2025年北京数学中考二轮专项复习：基础证明题分类训练（4种类型40道）含详解

专题08基础证明题分类训练(4种类型40道)

目录

【题型1平行四边形】..........................................................................11

【题型2矩形】................................................................................22

【题型3菱形】................................................................................34

【题型4正方形】..............................................................................45

【题型1平行四边形】

1.已知BD垂直平分力C,乙BCD=£ADF,AFVAC

(1)求证：四边形4BDF是平行四边形.

(2)若4F=DF=5,AD=6,求tan/BCD的值.

2.如图，在四边形4BCD中，点E在BC_h,AE||CD/ACB=乙DAC,EF1AB于点F,EG14C于点G,EF=EG.

(1)求证：四边形4ECD是平行四边形.

(2)若CD=4,ZB=45°,ZC£G=15。,求48的长.

3.如图，在△ABC中/B=AC,AD1BC于点。延长DC到点E,使CE=CD.过点E作EF||2D交2C的延长线于点月连接

AE,DF.

⑴求证：四边形4DFE是平行四边形.

(2)过点E作EG1。尸于点G,若B。=2,AE=6,求EG的长.

4.如图，在菱形力BCD中，对角线力C与BD相交于点。，延长CB到点E,使BE=BC,连接力E.

⑴求证：四边形4EBD是平行四边形.

(2)连接0E,若tan-lEB=|,2C=2,求。E的长.

5.如图，在△ABC中,4B=AC,AD1BC于点，延长DC到点E,使CE=CD.过点E作EF〃力。交4C的延长线于点匕连接

AE,DF.

⑴求证：四边形4DFE是平行四边形.

⑵过点E作EG1DF于点G,若BD=2,AE=5,求EG的长.

6.如图,在平行四边形2BCD中,2C平分NBAD,点E为边力。中点，过点E作力C的垂线交力B于点M,交CB延长线于点F.

⑴连接BD,求证：四边形BDEF是平行四边形.

(2)若FB=5,sinF=|,求力C的长.

7.如图，在四边形ABCD中，乙4c8=/.CAD=90°,AD=8C,点E在BC延长线上,2E与CD交于点F.

⑴求证：四边形ABCD是平行四边形.

(2)若AE平分=13,cosB=*求4D和CF的长.

8.如图,在平行四边形48CD中，点分别在上，且ED=BF,连接2凡CE,4C,EF,且4C与EF相交于点0.

(1)求证：四边形4FCE是平行四边形.

(2)若力C平分NE4F/C=6,tan^DAC=1.求四边形4FCE的面积.

9.如图.在EABC中,AB=BC3D平分043c交AC于点D点E为AB的中点，连接。区过点E作EFIIBD交CB的延长线

⑴求证：四边形DEFB是平行四边形.

(2)当AD=4,BD=3时，求CF的长.

10.已知：如图，在四边形ABCD中,4B||DC,4C_LBD,垂足为M,过点A作4E1HC,交CD的延长线于点E.

⑴求证：四边形4BDE是平行四边形.

(2)若4C=8,sin^ABD=:求BD的长.

【题型2矩形】

11.如图,四边形4BCD是平行四边形,4E1B。于点E,CG18。于点F,FG=C凡连接4G.

⑴求证：四边形4EFG是矩形.

(2)若N4BD=30。,AG=2AE=6,求BD的长.

12.如图,矩形力BCD的对角线AC,BO相交于点。，过点。作4C的平行线交8c的延长线于点E.

⑴求证：BD=DE.

(2)连接。瓦若AB=2,BC=4,求0E的长.

13.如图,在平行四边形4BCD中，连接2C/B4C=90。,点M为边4。的中点，连接CM并延长，交B4的延长线于点瓦连接DE.

⑴求证：四边形ACDE是矩形.

(2)若BE=10,DE=12,求四边形BCDE的面积.

14.如图,四边形ABC。是平行四边形，过点A作力E1BC交BC于点瓦点厂在BC的延长线上，且CF=BE,连接。足

⑴求证：四边形AEED是矩形.

(2)连接AC,若乙4CD=90°,AE=4,CF=2,求EC和AC的长.

15.图,在矩形48CD中,M为4。的中点，连接MB,MC.

⑴求证：ZXBM=ZDCM.

(2)若NBMC=70。,求N48M的度数.

16.在矩形ABCD中,AC,B£»相交于点。，过点C作C瓦2。交AD的延长线于点E.

⑴求证：0AC£)=EIECr).

(2)连接0E,若4B=2,tan0ACD=2,求0E的长.

17.如图，在回48CD中,AC,8。交于点。，且4。=B0.

(1)求证：四边形4BCD是矩形.

(2)N8DC的平分线DM交BC于点M,当48=3,tanzDBC=三时，求CM的长.

4

18.如图，矩形2BCD中,对角线4C与BD相交于点。，DE〃北交BC的延长线于点E.

(1)求证：/.ADB=ZE.

(2)若AO=4,cos0AOB=*求4。的长.

