2025年北京高考数学二轮复习热点题型专练：平面向量与复数（9类题型全归纳）（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题08平面向量与复数

o----------题型归纳•定方向------------♦>

目录

题型01用基底表示向量.........................................................................I

题型02平面向量共线定理推论...................................................................4

题型03向量数量积（几何意义法）...............................................................7

题型04向量数量积（自主建系法）..............................................................11

题型05向量数量积（极化恒等式法）...........................................................15

题型06向量投影（投影向量）..................................................................19

题型07向量模（含最值范围）..................................................................22

题型08向量夹角（含最值范围）................................................................24

题型09复数的四则运算........................................................................28

*>----------题型探析,明规律-----------令

题型01用基底表示向量

【解题规律•提分快招】

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量有且只有一对实数4，4，

使〃=4,+l2e2.

*窕祠m72023%言年否三稹3而囱丁歪工4面市17万万万己正正西币殡;碧7百茄而市百「而正二

1—►3—►

B.——AB——AC

44

1—►5―►1—►3—►

C.-AB——ACD.-AB——AC

4444

【答案】D

【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

［详解］CE=CA+AE=CA+^AD=CA+^(CD-CA^=^CA+^CD

=-CA+-CB

24

=1C4+1(^_^C)

=_1^C+1(ZB-^C)

AACLAB.

=4+4

故选：D

【典例1-2】(2023,北京海淀•一模)在△4BC中，ZC=90°,48=30。，/A4c的平分线交BC于点D.若

—►—.—►4

AD=AAB+//^C(A,//GR),则一=()

A

11

A.-B.—C.2D.3

32

【答案】B

【知识点】平面向量基本定理的应用

【分析】设NC=1,由角平分线定理求得黑，然后由向量的线性运算可用刀,就表示出血，从而求得

入,",得出结论.

【详解】设/。=1,因为/。=90。，/5=30。，所以48=2,

CDAC11

又4。是/A4c的平分线，所以==-^=；,CD=-BC9

BDAB23

AD=AC+CD=AC+^CB=AC+^(AB-AC)=^AB+^AC,

—.—.—.12

yiAD=AAB+JuAC,所以％=§,〃=§,

所以：=

故选：B.

【变式1-1］(2023•北京西城•一模)已知P为△43。所在平面内一点，BC=2CP,则()

A.AP=--AB+-ACB.AP=-AB+-AC

2233

C.AP=-AB--ACD.AP=-AB+-AC

2233

【答案】A

【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用

【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.

【详解】由题意作出图形，如图，则

=」存+3就，

22

故选：A.

【变式1-2](23-24高三上•北京•阶段练习)如图，在△/BC中，。是5C的中点.若丽=£,万3=知则工=

()

__1_1一一___

A.3a—2bB.—+—C._〃+2加D.a-2b

【答案】D

【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用

【分析】根据向量的线性运算即可求解.

【详角军】AC=JC-BA=2DC-BA=2{DA+AC^-BA=2b+2AC-af

所以/C=a-2b

故选：D

【变式1-3](23-24高一下•北京丰台•期末)在△43C中，点D是边45的中点.记0=£,CD=b,则而=

()

A.—a-2bB.—a+2bC.a-2bD.a+2b

【答案】B

【知识点】用基底表示向量

【分析】利用向量的线性运算直接求解即可.

【详解】如图，因为。为边的中点，

所以丽=声+而=5+1。一!声=1四+工赤,

2222

所以至=2而_而=2加一屋

故选：B.

题型02平面向量共线定理推论

【解题规律•提分快招】

OA=AOB+/nOB（2,〃为实数），若N,B,。三点共线=几+〃=1

—►1►

【典例1-1］（2024•浙江宁波•模拟预测）已知A45C是边长为1的正三角形，AN=gNC,P是BN上一点、

—►—►2—►—

且4尸=加45+§/。，则方（）

212

A.—B.—C.—D.1

993

【答案】A

【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论

【分析】根据题意得/P=冽/3+"N,由尸㈤N三点共线求得加=§,利用向量数量积运算求解即可.

