2025年北京中考数学二轮专项复习：圆解答题分类训练（4种类型40道）含详解

专题11圆解答题分类训练(4种类型40道)

目录

【题型1求半径】..............................................................................1

【题型2求线段长】............................................................................3

【题型3求证是切线】..........................................................................6

【题型4角的数量关系】........................................................................9

【题型1求半径】

1.己知：如图,2B是O。的直径,C,D是O0上两点，过点C的切线交ZM的延长线于点E,DE1CE,连接

(2)若tanN力DC==8,求O。的半径.

2.如图,P是。。外一点,P4,PB分别切。。于点4,3/。与0。交于点",2//=。乩

⑴求证：A/IBP是等边二角形.

(2)过点4作P。的平行线，与。。的另一个交点为C,连接CP.若AB=6,求。。的半径和tan/CPB的值.

3.如图是O。的一条弦,E是48的中点，过点2作。。的切线交CE的延长线于点。.

⑴求证：DB=DE.

(2)若4B=12,BD=5,求。。的半径.

4.已知：如图,2B是。。的直径，点C、。在。。上，过点。作DE1BC交BC延长线于点瓦且DE为。。的切线.

E

⑴若C为的的中点,求证：BC=OB.

(2)若CE=2,sin8=g求O。的半径.

5.如图，DE是O。的直径,CA为O。的切线,切点为C,交DE的延长线于点A,点尸是O。上的一点，且点C是弧EF的中点,

连接。尸并延长交4C的延长线于点B.

(2)若BD=3,tanNZMB=三,求回0的半径.

4

6.如图是O。的直径，弦EF14B于点C,过点F作。。的切线交4B的延长线于点D/力=30°.

⑴求ND的大小.

(2)取8E的中点M,连接M凡请补全图形，若MF=旧，求O。的半径.

7.如图,是。。的直径，弦CD1AB,垂足为为肥上一点，过点E作。。的切线,分别交DC,4B的延长线于点匕G连

接AE,交C。于点P.

G

⑴求证：EF=FP.

(2)连接若4D||FG,CD=8,cosF=3，求O。半径.

8.如图中，回C=90。,点E在42上，以BE为直径的回。与AC相切于点。与BC相交于点R连接

⑴求证：SADE^SDBE.

(2)若sinA=|,2C=6,求回。的半径.

9.如图，在RM4BC中/C=90。,4E是△ABC的角平分线SE的垂直平分线交48于点0,以点O为圆心,04为半径作。0,

交AB于点R

⑴求证：8C是。。的切线.

(2)若AC=5,tan8=*求O。的半径r的值.

10.已知：如图,4B是。。的直径,C,。是O。上两点，过点C的切线交D4的延长线于点1CE,连接CD,BC.

(2)若tan/ZDC=|,BC=4,求。。的半径.

【题型2求线段长】

11.如图,是回。的直径，过3作回。的切线，与弦AD的延长线交于点CM。=DC,E是直径上一点，连接。E并延长

与直线BC交于点片连接AF.

c

⑴求证：A0=5®.

(2)若tan/BAF=；,回。的半径长为6,求EF的长.

4

12.如图，以为直径作。。，点C在。。上,连接力C,BC,过点C作CD14B于点E,交。。于点D,点、厂是BD上一点，过点F

作。。的切线交AB的延长线于点G,若BCIIOF.

C

D

(1)求证：Z-A=zG.

⑵若竿=。的半径为8,求FG的长.

AE3

13.如图，在RtAABC中/ABC=90。,以直角边48为直径的O。交4C于点。，在AC上截取4E=28,连接BE交。。于点F.

1

(1)求证：LEBC=：乙BAC.

(2)若。。的半径长r=5,tanzCSE=*求CE的长.

14.如图/为。。外一点,P4PB是。。的切线,48为切点，点C在。。上，连接。4。。4。8。,延长。。交82于点D.

⑴求证：2ZCBD+乙0DB=90°.

(2)连接。B,若4c||OB,Q。的半径为3,CD=2,求AP的长.

15.如图是O。的半径/B与O。相切于点A,点C在O。上且AC=为4C的中点，连接。，连接C8交。。于点E,

(2)若0E=3,sinzX0D=|,求BF的长.

16.如图，力B为O。的直径，弦14B,过点A作O。的切线交8c的延长线于点E.

⑴求证：NB4D=4E.

(2)若O。的半径为S,AD=6,求CE的长.

17.如图,48为。。的直径，过点A作。。的切线力M,C是半圆月B上一点(不与点重合)，连结AC,过点C作CD1于

点E,连接BD并延长交4M于点F.

⑴求证：^CAB=N4FB.

(2)若。。的半径为5,AC=8,求DF的长.