19.在平行四边形ABCD中，过点D作DE^AB于点瓦点尸在边CD上刀尸=BE,连接AF,BF.

(1)求证：四边形8FOE是矩形.

20.如图，在△4。。中,。4=。。,。。是AC边中线.延长40至点B,作“08的角平分线OH,过点C作CF10H于点F.

(1)求证：四边形CD。尸是矩形.

(2)连接DF,若cosA=,,CF=8,求DF的长.

【题型3菱形】

21.如图,四边形4BCD中,对角线AC与BD相交于点。,AB=AD,OB=。。点E在2C上，且NCED=/.ECB.

⑴求证：四边形E8CD是菱形.

(2)若8C=5,EC=8,tanN£ME=*求4E的长.

22.如图，在四边形2BCD中,4。||BC,48=平分484。交BC于点E,连接DE.

(1)求证：四边形4BED是菱形.

(2)连接BD交4E于点F.若NBCD=90°,coszDBC=当BD=2逐，求EC的长.

23.如图，在四边形ABCD中,ABIICLUB=AD,对角线AC,BD交于0/C平分NB4D.

⑴求证：四边形4BCD是菱形.

(2)过点C作AB的垂线交其延长线于点E,若BD=6,tanN04B=々求CE的长.

4

24.如图，菱形2BCD中4C,BD相交于点0,延长力D至点E使得DE=。。连接E。并延长交CB的延长线于点F.

(1)求证：4D0EmABOF.

(2)若8F=5,0A=12,求线段AE的长.

25.在RtAABC中/B4c=90°，。是BC的中点，过点4作码BC,且ZE=BD,连接BE.

⑴求证：四边形4DBE是菱形.

(2)连接CE,若A8=2,/.AEB=60。,求CE的长.

26.如图，在回48CD中,交于点0/4BD=Z.CB。,过点。作DE||AC交BC延长线于点E.

(1)求证：四边形4BCD是菱形.

(2)若。B=陋/ABC=60。,求DE的长.

27.如图，在回4BCD中,48=4C,过点D作2C的平行线与BA的延长线相交于点E.

(1)求证：四边形4CDE是菱形.

⑵连接CE,若=5,tanB=2,求CE的长.

28.如图，在△力BC中,BD平分的垂直平分线分别交2B,BD,BC于点瓦£G,连接OE,DG.

⑴求证：四边形BGDE是菱形.

(2)若N4BC=30。/。=45°,ED=6,求CG的长.

29.如图，在四边形力BCD中,对角线垂直平分对角线AC,与力C相交于点。，点E是。B上一点，且NE4。Z.DCO.

⑴求证：四边形AEC。是菱形.

(2)若点E是。8的中点,CD=5,AC=8,则tan乙480的值为.

30.如图，在ATlBC中,4B=4C,点2关于BC的对称点为。，连接B0CD.

(1)求证：四边形力BDC是菱形.

(2)过点A作ZE1BD于E,且交BC于点F,若AB=6,BE=4,求4F的长.

【题型4正方形】

31.如图，在正方形力BCD中，点瓦F分别在BC/D上,BE=DF,连接CF,射线AE和线段DC的延长线交于点G.

(1)求证：四边形4ECF是平行四边形.

(2)若tan/BAE=|,DG=9,求线段CE的长.

32.在正方形ZBCD中，将边4D绕点A逆时针旋转a(0。<a<90。)得到线段4瓦过8作BG||4F交CF于点G,连接BE.

(1)如图1,求证：4BGC=2乙AEB.

(2)当a(45。<a<90。)时,依题意补全图2,用等式表示线段之间的数量关系，并证明.

33.如图/是正方形ABC。对角线AC上一点，点E在BC上，且尸£=尸8.

(1)求证：PE=PD.

⑵求回PED的度数.

D

34.如图,在矩形ABCD中,回入4。的平分线交BC于点E,过E作EF^AD于F.

(1)求证：四边形ABEF是正方形.

(2)连接跖交AE于点0,连接。。，若CD=2,CE=1,求。。的长.

35.已知：如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,DE平分乙4DC,EFI3DC交AD边于点F,连结BD.

(1)求证：四边形FECD是正方形.

(2)若BE=1,ED=2A/2,求tan/DBC的值.

36.如图,M,N分别是正方形ABCD的边BC,CD上的点，已知：回MAN=3O\AM=AN,E1AMN的面积为1.

⑴求回BAM的度数.

(2)求正方形ABCD的边长.

37.如图，在边长为1的正方形ABCD中,M是AD的中点，连接BM,BM的垂直平分线交BC的延长线于F,连接MF交CD

于N.

⑴求CF的长.

(2)求证:BM=EF.

A/D

R

38.如图，点E为正方形ABC。对角线AC上一点，连接DE,过点E作EFIDE,交射线BC于点£以DE,EF为邻边作矩形DEFG,

连接CG.

⑴求证：矩形OEFG是正方形.

(2)若NCDG=30。,求受的值.

