2025年北京数学中考二轮专项复习：圆填空题分类训练（5种类型50道）含详解

专题03圆填空题分类训练（5种类型50道）

目录

【题型1求角度】...............................................................................1

【题型2求线段长1.....................................................................................................................2

【题型3求三角函数值】........................................................................4

【题型4求面积周长】...........................................................................6

【题型5最值问题】.............................................................................8

【题型1求角度】

1.如图，点A,8,C在。。上/B4C=55。,则NBOC的度数为<

2.如图,P4PB分别切。。于点4B,Q是ACB上一点，”是48上一点.若NP=40。,则N"的度数是

3.如图，点在O。上，若乙4。8=128。,则"=

4.如图,4B是半圆。的直径，点C,D在半圆。上.若NC4B=20。,贝|乙4。。的度数为

5.如图。的直径4B垂直于弦CD/C4B=38。,则NBCD='

C

6.如图,4B是。。的直径刀在弦BC的延长线上,CD=BC.ZM的延长线交O。于点E,若乙DAB=130。,则NE的度数

为.

D

7.如图,P4,PB是。。的切线,A,B为切点，力C是。。的直径/ACB=50。,则"的度数为'

8.如图，在O。中/B切O。于点4连接。B交。。于点C,过点4作4。IIOB交。。于点。，连接CD.若N0B4=50。,则NOC。

9.如图,48,C是O。上的三点，则N40B=78。,则N2C8=度.

10.如图是。。的直径，弧8。=弧（:。=弧£）&若A40E=75。,贝IJNBOC=1

【题型2求线段长】

11.如图,P4PB是O。的切线,切点分别是点A和即1C是O。的直径.若NP=60°,PA=6,则8c的长为

AP

12.如图/B是。。的弦,C是力B的中点，连接OC并延长交O。于点D.若CD=1,AB=4,则O。的半径是

13.如图。的半径为10,弦4B的长为12,。。14B,交4B于点。，交O。于点C,则。。=.

14.如图，在△ABC中，已知N&BC=90。,在48上取一点E,以BE为直径的O。恰与AC相切于点D.若4E=2,AD=4.则

BE=,BC=.

15.如图是O。的直径,是O。的弦,4B1CD,垂足为点&CD=8cm,4B=10cm,则AE=

16.如图,0力是。。的半径,BC是。。的弦,041BC于点D/E是。。的切线/E交0C的延长线于点E.若乙40C=

60°,BC=3,则线段4E的长为.

17.如图,4B是O。的直径,CD是O。的一条弦,4B1CD,连接",。£).若NC4B=30。,04=2,则CD的长是

18.如图是。。的直径，弦CD1AB于点E,4C=CD,如果AC=2百则。。的半径长为

19.如图ABC是O。上的点,041BC,点。在优弧品上，连接BD,AD.^^ADB=30°,BC=2B,则。。的半径为

20.如图A瓦D三点在半径为5的O。上,AB是O。的一条弦,且。。12B,垂足为C,若48=8,则。。的长为

21.如图为。。的弦，。为。。上一点,。C14B于点D.若。A=V10,AB=6,则sinNOHD=

B

22.如图,AB为。。的弦，。为。。上一点,。C14B于点D.若。4=410,AB=6,贝肚anNdOD=

23.如图，力B为O。的弦,C为。。上一点,0C1AB于点D.若。4=V10,AB=6,则COSNA。。=

B

24.如图，己知48是O。的直径，点C,D在O。上，且4B=5,4C=4.贝！|tan乙4DC=

25.如图,半径为1的O。与边长为3次的等边三角形ABC的两边AB,BC都相切.连接。C,贝UtanNOCA=

26.如图。是△ABC的外接圆,。B=V13,BC=4,则tan力的值为

A

O

BC

27.如图,在平面直角坐标系中，回。经过点A(4,3)，点B与点C在y轴上，点8与原点。重合，且AB=AC,AC与回。交于

点。，延长AO与回。交于点E,连接CE,DE与x轴分别交于点G4,则tanSDFO=,tan0A=

28.如图，在0ABe中,AB=AC,8C=8.00是0ABe的外接圆，其半径为5.若点A在优弧8C上，则tanBBAC的值为

29.如图，边长为1的小正方形网格中，点4B,C,D,E均在格点上,半径为2的02与BC交于点F,则taMDEF=

30.如图，在圆内接四边形ABC。中,EIC=20A,则cosA=

【题型4求面积周长】

31.如图，力B是回。的直径,4C是国。的弦，点。是弧4C上的中点,4C=8,071=5,连接4£)乃。,则A4B。的面积是.

