2025年北师版九年级数学寒假复习：直角三角形的边角关系 全章复习【2大考点10种题型】

专题1.6直角三角形的边角关系全章专项复习【2大考点10种题型】

【北师大版】

＞题型梳理

【考点1锐角三角函数】.......................................................................1

【题型1利用设参法求锐角的三角函数值】......................................................2

【题型2构造直角三角形求锐角的三角函数值】..................................................3

【题型3锐角三角函数与一元二次方程的综合】..................................................4

【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】................................................4

【考点2解直角三角形】.......................................................................5

【题型5解直角三角形】.......................................................................7

【题型6构造直角三角形解斜三角形】...........................................................8

【题型7与仰角、俯角有关的问题】............................................................9

【题型8与方位角有关的问题】................................................................11

【题型9与坡角、坡度有关的问题】...........................................................13

【题型10方案设计问题】......................................................................15

►举一反三

【考点1锐角三角函数】

1.在直角三角形中，一个锐角的逾与逊的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作_旦凶_.

2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与逊的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_.

3.在直角三角形中,一个锐角的逊与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作—拉凶_.

NA的对边a

正弦：sinA=

斜边c

NA的邻边b

余弦：cosA=

斜边

NA的对边a

正切:tanA=

NA的邻边b

常见三角函数值：

锐角a

30°45°60°

三角函数

1

£

sin。也V3

222

cosaV3£

T~T2

V3

tana1V3

T

【题型1利用设参法求锐角的三角函数值】

【例1】（2024•四川达州•一模）如图，四边形力BCD为矩形纸片，AB=7,BC=9,现把矩形纸片折叠，

使得点C落在48边上的点L处（不与A,8重合），点。落在D'处，此时，C'。交4。边于点E,设折痕为

【变式1-1]（2024•甘肃定西•模拟预测）已知在RtadBC中，ZC=90°,若BC:4B=5:13,贝!JtanA的值

为.

【变式1-2]（202牛上海・模拟预测）在梯形48。。中，4。||8。，/8。。=90。，AB=BC=5,AD=2,^ABC

的平分线交CD于E,连接AE,则tan乙4EB=.

【变式1-3]（2024•浙江宁波•模拟预测）如图,在RtAABC中,已知NC=90。，3CD=BD,cos/ABC=手,

2

【题型2构造直角三角形求锐角的三角函数值】

【例2】（2024•重庆九龙坡•模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点4,B,C都在格点上，那

么siM4cB的值为（）

【变式2-1］（2024•辽宁沈阳•一模）如图，在正方形力BCD中，点E为48边的中点，将正方形48C。折叠,

使点D与点E重合，MN为折痕，则sin/MNB的值是（）

A2V5VsV3

A.—B.—C.—D.-

5525

【变式2-2］（2024・广东潮州•一模）如图，办28的对角线AC,3。交于点O,。斑2。交BC于点E,^ABD

【变式2-3］（2024•浙江•模拟预测）如图，将矩形2BCD沿BE折叠，点A与点4重合，连接E4并延长分别

交BD,BC于点G,F,且BG=BF.

(1)若乙4E8=55°,贝!=

3

（2）若,=[，贝Utak48E的值为

【题型3锐角三角函数与一元二次方程的综合】

[例3]（23-24九年级•湖南郴州•期末）如果把方程式2+6%+5=0变形为（％+a）2=b的形式，那么以a,b

长为直角边的中cosB的值是（）

“4-3-4r3

A.—B.-C.-D.-

5534

【变式3-1]（23-24九年级•福建泉州•期末）若cosa,二一是关于x的方程3/-5kx+2k—1=0的两个实

cosa

数根，贝（Jcosa=（）

B.3C.1D.3或2

【变式3-2]（2024•云南临沧•二模）如果方程/-8x+15=0的两个根分别是Rt"2C的两条边，AABC最

小的角为A,那么tanA的值为（）

A.-

4

【变式3-3]（2024•四川成都•二模）关于x的方程2/一5xsinX+2=0有两个相等的实数根，其中乙4是锐

角A4BC的一个内角；关于y的方程y2-10y+m2-4m+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，则△力BC

的周长是.

【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】

【例4】（2024•辽宁丹东•模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形043。的顶点8的坐标为（10,4）,

四边形4BEF是菱形，且tanN4BE=*若直线2把矩形048C和菱形48EF组成的图形的面积分成相等的两部

分，则直线/的解析式为（）

35

A.y=3xB.y=--x+-C.y=-2x+11D.y=—2x+12

【变式4-1]（2024•山东德州•二模）将回。R4按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中乙。84=90。,

4

乙4=30。，顶点A的坐标为(1,百)，将回。54绕原点逆时针旋转，每次旋转60。，则第2023次旋转结束时,

点A对应点的坐标为.