EC

39.如图1,正方形48CD中,E是边8c延长线上一点，连接DE,过点B作垂足为£BF与CD相交于点G.

图1图2

(1)求证：ABCGSADCE.

(2)如图2,连接BD,若tan/DBG=_，则BE=2DG.

40.如图，在边长为8的正方形4BCD中,E为4B上一点,4E=6,连接DE,过B点作BF||DE交DC于点匕过点A作DE的垂线

分别交DE,BF,BC于点

(1)求证：BH=AG.

(2)求tan/HBM.

专题08基础证明题分类训练(4种类型40道)

目录

【题型1平行四边形】..........................................................................11

【题型2矩形】................................................................................22

【题型3菱形】................................................................................34

【题型4正方形】..............................................................................45

【题型1平行四边形】

1.已知BD垂直平分力C,乙BCD=£ADF,AFVAC

(1)求证：四边形4BDF是平行四边形.

(2)若4F=DF=5,AD=6,求tan/BCD的值.

【答案】⑴见解析

遥

【分析】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和勾股定理等知识，得出平行四边形2BDF是菱形是解题关

键.

(1)利用线段垂直平分线的性质得出AB=CB,AD=CD,进而得出，AF||BD,ABIIFD即可得出答案.

(2)利用勾股定理得出FG的长，再利用锐角三角函数关系得出答案.

【详解】(1)证明：SBD垂直平分4C.

AB=CB,AD=CD.

•••Z-BAC=Z-BCA,Z-DAC=Z-DCA.

即々BAD=乙BCD,

•••Z-BCD=Z-ADF.

・•・乙BAD=Z.ADF.

・•・AB||FD.

BD1AC,AF1AC,

・•・AF||BD.

团四边形ABDF是平行四边形.

(2)连接FB,交4。于点G.

团平行四边形2BDF是菱形

1

••・乙DGF=90。,DG=-AD=3.

2

FG=yJDF2-DG2=4.

PG4

・•・tan^FDG=—=

DG3

4

tanzBCD=

3

2.如图，在四边形ABC。中，点E在BC上,2E||CD/2CB=^DAC,EF128于点F,EG14C于点G,EF=EG.

⑴求证：四边形4ECD是平行四边形.

(2)若CD=4/B=45°,ZC£G=15。,求48的长.

【答案】(1)见解析

(2)48=2V3+2

【分析】(1)证明4DIICE,再由平行四边形的判定即可得出结论.

(2)由平行四边形的性质得2E=CD=4,进而证明RtAAFEmRtAAGE(HL),再证明ABEF是等腰直角三角形，然后证明

由含30。的直角三角形的性质得BF=EF=2,进而由勾股定理求出4F的长，即可解决问题.

【详解】(1)证明：回乙4cB=N£MC.

SADWCE.

EL4EHCO.

国四边形2ECD是平行四边形.

(2)解：由(1)可知,四边形AECD是平行四边形.

0AF=CD=4.

0FF1AB,EG1AC.

^AFE=/.AGE=90°.

在RtAAFE和RtA2GE中.

AE=AE

-EF=EG>

团Rt△AFE=Rt△AGE(HL).

^1Z-AEF=Z-AEG.

国匕BFE=180°-90°=90°,乙B=45°.

0ABEF是等腰直角三角形.

国BF=EF,乙BEF=45°.

^FEG=180°一乙BEF-乙CEG=180°-45°-15°=120°.

i

^AEF=^AEG=-Z.FEG=60°.

2

^EAF=90°-Z.AEF=30°.

i

SBF=EF=-AE=2.

2

EL4F=VX£2-EF2=V42-22=2A/3.

EL45=4F+BF=2V3+2.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的判定，

含30。角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解

题的关键.

3.如图，在△ABC^,AB=AC,AD1BC于点。，延长DC到点E,使CE=CD.过点E作EF||4D交AC的延长线于点匕连接

AE,DF.

⑴求证：四边形ADFE是平行四边形.

⑵过点E作EG1DF于点G,若BD=2,AE=6,求EG的长.

【答案】⑴见解析

⑵EG=卓

【分析】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边证明即可.

(2)根据等腰三角形的性质和平行四边形的性质凡用面积相等［XDEXEF=mXDFXEG求解即可.

【详解】(1)证明：BEFWAD.

^Z.ADC=乙FEC.

回CE=CD/DCA=Z-ECF.

[?]△ADC=AFEC(ASA).

团AD=EF.

团四边形ZDFE是平行四边形.

（2）解：如图所示

^\AB=AC,AD_LBC,BD=2.

团CD=2.

由（1）得：四边形4DFE是平行四边形.

0£）£=2CD=4.

0AE=6.

EL4D=V62-42=2V5.

国四边形2DFE是平行四边形,2。1BC.

0FF=4。=2®DF==6,^ADC=乙FEC=90°.

0EG1DF,AD1BC.

展xDExEF=工xDFxEG,即工x4x2西=工x6xEG.