18.如图,4B为O。的直径，弦CD1于点H,。。的切线CE与B4的延长线交于点E,AF||与。。的交点为F.

(2)若。。的半径为6,AH=2。”,求力E的长.

19.如图,4B是O。的直径，点C在O。上刀是邱的中点,4。的延长线与过点8的切线交于点与BC的交点为F.

(2)若O。的半径是2,BE=3,求4F的长.

20.如图，过。。外一点尸作。。的两条切线P4PB,切点分别为4MC是。。的直径，连接CB并延长交直线2P于点D.

⑵延长BP交C4的延长线于点E.若。。的半径为VXsinE=*求BC的长.

【题型3求证是切线】

21.如图,A8为。。的直径，点C,点D为。。上异于A,B的两点，连接C。过点C作CE1DB,交DB的延长线于点E,连接

⑴若乙4BO=2ZBDC,求证：CE是O。的切线.

(2)若O。的半径为逐,tan/BDC=|,求AC的长.

22.如图,0。的半径。C与弦48垂直于点D,连接BC,OB.

(1)求证：2N48C+/.OBA=90°.

(2)分别延长B。,CO交。。于点连接2F,交BE于G,过点4作AM1BC,交BC延长线于点M.若G是4F的中点，求证：AM

是O。的切线.

23.如图,4B是O。的直径，点P是O。外一点,OP148,点〃在O。上，连接AM交。P于点N,使得40PM=2^BAM.

(1)求证：PM是。。的切线.

(2)若O。的半径为5,tanzOPM=|,求MN的长.

24.如图，在RtAaBC中/C=90。,点。在边AC上，且NCB。=NC4B,过点力作4。1B。交B。的延长线于点D,以点。为圆

心,。。的长为半径作O。交B0于点E.

(1)求证：AB是。。的切线.

(2)若O。的半径为5,BE=8,求线段48的长.

25.如图,圆内接四边形4BCD的对角线力C,BD交于点E/ABD=ACAD.

⑴求证：BD平分4ABC.

(2)过点C作CFIIAD交AB的延长线于点月若DB平分乙4DC,4C=4D,求证：CF为。。的切线.

26.如图，已知团0的直径4B垂直弦CD于点瓦过C点作CG||4D交力B延长线于点G,连接C。并延长交AD于点F,且CF1AD.

⑴求证：CG是团。的切线.

(2)若4B=4,求CD的长.

27.如图①。是AZBC的外接圆，点。在AB上，延长4B至点D,使得NDCB=ACAB.

图①图②

(1)求证：DC为。。的切线.

(2)若乙4cB的角平分线CE交线段4B于点凡交O。于点E,连接BE,如图②淇中CD=4,tanzC£B=*求CF-CE.

28.如图,4B是O。的直径，点C是O。上一点，力。平分ZC4B交O。于点。过点。作DE14C交4C的延长线于点E.

(1)求证：直线。E是。。的切线.

(2)延长4B与直线DE交于点F,若AB=5,COSN4FD=，求DE的长.

29.如图,4B是O。的直径,C是圆上一点，弦CD12B于点瓦且DC=40.过点A作。。的切线，过点C作D4的平行线,

两直线交于点EFC的延长线交力B的延长线于点G.

(2)连接EF,求tan/EFC的值.

30.如图,AB为回。的直径,C为团。上的一点,。£»14B交AC于点E,DE=DC.

⑴求证：OC是回。的切线.

(2)若。4=4,OE=2,求cosD.

【题型4角的数量关系】

31.如图,△ABC中,AB=2C,以8C为直径作O0,与边力C交于点D,过点。的O。的切线交BC的延长线于点£

⑴求证：Z-BAC=2./.DBC.

(2)若COSNBAC=|,D£=4,求BE的长.

32.如图,4B为O。的直径,C为82延长线上的一点,CD为O。的切线刀为切点,DE12B于点凡连结BE.

(2)作BG1CD交CD延长线于点G,交。。点”，若sinC=|,BG=10,求GH的长.

33.如图,48是。。的弦,C为。。上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点。连接80并延长，与。。交于点

瓦连接EC,C。是。。的切线.

⑴求证：乙ABE=2乙E.

(2)若tanE==8,求BD的长.

34.如图乃E是团O直径，点A是回。外一点：。加。氏AP切回。于点P,连接BP交AO于点C.

(1)求证：SPAO=2SPBO.

(2)若回。的半径为5,tanzPX0=々求BP的长.

35.如图,△ABC是。。的内接三角形，过点C作O。的切线交AB的延长线于点D,0E18C于点瓦交CD于点?

(1)求证：Z71+ZOFC=90°.

(2)若tanA=g,BC=6,求线段CE的长.

36.如图,为回。直径，过回。外的点。作。斑。4于点瓦射线0c切团。于点C,交AB的延长线于点P,连接AC交。E于

点凡作CHSAB于点H.

