2025年北京高考数学复习热点题型专练：立体几何外接球与内切球+截面问题（6类题型全归纳）（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题07立体几何外接球与内切球+截面问题

o------------题型归纳•定方向-----------♦>

目录

题型01内切球等体积法.........................................................................1

题型02内切球独立截面法......................................................................2

题型03补形法.................................................................................3

题型04单面定球心法（定+算）.................................................................4

题型05双面定球心法（两次单面定球心）........................................................5

题型06平行线（相交线）法做截面...............................................................6

•-----------题型探析・明规律-----------<>

题型01内切球等体积法

【解题规律•提分快招】

例如：在四棱锥尸-中，内切球为球O,求球半径方法如下:

—P-ABCD=^O-ABCD+匕）—PBC+^O-PCD+^O-PAD+^O-PAB

即：VP-ABCD=~^SABCD-r+PBC-r+PCD'r+PAD-r+SPAB'r，

可求出L

【典例1-1］（24-25高三上•浙江,开学考试）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的

球），且母线与底面所成角的余弦值为:，则此圆台与其内切球的体积之比为（）

【典例1-2］（23-24高一下•福建龙岩•期末）已知球。内切于圆台ER其轴截面如图所示，四边形

为等腰梯形，ABHCD,且CD=24B=6,则圆台£尸的体积为（）

AEB

F

八27叵itD51V2Kr570兀、63收兀

4444

【变式1-1]（2024•河南开封•二模）己知经过圆锥S。的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥

S。分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是

（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【变式1-2]（23-24高一下•湖北黄冈•期末）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为

1,当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）

A.2B.4C.V3D.2/

【变式1-3]（24-25高三上•河北保定•开学考试）如图，已知球。内切于圆台（即球与该圆台的上、下

底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径〃=1,々=3,则球。与圆台。。2侧面的切痕所在平面分圆

题型02内切球独立截面法

【解题规律•提分快招】

定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体

的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多

面体的内切球。

了真椀工行一一港玄：江赤信注:三程）一若二不夕而福落而甄写二不速的南面布瓦一血森欣不谈藕不塞而一

体的内切球.在四棱锥尸中，侧面P4B是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面尸/8J.

平面N8CZ）.若四棱锥P-48CD存在一个内切球，设球的体积为匕，该四棱锥的体积为匕，则J的值为

（）

AG兀D百兀r百兀n百兀

6121854

【变式1-1］（23-24高一下•浙江宁波•期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖

席.在鳖膈/-BCD中，ABl^BCD,BC1CD,且NB=8C=CD=1,则其内切球表面积为（）

A.3兀B.百兀C.（3—26'）兀D.—1）兀

题型03补形法

【解题规律•提分快招】

①墙角模型（三条线两个垂直）

②对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径

(AB=CD,AD=BC,AC=BD)

【典例1-1】在△48C中，BC=6,AB+AC=S,E,F,G分别为三边5C,CA,的中点，将ANFG,

△BEG,分别沿尸G,EG,EF向上折起，使得/,B,C重合，记为P,则三棱锥P-EFG的外接

球表面积的最小值为（）

15兀17n19K2171

A.一B.-----C.-----D

222-V

【典例1-2】据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”,

尸/，底面ABCD,底面4BCD是矩形，且尸4=5,AB=4,BC=3,则这个"阳马"的外接球表面积为（）

A.5兀B.200KC.50兀D.100K

【变式1-1】三棱锥尸-N3C中，ABC,且尸/=NB=2,AB1BC^.BC=4,三棱锥尸-N3c的

外接球表面积为（）

284

A.16nB.20nD.24Tl

F

【变式1・2】已知三棱锥/-5CQ的所有棱长均为2,球。为三棱锥力-BCD的外接球，则球。的表面积为

（）

A.兀B.2兀C.4兀D.6兀

【变式1-3］在边长为4的正方形4BCD中，如图甲所示，E,F,"分别为2C,CD,BE的中点，分别沿

AE,/尸及£尸所在直线把“MQ/ED和A£/C折起，使2,C,。三点重合于点P,得到三棱锥P-/EF,

如图乙所示，则三棱锥尸-/即外接球的体积是;过点”的平面截三棱锥P-/E尸外接球所得截

甲乙

题型04单面定球心法（定+算）

【解题规律•提分快招】

步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥尸-48C中，选中底面A48C,确定其外接圆

圆心&（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心

a、

2、r=------）；

sinZ

②过外心a做（找）底面人48c的垂线，如图中尸。1，面48C,则球心一定在直线（注意不一定在线段尸。1

上）PG上；

③计算求半径A：在直线尸。1上任取一点。如图：则OP=CU=R,利用公式OT=0/2+0。：可计算

出球半径A.

【典例1-1】已知球。是正三棱锥尸-/BC的外接球，若正三棱锥尸-/BC的高为近，底近AB=^,则

球心。到平面/8C的距离为（）

【典例1-2】在四面体ABCD中，AB=4,CD=2,AC=AD=BC=BD=3,则四面体ABCD的外接球表面积

为.

【变式1-1】已知球。为棱长为1的正四面体/BCD的外接球，若点尸是正四面体N3CD的表面上的一点,

0为球。表面上的一点，则|尸。|的最大值为（）

【变式1-2】己知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为40兀，则该三棱柱的体积为

（）

A.6A/6B.1276C.6厢D.12丽

【变式1-3】已知正△4BC边长为1,将ZUSC绕旋转至△D2C,使得平面4BC，平面，则三棱

锥。-A8C的外接球表面积为.