32.如图用。的半径为2,正八边形ABCDEFGH内接于回。,对角线CE,。尸相交于点M则回MEF的面积是.

33.如图，圆0的半径为1/4BC是圆0的内接等边三角形，点D.E在圆上，四边形EBCD为矩形，这个矩形的面积是.

34.如图,P4PB,MN分别与。。相切于点4B,C三点.若4P=2.5,则APMN的周长为

35.如图,P4P8分别与。。相切于点48,点C为劣弧脑上的点，过点C的切线分别交P4PB于点M,N.若P4=10,则

△PMN的周长为

36.如图。是AaBC的内切圆，点，E分别为边4B/C上的点，且DE为O。的切线，若△28C的周长为25,BC的长是9,则

△4DE的周长是

A

37.如图,△ABC的内切圆。。与力B,BC,AC相切，切点为。E,F,若AD=2,BC=6,则△力BC周长为

38.如图,P4PB分别与O。相切于点4B,点C为劣弧脑上的点，过点C的切线分别交P4PB于点M,N.若PA=8,则4

39.如图,P4PB是。。的两条切线，切点分别为4B,连接。40B,0P,4B.若。4=1,^APB=60。,则4P4B的周长

为.

40.如图,已知回。上有三点4B,C,半径OC=2,回A8C=30。,切线AP交OC延长线于点尸,则回。4尸的周长为

【题型5最值问题】

41.如图,CD是O。的直径,CD=8,^ACD=20。,点B为弧4D的中点，点尸是直径CD上的一个动点，则P2+PB的最小值

为

42.如图，在RtAABC中/4CB=90°,BC=2,AC=2百,是以斜边48为直径的半圆上一动点,M为PC的中点，连接8M,则

BM的最小值为

43.在O。中,48是O。的直径,4B=8cm,AC=6=反是4B上一动点,CM+DM的最小值是cm.

44.如图,。。的半径是2,点P是直线y=-尤+4上一动点，过点P作。。的切线,切点为4连接。4OP,则4P的最小值

为.

45.如图，在RtaABC中,4B=3,BC=4,经过点B且与边AC相切的动圆与4B,BC分别相交于点P,Q,则线段PQ的最小

值为

46.如图,已知以BC为直径的。。,4为弧BC中点,P为弧4C上任意一点,4。1AP交BP于。连CD,若BC=6,则CD的最小

值为.

A

47.如图,4B是。。的直径,C为O。上一点1OC,P为圆上一动点，〃为力P的中点，连接CM,若。。的半径为4,则CM长

的最大值是.

P

48.如图,A,B为O。上两点，乙40B=90。（为。。上一动点（不与A乃重合）,。为4c的中点.若O。的半径为2,则B0的

49.如图/C是。。的弦,"=6,点B是。。上的一个动点，且乙4BC=60。,若点M、N分别是ZC、BC的中点，则MN最大值

是.

50.如图,是。。的直径,C为。。上一点，且4B1OC,P为圆上一动点"为AP的中点，连接CM.若。。的半径为2,则CM

C

专题03圆填空题分类训练（5种类型50道）

目录

【题型1求角度】...............................................................................1

【题型2求线段长1.....................................................................................................................2

【题型3求三角函数值】........................................................................4

【题型4求面积周长】...........................................................................6

【题型5最值问题】.............................................................................8

【题型1求角度】

1.如图，点A,8,C在。。上/B4C=55。,则NBOC的度数为

【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键.

根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可.

【详解】解：回点4B,C在o。上=55。.

•••乙BOC=244=110°.

故答案为：110.

2.如图,P4PB分别切。。于点4B,Q是的8上一点，”是脑上一点.若NP=40。,则N”的度数是

【分析】本题考查切线性质，圆内切四边形对角互补，圆周角定理，连接。4OB,根据切线性质可得N04P=4OBP=90。,

再根据四边形的内角和为360。求得乙4OB,然后利用圆周角定理，圆内接四边形对角互补即可求解.

【详解】解：如图所示,连接。4、OB.

SZ.OAP=/-OBP=90°.

又回乙P=40°.

^AOB=360°—90°—90°-40°=140°.

i

回“=*40B=70°.

团四边形力HBQ是圆内接四边形.

0ZW=180°-ZQ=110°

故答案为：110°.

3.如图，点A,B,C在。。上，若N力。B=128。,则NC=.

【答案】116°

【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等成为

解题的关键.