2222

解得EG=竽.

【点睛】本题考查了平行的性质和等腰三角形的性质，涉及到勾股定理解三角形等知识点,灵活运用所学知识是关键.

4.如图,在菱形4BCD中,对角线4C与BD相交于点。，延长CB到点E,使BE=BC,连接2E.

⑴求证：四边形是平行四边形.

（2）连接。瓦若tan/AEB=|,4C=2,求OE的长.

【答案】⑴见解析

（2）、17

【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，掌握判定方法及性质是解题的关键.

（1）根据菱形得性质得出4DIIBEAD=BE,再由平行四边形的判定即可得证.

（2）根据菱形得性质得出AC1BDtAE^BDtAO=CO=1,再由平行四边形的性质确定AC1AE^AEB=得出

。8=2,由勾股定理求解即可.

【详解】（1）证明：•・・四边形A8CD是菱形.

/.AD||BCfAD=BC.

・•・ADWBE.

•••BE=BC.

AD=BE.

・•・四边形AEBD是平行四边形.

（2）团菱形ABCD,四边形是平行四边形/C=2.

叱4c1BD,AE\\BD,AO=CO=1.

团AC1AE,Z.AEB=Z-DBC.

团tan乙4E8=

2

nri

OtanzOBC=—=

OB2

EOF=2.

0BD=AE=4.

在RtAAEO中,。E=y/AO2+AE2=Vl2+42=V17.

5.如图，在△ABC中,4B=AC,AD1BC于点，延长OC到点E,使CE=CD.过点E作EF〃力。交AC的延长线于点七连接

AE,DF.

⑴求证：四边形4DFE是平行四边形.

(2)过点E作EG1。尸于点G,若BD=2,AE=5,求EG的长.

【答案】⑴见解析

⑵当

【分析】(1)利用EFIIAD和CE=CD,使用AAS证明△ACD三小FCE,从而得到4D=EF,再利用一组对边平行且相等的四

边形是平行四边形证明即可.

(2)根据等腰三角形的三线合一性质可知,8。=CD=2,再由CD=CE求出DE,采用勾股定理求出2E的长，即DF的长，

再用等面积法求出EG的长.

【详解】(1)证明：^\EF\\AD.

^\Z-DAC=Z-EFC.

^DAC=Z.EFC,^ACD=MCE,CD=CE.

0AACD=△FCE.

固4。=EF.

国4。IIEF,AD=EF.

团四边形ZDFE是平行四边形.

(2)过点E作EG1DF于点G

^AB=AC,AD1BC.

CD=2团BD=CD=2.

团CD=CE.

团CE=2.

WE=CD+CE=4.

团4E=5,AD1BC.

EL4D=y/AE2-DE2.

EL4D=3.

团四边形4DFE是平行四边形.

EL4E=DF=5.

团S04DFE=4。-DE=DF-EG,即3X4=5EG

12

EIEG=—.

5

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用等面积法求高是本题的解

题技巧，掌握平行四边的判定与性质是解题的关键.

6.如图,在平行四边形4BCD中/C平分NB4D,点E为边力。中点，过点E作2C的垂线交4B于点M,交C8延长线于点F.

AED

(1)连接BD,求证：四边形BDEF是平行四边形.

o

(2)若FB=5,sinF=*求AC的长.

【答案】(1)见详解

(2)12

【分析】(1)首先根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明AB=CB,推导四边形4BCD为菱形，易知AC1BD,进而

证明EFIIBD,即可证明四边形是平行四边形.

(2)首先证明乙4。。=4F,DE=FB=5,易得sinF=sinzXDO=在Rt△4。。中，借助三角函数解得。4=6,然后根据

"平行四边形对角线相互平分”的性质即可获得答案.

【详解】(1)证明：连接BD,交4C于点。，如下图.

国四边形2BCD为平行四边形.

EL4DHBC.

0ZDXC=ABCA.

EL4c平分NB4D.

S/.BAC=/.DAC.

^Z-BAC=Z.BCA.

EL45=CB.

回四边形力BCD为菱形.

0AC1BD.

又回AC1EF.

0FFIIBD.

团40IBC,即E0IFB.

回四边形BDEF是平行四边形.

(2)解：由(1)可知,四边形BDEF是平行四边形18D.

SZ.ADO=乙F,DE=FB=5.

3

团sinF=sinZ-ADO=

5

团点E为边力D中点.

EL4D=2DE=10.

El在Rt△AOD中,sin/A。。=—=三,即生=

'AD5?105

解得。a=6.

团四边形力BCD为平行四边形.

0OX=OC=-AC.

2

团AC=20A=2x6=12.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识,熟练掌握相关知识是解题关

键.

7.如图，在四边形4BCD中/4CB=^CAD=90。/。=BC,点E在BC延长线上,4E与CD交于点F.

⑴求证：四边形4BCD是平行四边形.

(2)若2E平分=13,cosB=总求4。和CF的长.