■,■*I---------------1------»------►------*}-------*------*X-------*

【详解】由NN=§NC,^AN=-AC,AP=mAB+-AC=mAB+-AN,

Q1

而尸,8,N三点共线，则机+1=1,即机=；,

—1—•2—

所以,

所以〃.益=［次+噂可.砺=g+：xcos60o=|.

故选：A.

【典例1-2］（2023高三・全国・专题练习）已知ZUBC的重心为G,经过点G的直线交48于。，交/C于

E,若而=2次,AE=“AC,则彳+―=.

【答案】3

【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论

—11一1I

【分析】先由向量的线性运算求得/G=7T/。+丁么£,再由G,D,E三点共线得二+丁=1,即可求得

【详解】

如图，设尸为3C的中点，贝1］就=；左=：（刀+就），又与=?而，AC^-AE,

33'）A〃

___1__.1___1111

则/G=4D+「/E,又G,D,£三点共线，.+丁=1,即7+—=3.

73/Ti3jU343〃z//

故答案为：3.

【变式1-1］（2024•河北•模拟预测）己知点4B,C是直线/上相异的三点，。为直线/外一点，且

2OA=3OB+XOC,则几的值是（）

11

A.-1B.1C.——D.-

22

【答案】A

【知识点】平面向量共线定理的推论

【分析】化简得+再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可.

22

___.32--

【详解】2OA=3OB+AOC，即。/.。台+彳。。，

因为点4瓦C是直线/上相异的三点，则点A,B,C三点共线,

q2

则5+5=1，解得4=-L

故选：A.

【变式1-2]（2024•天津河北•二模）△4BC是等腰直角三角形，其中Z8，/C,CS|=1,尸是△4BC所在平

面内的一点，若。=20+〃Q（2>0,//>0<2+2//=2）,则而在而上的投影向量的长度的取值范

围是（）

A.卜字B.当,1C.[1,V2]D.[V2,2]

【答案】B

【知识点】向量与几何最值、平面向量共线定理的推论、求投影向量

【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解.

【详解】设函=253,CP=XCA+!uCB（2N0,〃W0且2+2〃=2）,

__,夕___k2

则乐=5函+〃而（A>0,〃20且,+〃=1）,

则尸在线段02上，如图所示，

当尸与。重合时，声在坛上的投影向量的长度取得最大值，最大值为1。图=1;

当P与B重合时，而在齐上的投影向量的长度取得最小值，最小值为g|C2|=*；

则而在存上的投影向量的长度的取值范围是事」.

故选：B.

【变式1-3]（2025高三•北京・专题练习）已知G是△ABC的重心，过点G作一条直线与边,/C分别

交于点E,F（点、E,尸与所在边的端点均不重合），设方=x/，AC=vAF,则'的最小值是_____

xy

【答案】|4

【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论

【分析】取8c中点。，根据题意，利用向量的线性运算可得方=；屈+[左，由E,G,厂三点共线可得

x+y=3,再利用基本不等式即可求解.

【详解】如图：

\\

HDc

—•2—.—■1•1.

取8C中点。，则NG=-/。，AD=-AB+-AC,

322

AG=-AD=-[-AB+-AC]=-AE+^AF,

33（22J33

...瓦G,尸三点共线，.•彳+1=1,即x+y=3,

11

—+—23（2+2）=g

xy

3

当且仅当'=>=5时，取等号.

4

故答案为：—.

题型03向量数量积（几何意义法）

【解题规律•提分快招】

已知两个非零向量Z与B，我们把数量Q||g|cos。叫做Z与书的数量积（或内积），记作7B，即

a-b=\a\\b\cos。，

彳我而Rlj一（万瓦不无京瑚而［二稹）一如酉厂商方为Z7所的开接贰万二4二一万为透万不的不菽:

贝1J益•亚=（）

【答案】B

【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义

—、1—►—,

【分析】由中点关系可得+利用E为ZUBC的外接圆的圆心，可得

1E-ZB=!|^5|2=1X42=8,同理可得次•就=；|%『=18,即可得出结论.