题型05双面定球心法（两次单面定球心）

【解题规律•提分快招】

「如画厂在三棱箍A二7方心百；一

[①选定底面AA8C,定AZBC外接圆圆心已

|②选定面"AB,定"AB外接圆圆心。2

I③分别过已做面48c的垂线，和&做面尸48的垂线，两垂线交点即为外

1

接球球心0.BC

了真椀m巨如菱形加弓方的犯石为万丁飞万二而同而囱丽宗厂海教团一酒就拆起「便福万朝送点s一两

位置，连接S3,得到三棱锥S-/BC,此时S3=3,£是线段“中点，点尸在三棱锥S-/8C的外接球上

运动，且始终保持即C,则三棱锥S-N2C外接球半径为,则点尸的轨迹的周长为.

【典例1-2］如图，在四面体/BCD中，△NAD与△BCD均是边长为的等边三角形，二面角-C

的大小为120。,则此四面体的外接球表面积为.

C

【变式1-1］如图，在四面体N8C。中，△4BC和“C。均是边长为6的等边三角形，。2=9,则四面体/BCD

外接球的表面积为;点片是线段40的中点，点尸在四面体的外接球上运动，且始终保持

EFLAC,则点尸的轨迹的长度为.

题型06平行线（相交线）法做截面

【解题规律•提分快招】

平行凶法至近两钙亍7桓交了直殡福兔正二下而

一【质椀工11723五「高三下石素豪标血声）面面:云东药标7万3二%万匕“五二万二N瓦卢芬丽夏石”：还；

的中点.用过点厂且平行于平面/BE的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（）

A.V6B.245c.V5D.里

2

【典例1-2］（21-22高二上•北京•阶段练习）正方体ABCD-//BG。/中，E是棱出。中点，尸是棱中

点，G是棱2。中点，作出过区F,G的平面截得正方体的截面形状.

【变式1-1］（23-24高一下•北京通州,期末）如图，正方体/BCD-N4G2的棱长为1,E为BC的中点,

下为线段CG上的动点，过点A,E,尸的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是.

①直线与直线/尸相交；

②当0<“<：时，S为四边形；

③当尸为cq的中点时，平面ZE尸截正方体所得的截面面积为：；

④当时，截面S与42，分别交于MN,则―丰.

【变式1-2］（23-24高一下•北京昌平・期末）在棱长为1的正方体-中，E,F,G分别为

棱44-G",的中点，动点”在平面EFG内，且。〃=1.给出下列四个结论：

①43〃平面MG；

②点H轨迹的长度为无；

③存在点使得直线。平面EFG；

④平面EFG截正方体所得的截面面积为苧.

其中所有正确结论的序号是.

*>----------题型通关•冲高考-----------O

一、单选题

1.（2024・北京朝阳•一模）在棱长为1的正方体/BCD-4与G2中，E,F,G分别为棱幺4，BC,CQ

的中点，动点H在平面EFG内，且。8=1.则下列说法正确的是（）

A.存在点打，使得直线。H与直线FG相交

B.存在点“，使得直线。X，平面E/G

7E

C.直线耳H与平面EFG所成角的大小为g

D.平面EFG被正方体所截得的截面面积为些

2

2.（2024・湖南郴州•模拟预测）已知正方体4BC。-481G2中，点£、厂满足砺=2瓯，邙=2两，则

平面/£尸截正方体428-44GA形成的截面图形为（）

A.六边形B.五边形

C.四边形D.三角形

3.（2024•四川内江•三模）已知正方体4BCD-451aol的棱长为2,点M、N、P分别为棱/5、CC^CR

的中点，则平面MVP截正方体所得截面的面积为（）

A.2B.3港C.672D.6

2

4.（2024•山东•模拟预测）若正四棱锥的高为6,且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面

积为（）

A.12gB.24AMC.24J7D.12742

5.（2024•辽宁•一模）已知正四棱锥尸各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4,体积为

64

y,则该球表面积为（）

“，4兀

A.9兀B.36兀C.471D.——

3

6.（2024•宁夏吴忠,模拟预测）已知正三棱锥/-5CQ的外接球是球。，正三棱锥底边3c=3,侧棱

45=2百，点£在线段上，且BE=DE,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的最大值是（）

c971c4

A.2兀B.——C.371D.4兀

4

7.（2024•湖北武汉,模拟预测）四棱锥尸-4BCD各顶点都在球心。为的球面上，且尸平面底

面N8CD为矩形，PA=AD=2,AB=26,设分别是的中点，则平面截球。所得截面的

面积为（）

A.兀B.371C.471D.2兀

8.（2024•吉林•模拟预测）已知圆锥的侧面积是4兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球

半径为（）

A2指RV3r2V3nV6

3333

9.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）已知直三棱柱/BC-的6个顶点都在球。的表面上，若

2兀

AB=AC=1,AA1=4,ZBAC=—,则球。的表面积为（）

A.16KB.20兀C.28TID.32兀

10.（23-24高三上•湖南长沙•阶段练习）已知圆锥的高为3,若该圆锥的内切球的半径为1,则该圆锥的表

面积为（）

A.6万B.6人!兀C.9兀D.12万

11.（2023,全国•模拟预测）上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的

高为3,上、下底面