(1)求证：0D=20A.

(2)若〃B=2,cosO=申请求出AC的长.

37.如图，已知AB为的直径,AC是国0的弦,D是弧BC的中点，过点D作回0的切线，分别交AC,AB的延长线于点E和点

F,连接CD,BD.

(1)求证：0A=20BDF.

(2)若AC=3,AB=5,求CE的长.

38.如图为。。的直径,CB与。。相切于点B,连接AC交。。于点£>.

(1)求证：LDBC=Z.DAB.

(2)若点E为片0的中点，连接BE交4D于点凡若8c=6,sinN4BD=当,求力F的长.

39.如图,A8是回。的直径,B4,PC与回O分别相切于点46连接4(7乃6。£4(7与0P相交于点D.

(1)求证：EIB+ECP(9=90o.

(2)连结BP,若AC=£,sinEICPO=，求BP的长.

40.如图,AB是团。的直径,C是00上一点，过点C作回O的切线，交BA的延长线交于点D,过点B作BEI3BA,交DC延长线于

点E,连接OE,交回O于点F,交BC于点H,连接AC.

(1)求证：0ECB=0EBC.

(2)连接BF,CF,若CF=6,sin!3FCB=|,求AC的长.

专题11圆解答题分类训练(4种类型40道)

目录

【题型1求半径】..............................................................................1

【题型2求线段长】............................................................................3

【题型3求证是切线】..........................................................................6

【题型4角的数量关系】........................................................................9

【题型1求半径】

1.己知：如图,2B是O。的直径,C,D是O0上两点，过点C的切线交ZM的延长线于点E,DE1CE,连接

(2)若tanN力DC==8,求O。的半径.

【答案】(1)见解析

(2)275

【分析】(1)连接。C,根据切线的性质,已知条件可得DE||OC,进而根据平行线的性质可得AD4B=N40C,根据圆周角定

理可得乙40c=2乙4BC,等量代换即可得证.

(2)连接4C,根据同弧所对的圆周角相等，可得4。=NB,进而根据正切值以及已知条件可得4C的长，勾股定理即可求得

48,进而即可求得圆的半径.

【详解】(1)证明：连接。C,如图.

EC是O。的切线.

•••DE1CE.

：.0C||DE.

・•・乙DAB=Z.AOC.

•・•AG=AC.

•••Z-AOC=2乙48c.

•••Z-DAB=2/-ABC.

(2)解：连接4c，如图所示:

D_

・•・是。。的直径.

・•・4ACB=90°.

•・•AC=A€.

・•・乙ADC=乙ABC.

i

vtanZ-ADC=

2

,1AC

tanZ-ZBC=—=—.

2BC

回BC=8.

固4c=4.

EIAB=4V5.

03。的半径为2代.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理,理解题意添加辅助线是解题

的关键.

2.如图,P是。。外一点,P4PB分别切。。于点4,B,PO与。。交于点、H,AH=OH.

⑴求证：AABP是等边二角形.

(2)过点4作PO的平行线，与。。的另一个交点为C,连接CP.若4B=6,求o。的半径和tan/CPB的值.

【答案】⑴证明过程见详解

(2)0。的半径为2H.

tanzCPfi=管【分析】⑴连接。力，0B,根据力"=0A=0H可得乙4。h=60。,根据切线的性质,切线长定理即可求得

/.APO=30。,由此即可求解.

(2)作4C||P。,根据等边三角形的判和性质可得BC是直径，可得△BCP是直角三角形，根据垂径定理，含30。角的直角三角

形的性质可得半径，根据解直角三角形的方法即可求解.

【详解】(1)证明：如图所示，连接04OB.

OP力，PB是o。的切线.

EIP41OA,PB1OB,PA=PB.

^Z.OAP=/-OBP=90°.

WA=OH,AH=OA.

WA=AH=OW,BPAAOH是等边三角形.

0Z4OW=60°.

在RtA40P中,ZJ1P。=90°-60°=30°.

EINBP。=^APO=30°,贝Ij/APB=60°,且P4=PB.

fflA4BP是等边三角形.

（2）解：如图所示，延长P。交。。于点尸，连接B。并延长交。。于点E,连接B”.

由（1）可知,P。1AB.

0AC||PO.

S/.BAC=90。,且NBA。=30°.

0ZO71C=60。,且。A=OC.

ElAHOC是等边三角形.

回乙4OC=60°.

EINBOP+^POA+AAOC=180°,且NBOP=^POA=60°.

团点B,0,C三点共线，即点E与点C重合.

SBC是。。的直径.

回ABCP是直角三角形.

是等边三角形=6/4。。=60°.

EIPB=PA=6.

EINOBP=90°,AABP=60°.

团△力。。中,。。1AB.