如图：作ACB所对的圆周角N4DB,根据圆周角定理得到乙4DB=/乙4。8=64。,然后根据圆内接四边形的性质求解即可.

【详解】解:如图：作4％所对的圆周角N4DB.

E1ZXOB=128°.

^ADB=-AAOB=64°.

2

团4O+ZC=180°.

0ZC=18OO-64°=116°.

故答案为：116。.

4.如图MB是半圆。的直径，点在半圆。上.若乙C4B=20。则乙4DC的度数为

【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握〃直径所对的圆周角是直角〃，〃圆内接四边形对角互补〃等知识点是解题的关

键.根据直径所对的圆周角是直角，可得N4CB=90。,从而求出AB,再根据圆内接四边形对角互补，即可解答.

【详解】解:•••AB是半圆。的直径.

.­.AACB=90°.

•••/.CAB=20°.

•••NB=90°-4CAB=90°-20°=70°.

•••四边形4BCD是圆。的内接四边形.

.­.Z.ADC+ZB=180°.

.­./.ADC=180°一4B=180°-70°=110°.

故答案为：110。.

5.如图。的直径AB垂直于弦CD/C2B=38。,则NBCD='

【答案】38

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，由垂径定理得出CB=0®,推出NB4D=ACAB=38。,再由圆周角定理即可得

解.

【详解】解：国。。的直径4B垂直于弦CD.

EICB=DB.

^BAD=乙CAB=38°.

0ZBCD=4BAD=38°.

故答案为：38.

6.如图是O。的直径,。在弦BC的延长线上,CD=BC.的延长线交O。于点E,若乙DAB=130。,则NE的度数

【答案】25725S

【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，直线三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据直径所对的圆周角是直角求

出N4EB=90。,根据直角三角形斜边上中线的性质得出CE=CD,根据等边对等角和圆周角定理可得出ND=乙CED=

乙4BC,在RtAABE中，根据三角形内角和定理可求出〃BE=40。,然后在Rt△DBE中，根据三角形内角和定理可求出

乙48c的度数，即可求解.

【详解】解：连接BE.

S\Z.DAB=130°.

^/.BAE=50°.

MB是O。的直径.

回乙4EB=90°.

又CD=BC.

1

ME=-BD=CD.

2

⑦乙CED=Z-D.

又乙CED=乙ABC

团乙0=乙ABC.

^BAE=50°,ZT4EB=90°.

^ABE=40°.

团4O+A.DBA+乙ABE+乙BED=180°.

^ABC+乙CBA+40°+90°=180°.

^Z-ABC=25°.

回乙AEC=25°.

故答案为：25°.

7.如图产4PB是。。的切线AB为切点,AC是。。的直径/ACB=50。,则NP的度数为'

【答案】80

【分析】本题主要考查切线的性质,熟练掌握切线的性质是解题的关键，由题意易得N4CB=AOBC=50。,N04P=

△OBP=90。,然后问题可求解.

【详解】解：ap4PB是。。的切线.

^Z.OAP=乙OBP=90°.

团。C=OB.

^ACB=乙OBC=50°.

国乙AOB=2Z.ACB=100°.

团ZP=360°-^AOB-Z.OAP-乙OBP=80°.

故答案为80.

8.如图，在。。中切。。于点4连接。B交。。于点C,过点/作AD||。8交。。于点D,连接CD.若乙。84=50。,贝此。

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题

的关键.连接。4由切线的性质得出NOAB=90。,结合/。84=50。,得出乙4。8=40。,由圆周角的性质得出NADC=20°,

再由平行线的性质得出NOCO=^ADC=20°.

【详解】解：连接。4如图.

・・•切。。于点4

・•・4OAB=90°.

•・•Z.OBA=50°.

・・・乙AOB=40°.

AADC=-£.AOB=20°.

2

vAD||OB.

・••Z.OCD=乙ADC=20°.

故答案为：20°.

9.如图，4SC是O。上的三点，则乙4。8=78。,则乙4cB=度.

【答案】39

【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

根据圆周角定理即可直接得出答案.

【详解】解：根据圆周角定理,可得：

11

Z.ACB=-/.AOB=士x78。=39°.

22

故答案为：39.

10.如图,4B是。。的直径，弧8。=弧。。=弧£）瓦若N40E=75。,贝IJNBOC=1

【答案】35。

【分析】本题考查了等弧的圆周角相等，熟记等弧的圆周角相等是解答本题的关键.

先求出NEOB=105。,再根据等弧的圆心角相等得到ZBOC=]/EOB即可求解.