—1——

【详解】由于。是BC边的中点，可得/D=](4B+/C),

VE是A4BC的外接圆的圆心，

AE-AB=\AE\\AB\cosZBAE=^\AB\2=-x42=8,

-.►1.c

同理可得4E.4C=/|/Cf=18,

AD-AE=-(AB+AC)-AE=-AE-AB+-AE-AC=-xS+-xl8=13.

22222

故选：B

【典例1-2](2024•北京门头沟一模)己知。是边长为2的正△A8C边3c上的动点，则行.通的取值范

围是()

A.[V3,4]B.[V3,2]

C.[0,2]D.[2,4]

【答案】D

【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义

【分析】根据向量数量积的几何意义可得而|cos[1,2],再由益•而=|万51|次|cosZD48即可求

范围.

【详解】由。在边BC上运动，且△/BC为边长为2的正三角形，

所以OWZD/BW?,贝1|网cos"/Be[1,2],

由万.万5=|151|次|cos/048e[2,4].

故选：D

【变式1-1](23-24高三下•北京西城•开学考试)如图，圆/为△ABC的外接圆，AB=4,AC=6,N为

边BC的中点，则丽・万7=()

A.10B.13C.18D.26

【答案】B

【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律

【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得而.方与而.就，再根据平面

向量的运算可得出结论.

—•1—.—■

【详解】是边的中点，可得ZN=］（N2+/C）,

:M是AABC的外接圆的圆心，

AM-AB=\AM\\AB\cosZBAM=^\AB\2=^x42=8,

同理可得痂•衣=就『=18,

AN-AM=~（AB+AC）-AM=-AM-AB+-AM-AC=-xS+-xlS=13.

22222

故选：B.

【变式1-2］（23-24高一下•北京海淀•期中）如图，已知四边形43CZ）为直角梯形，ABLBC,AB//DC,

27r—

AB=1,AD=3,ZBAD=—,设点尸为直角梯形4BCD内一点（不包含边界），则刀的取值范围是

【答案】A

【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义

【分析】依题意过点。作交R4的延长线于点E,即可求出NE,设方与荏的夹角为凡结合图

形即可得到正在存方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；

3

【详解】解：依题意过点。作交A4的延长线于点E,贝iJ/E=4Dcos60°=5，

设方与通的夹角为

因为点尸为直角梯形438内一点（不包含边界），所以静在刘方向上的投影0A|cose,且

Wcosdcl,

所以在.万=|刀H而卜os（9=|Z^cosde［-|,l）

DC

EFA

故选：A

【变式1-3]（23-24高一下•江苏扬州•期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪

花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类"一起

走向未来"的"大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形

（如图②）.已知正六边形的边长为1,点M满足加则口应卜；若点尸是其内部一

点（包含边界），则彳译布的最大值是.

图②

【答案】1/0.5|/1.5

2N

【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义

=1,然后利用数

【分析】由题可得回=网=1,回左方三，利用向量的数量积的运算法则即得\AM\

量积的定义结合正六边形的性质即得.

，亦=；（次+万L+2方方+万2）=?l_2xg+l]=（,

VAM\

2

设向量疝5,方的夹角为凡设尸在直线48的射影为P,要使刀.刘的最大则6e[0,，），因为

N.石=|词.画cose=pF|网，如图可知当尸在c处时，万.篇最大,

此时W==-^,AP-AB=V3xlx^^-=g

故答案为：y;g.

题型04向量数量积（自主建系法）

【解题规律•提分快招】

根据图形建立适当的坐标系,

用坐标表示点

建立函数关系

根据函数关系求值

【典例1-1】（2024•北京•三模）已知点N在边长为2的正八边形4,4,…,4的边上，点”在边44上，则

)

B.

C.[-272,4+272]D.[-272,4]

【答案】C

【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值

【分析】以4为原点，建立平面直角坐标系，表示出点M、N的坐标，计算4M即可.