EL4D=DB=-AB=3,sinzH。。=sin60°=—=—.

2AO2

a40==爰=2何即o。的半径为2倔

2

SBC=20A=4V3.

在RtABCP中,PB=6,BC=4V3.

BC4

S向4tan,z「CPCBD=—=——V3=——2^3.

BP63

综上所述,O。的半径为2V5,tanNCP8=誓.

【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合,掌握圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，含30。角

的直角三角形的性质，解直角三角形的计算方法等知识是解题的关键.

3.如图是O。的一条弦,£是48的中点，过点2作。。的切线交CE的延长线于点D.

(1)求证：DB=DE.

(2)若4B=12,BD=5,求。。的半径.

【答案】(1)见解析

(2)y

【分析】(1)由切线，可知N0BD=90。,即N0B4+NEBD=90。,由。A=0B,可得N048=N0B4,由三角形内角和，对顶

角相等可得NEBD=ABED,进而结论得证.

(2)如图，连接。瓦作DF14B于F,贝iJOE1AB,AE=EB=6,EF==3,由勾股定理得,OF=4,证明乙40E=4BED,

贝”sin乙40E=笠=sin/DEF=器即白=:计算求解，然后作答即可.

OADEOA5

【详解】(1)证明：I3BD是。。的切线.

E1ZOBD=90°,即乙。82+乙EBD=90°.

瞅4=0B.

团乙。48=/-OBA.

团乙OAB+Z.CEA=180°-AACE=90°,zCEX=乙BED.

^Z-EBD=乙BED.

团08=DE.

(2)解:如图，连接。及作。尸_L48于尸.

E\~Y~7B

——\।//

/D

(BE是4B的中点,4B=12,DB=DE.

WE1AB,AE=EB=6,EF=|BE=3.

由勾股定理得刀尸=VD£2-EF2=4.

回乙40E+/.OAE=90°,/.CEA+/.OAE=90°,/.CEA=乙BED.

0Z4OF=乙BED.

fflsinzXOE=些=smZ-DEF=—,BP—=

OADEOA5

解得,04=y.

回o。的半径为葭.

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦等知识.熟练掌握切线的

性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理,正弦是解题的关键.

4.已知：如图,是O。的直径，点C、。在。。上，过点。作DE1BC交BC延长线于点瓦且DE为。。的切线.

⑴若C为ES的中点，求证：BC=0B.

(2)若CE=2,sinS=*求O。的半径.

【答案】⑴见解析

(2)5

【分析】(1)根据圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质进行解答即可.

(2)根据垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质列方程求解即可.

【详解】(1)证明：,•,点C是的中点，即比＞=价.

Z.BOC=Z.COD.

又・・•DE为O。的切线，点。是切点,。。是半径.

・••0D1DE.

BE1DE.

・•・ODWBE.

•••乙COD=Z.OCB.

•・•OB=OC.

•••Z.OBC=Z-OCB.

•••Z-BOC=Z-OCB=Z-OBC.

BC=OB.

(2)解:如图，连接AC交。。于点M.

E

・•・乙ACB=90°.

即AC1BC.

由(1)可知刀E1BC.

・•・DEWAC.

又・・•ODWBC.

・•・四边形CEDM是平行四边形.

•••Z-DEB=90°.

四边形CEDM是矩形.

.・.DM=CE=2.

•・•OM1AC.

AM=MC.

OA=OB.

OM=-BC.

2

设半径为招则OM=%—2,BC=2OM=2%-4.

在直角△ACB,sinB==2%.

.c48

・•・AC=2xx-=-x.

55

由勾股定理得.

AB2=AC2+BC2.

即(2久)2=(|x)2+(2x—4)2.

解得x=5或x=|(舍去).

即O。的半径为5.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理,勾股定理以及平行线的性质和判断是正确解答的关键.

5.如图，DE是O。的直径,C4为O。的切线,切点为C,交。E的延长线于点A,点尸是O。上的一点，且点C是弧EF的中点,

连接DF并延长交AC的延长线于点B.

(2)若BD=3,tanND4B==求团。的半径.

4

【答案】⑴见解析

⑵当

【分析】⑴连接0C,利用切线性质得到N4C。=90。,再根据等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质得到NOCD=

NCDF,进而证明。CIIBD即可证得结论.

(2)先根据(1)中结论，结合已知求得4B=4,进而利用勾股定理求得AD=/不丽=5,证明AAOCADB得

到祭=常设0。的半径为厂，由平=萍解即可.

【详解】(1)证明：连接0C.

团C4为。。的切线,切点为C.

^ACO=90°.

团点C是弧EF的中点.

回糜=既.

^EDC=/.CDF^^ODC=乙CDF.

团。。=0C.

团4。。。=Z.OCD.