【答案】(1)见解析

(2)5,8

【分析】(1)先证4DIIBC,再由力。=BC,即可得出结论.

(2)由锐角三角函数定义得BC=5,再由平行四边形的性质得4D=BC=5,然后证BE=AB=13,则CE=BE-BC=

8,进而证“FE=N8E4得。尸=CE=8.

【详解】(1)证明：0Z4CB=^CAD=90°.

EL4DIIBC.

EL4D=BC.

回四边形力BCD是平行四边形.

(2)0Z71CB=90°,AB=13,cosB=总

「cBC5

[EcosB=—=—.

AB13

团BC=5.

由(1)可知,四边形4BCD是平行四边形.

^AD=BC=5fAB\\CD,AD\\BC.

^DAE=Z-BEA.

财E平分NBA。.

国乙DAE=/-BAE.

^£.BEA=/-BAE.

国BE=AB=13.

ME=BE-BC=13-5=8.

^ABWCD.

^\Z-CFE=Z-BAE.

团乙CFE=/-BEA.

团CT=CE=8.

即/。=5,CF=8.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数定义，平行线的判定与性质等知识，熟练

掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

8.如图,在平行四边形2BCD中，点E,F分别在力D,BC上，且ED=BF,连接4F,CE/C,EF,且AC与EF相交于点。.

⑴求证：四边形4FCE是平行四边形.

(2)若4C平分NE4F/C=6,tanN£MC=*求四边形4FCE的面积.

【答案】⑴见解析

(2)24

【分析】(1)利用平行四边形的判定与性质解答即可.

(2)先证明四边形4FCE是菱形，得到Z20E=90。,然后利用正切概念求得0E,再利用菱形的面积公式求解即可.

【详解】(1)证明：国四边形4BCD是平行四边形.

^AD\\BC,AD=BC.

0FD=BF.

EL4E=CF.

回四边形4FCE是平行四边形.

(2)解：EL4c平分4瓦4尸.

^Z-CAF=Z.CAE.

^AEWCF.

^CAE=/-ACF.

^CAF=Z.ACF.

财F=CF.

团平行四边形成CE是菱形.

1i

财C1EF,AO=^AC=3,0E=；EF.

在RtAAOE中，乙40E=90°,tanzD4C=^|=j.

OOE=[A。=4,则EF=2OE=8.

El四边形4FCE的面积为[AC•EF=24.

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行

线的性质等，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解答的关键.

9.如图.在EA8C中平分财BC交AC于点。.点E为AB的中点，连接。区过点E作EFIIBD交C2的延长线

于点立

⑴求证：四边形。EFB是平行四边形.

（2）当4。=4乃。=3时，求CF的长.

【答案】⑴证明见解析

（2）-

【分析】（1）根据题目所给条件得到三角形是等腰三角形，由角平分线的条件，根据"三线合一”的知识，从而得到点。为中

点,再利用中位线的性质，从而得到DE〃CB,再根据平行四边形判定定理即可证明.

（2）根据等腰三角形"三线合一”的知识，从而得到AADB为直角三角形，根据题目所给条件，得出的长，再根据直角三角

形斜边中线的性质以及平行四边形的性质，得到BF的长度，从而得到最后结果.

【详解】（1）证明：回在0ABC中,AB=BC.

EEL4BC为等腰三角形.

团乙/=Z.C.

又SB。为0ABe的角平分线.

国乙CBD=乙ABD.

又瓯。=BD.

[?]△ABD=△CBDQAAS).

团4。=CD.

SD为AC中点.

又回点E为A8的中点.

ODE为△ABC中位线.

SDE//CB.

即。E〃BF.

又回EFIIBD

国四边形DEFB是平行四边形.

(2)解：团由(1)得AABDBACBD.

Sl^ADB=乙CDB=90°.

又回点E为AB的中点.

ODE为RtAADB的中线.

1

WE=-AB.

2

团在RtA4DB中,AD=4,8Z)=3.

EL4B=yjAD2+BD2=V42+32=5.

ME=

2

又回四边形DEFB是平行四边形.

BDE=BF=-.

2

又团==5.

SCF=BC+BF=5+-=—.

22

【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定定理和性质，等腰三角形的三线合一,直角三角形斜边上的中线的

性质和勾股定理的知识,解决本题的关键是利用好中点的条件以及平行四边形的性质.

10.已知：如图，在四边形4BCD中||。。,4(718，垂足为盟过点4作力514，交。。的延长线于点£.

⑴求证：四边形力BDE是平行四边形.

(2)若AC=8,sin^ABD=[，求8。的长.

【答案】⑴证明见解析

(2)6

【分析】(1)先证明再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可.

(2)先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE的长,再利用勾股定理求出AE的长即可求得3。的长.

【详解】(1)解：SAC^BD,ACSAE.

0AEHBZ).

又ABSDC.

回四边形ABDE是平行四边形.

(2)解：团四边形4BZJE是平行四边形.

SBD=AE,^E=^ABD.