【详解】以4为原点，44为X轴，44为丁轴建立平面直角坐标系,

设N(和(x2,0),则AXM=(々,0),4、=(再,%),

所以AXM•A[N=再X2,

TT

由于正八边形的每个外角都为7；

则工2e[0,2],%!£[一行,2+收],

所以而=%尤2e[-2夜,4+2拒].

故选：C

【典例1-2]（2024•北京昌平•二模）已知正方形/BCD的边长为1,点尸满足后=4刀。＞0）.当2

时，AC-PD=;当彳=时，正.而取得最大值.

21

【答案】j1/0.5

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示

【分析】第一空建立如图所示坐标系，用坐标分分别表示出％=丽=,51｝再计算数量积即可;

第二空建立如图所示坐标系，用坐标表示出丽=（4-1）,定=0-41）,结合二次函数的性质计算数量积

的最大值即可.

【详解】根据题意，建立以A为原点的平面直角坐标系，如图

则1(0,0),0(0,1),3(1,0)

因为正方形/BCD的边长为1,AP=2X8(2>0)

当彳=；时，AP=1AB=Q,OJ,所以

所以元=(1,1),而=[-;,11

所以就•丽=1x1-.+1=1;

如图，

因为万5=7□夙彳＞0),所以P(ZO),

所以而=(彳,一1),PC=(1-2,1),

所以京•丽uXO—zQ—lu—Te+z—iu—lz—g)_|,

所以当彳=1■时，^^而取得最大值.

故答案为：—;y.

【变式1-1](2024•北京朝阳•一模)在△4BC中，AB=AC=2,BC=2右,点尸在线段2c上.当刀.而

取得最小值时，PA=()

A.3B.立C.-D.-

2244

【答案】B

【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示

【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得强的坐标，即可求解.

【详解】如图，以8c所在直线为x轴，以5c的垂直平分线建立了轴，建立平面直角坐标系，

由力8=/C=2,BC=2y/3,则。/=,22-（省『=1,

所以5(-73,0),C(V3,0),设尸(x,o),

则方=(-x,l),PB=(-V3-x,0),

贝!]尸/.尸8==X?+6x=+

当x=-业时，历屏取得最小值，此时尸4=已-,1,网=+1=七

2\7

故选：B

【变式1-2](2024•北京东城•一模)已知正方形4BCD的边长为2,P为正方形/BCD内部(不含边界)

的动点，且满足力.。=0，则万・丽的取值范围是()

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

【答案】D

【知识点】向量与几何最值、数量积的坐标表示

【分析】通过建立合适的直角坐标系，设尸(x/),得到尸的轨迹方程，最后得到丽.丽的表达式，根据函

数单调性即可得到其范围.

【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系；

则/(一1,0),3(1,0),C(l,2),D(-l,2),

设尸(x,y),则尸/=(-l-x,-y),PB=(1-x,-y),

贝I]莎・丽=0,

即/+/=1,则/-1=_了2,其中0<J<1,

贝I]3=(X_1/_2)M=(X+1/_2),0<yWl

则于而=/_1+(/_2)2=-y+(y_2『=_⑪+4«0,4),

故选：D.

【变式1-3](2024•北京通州•一模)在矩形48CD中，AB=2,BC=C,点P在边上，则向量而在

向量无上的投影向量的长度是—,屈•丽的最大值是.

【答案】V3-2

【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、求投影向量

【分析】根据投影向量的概念，可求得向量无在向量在上的投影向量的长度；

建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，表示出无.而，利用二次函数的性质求得答案.

【详解】由题意可得||历|・cosN尸C8H在卜百，

即向量而在向量无上的投影向量的长度是行;

如图，以/为坐标原点，N3为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，

故办=0-2,-扬，丽=（-,

则/.丽=*+2彳_3=_（1）2_2,

当x=le[0,2]时，方.而取最大值为-2,

故答案为：百；-2

题型05向量数量积（极化恒等式法）

【解题规律•提分快招】

①平行四边形形式：若在平

中，贝U

-----►►1►2►2

ABAD=-（AC-DB）

②三角形形式：在A45c中,

【典例1-1】（2024高三•全国•专题练习）如图，是圆。的一条直径且=2,即是圆。的一条弦，且

跖=1,点P在线段斯上，则苏.丽的最小值是（）

E

PF

13

C.——D.——

2424

【答案】B

【知识点】向量加法的法则、数量积的运算律

【分析】由题意可得万•丽=回2一1,则当园最小时，玩而取得最小值,然后结合圆的性质可求出国

的最小值，从而可求得结果.