团乙。CD=4CDF.

回。CIIBD.

^ABD=/LACO=90°.

^AB=4.

在内△ABD中，由勾股定理得/。=^JAB2+BD2=5.

WCWBD.

回△Z。。s〉ADB.

"0oc

0—=—.

ADBD

设o。的半径为广，则?=(

解得r=9即O。的半径为

OO

【点睛】本题考查切线性质,等弧与圆周角的关系，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，解直角三角形,相似三角形的

判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.

6.如图是O。的直径，弦EF14B于点C,过点F作。。的切线交4B的延长线于点£)/力=30°.

(1)求ND的大小.

(2)取8E的中点M,连接M凡请补全图形，若MF=旧,求O。的半径.

【答案】⑴30。

⑵图形见解析.

2V2【分析】(1)连接。凡先求出NABE=60。,从而得出NBEC=30。,再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出

上DOF=2乙BEC=60。,最后根据切线的定义即可求解.

(2)连接0E,0M,证明AEOB为等边三角形，将。M的长度用半径表示出来,再证明NM0F=LD0F+LB0M=90。,根据

勾股定理列出方程求解即可.

【详解】(1)解：连接。F.

EL4B是O。的直径.

回乙4EB=90°.

团乙4=30°.

^ABE=90°-30°=60°.

团"1AB.

回4BEC=90°-60°=30°.

^DOF=2乙BEC=60°.

团DF为。。的切线.

回。F1DF.

团4O=90°-4DOF=90°-60°=30°.

回。E=OB/ABE=60°.

EOB为等边三角形.

团点”为BE中点.

国乙BOM=30°,OM1BE.

国匕MOF=乙DOF+乙BOM=60°+30°=90°.

设。。半径为r.

在Rt△OBM中,。M=sin60°OB=yr.

团M/7=V14,OF=r.

团Rt△OMF中,根据勾股定理可得：DM?+OF2=MF2.

即G，)+产=6/14)2,解得：r=2V2.

00。半径为2鱼.

【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解题的关键是掌握圆周角定理，圆的切线的定义，直角三角形两个内角互余，勾股

定理等相关知识.

7.如图,A8是O。的直径，弦CDLAB,垂足为qE为此上一点，过点E作。。的切线,分别交DC,48的延长线于点£G连

接AE,交CO于点P.

(1)求证:EF=FP.

⑵连接A。若AD||FGfCD=8,cosF=:求。。半径.

【答案】⑴见解析

【分析】(1)连接。瓦要使E尸二尸P,需要“EP二蹈7码通过切线和垂直的已知条件,利用等角的余角相等可得即EP二回尸尸瓦

结论可得.

(2)设圆的半径为〃在R烟。。”中，利用勾股定理可以求得半径r.

【详解】(1)证明：连接0E

回EF是圆的切线.

丽。跖=90°.

回团OEA+回AE尸=90°.

团CZM4A

^\AHC=90°.

团回。4E+MPH=90°.

回。4=OE

^\OAE=WEA.

m\EF=^\APH.

^APH=^EPF.

团团EPF二她E尸.

^EF=PF.

（2）连接0。设圆的半径为r.

团直径AB^\CD于H,CD=8.

国CH=DH=4.

朋。团尸G.

函40”二团四

,4

团COS0ADH=cosF二-

5

CH

•••AD=-------------=5

cosZ.ADH

AH=>JAD2-DH2=3

^iOH=OA-AH=r-3.

在RZ0OOH中.

•••OH2+DH2=。。2,回（广3）2+42=r.

25

0E=r=——

6

【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理,圆周角定理和解直角三角形的知识.使用添加圆中常添加

的辅助线是解题的关键.

8.如图,0A8C中，回C=90。,点E在A8上，以8E为直径的回。与AC相切于点。与BC相交于点£连接BDQE.

⑴求证：^ADE^SDBE.

（2）若sinA=|,8C=6,求回0的半径.

【答案】（1）见解析

喈

【分析】（1）连接。D,如图,根据切线的性质得到NOZM=90。,根据圆周角定理得到NBDE=90。,然后利用等角的余角相

等得到结论.

（2）设O。的半径为r,利用正弦的定义求出4B=10,再证明A4D0“AACB,利用相似比得到*=，然后解方程即可.

106

【详解】（1）证明:连接。】如图.

•・•4C为切线.

••・OD1AD.

A.ODA=90°.

・・•BE为直径.

・•・乙BDE=90°.

•・•乙DBE+乙BED=90°,^ADE+乙ODE=90°.

^OD=OE

⑦乙ODE=乙OED.

・•・Z-ADE=乙DBE.

(2)解：设。。的半径为r.

在Rt△中,sinA==|.

・•・AB=-BC=-x6=10.

33

•・•OD1AD,BC1AC.