一4

[2L4C=8,sinZ-ABD-

ElsinzE=smz.ABD=-="，则CE=10.

5CE

在RtSiEAC中,4E=VCF2-AC2=V102-82=6.

0B£>=6.

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键.

【题型2矩形】

11.如图,四边形ABCD是平行四边形/E1BD于点E,CG18。于点吃FG=CF,连接4G.

⑴求证：四边形4EFG是矩形.

(2)若N4BD=30。,4G=2AE=6,求BD的长.

【答案】⑴见详解

(2)673+6

【分析】(1)由平行四边形的性质得4B=CD,ABIICD,贝IJN4BE=NCDF,再证明△ABESACDF(AAS),得4E=CF,则

FG=C凡然后证明四边形4EFG是平行四边形，即可得出结论.

(2)由矩形的性质得EF=4G=6,再由勾股定理得BE=38,然后由全等三角形的性质得BE=DF=3g，即可得出结

论.

【详解】(1)证明：••・四边形4BCD是平行四边形.

AB=CD,ABIICD.

Z.ABE=乙CDF.

vAE1BD,CG1BD.

乙

・•・AE||CGtZ-AEB=^AEF=CFD=90°.

・•.△ABE=△CDF(AAS).

・•.AE=CF.

•••FG=CF.

AE=GF.

••・四边形AEFG是平行四边形.

又乙4EF=90°.

平行四边形4EFG是矩形.

(2)解：AG=2AE=6.

AE=3.

由(1)可知,四边形4EFG是矩形.

EF=AG6.

•••/.ABD=30°.

•••AB=2AE=6.

BE=y/AB2-AE2=V62-32=3痣

由(1)可知,△ABE三△CDF.

•••BE=DF=3V3.

•••BD=SF+EF+DF=3V3+6+3V3=6V3+6.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30。角的直角三角形的性

质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

12.如图，矩形2BCD的对角线AC,BD相交于点。，过点。作力C的平行线交BC的延长线于点E.

⑴求证：BD=DE.

(2)连接。用若AB=2,BC=4,求。E的长.

【答案】⑴见解析

(2)OE=V37

【分析】(1)根据矩形的对角线相等可得力C=8,对边平行可得A0I8C,再证明出四边形2DEC是平行四边形，根据平行

四边形的对边相等可得4c=DE,从而得证.

(2)如图，过点。作0F1CD于点匕欲求。E,只需在直角AOEF中求得。/、FE的值即可.结合三角形中位线求得OF,

结合矩形，平行四边形的性质以及勾股定理求得。E即可.

【详解】(1)回四边形4BCD是矩形.

EL4C=B。，ADWBC.

y^DEWAC.

13四边形4DEC是平行四边形.

EL4C=DE.

0BP=DE.

(2)如图，过点。作。F1CD于点F.

国四边形2BCD是矩形.

刻C=BD点。是AC,BD的中点.

AD=BC=4,回。。=^1AC,OB=：1BD,

回。C=OB,

i

团CF=BF=-BC=2.

2

团尸点是BC的中点.

团。尸是△BCD的中位线.

1

团。F=-CD=1,

2

又回四边形4DEC是平行四边形.

BICE=AD=4,.

SEF=CF+CE=2+4=6.

在Rt△OEF中，由勾股定理可得：OE=y/OF2+EF2=Vl2+62=V37.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ADEC是平行四边形是解题的关键.

13.如图,在平行四边形2BCD中，连接2C/B4C=90。,点M为边4D的中点，连接CM并延长，交B4的延长线于点瓦连接DE.

E

(1)求证：四边形4CDE是矩形.

(2)若BE=10,DE=12,求四边形BCDE的面积.

【答案】⑴见解析.

(2)90.

【分析】(1)先根据平行四边形的性质得B4||CD,BA=CD.从百得N4EC=乙DCE/EAD=NCZM,再证明△EAMd

CDM.得ME=MC,从而得四边形4CDE是平行四边形.即可由矩形判定定理得出结论.

(2)先由矩形与三角形面积公式求得S矩形ACDE=4ExDE=5x12=6Q,ShABC=^AB-XC=1x5x12=30.再由

S四边形BCDE=S矩形ACDE+SAABC求解即可，

【详解】(1)证明：回四边形2BCD是平行四边形.

^\BA\\CD,BA=CD.

^Z-AEC=乙DCE,乙EAD=Z.CDA.

回点〃为边4。的中点.

国4M=DM.

[?]△EAM=△CDM.

回ME=MC.

回四边形4CDE是平行四边形.

^BAC=90°.

0ZEXC=90°.

团平行四边形"DE是矩形.

(2)解：回四边形2CDE是矩形.

匿4E=CD,DE=AC.

刻E=AB.

团BE=10.

国4E=AB=5.

团。E=12.

叱4c=12.

团S矩形ACOE=xDE=5x12=60.

SLABC=•AC=|x5x12=30.

国S四边形BCDE=S矩形4CDE+SAABC=60+30=90.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形与三角形的面积,熟练掌握平行

四边形的性质定理，矩形的判定定理,全等三角形的判定与性质是解题的关键.