【变式4-2](202小湖北恩施•二模)蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图

中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，己知P(0,-2),则

。点坐标为()

A.(-2V3,3)B.(-2V3.4)C.(-V3,3)D.(-V3,4)

【变式4-3](2024・湖北武汉•三模)如图，在平面直角坐标系久Oy中，点力、。在第一象限内且点4(a—1,3a),

点C(—1,0)点B(2,0),AACD=45。，点B到射线CD的最小值是.

L解直角三角形

解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、

两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边),就可以求出其余3个未知元素。

在RbABC中,zC=90°,zA,zB,zC所对的边分别为a,b,c

5

(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)锐角之间的关系：zA+zB=90°

(3)边角之间的关系：

..a.b.a.b„a„b

sinA=—,cosA=—,tanA=—;sinBn=—,cosB=—,tanB=一

ccbcca

2.解直角三角形的类型

已知条件解法

22

两直角边（如a,6）由tan=~,求//;/.B-90°-n/;c=yja+b

斜边、一直角边（如c,a）由sin/=［求n/;N8=90。-z/l;c2・a2

b

一锐角与邻边（如NZ,6）N8=90°-z/l;a=Z>tanA;c-

cosAA

aa

一锐角与对边（如NZ,a）z5=90°-Z/4;b-c=.,

tanAsinA

斜边与一锐角（如C,"）z5=90°-Z/4;csinA;b-ccosA

3.锐角三角函数的实际应用

1.日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较

大的作用，在应用时要注意以下几个环节：

Q）审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的

已知条件，画出它的平面图或截面示意图.

⑵明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等.

（3）是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分

割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决.

（4）确定合适的边角关系，细心推理计算.

（5）在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况.

4.锐角三角函数实际应用中的相关概念

（1）仰角、俯角

如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做

俯角.

6

视线

线lL隧4向a水_平线

I'视线

图①图②

（2）坡度（坡比）、坡角

h

如图②，坡面的高度h和水平距离I的比叫坡度（或坡比），即/=tana=7,坡面与水平面的夹角MU

坡角.'

（3）方向角

指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角.如图

③，OA是表示北偏东60。方向的一条射线.

注意：东北方向指北偏东45。方向，东南方向指南偏东45。方向，西北方向指北偏西

45。方向，西南方向指南偏西45。方向.我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。南

（4）方位角图③

从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.

5.三角函数常见模型

图1图2

如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，目2ABC等于90°,NACB=a,NADB=〃，CD=a,

AB=x,贝!!有了=3口&/7/?,x=C^>tana,

•­•—--------------J",1°1；变式为图2,则结论为戈=1°]

tanatanp]+]

tanatan0tanatan°

【题型5解直角三角形】

【例5】（23-24九年级•福建泉州,期末）在锐角AABC中，4D1BC于点D,若tan/BAD=tanzCXD=

[，则NB4C的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【变式5-1]（23-24九年级•河北石家庄•期中）在RtUBC中，ZC=90°,AC=6,sinX=贝!MB的值为

7

A.4.8B.9C.7.5D.10

【变式5-2］（2024•黑龙江大庆•模拟预测）如图，AABC与△DEF均为等边三角形，。为BC,EF的中点,

点。在边2C上，贝的值.

【变式5-3］（2024•浙江杭州•二模）如图，在Rt△48c中，LA=90°,AB=6,AC=3,D为边AB上一点,

5.AD=2BD,过点。作DE1DC,交于点F,连接CE,若乙DCE=LB,则处的值为_____.

DF

C

【题型6构造直角三角形解斜三角形】

【例6】（2024•广西・中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60。,

则重合部分构成的四边形2BCD的周长为cm.

【变式6-1］（2024•江苏常州•一模）在锐角△力BC中，sin^=—,cosB=上若力B=15,则4C=.

105-----------

【变式6-2］（2024・河南周口•模拟预测）如图，△4BC是等边三角形，AB=6,点E是NB4C的平分线力。上

的一动点，连接CE,将点E绕点C顺时针旋转60。得到点尸，连接CF,BF.若ABCF是直角三角形，则线

段4E的长为

8

B

F

【变式6-3]（2024,湖南,模拟预测）如图，在锐角AaBC中，AB=V3,ABAC=60°,力。平分NBAC,M,

N分别是力D和上的动点，贝UBM+MN的最小值为

【题型7与仰角、俯角有关的问题】

【例7】（2024九年级•山东青岛•专题练习）小智测量广场上篮球筐距地面的高度.如图，已知篮球筐的直

径4B约为0.45m,小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°,再调整视线，测得篮

球筐直径的另一端B处的仰角为35。.若小智的目高OC为1.6m,求篮球筐距地面的高度AD.（结果精确到

0.1m,参考数据：tan42°«0.9,tan35°«0.7,tan48°«1.1,tan55°®1.4）

【变式7-1]（2024•贵州遵义•模拟预测）赤水河畔的"美酒河"三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字.小