・•.OD//BC.

・•・/,ADO=乙ACB,乙AOD=乙ABC.

・•.\ADO〜LACB.

.AO_OD日口10—丁_r

—=禺J=—.

ABBC106

解得r=

4

即O。的半径为

4

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形相似，锐角三角函数，圆周角定理，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的

半径.

9.如图，在Rt△48c中/C=90。/5是4ABC的角平分线SE的垂直平分线交4B于点。，以点。为圆心,。4为半径作。0,

交A8于点F.

B

(1)求证：BC是O。的切线.

(2)若AC=5,tanB=*求O。的半径r的值.

【答案】⑴证明见详解

(2)r=—

1/18

【分析】(1)连接02利用等腰三角形的性质和角平分线的定义只要证得。EIIAC即可.

(2)利用锐角三角函数和勾股定理先求得5C与A3的值，只要证得利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】(1)连接0E.

团ZE的垂直平分线交A8于点。

回。4=0E.

团乙1=Z.2

国4E平分Nb4c.

团乙1=Z.3,

0Z.2=z3.

回。EIMC.

0ZC=90°.

^OEB=ZC=90°.

0500。的切线.

(2)回Rt△力BC中,AC=5,tanB=总

趾anB=蔡=总

SBC=12,AB=y/AC2+BC2=13.

设。E=r,则。B=AB-0A=13-r.

WEWAC.

0ABOEsABAC.

解得r=^|.

回O。的半径r的值为黑

18

【点睛】本题考查了切线的判定和性质,解直角三角形，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法

是解题的关键.

10.已知：如图，力B是。。的直径,C刀是O。上两点，过点C的切线交D4的延长线于点1CE,连接CD,8c.

-1

(2)若tan/ADC=号BC=4,求。。的半径.

【答案】（1）见解析，（2）V5

【分析】（1）连接0C,根据切线的性质,已知条件可得DE〃OC,进而根据平行线的性质可得ND48=N40C,根据圆周角定

理可得乙4。。=2NABC,等量代换即可得证.

（2）连接4C,根据同弧所对的圆周角相等，可得ND=NB,进而根据正切值以及已知条件可得AC的长，勾股定理即可求得

48,进而即可求得圆的半径.

【详解】（1）连接。C,如图.

•••DE1CE.

OC!/DE.

•••Z-DAB=Z-AOC.

AC=AC.

Z-AOC=2Z-ABC.

•••Z-DAB=2Z.ABC.

(2)连接AC

・•・乙ACB=90°.

AC=AC.

•••乙ADC=Z-ABC.

tan乙4DC=

2

1AC

2BC

•・,BC=4.

・•.AC=2.

・•.AB='AC?+BC2=V22+42=2V5.

AO=-AB=V5.

2

即0。的半径为有.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理,理解题意添加辅助线是解题

的关键.

【题型2求线段长】

11.如图,AB是回。的直径，过8作回。的切线，与弦的延长线交于点C,2D=DC,E是直径AB上一点，连接。E并延长

与直线BC交于点七连接AF.

c

⑴求证：AD=能.

（2）若tan/BAF=%。的半径长为6,求所的长.

4

【答案】⑴证明见解析

⑵后

【分析】（1）连接BD,根据圆周角定理，切线性质以及题中2。=DC可得NB4D=4ABD=乙CBD="=45。,从而得出

结论.

（2）连接由（1）知。。1AB,得出ADOE〜AFBE,得出吆=纥在RtAZBF中,tanNBAF=-,00的半径长为6,解得BF=

BFBE4

3,从而£=竺，设BE=x,OE=2x,则BE+OE=OB=6,解得x=2,即BE=2,在RtAEBF中，利用勾股定理得结论.

3BE

【详解】（1）证明：连接BD,如图所示：

AB是回。的直径.

AABD=90°,^BD1AC.

•.•过B作回。的切线.

AB1BC.

•••AD=DC.

,­.4BAD=AABD=ZCBD=ZC=45°.

BD=AD.

AD=g

（2）解：连接。，如图所示:

c

在等腰RtAABD中=90°.

••・DO1AB.

•・•乙DEO=乙BEF,乙DOE=乙FBE=90°.

・•・LDOE〜LFBE.

DO_OE

"BF—BE，

在RN48尸中,tan/B4尸=-,^O的半径长为6,则tan匕=-=—=匕解得BF=3.

44AB12

-=吧，设BE=x,OE=2x,则BE+OE=x+2x=OB=6,解得x=2.

3BE

在RtAEB尸中,NEBF=90。,BE=2,BF=3,则利用勾股定理得EF=VBF2+BF2=V22+32=V13.

【点睛】本题考查圆综合，涉及到圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，正切函数求线段

长，勾股定理等知识点，根据题意准确作出辅助线是解决问题的关键.