【详解】解：••・N40E=75°.

•••乙EOB=105°.

♦.•弧BC=MCD=弧DE.

LBOC=乙EOD=乙COD=-Z.EOB=1X105°=35°.

33

【题型2求线段长】

11.如图,P4PB是。。的切线,切点分别是点A和8/C是。。的直径.若"=60°,PA=6,则BC的长为

【答案】2V3

【分析】根据切线长定理,结合已知条件，可得AP/IB为等边三角形，继而求得力B的长度，结合切线的性质定理与圆周角定

理，利用解直角三角形即可求解.

【详解】

C

解：如图，连接2B.

•••P4PB是。。的切线.

PA=PB.

■■■乙P=60°.

.•・△P4B为等边三角形.

•••AB=PA=6,4PAB=60°.

•••P4是。。的切线.

APAC=90°.

•••^CAB=^PAC-"AB=90°-60°=30°.

•••AC是。。的直径.

AABC=90°.

在RtAABC中.

BC=AB-tanNC力B=6xtan30°=6x—=2百.

3

故答案为：2g.

【点睛】本题考查了切线长定理,切线性质定理，圆周角定理，等边三角形性质，解直角三角形的知识点，熟练掌握这些性质

和定理是解题的关键.

12.如图,4B是O。的弦,C是48的中点，连接0c并延长交O。于点D.若CD==4,则O。的半径是.

【答案】|

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.

连接。4根据垂径定理得出AC=\AB=2,0C14B,根据巩固定理可得0屁=0C?+"2,列出方程求解即可.

【详解】解：连接04

0AC=|XS=2,0C1AB.

SOA2=OC2+AC2,^OA2=(02-I)2+22.

解得：=也

故答案为：|.

13.如图,O。的半径为10,弦力B的长为12,。。14B,交2B于点。，交O。于点C,则。。=.

【分析】根据垂径定理可得4。=\AB=6,再由勾股定理计算即可.

本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键.

【详解】解：回。。的半径为10.

回。2=10.

0OD1AB,AB=12.

EL4D=-2AB=6.

在RtA4。。中，由勾股定理得：OD=yJOA2-AD2=V102-62=8.

故答案为：8.

14.如图，在AABC中，已知NHBC=90。,在4B上取一点瓦以BE为直径的O。恰与"相切于点D.若4E=2,AD=4.则

BE=,BC=

c

【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，利用切线的性质得到。。1AC,设。。的半径为％则

0E=OB=0D=xfAO=2+匕在Rt△4。0中，利用勾股定理建立等式求出式的值，进而得到再证明△AOD-△

ZCB,利用相似三角形性质求出BC,即可解题.

【详解】解：如图，连接0D.

••・0D1AC.

设。。的半径为x.

则OE=0B=0D=x.

AO=AE+OE=2+%.

在Rt△4。。中，由勾股定理可得4。2=0D2+AD2.

即(2+x)2=x2+42,解得久=3.

.・.BE=2x=6.

AB=AE+BE=2+6=8.

•••/.ABC=乙ADO=90°^OAD=乙CAB.

•••△AOD〜AACB.

.AD_OD

••AB-BC'

pr-t43

即-=—.

8BC

解得BC=6.

故答案为：6,6.

15.如图,AB是O。的直径,CD是O。的弦，力B1CD,垂足为点E,CD=8cm,AB=10cm,则AE=

【答案】2cm

【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理,解题的关键是熟练掌握垂径定理.结合题意，由垂径定理可得垂直平分CD,

然后在RtACE。中运用勾股定理求得0E即可求解.

【详解】解：由题意可知,48垂直平分CD,。。=0A=1AB=5cm.

CE=-CD=4cm.

2

在Rt△CE。中,OE=70c2—CE2=V52-42=3(cm).

••・AE=OA—OE=2cm.

故答案为：2cm.

16.如图是。。的半径,BC是O。的弦1BC于点。&E是O。的切线，力E交。C的延长线于点E.若乙40c=

60°,BC=3,则线段AE的长为.

【答案】3

【分析】本题考查切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理.连接力B,由切线的性质推出半径。414E,而。41

CB,判定BCII4E,求出N0CD=90°-60°=30。,由圆周角定理得至(kABC=|ZXOC=30。,因止匕/ABC=NOCD,推出

4BIICE,即可证明四边形48CE是平行四边形，推出力E=BC=3.

【详解】解:连接4B.

•.TE是。。的切线.

半径。41AE.

•••OA1CB.

S\BC\\AE.

•・•AO1BC.