茜想测量绝壁上"美"字4G的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面

的夹角（如图中NDEC=N4EB,乙DFC=4GFB）,具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处

观测，俯角NMDE=45。时，恰好通过平面镜看到"美"字顶端4处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平

面镜水平放置于尸处观测，俯角NMDF=36.9。时，恰好通过平面镜看到"美"字底端G处.测得BE=163,3m,

CE=1.5m,点C,E,F,B在同一水平线上，点力，G,B在同一铅垂线上.（参考数据：sin36.9°«0.60,

cos36.9°«0.80,tan36.9°«0.75)

9

（1）CD的高度为m,CF的长为m；

（2）求"美"字4G的高度.

【变式7-2]（2024•山西大同•二模）2024年是甲辰龙年，在山西太原汾河景区有一条名为"中华第一巨龙”

的景观灯，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量这条"巨龙"的龙头头顶A距离地面的高度48（如图），

下面是他们的测量过程：小组成员在点C处测得BC与人行道的夹角为45。，测得龙头头顶A的仰角为28。；

沿着人行道直行43m到达点。处，此时测得与人行道的夹角恰好也是45。.已知3,C,D三点在同一水

平面上，A,2两点在垂直于水平面的同一竖直直线上，即4B1BC,AB1BD,测角仪距地面的高度忽略

不计，请根据以上测得的数据，估计龙头头顶A距离地面的高度4B.（结果精确到0.1m；参考数据：sin280«

0.47,cos28°~0.88,tan28°«0.53,V2-1.41）

【变式7-3]（2024•浙江宁波,三模）【问题背景】

一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）.两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用

附近的小山坡进行测量估算.

图1图2

【问题探究】

如图2,在坡角点C处测得旗杆顶点4的仰角乙4CE的正切值为3,山坡上点。处测得顶点4的仰角乙4DG的正

10

切值为丁斜坡CD的坡比为1:2.4,两观测点CD的距离为26m.

学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务.

任务1：计算C,。两点的垂直高度差.

任务2：求顶点力到水平地面的垂直高度.

【问题解决】

为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：

小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角NBCE的正切值为|；

小组二：在山坡上点。处测得旗杆底部点B的俯角NGDB的正切值为2.

任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度.

【题型8与方位角有关的问题】

【例8】(2024•上海浦东新•一模)如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研

究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2,正八边形游乐城友424344a54448的边长为Jkm,南

门。设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM,人为在上(门宽及门与道路间距

离忽略不计)，东侧有一条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑.在4处测得雕塑在北偏东45。方向上，在

4处测得雕塑在北偏东59。方向上.

河

一

推

始

尚

之

朱

!^黄

次

首

1帝

国

己IWI1ft

微

期

加

九

|«款

.9巽

翰

ft城

修i}

很

詈

^戊Ini

林I

画

制

春

加

之

已

序

海

£-ai尊

式

胃

算

斯Bl

戴

寅

Iw云

E士^

士

其

文tt

希

不

为

侪W

加

网

迪4

B尤

得W

又|-«|

连

柒

夬

^家

六

其IMI•

费

la草i

制

安

箝

行

绻

lal沿

耳

即IW

贯

仝

-rl笫

盆

同

太

鼻xI*

亘%

粕

整

杂

一

地

以

脩

懵

史

夜

舟*

胃

而

起

之

集

理

会

国

黄

于I*

军

史

基

像

就

岸

帝,JR

土

出

制

集

普

!•»1朴

野

^&次

之

城

纲

本

贵

舞

如la

李

九

的

景

一

周

书

冶

期

!&.费

氧

改

辜T

圆

者

算

1g图

°；

(1)ZCX142=°,Z.CA2AX=

(2)求点4到道路BC的距离；

(3)若该小组成员小李出南门。后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会

受到游乐城的影响？(结果精确到0.1km,参考数据：V2«1.41,cosl4°«0.97,cotl4°«4,sin59°«0.86,

tan59°«1.66)

11

【变式8-1］（2024,山东东营•一模）如图，某海岸线M的方向为北偏东75。，甲、乙两船同时出发向C处海

岛运送物资.甲船从港口4处沿北偏东45。方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30。方向航行，其中乙船的平

均速度为，若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度（结果用"表示）.