【详解】由题意可得，

万・丽=（丽+西.（而+两=（丽+西•（而一西=9-而=|研-1

为使苏•丽最小，只需户q最小，

所以只需。尸，所，根据圆的性质可得，此时尸为所中点，

又EF=1,因此凡「口![今

所以莎•丽的最小值为（g]-l=-j.

I2J4

故选：B

【典例1-2]（24-25高三上・安徽六安•阶段练习）已知棱长为2的正方体-4与G。，点尸是其表面

上的动点，该正方体内切球的一条直径是MN,则而•丽的取值范围是.

【答案】[0,2]

【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、多面体与球体内切外接问题

【分析】利用极化恒等式化西7.丽为的2一两2,从而转化为动点〃到正方体中心的最大与最小距离问

题，从而即可求解.

【详解】

DC

AB

设内切球的球心为0,

由用7.丽=（而+而）.（而+函）=（而+而）.（而_丽卜市-丽2,

已知正方体428-44。，的棱长为2,所以内切球的直径儿W=2,

所以西乙两=丽2」，由于点尸是正方体ABCD-44GA表面上的动点，

可知：即用7.丽二丽。一le[0,2],

故答案为：[0,2].

【变式1-1]（2024高三•全国•专题练习）已知正六边形A8CZ）M的边长为4,圆。的圆心为该正六边形的

中心，圆。的半径为2,圆。的直径儿W〃CD,点尸在正六边形的边上运动，则可7.丽的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律

【分析】根据可/两=而2-4,结合正六边形的性质求解|而|的范围即可.

【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，△CM8,AOBC,AOCD,AODE,AOEF,AOE4均是

边长为4的等边三角形，

当点尸位于正六边形/BCD斯的顶点时，|丽|取最大值4,

当点尸为正六边形各边的中点时，|而|取最小值，即|而|=4sin?=2若，

IIIImin3

所以“同26,4].

所以两.丽=（而+西）.（而+砺）=（而+南＞（而_丽]词2_4e[8,12],

即闻7.丽的最小值为8.

故选：D

【变式1-2]（24-25高一上•浙江杭州•阶段练习）在△4BC中，尸在ZUBC的三边上运动，MV是△4BC外

接圆的直径，若/3=2,BC=3,AC=4,则同乙丽的取值范围是.

【答案】14,0]

【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形、向量加法的法则、数量积的运算律

【分析】设△/8C外接圆圆心为。，半径为R,利用平面向量的线性运算与数量积可得

PM-PN=^PO+OMy（Pd+ON^=（Pd+OMy（Pd-OM^=Pd2-OM2=PO2-1|,再结合圆的几何性质

确定其最大最小值可得结论.

【详解】设A/BC外接圆圆心为。，半径为五,

由余弦定理有cosN="[If二9,所以sin/=Jl—cos2/=±45,

2-2-41616

由正弦定理有型7=2R,即尺=①，

sm/15

两.西=（而+而）.（而+砺）=（而+而）.（丽-加）

—•2»2—»264

PO-OM=尸。---,

15

设。到ZUBC三边BC,C4的距离分别为则

所以两•两的取值范围是[-4,0].

故答案为：[-4,0].

题型06向量投影（投影向量）

【解题规律•提分快招】

①定义:在平面内任取一点。，作。祝=2,西=5.过点M作直线ON的垂线，垂足为M],则呵"就

是向量Z在向量B上的投影向量.