12.如图，以4B为直径作。0,点C在O0上，连接2C,BC,过点C作CO148于点瓦交。。于点。点厂是BD上一点，过点尸

作O。的切线交4B的延长线于点G,若BCIIOF.

D

⑴求证：/-A—zG.

⑵若隼=?。。的半径为8,求FG的长.

AE3

【答案】⑴证明见解析

（2）6

【分析】（1）根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，可得N4CB=90。,根据三角形内角和可得乙4=90。-NC84,根

据切线的性质可得NOFG=90。,根据三角形内角和可得NG=90°-NGOF,根据平行线的性质可得NCB4=NOGF,即可

证明NA=zG.

（2）根据垂径定理可得CE=DE,根据正切的定义可得tan"4E=：由（1）得乙4="，故tan/G=瞿=:即可求得.

3FG3

【详解】(1)证明：加8为直径作。。，点。在。。上

^ACB=90°

团乙/=90°-4CBA

团。91FG

团乙。FG=90°

团4G=90°-Z.GOF

^\BC\\OF

^CBA=AOGF

回乙4=Z.G

(2)团COLAB

ME=DE

…calCEDE4

团tan/CAE=—=—=-

AEAE3

又团4A=Z-G

OF4

回tanZ_CZE=tanZ_G=—=-

FG3

33

^FG=-OF=-x8=6

44

【点睛】本题考查了半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形内角和，切线的性质，平行线的性质，垂径定理，正切的定

义等,熟练掌握以上性质是解题的关键.

13.如图，在RtAABC中，乙48c=90。,以直角边48为直径的O。交4C于点。，在AC上截取4E=48,连接BE交。。于点F.

⑴求证：乙EBC=3乙BAC.

(2)若O。的半径长r=5,tanzCB£=/求CE的长.

【答案】⑴见解析

(2)CE=g.

【分析】(1)连接AF,由圆周角定理及直角三角形的性质可得NB/1F+N4BF=90°,^ABF+AEBC=90。,进而可得

/-BAF=NE8C,再利用等腰三角形的性质可证明结论.

(2)过E点作EG1BC于点G,证明△BAFEBG,列比例式，结合锐角三角函数的定义可求得EG=4,BG=8,A

ABC八EGC,列比例式可求解CG的长，再利用勾股定理可求解.

【详解】（1）证明：连接

MB为。。的直径.

国匕AFB=90°.

国匕BAF+(ABF=90°.

^ABC=90°.

^Z.ABF+乙EBC=90°.

团乙BAF=Z.EBC.

^AB=AE,乙AFB=90°.

^ABAF=-^BAC.

2

1

^EBC=-Z-BAC.

2

(2)解：过E点作EGIBC于点G.

团乙AFB=Z-BGE=90°.

^BAF=乙EBG.

BAFEBG.

团-A-B=—BF=-A-F

BEEGBG

1

^ItanZ-BAF=tanzCBE=

2

^AF=2BF.

国48=20A=10.

05F=2底AF=4V5.

团AF1BE,AB=AE.

OBE=2BF=4V5.

L102V54V5

=——=——.

4V5EGBG

解得EG=4,BG=8.

^ABC=（EGC=90°,乙C=乙C.

[?]△ABC~AEGC.

「

0—EG=—CG.

ABBC

「

[E—4=-C-G.

108+CG

解得CG=

EICE=VCG2+EG2=J（£）2+42=y.

【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理等知识的综合

运用，掌握相关的性质定理是解题的关键.

14.如图，尸为o。外一点,P4PB是o。的切线,42为切点，点C在O。上,连接。4。。,4。乃。,延长。。交82于点D.

（2）连接。B,若AC||OB,。。的半径为3,CD=2,求力P的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）6

【分析】（1）连接B。,延长交。。于点E,连接CE冼根据圆周角定理可得NBCE=90°/BOC=2/BEC,再根据圆的切线

的性质可得NOBP=90。,从而可得N80C=2/CB。,然后根据NBOC+乙ODB=90。即可得证.

（2）连接。B,延长4C交PB于点M,先利用勾股定理可得BD=4,再证出△DCM-△DOB,根据相似三角形的性质可得

DM=也然后根据切线长定理可得AP=BP,设4P=BP=居则PM=尤—最后证出4PAM-△ODB,根据相似三角形

的性质即可得.

【详解】（1）证明：如图，连接BO,延长交。。于点瓦连接CE.

BDP

由圆周角定理得：乙BCE=9。°,乙BOC=2乙BEC.

•••乙CBE+乙BEC=90°.

•••PB是。。的切线.

•••乙OBP=90。,即NCBE+乙CBD=90°.

•••Z.BEC=Z.CBD.

Z.BOC=2Z.CBD.