14.如图,四边形A8CQ是平行四边形，过点A作力E1BC交8C于点E点F在8C的延长线上，且CF=BE,连接。尸.

(1)求证：四边形AEFD是矩形.

(2)连接AC,若乙4CD=90°,AE=4,CF=2,求EC和AC的长.

【答案】(1)见解析.

(2)EC的长为8,AC的长为4V5.

【分析】(1)先证明四边形AE/*是平行四边形，再证明&4所=90。即可.

⑵根据矩形的性质得到尸=4,0AEC=M=9O。,根据余角的性质得到SEAC=aDC£得到“EO3团CFD点

CFDF

代入数值求得EC=8,在Rt^AEC中，由勾股定理得到AC=4V5.

【详解】(1)证明：

⑦CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

团四边形ABCD是平行四边形.

0AD||BC,AD=BC.

^AD\\EF,AD=EF.

团四边形AEFD是平行四边形.

朋E03C

盟L4E尸=90°.

团四边形是矩形.

El四边形AEFD是矩形.

EIA£=DP=4,0AEC=EI尸=90°.

fflAC£)=90°.

00EAC+EL4C£=EL4CE+0DCF=90°.

^EAC^DCF.

m\ECBECFD.

0£C=8.

在R1SAEC中,EAECngOOdEn/ECMg.

AC2=AE2+EC2.

EL4C=y/AE2+EC2=V42+82=4\/5.

故EC的长为8,AC的长为4V5.

【点睛】此题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确的识

别图形是解题的关键.

15.图,在矩形4BCD中,M为力D的中点，连接

(1)求证：4ABM=ADCM.

(2)若=70。,求N4BM的度数.

【答案】(1)见解析

(2)35°

【分析】(1)根据矩形的性质，利用"SAS”证明△2M8三ADMC,即可证明乙48M=NDCM.

(2)根据△AMB三ADMC,得出BM=CM,根据/BMC=70。,算出NMBC=乙MCB=55。,最后根据直角三角形性质，即可

得出a4BM=35°.

【详解】(1)解：在矩形2BCD中,2B=CD,AA=ZD=90°.

SM为4D的中点.

0XM=DM.

0AAMBDMC(SAS).

SZ.ABM=Z.DCM.

(2)0AAMB=ADMC.

WM=CM.

E1NMBC=Z.MCB=180°~70°=55°.

2

在矩形ABC。中,N48C=90°.

E1ZXBM=/.ABC-乙MBC=90°-55°=35°.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，根据矩形

性质，证明AAMB三△DMC,是解题的关键.

16.在矩形ABC。中,AC/。相交于点。，过点C作C£08£)交AO的延长线于点E.

B

⑴求证：^ACD^SECD.

⑵连接OE,若AB=2,tanEIACO=2,求OE的长.

【答案】⑴证明见解析

(2)OE=V37

【分析】(1)先证明四边形。8CE为平行四边形，再证明即可得到答案.

(2)作。8垂直于AD于耳通过矩形的性质结合已知条件求得。4HE的长，进而由勾股定理可得到答案.

【详解】(1)证明：0A。回8C,DE为A。的延长线

^DE3\BC

XEC£E1B£)

13四边形O8CE是平行四边形

^DE=BC

在矩形中,BC=AD

^ADC=4EDC=90°^\DE=AD

又I3CD=CD

EIAADC=KEDC

0ZXCO=乙ECD

(2)解：如图，作。X垂直于AD于H,即有。HEICD

AHD„

B

回点O为矩形对角线的交点，即点。为AC,8。的中点

SCD=AB=2,OA=OD

国点71为中点，即HD=3力江

0OH=-CD=1

2

AD

团tan乙4C。=—=2

CD

比4。=2CD=4

WE=DH+DE=3CD=6

在直角三角形O/ffi中

团。E=70H2+HE?=Vl2+62=V37

【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的证明，全等形证明，解直角三角形,熟练掌握相关知识是解题的关键.

17.如图，在由ABC。中/C乃0交于点。，且A。=B0.

(1)求证：四边形4BC0是矩形.

(2)的平分线。M交于点M,当ZB=3,tan/DBC=三时，求CM的长.

4

【答案】(1)见解析，(2)|

【分析】(1)由平行四边形性质和已知条件得出AC=8。即可得出结论.

(2)过点“作"61BD于点G,由角平分线的性质得出MG=MC.由三角函数定义得出BC=4,sinNACB=sin/DBC.,

设CM=MG=%则BM=4-x,在RtABMG中，由三角函数定义即可得出答案.

【详解】证明：(1)•••四边形4BCD是平行四边形.

•••AC=2A0,BD=2B0.

AO=BO.

AC=BD.

・•・团/BCD为矩形.

(2)过点M作MG1BD于点G,如图所示：

•・•四边形ABCD是矩形.

•••乙DCB=90°.

••・CM1CD.