M

②投影向量计算公式：

当。为锐角（如图（1））时，两与2方向相同，A=\OMx\=\a\cose,所以

OMX-1OMX|e-\a\cos0e；

---------------A~"»'JL"»

当。为直角（如图（2））时，2=0,所以01%=0=|a|cos»e；

当。为钝角（如图（3））时，西与工方向相反，所以

2=-1OMX|=-1a|cosZMOM1=-\a\cos（7-0）=\a\cos0,即OMX—\a\cos0e.

Mk

M

当。=0时，4=同，所以。A/1=|Q|e=|Mcos0e；；

当。=兀时，彳=一同，所以0Ml=TQ|e=|a|cos兀!

综上可知，对于任意的。£［0,兀］,都有皿=R|cos。工.i

【典例1-1］（23-24高一下•北京大兴•期中）已知是夹角为120。的两个非零向量，且同明，若向量"+近

在向量々上的投影向量为3%，则（）

A.-4B.-迪

3

C.4D.正

3

【答案】A

【知识点】求投影向量、数量积的运算律、用定义求向量的数量积

【分析】设W=W=1,计算出向量.+湿在向量Z上的投影向量为11-;彳），由题知投影向量为巨，所以

1-1^=3,解出彳的值.

【详解】设|4=W=1,则a•5=|„cos（a,B）=-g,a-{^a+iSj=|a|+Aa-b=\—^A,

所以向量"+位在向量。上的投影的数量为

Fl12

因为投影向量是=所以1-/=3,解得几=一4,

故选：A.

【典例1-2】（23-24高二上•北京通州,期中）在空间直角坐标系。中z中，已知方=（2,0,0）,衣=（0,2,0）,

40=（0,0,2）.则说与法的夹角的余弦值为；而在根的投影向量£=.

【答案】1/0.5（1,-1,0）

【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示、求投影向量

【分析】先根据空间向量的坐标运算求出而与血的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算

公式即可求出结果.

【详解】因为在=（2,0,0）,AC=（0,2,0）,AD=（0,0,2）,

所以函=右一就=（0,-2,2）,CB=AB-AC^（2,-2,0）,

CD-CB4

所以cos〈CZ),C8〉=

CD\\CB\20x2直2

I--------->.i---------►---------cb

函在在的投影向量为卬|cos〈CD,CB〉j^=(l,-1,0).

故答案为：|；（i,-i,o）.

【变式1-1]（2024•北京•模拟预测）已知向量g），£在方上的投影向量为[%,|£+q=77,则

【答案】国

2

【知识点】求投影向量、坐标计算向量的模、数量积的运算律

【分析】a在刃上的投影向量为:九由投影向量公式可得2展3=同，再由归+可=屿，两边同时平方可求

出入

【详解】向量。=（1,-道），同=2,

a在b上的投影向量为则下=得2展6=忖，

\a+b\=41,则（@+盯=片+2限3+庐=同2+2丑2=4+2麻=7,

故答案为：逅

2

【变式1-2]（23-24高一下•北京•期中）已知向量2=（1,-1）,S=（-2,l）,则无+坂=;向量£在石上

的投影向量的坐标为.

【答案】（0,-1）（|,-|）

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量

【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.

【详解】解：a=（1,-1）,石=（-2,1）,

则2。+6=(2,-2)+(-2,1)=(0,-1)；

22

«-6=lx(-2)+(-l)xl=-3,|^|=A/(-2)+l=45,

a-bb3(63、

故向量々在B上的投影向量的坐标为：同*同=-不r=。,一"

d田G江/»八,63、

故答案为：(o,-i)；(-j,--).

【变式1-3](23-24高一下•北京门头沟•期中)设向量Z与B的夹角为60。，且同=2收，可=6,则,在B

方向上的投影数量为.

【答案】41

【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义

【分析】由向量的投影公式即可求解.

【详解】由题意在在B方向上的投影数量为同8560。=/.

故答案为：猴.

题型07向量模(含最值范围)

【解题规律•提分快招】

|a|=yja-a=Jx：+y：

【典例1-1](23-24高三上・北京丰台•期中)已知向量〃满足同=2,1=1,且73=1，则|Z+2+()

A.12B.26C.4D.2

【答案】B

【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律

【分析】借助向量的模长与数量积的关系计算即可得.