・・・Z.CDO=90°.

•・・/,AOC=60°.

・•.A.OCD=90°-60°=30°.

•・•/LABC=-/-AOC=30°.

2

•••Z-ABC=Z.OCD.

^ABWCE.

••・四边形ABCE是平行四边形.

AE=BC=3.

故答案为：3.

17.如图,4B是。。的直径,CD是。。的一条弦,1CD,连接4C,。。.若NC4B=30°,OA=2,则CD的长是

【答案】2V3

【分析】连接。C,由圆周角定理得NCOE=2乙ACB=60。,由垂径定理得NOCE=90°-60°=30。,CD=2CE,进而根据勾

股定理即可得解.

【详解】解：连接。C,如图所示.

0ZCXS=30°.

EINCOE=2乙4cB=60°.

EL4B1CD,48是直径.

0ZOCF=90°-60°=30°,CD=2CE.

1

团。E=-OC=1.

2

ME=V22-l2=V3.

(BCD=2CE-2V3.

故答案为：2b.

【点睛】本题考查了圆的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理

是解题的关键.

18.如图,4B是O。的直径，弦CD12B于点=CD,如果AC=2值则。。的半径长为.

【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用,

如图，连接4D,0C,证明△ABC为等边三角形，再进一步解答即可.

【详解】解：如图，连接AD,OC.

团CE=DE,AC=AD.

MC=CD.

财C=CD=AD.

0AABC为等边三角形.

^ACD=60°,ACAE=90°-60°=30°.

团CE=V3.

回。/=OC.

团乙OCA=Z.OAC=30°.

团乙OCE=60°-30°=30°.

CE_V3_2

团C。

cos30°叵

故答案为：2

19.如图,A,5C是。。上的点,。41BC,点。在优弧北上，连接BD,4D.若乙4DB=30°,BC=28,则。。的半径为

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识点，连接。8,可得N40B=2乙ADB=60。,根据BE=|fiC=b即可求解.

【详解】解：连接08,如图所示：

回乙4OB=2/.ADB=60°.

M41BC.

^E=\BC=^

BE

WB

sin60°

故答案为：2

20.如图♦三点在半径为5的。。上第B是。。的一条弦，且0D14B,垂足为C,若AB=8,则。C的长为

【答案】3

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得出AC=BC=4,然后根据勾股定理求出结果即可.

【详解】解：0OD1AB.

^AC=CB=-AB=~X8=4.

22

国O。的半径为5.

00C=y/OA2-AC2=3.

故答案为：3.

【题型3求三角函数值】

21.如图,4B为。。的弦,C为。。上一点,OC14B于点D.若。4=VIU/B=6,则sin/OAD=

B

【答案】噂

本题考查了垂径定理，勾股定理，求正弦值，根据垂径定理得出4。=3,勾股定理求得。。=1,根据正弦的定义即可求解.熟

练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】解：I30C1AB

^AD^DB=\AB=3.

在Rt△AD。中刀。=，4。2一月。2=L

.八.nOD1VTo

m^\smZ-OAD=——=-==——.

OAVio10

故答案为：f

22.如图为。。的弦,C为。。上一点,0C1AB于点D若。力==6,则tan乙4。£»=

【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形,先利用垂径定理得到4。=3,再利用勾股定理求得0D,然后利用正切

定义求解即可.

【详解】解：回。C1AB,AB=6.

EL4D=|2B=3/4。。=90。,又。2=V10.

SOD=y/OA2-AD2=J(V1可2-32=i.

回tan/Z。。=—=3.

OD

故答案为：3.

23.如图MB为。。的弦，为。。上一点,。。1AB于点。.若0A==6,则cos乙4。。=.

B

【答案】等

【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了解直角三角形.先利

用垂径定理得到4。=3,再利用勾股定理计算出。。，然后根据余弦的定义求解.

【详解】解：I30C1AB,AB=6.

0Z4OO=90°,AD=BD==3.

在RtAAOD中,。4=V10.

^iOD=OD=VOX2-/ID2=1.

「scOD1V10

团cos乙4。。=—=-p==——.

OAV1010

故答案为：甯.

24.如图，己知48是。。的直径，点C,D在。。上，且48=5,4。=4.贝！Itan/ADC=.

【答案】：

【分析】根据直径所对圆周角是直角，在ABC中应用勾股定理可求BC的长度，进而求出tan/ABC的值,根据同弧所对

圆周角相等，可得出乙4DC="BC,即可求解，本题考查了，勾股定理，求锐角三角函数值，直径所对圆周角是直角，圆周角定

理推论，解题的关键是：综合已知知识点,找到所求角的等角.