・・•DM为4引兀的角平分线.

・•.MG=CM.

•・•OB=OC.

^.ACB=Z-DBC.

AB=3,tanzDj5C=

4

2AR

•••tanZ-ACB=tanZ-DBC=-=—.

4BC

・•.BC=4.

AC=BD=VBC2+CD2=V32+42=5,sinN力CB=sinzOSC=—=

设CM=MG=x,则BM=4-x.

在4BMG中/BGM=90°.

sinzDBC=

4-x5

解得：X=|.

CM=

2

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理,三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和

三角函数定义是解题的关键.

18.如图,矩形力BCD中,对角线2C与相交于点。，DE〃立交BC的延长线于点£.

(2)若&。=4,。05刻£>8=!求4。的长.

【答案】(1)见解析，(2)AO=|.

【分析】(1)由矩形的性质和平行四边形的判定定理推知四边形ACE。是平行四边形，则由该平行四边形的性质证得

1，从而证得结论.

(2)由三角函数的定义求得AC=8£>=5,再由矩形的性质进行解答即可.

【详解】解：(1)如图,在矩形ABC。中,138G且AD=BC.

0AD0BC.

^ADB=SDBE,AD^\CE.

0DE0AC.

团四边形ACED是平行四边形.

^\DE=AC,

团BD=DE.

^\DBE二团E.

团财05二团E.

、4

(2)^AD=4,cos^ADB=~.

^AD4

[E-=

BD5

国BD=5.

由矩形的性质知,4。二8。二5,4。二。0二)。.

^AO=~.

2

【点睛】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数,解题时，充分利用了矩形的对角线相等，矩形的对边平行且相等的性质.

19.在平行四边形ABCD中，过点D作DESAB于点E,点、P在边CD上刀尸=BE,连接AF.BF.

(1)求证：四边形8EDE是矩形.

(2)若CP=6,tanC=mC=16,求证：AF平分EID48.

【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析

【分析】。)先求出四边形次X»E是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可.

(2)由三角函数定义求出BF=：CF=8,由勾股定理得出8c=10,由平行四边形的性质得出AB团CD,AD=BC=10^|

054尸=团。阴，证AQ=O凡贝帆D4尸=团。朋，得出回84尸=即“尸即可.

【详解】解：(1)证明：回四边形ABC。是平行四边形.

陋B回DC.

@DF=BE.

团四边形是平行四边形.

团。£国48.

团团。E3=90°.

团四边形BFDE是矩形.

(2)证明：团四边形5尸。正是矩形.

^\BFC=^\BFD=90°.

4BF

[?]CF=6,tanC=-=—.

4

^\BF=-CF=8.

3

团四边形ABCD是平行四边形.

^AB^\CD,AD^BC=W.

^1BAF=^DFA.

团。C=16.

^DF=DC-CF=16-6=10.

^\AD=DF.

^\DAF=^\DFA.

^1BAF=^DAF.

她尸平分团D4艮

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用,解直角三角形，平行线的性质,等腰三角形的

性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键.

20.如图，在Aaoc中,。4=0C,。。是AC边中线.延长40至点B,作NCOB的角平分线。”，过点C作CF1。”于点F.

(1)求证：四边形CDOF是矩形.

（2）连接DF,若cosA=|,CF=8,求DF的长.

【答案】（1）详见解析，（2）10.

【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一得出。。14C,。。平分乙4。，再根据角平分线的定义可得NCOF

从而可得AD0F=90。,然后根据垂直的定义可得NCF。=90。,最后根据矩形的判定即可得证.

（2）如图（见解析），连接DF,先根据矩形的性质得出。。=CF=8,。。=DF,再在RtAA。。中，利用余弦值，勾股定理可

求出0A的长，从而可得0C的长,由此即可得出答案.

【详解】（1）回在Aaoc中,。a=。。,。。是ac边中线

团。。14C,0D平分N40C（等腰三角形的三线合一）

EIZODC=90°,/.COD=-/.AOC

2

0。//平分“。8

0ZCOF=izCOS

2

^AOC+（COB=180°

ill

⑦乙COD+乙COF=-/-AOC+-Z.COB=-（AAOC+乙COB）=90°

22217

即乙。。尸=90°

0CF1OH

国乙CFO=90°

团四边形CDOF是矩形.

（2）如图，连接DF

由（1）知,四边形CDOR是矩形

・

..OD=CF=8fOC=DF

•・•OD1AC,即NA。。=90°

・•.△Z。。是直角三角形

在ZOO中.

cos?l=券=g设AD=3%,则04=5%

由勾股定理得：OD=VOX2-AD2=4x=8

解得％=2

。4=5'=5x2=10

又・・•0C=OA,OC=DF

.・.DF=0A=10.

c

H

AOB

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，余弦三角函数值等知识点，较难的是题(2),利用余弦三角函

数值和勾股定理求出0A的长是解题关键.

【题型3菱形】

21.如图,四边形4BCD中,对角线AC与BD相交于点。,48