【详解】归+2q="£+2办丫=Jq2+4£i+4忖2=74+4x1+4x1=273.

故选：B.

【典例1-2](23-24高三上•北京海淀•阶段练习)已知平面向量b,满足2=(1,3),⑻=1,则,-彳的

取值范围是

【答案】[加-1,而+1]

【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模

【分析】求出|田，再用B的夹角6表示出即可得解.

【详解】因£=（i,3）,则内=瓦，设洋5的夹角为，（Ovevm,

于是得卜_疗=yja~-2a-b+b^=A/11-2A/10COS^»而TVcosOVl,

因此，711-2V10<|a-^|<711+2710,BpV10-l<|a-S|<V10+l,

所以|"-陷的取值范围是[厢-+

故答案为：[而-1,而+1]

【变式1-1]（23-24高一上•北京西城,期末）如图，48为半圆的直径，点C为益的中点，点/为线段

上的一点（含端点/,B）,若AB=2,则附+洞的取值范围是（）

A.[1,3]B.[V2,3]

c.[3,胸]D.[vi.vro-]

【答案】D

【知识点】向量的模、已知数量积求模、向量与几何最值

【分析】根据题意可得出0W环卜2,然后根据向量的运算得出困+画？=（%+砺『=（|两+1）2+1,

从而可求出答案.

【详解】因为点C为益的中点，秒=2,所以同卜叵NC/8=7,

所以国+碉?=国+标『=AC2+MB2+2AC-MB

因为点M为线段上的一点，所以0«|施卜2,所以2"画+l『+iwio,

故选：D.

【变式1-2]（23-24高三上•北京昌平•期末）已知向量万，5满足向=4,5在&方向上的投影为2,则|“+2g

的最小值为（）

A.2B.272C.8D.10

【答案】C

【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模

【分析】由题意得到投影WcosO=2,得出£石和忸卜烹上2,即可得到|。+2可的最小值.

【详解】因为5在万方向上的投影为2,所以WcosO=2.

所以a*b=|a|x|S|cos8=4x2=8,且|S|=—>2.

因为卜+2q=（。+2司=a+4a*b+4b=16+32+4忖>64,

所以口+21=8.

IImin

故选：c

【变式1-3］（24-25高三上•北京西城,期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而

得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设=2,AAOB=^,则扇面（图中扇环）

部分的面积是,\OD-CB\=.

【知识点】扇形面积的有关计算、已知数量积求模

【分析】根据扇形面积公式，即可求解扇面的面积；根据向量数量积公式求模.

2兀

【详解】由条可知，NO=2+1=3,ZAOB=—,

127r127rTL

所以扇形/。的面积W--Xyx32=37i,扇形。0C的面积S2=5X7x12=1,

所以扇面的面积是岳-$2=与；

\OD-CB\=4OD+CB-2ODCB=^l+4-2xlx2xcosy=V7.

故答案为：A/7

题型08向量夹角（含最值范围）

【解题规律•提分快招】

cose=y=尸+产

【典例1-1】（2024•北京•模拟预测）平面向量否满足口=3即且*可=4,贝£与1右夹角的正弦值

的最大值为（）

A.JB.—C.。D.一

4323

【答案】B

【知识点】余弦定理解三角形、向量夹角的计算、基本不等式求和的最小值

【分析】设£=厉，b^OB，则£-否=加，设|同=加，同=3加，cos/CM2=r+3，根据均值不等式计

111133m

算最值，再利用同角三角函数关系得到答案.

【详解】如图所示：设1=方，b=OB则U丽，设同=加，1［=3加，1＜加＜2,

A

/\8S/。人」可；用）区="+16-*竺+2尹=逑,

/\2CM•R424m33mV33m3

O'-----------

当＜==，即加=夜时等号成立，故/。

33mI2/

当cosNCUB最小时，sin/CMB最大，

故z与］一Z夹角的正弦值的最大值为、18=1.

故选：B

【典例1-2】（2024高三•北京海淀•专题练习）已知平面向量Z］满足问=也a