H|X-3|>2},则AB=()

A.空集B.{上<3或%>5}

C.{尤,<3或%>5且xwl}D.以上都不对

【变式2-3】已知U为整数集，A={xeZ,|/24},则2A=()

A.{—1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【变式2-4】已知集合4=卜皿<1},若A,则。可能是()

A.-B.1C.2D.3

e

【变式2-51［新考法］已知集合&={3,e，，集合8=。〃},若Ac3={l},贝打〃+〃=()

A.4B.2C.0D.1

命题预测

1.已知集合［/={一1,0,1,2,3},A={1,2},B={0,2,3},贝。&4)门8=()

A.{3}B.{0,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

2.已知集合4={尤eR|d<10},3={2,3,4,5}则Ac3=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

3.已知集合A={T0,l},B={^x>c\.若AB={O,1},贝腿的最小值是()

A.1B.0C.-1D.-2

题型三：充分条件与必要条件

【典例3-1】设aeR,贝!是“1<1”的()

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例3-2】已知直线/：履一>+1-4=0和圆O:x2+/=r2(r>0),则“r=忘"是"存在唯一左使得直线/

与相切”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

(1)判断充分条件、必要条件的注意点.

①明确条件与结论②判断若P，则g是否成立时注意利用等价命题③可以用反例说明由P推不出g,但

不能用特例说明由P可以推出g

(2)充分条件、必要条件的两种判断方法

定义法：①确定谁是条件，谁是结论②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，

否则就不是充分条件③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件

命题判断法：①如果命题：“若P，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时0是p的必要条件②

如果命题：“若P，则0”为假命题，那么。不是g的充分条件，同时g也不是P的必要条件

【变式3-1］若｛%｝是无穷数列，贝上｛%｝为等比数歹！J”是"｛4｝满足a"•%+3=/M•a“+2("eN*)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式3-2】设4>0活>0,贝!]“lg（a+》）>0”是“1g（而）>0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式3-3】若°,匕为非零向量，贝『七=’■"是7,b共线”的（）

b

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式3-4】设是三个不同平面，且ey=l,/3=y=m,则""/加”是“a〃夕”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式3-5]对于无穷数列｛叫,定义4=。“+「凡"1,2,3,）,则“｛4｝为递增数列”是“｛或｝为递增数列”

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

命题预测I

1.已知a>0,b>0,贝>2”是“。+/,>2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

2.“VABC为锐角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,sinC>cosA”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知等差数列｛%｝的前几项和为S“，则“邑-2a2<0”是"g用>（〃+1）5,”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

题型四：全称量词与存在量词

【典例4-1】已知命题P：3x>1,x2—1>0,那么是（）

A.Vx>l,x2-l>0B.Vx>l,x2-l<0

C.3x>l,x2-l<0D.3x<l,x2-l<0

【典例4-2】设命题P：Wx£（0,+8）,Inj;,x-1,则为）

A.Vxw(0,+co),]nx>x-lB.3.r0e(0,+oo),Inx0„x0-1

G

C.Vxe(0,+8),]nx>x-lD.3%o(°，+8),Inx0>x0-1

Hl

(1)要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素X,验证p(x)成立;

要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x=x0,使p(x0)不成立即可.

(2)要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个x=%,使〃(%)

成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题

【变式4-1】下列选项中，说法正确的是()

A.“土owRX；-/W0”的否定是"王°wR,x；-x>0”

B.若向量满足，则a与8的夹角为钝角

C.若am2<bnr，贝！］。〈人

D."x«AU3)”是“xe(A耳”的必要条件

【变式4-2】设命题P：-4<同+同，则力为

A.Va,bGR,|a-Z?|>|o|+|/?|B.3a,R,\a-b\<|a|+|/?|

C.Ba,b&R,|«-&|>|(z|+|&|D.3a,beR,|a-Z?|>|a|+|fo|

【变式4-3】已知。<6,则下列结论中正确的是

A.Vc(0,a〉6+cB.\/c<O,a<b+c

C.3c>0,a>b+cD.3c>0,a<b+c

命题预测

1.设数歹的前〃项和S“=4"T-1,则％=；使得命题"V”>N°,〃eN*,都有a同一%>1。0”

为真命题的一个时的值为3

2.若命题p：*eR,f+2办+ago是假命题，则实数。的一个值为.