【详解】解：•••48是。。的直径.

・•・乙ACB=90°.

又•・•AB=5,AC=4.

BC=y/AB2-AC2=7s2-42=3.

・••tan乙48C=—=

BC3

•・•乙ADC=Z.ABC.

4

•••tanZ.ADC=tanZ-ABC=

3

故答案为：条

25.如图,半径为1的。。与边长为3遍的等边三角形4BC的两边4B,BC都相切.连接。C,贝肚anN0C4=

【答案】詈

【分析】连接B。并延长，交4C于点0,易得BD1AC,A0BC=30。,过点。作。E1BC于点E,利用30度的直角三角形，求出

OB,8。,进而求出。。,即可得解.

【详解】解:连接B。并延长，交AC于点D,过点。作。E1BC于点E.

回半径为1的O。与边长为3旧的等边三角形48c的两边48,BC都相切.

0Z4FC=60°,AC=BC=3但0B平分乙4BC,0E=1.

EIZOBC=30°,BD1AC.

而。=2OE=2,BD=BC-cos^DBC=3百X3|,CZ)=>=^.

WD=BD-0B=l.

5L

回tanZ_cOkG44=—OD=5=——5V3.

CD3T9

2

故答案为：

【点睛】本题考查切线长定理，等边三角形的性质，解直角三角形.熟练掌握切线长定理，等边三角形三线合一，是解题的

关键.

26.如图。是△2BC的外接圆,。B=sJ13,BC=4,则tanA的值为

A

【答案】I

【分析】连接0C,过点。作OZMBC于。由等腰三角形的性质，得&8。£)=|&8。。乃。亭。=$4=2,在Rt^OBD中，由勾股定

理，求得0。=3,由圆周角定理可得财争BOC,则回8。。=a4,所以tanA=tan回BOD嗡=|.

【详解】解:连接OC,过点O作OZMBC于D.

^OB=OC,OD^\BC.

111

^\BOD=-^BOC,BD=-BC=-x4=2.

222

在RtLOBD中，由勾股定理，得

OD=y/OB2-BD2=/13)2-22=3.

aa4=i0BOC.

2

团团30。二她.

I3tanA=tan0BOZ)=—=

0D3

故答案为：|.

【点睛】本师考查等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，正切三角函数定义，作辅助线：过点。作ocaec于。，构造

直角三角形是解题的关键.

27.如图,在平面直角坐标系中，回。经过点A(4,3)，点B与点C在y轴上，点8与原点。重合，且4B=AC,AC与国。交于

点，延长AO与回O交于点E,连接CEQE与x轴分别交于点G/,则tanSDFO=tan0A=.

【答案】5y

【分析】由题意得，点A与E关于原点对称,AB=AC,可得E(-4,-3),00的半径为5,C(0,6),求得CE=742+(6+3)2=

V97，可得AC解析式为：丫=一：久+6,设。(m+6),结合半径为5,可得。(?，端)，即可求得ADQE的长度,

442525

由直径所对的圆周角是直角，便可求得tan/A的值，再表示出OE解析式为：y=[x+1,求出。M=(。尸=:的长，即可求出

tanzDFO的值.

【详解】由题意得，点A与E关于原点对称.

团。经过点A(4,3)

0A=5,E(-4,-3)

即回O的半径为5

■.■AB^AC

C(0,6)

CE=/+(6+3-=V97

设AC解析式为：y-kx+b

把A(4,3),C(0,6)代入得-=.4kub

6=b

K一

解得产_3

b=6

AC解析式为：y=—：x+6

4

设D(m,——m+6)

4

OD2—m2+(—+6)2=52

整理得25zn2_144m+176=0

解得码=H,g=4(舍去)

.\/■A44、92117、9214

•••^=J(4--)+(3--)=y

DE=（一4一第2+（—3—胃）2=当

由图得乙4DE=90°

DE481424

tanz_A=――=——：——=——

AD557

设£)E解析式为：y=krx+br

11744

把。嘿妥,E5)代入得｛型琮出

j

k1—_—4

解得｛9

瓦\

•••DE解析式为：y=1%+:

设。片与y轴交于点M

当％=0时,y=|，则。M=1

当y=0时,％=—Z,则。产=2

44

•・•^.MOF=90°

一CLCOM774

•••tanzDFO=—=一+—=一

OF343

故答案为：-

y【点睛】本题考查了求锐角三角函数，涉及直径所对的圆周角，一次函数的解析式，点的坐标等知识，熟练应用上述知识

是解题的关键.