又•・•乙BOC+乙ODB=180°-乙OBP=90°.

・•・2乙CBD+乙ODB=90°.

(2)解：如图，连接。8,延长AC交PB于点M.

•・・。。的半径为3,CD=2.

.・.OB=OC=3,OD=5.

•・•乙OBP=90°.

・•.BD=yj0D2-0B2=4.

-AC||OB.

・•・△DCMDOB/AMP=Z.OBP=90°.

DM_CDH\\DM_2

-BD-OD'4"5'

解得DM=

•・,P4P8是。。的切线.

Z.OAC+^PAM=90。,PA=PB.

-1o

设/尸=BP=x^iPM=BP-BM=BP-(BDDM)=x-

•・•OA=OC.

・•.Z.OAC=AOCA=乙DCM.

•・•乙DCM+乙ODB=90°.

・•.Z.PAM=Z-ODB.

在。”和△皿中忆制”就浮时

・•・△PAM-△ODB.

12

..."=™gp^=tz.

ODOB53

解得％=6.

所以的长为6.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线长定理，圆的切线的性质,相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题(2),通过

作辅助线，构造相似三角形是解题关键.

15.如图是。。的半径闫8与。。相切于点A,点。在。。上且AC=ZB,。为ZC的中点，连接。。连接CB交。。于点E,

(2)若。E=3,sin^A0D=|,求的长.

【答案】⑴见解析

(2)2710

【分析】(1)由等腰三角形的性质及切线的性质得出“功=”FB,得出/。弘=N。/旧则可得出结论.

(2)设4。=3x,OA=5%则。。=4%,求出％=1,由锐角三角函数的定义可得出答案.

【详解】(1)证明：团。。=为ZC的中点.

团。。1AC.

团4OCE+乙DEC=90°.

财8与团相切于点A.

团。A1AB.

国乙OAB=90°.

^Z.FAB+=90°.

财C=AB.

团乙ZC8=乙B.

团乙CED=Z.AFB.

⑦乙CED=Z.OEF,Z-AFB=Z-OFE.

0ZOEF=Z-OFE.

团。E=OF.

(2)解：HsinzXOO=|

设=3%,0A—5x.

团。。=4%.

团。E=。？=3,

WE=4%—3,AF=5%—3.

^AC=2AD=6x.

^AB=6%.

^ACB=乙B,

团tan乙4cB=tanzB.

「DFAF

团--=--.

CDAB

—=汩解得X=1

3x6x

国4F=2,AB=6,

05F=yjAF2+AB2=2y/10

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数等知识点.熟练掌握相关结论是解题关键.

16.如图,4B为。。的直径，弦CD14B,过点A作。。的切线交BC的延长线于点E.

⑴求证：4BAD=NE.

(2)若。。的半径为5,AD=6,求CE的长.

【答案】(1)见详解

(2成

【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的.

(1)先证明4E||CD,则NBCD=NE,由既="，得至IJNBAD=N8CD,继而求证.

(2)连接4C,2B为O。的直径,CD148,则AC=4。=6,乙4cB=^ACE=90。,先求BC=^AB2-AC2=8,再证明△

EACABC即可.

【详解】(1)证明：EL4E是O。的切线,AB为O。的直径.

E

D

^EAB=90°.

MD1AB.

团乙1=乙EAB=90°.

^AE||CD.

团乙BCD=乙E.

回的=郎.

^BAD=（BCD.

团乙BAD=乙E.

（2）解:如图，连接AC.

E

MB为O。的直径,CD1AB.

团AC=AD=6,^ACB=^ACE=90°.

团半径为5

匿48=10.

团BC=7AB2-"2=8.

^ACE=乙EAB=90°.

团乙E+L.EAC=^EAC+/.CAB=90°.

团NE=Z.CAB.

在Rt△瓦4c和RtUCB中.

/-ACE=乙BCA=9O°,ZE=^CAB.

团△瓦4CfABC.

胫=竺

ACBC

17.如图,45为。。的直径，过点A作。。的切线力M,C是半圆月B上一点(不与点重合)，连结4C,过点C作CD1于

点瓦连接8。并延长交4M于点F.

⑴求证：/-CAB=乙AFB.

(2)若O。的半径为5,AC=8,求DF的长.

【答案】(1)证明见解析

32

(2)0F=y

【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理,圆周角

定理以及勾股定理是正确解答的关键.

(1)根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论.

(2)根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可.

【详解】(1)证明：rAM是。。的切线.

.­.Z.BAM=90".

•••CD14B于点E.

.­./.CEA=90°.

•••CDWAF.

/-CDB=Z.AFB.

■■■Z.CDB=Z.CAB.

乙CAB=/-AFB.

(2)解：连结4D.

CD1于点是O。的直径.

•••CE=DE.

・•・48是CD