重难点突破：以集合为载体的创新题

【典例5-11有限集合M中元素的个数记作的力(")，若AB都为有限集合，则“A3=A”是

“card(A)<card(8)”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【典例5-2】已知平面内点集4={用6,…，只}A中任意两个不同点之间的距离都不相等.设集合

8={学{1,2,0<网上题,3=1,2,,4，M=[Pj\PiPjeB,i=1,2,,4.给出以下四个

结论：

①若〃=2,则&=河；

②若〃为奇数，则AwM;

③若〃为偶数，则4="；

④若{6力,々%=则上<5.

其中所有正确结论的序号是.

【典例5-3]记集合◎={(%,%e{0,l},i=l,2,，,〃}(〃>2).对任意a=(%,出,…,a“)eQ

，=(4也，,也)e。，记〃(口,〃)=(|6-4|,|%-41,[％-〃1)，对于非空集合47。，定义集合

r>(A)={d(a,£)|aeA,/eA}.

⑴当〃=2时,写出集合。；对于A={(0,0),(0,1),(1,0)},写出。(A)；

⑵当〃=3时，如果。(A)=。，求card(A)的最小值；

⑶求证：card(D(A))^card(A).

(注：本题中，card(A)表示有限集合A中的元素的个数.)

1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅

读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的.

2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办

事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的

分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.

4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，

更加直观的求解

【变式5-1】设若非空集合A,民C同时满足以下4个条件，则称A,民C是“"-无和划分”：

①4BC={1,2「,〃}；

②AB=0,BC=0,AC=0.

③leA,且C中的最小元素大于8中的最小元素；

(4)VxGA,Vj；eB,VzeC,必有x+yC,y+z^A,z+x^B.

(1)若4={1,3},3={2,4},。={5,6},判断A,B,C是否是“6-无和划分”，并说明理由.

(2)已知ARC是“〃-无和划分""24).

①证明：对于任意机，左eC(〃z<£),都有左

②若存在，，JeC,使得j=，+2,记。=4口3口。，证明：。中的所有奇数都属于A.

【变式5-2】设正整数"N2,%，4eN*,4={x|x=a,+(左一1)4次=1,2,},这里，・=1,2,,〃.若

uAou4=N*,且4八4=0(14i<,则称4,演A,具有性质p.

⑴当〃=3时，若4,4,4具有性质P,且4=1,2=2,%=3,令机=4"2d3，写出机的所有可能值；

⑵若4,4，,4具有性质产：

①求证：4<4[=1,2,,”)；

②求£子的值.

；=14

【变式5-3】设"为正整数，集合4HalaHq,%,”，a"),qe{0,l},i=l,2,，吨对于/=(%,%,，。“卜月，

设集合尸(a)={/eN|04f4”—1,卬+,

(1)若1=(0,1,0,0,1,0),分=(0,1,0,0,1,0,10,0,1,0),写出集合尸(&),〃(/)；

(2)若戊=且sJeP(c)满足S<r,令〃=(%,%,,%)W4T，求证：t-s&P(a'Y

(3)若£=,%”4，且2(a)={瓦,S2，，$}(耳<$2<<sm,m>y),求证:

2鼠”鼠+1+2(笈=1,2,，加―2).

[命题预测J

1.已知数列A:qs，L,a“，从A中选取第匕项、第乙项....第一项匕<理<・构成数列B：%，蓬,L,B

称为A的左项子列.记数列3的所有项的和为T⑻.当人22时，若8满足：对任意se{1,2,.-1},如r；=1,

则称3具有性质尸.规定：A的任意一项都是A的1项子列，且具有性质P.

(1)当〃=4时，比较A的具有性质P的子列个数与不具有性质P的子列个数的大小，并说明理由；

⑵已知数列A:1,2,3,L(心2).

ri

(i)给定正整数左4彳，对A的上项子列8,求所有7(8)的算术平均值；

(ii)若A有机个不同的具有性质P的