28.如图，在0ABe中,AB=AC,BC=8.回。是BABC的外接圆淇半径为5.若点A在优弧BC上，则tanMAC的值为

【答案】|

【分析】连接OB,OC,AO,AO的延长线交BC于D,如图，根据线段垂直平分线的判定定理得到A0为BC的垂直平分线，则

BD=4,推出E1BACWB0D,再利用勾股定理计算出0D,然后根据正切的定义求解.

【详解】解：连接OB,OC,AO,AO的延长线交BC于D,如图.

E1AB=AC,OB=OC.

0AO为BC的垂直平分线.

0BD=CD=jBC=4,0BOD=0COD.

1

RBBAC二一R1B0C.

2

盟BAC二团BOD.

在RWBD中QD="52-42=3.

BD4

国tan回BAC=tan@BOD=一=一.

0D3

故答案为：*

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形外心的定义和外心的性质.也考查了解直角三角形，熟练

掌握这些知识点是解题关键.

29.如图，边长为1的小正方形网格中，点均在格点上泮径为2的OZ与BC交于点F,则tanWEF=.

【答案】I

【分析】根据圆周角定理得到NDEF=ND8F,根据正方形网格特点和正切函数定义即可求解.

【详解】解：回DF=DF.

EINDEF=乙DBF.

团在RtABCD中.

DC21

[EtanZ.DEF=tanZ-DBC=—=-=

BD42

故答案为：|

【点睛】本题考查了圆周角定理和求三角函数值.一般来说，初中数学中求角的三角函数值的方法有两种,一是构造直角

三角形，根据定义求解，二是将角进行转化求解.本题应用了第二种方法,要深刻领会.

30.如图，在圆内接四边形ABC。中,I3C=2EL4,则cosA=.

【答案w

【分析】首先利用圆内接四边形的性质及回C=2朋求得EA的度数，然后求其余弦值即可.

【详解】回四边形ABC。内接于圆.

丽A+回0180°.

团回C=2M,即3l?L4=180o.

盟L4=60°.

_1

!3cosA=cos60°=-.

2

故答案为：

【点睛】考查了圆内接四边形的性质及锐角三角函数的知识,解题的关键是求得回A的度数，难度不大.

【题型4求面积周长】

31.如图,4B是回。的直径,4C是回。的弦，点。是弧4C上的中点/C=8,0A=5,连接则ZL4BD的面积是

【答案】20

【分析】作辅助线，根据垂径定理可得0D回AC,AE=CE,根据勾股定理计算0E,AD的长,从而得BD的长，最后根据三角形面

积可解答.

【详解】连接0D,交AC于E.

El点D是AC上的中点,AC=8.

0AE=iAC=4,OD0AC.

酿AEO=©AED=90。.

回OA=5,AB=10

团0E=3.

团DE=5-3=2.

0AD=，22+42=2V5.

E1AB为00的直径.

00ADB=9O°.

BJBD^^AB2-AD2=J102-（2V5）2=V80=4A/5.

团则回ABD的面积是=,ADxBD=2居44=20.

故答案为：20.

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.

32.如图，回。的半径为2,正八边形ABCDEFGH内接于回O,对角线CE,。/相交于点M,^MEF的面积是.

【答案】2-V2

【分析】设OE交。尸于N,由正八边形的性质得出DE=FE^EOF=—=^,DE=在，由垂径定理得出［3。£尸=团。照=

8

回0即,。瓦。£得出回。日尸是等腰直角三角形,因此0N=WV=¥0P=VXl30RW=45。,得出EN=OE-OM=2-夜，证出

aEMN是等腰直角三角形，得出MN=EN,得出〃/=。£=2,由三角形面积公式即可得出结果.

【详解】解：设。£交。尸于N,如图所示：

回正八边形ABCDEFGH内接于团0.

国。£=尸2回£0尸=*=45°,力=FE.

^EOEF^OFE^SOED,OE3\DF.

瓯6WF是等腰直角三角形.

@ON=FN=*F=OFM=45。.

⑦EN=OE-OM—2-42^OEF=^\OFE=^OED=67.5°.

0[3CEZ)=0£)F£=67.5O-45°=22.5°.

EHMEN=45°.

国aEMN是等腰直角三角形.

©MN=EN.

^\MF=MN+FN=ON+EN=0E=2.

的面积/xEN=|x2x(2-&)=2-V2.

故答案为：2-五.

【点睛】本题考查的是圆的综合,难度系数较高，解题关键是根据正八边形的性质得出每个角的度数.

33.如图，圆0的半径为1/ABC是圆0的内接等边三角形，点D.E在圆上，四边形EBCD为矩形，这个矩形的面积是.

【分析】连接BDQC,根据矩形的性质得EIBCD=90。,再根据圆周角定理得BD为回0的直径，则BD=2,由ABC为等边三角形

得13A=60。,于是利用圆周角定理得到EIB0C=2回A=120。,易得回CBD=30。,在RtHBCD中,根据含30。的直角三角形三边的关

系得到CD=TBD=LBC=V^CD=V^然后根据矩形的面积公式求解.

【详解】连结BDQC,如图.

回四边形BCDE为矩形.

00BCD=9O°.

E1BD为回0的直径.

0BD=2.

0BABC为等边三角形.

S0A=6O°.

EEBOC=2E]A=120°.

而OB=OC.

EBCBD=30°.

在RtEIBCD中,CDWBD=1,BC=V5CD=B.

回矩形BCDE的面积=BC・CD=V^

故填：V3.

【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，圆周角定理，等边三角形的性质和矩

形的性质.

34.如图,P4PB,MN分别与。。相切于点4B,C三点.若4P=2.5,则APMN的周长为.

【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键.根据APMN的周长为：PM+PN+MN=PM+

PN+MC+NC,结合MC=MA,NB=NC,BP=AP,代换计算即可.

【详解】解：；直线2445〃%分别与0。相切于点48,，4。=25

MC=MA,NB=NC,BP=AP=2.5.

△PMN的周长为：PM+PN+MN=PM+PN+MC+NC=PM+MA+PN+NB=AP+BP=5.

故答案为：5.

35.如图,P4PB分别与O。相切于点点C为劣弧脑上的点，过点C的切线分别交P4PB于点M,N.若P4=10,则

APMN的周长为.

【分析】本题考查切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键.

由切线长定理可得出答案.

【详解】解：：P4PB,MN是O。的切线,P4=10.

MA=MC,NC=NB,PA=PB=10

.•.△PMN的周长为：

PM+MC+NC+PN=PM+MA+NB+PN=PA+PB=20.

故答案为：20.

36.如图,O。是△2BC的内切圆，点，E分别为边AB/C上的点，且DE为O。的切线，若△48C的周长为25,BC的长是9,则

△4DE的周长是.

【分析】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键.根据切线长定理，可得B/=BG,C/=

CH,DG=DF,EF=EH,则C-DE=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH

(\ABC一(BG+CH+BC),据此即可求解•

【详解】解：如图，设力B与。。相切于点G,4C与O。相切于点H,BC与G)。相切于点IQE与。。相切于点F.

BI=BG,C1=CH,DG=DF,EF=EH.

•••BG+CH=BI+CI=BC=9.

CAADE=AD+AE+DEAD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=CAABC-(BG+EH+BC)=

25-2x9=7.

故答案为：7.

37.如图,AABC的内切圆O。与4B,BC,4C相切，切点为£>,E,F,若AD=2,BC=6,则△ABC周长为—.

【答案】16

【分析】本题主要考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键.根据切线长定理即可得解4。=AF.BD=BE,从而

利用三角形的周长公式即可得解.

【详解】国△4BC的内切圆。。与A8,BC,2C相切,切点为D,E,F.

0AD=AF,BD=BE.

设BD=久，则BE=x,AD=AF=2.

EIAABC的周长=4。+AF+BD+BE+EC+CF=(2+x+6-x)x2=16.

故答案为：16.

38.如图,P4PB分别与。。相切于点A,B,点C为劣弧脑上的点，过点C的切线分别交P4PB于点M,N.若P4=8,则4

PMN的周长为____.

【答案】16

【分析】本题考查切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键.

由切线长定理可得出答案.

【详解】解：P4,PB,MN是。。的切线,P4=8.

MA=MC,NC=NB,PA=PB=8

.•.△PMN的周长为：

PM+MC+NC+PN=PM+MA+NB+PN=PA+PB=16.

故答案为：16.

39.如图,P4PB是O。的两条切线，切点分别为4B,连接tM,08,0P,4B.若。4=1,乙4PB=60。,则AP/W的周长

为.

【答案】3V3

【分析】根据切线长定理和切线的性质可得,PA=PB,OA1PA,OP平分乙4PB,贝“NAP。=乙BPO=［乙4PB=30°,APAB

为等边三角形，先计算出P4