【变式8-2］（2024•海南省直辖县级单位•二模）如图所示为某景区五个景点4、B、C、D、E的平面示意图，

B在力的正东方方向，D在力的北偏东60。方向上，与力相距300米，E在D的正东方向140米处，C在4的北偏

东45。方向上，C、E均在B的正北方向.

⑴填空：^CAD一度，^ADE一度；

（2）求景点2、E之间的距离；

⑶求景点A、C之间的距离.

【变式8-3］（2024•山东荷泽•模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐.一送餐机器人从世界餐台4处向

正南方向走200米到达亚洲餐台8处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西

37。走到就餐区。处，最后从。回到2处，已知就餐区。在4的北偏东73。方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）

的距离.（结果保留整数，参考数值：sin73。2弟cos73。仪盖,tan73°»y,sin37°«|,cos37°~

■2、

tan37°«-）

4

12

【题型9与坡角、坡度有关的问题】

【例9】（2024•河北石家庄•模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打

造喷水景观（如图1）.为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中.图2是其截面图，已知绿道

路面宽04=3.5米，河道坝高4E=5米，坝面的坡比为i=1:0.5（其中i=tan〃BE）,当水柱离喷水

口。处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米.

图1图2

以。为原点建立平面直角坐标系，解决问题：

⑴求水柱所在抛物线的解析式；

⑵出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明

理由；

⑶河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水

花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；

①河水离地平面4。距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？

②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为/z米，

喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出机与场的关系式.

【变式9-1］（2024•江西南昌•模拟预测）如图1,是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利.某校数学社

团的同学们欲测量塔的高度.如图2,他们在第一层看台ED上架设测角仪EF,从9处测得塔的最高点4的仰

角为42。，测出DE=BC=23m,台阶可抽象为线段CD,CD=20V3m,台阶的坡角为30。，测角仪EF的高

度为2.5m,塔身可抽象成线段AB.

13

A

图1

⑴求测角仪EF与塔身的水平距离；

⑵求塔身4B的高度.（结果精确到0.1）（参考数据：sin42。«0.67,cos42°«0.74,tan42°■0.90,V3«1.73）

【变式9-2]（2024•湖南岳阳•模拟预测）如图，某工程队准备在山坡（山坡视为直线/）上修一条路，需要测

量山坡的坡度，即tana的值.测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的

仰角为31°,塔底B的仰角为26.6。.已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，。4=300米，图

中的点。，B,C,A,P在同一平面内.

⑴求P到OC的距离；

（2）求山坡的坡度tana.（参考数据回sin26.6°~0.45,tan26.6°«0.50,sin31°«0.52,tan31°~0.60）

【变式9-3]（2024,江苏宿迁•中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即

乙CEF=UEF）.小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，

在点。处恰好通过镜子看到建筑物A8的顶端A.经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m,BE=20m,

DE=2m,求建筑物AB的高度.

14

A

BD

【活动探究】

观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点。处不动，将镜子

移动至々处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出D%=2m；再将镜子移动至段处，恰好通过镜子

看到广告牌的底端A,测出DE2=3.4m.经测得，小军的眼睛离地面距离CD=1.7m,BD=10m,求这个

小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔48的高度.他们给出了如下测量步骤（如图）：

①让小军站在斜坡的底端。处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m）,小明通过移动镜子（镜子平放在

坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶3;②测出DE=2.8m；③测出坡长4。=17m；④测出坡

比为8:15（即tan乙4DG=2）.通过他们给出的方案，请你算出信号塔A8的高度（结果保留整数）.

【题型10方案设计问题】

【例10】（2024・山西•二模）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国

15

现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称"世界三大奇塔”.某校综合与

实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：

测量

应县木塔

对象

测量

学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题

目的

测量

无人机

工具

1.先将无人机从地面的点G处垂直上升100m至点P,测得塔的顶端A的俯角为16。；

测量

2.再将无人机从点尸处沿水平方向飞行60m至点C,然后沿垂直方向上升20m至点Q,测得塔的顶

方案

端A的俯角ADQ2=45。，图中各点均在同一竖直平面内.

P2--_D

测量

A

示意1

•

1

1

图!________________

G13

请根据以上测量数据，求应县木塔48的高度（结果精确到0.1m,参考数据：sinl6°«0.28,cosl6°~0.96,

tanl6°«0.29）.

【变式10-1】（2024•贵州安顺•二模）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防

火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献.如图所示，4C在一条笔直公路上，公路两

旁是林地，位于森林防火卡点力的北偏东55。方向的B处发生火灾，防火员从卡点4去火灾处救援有两种方案,

方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离8点最近的C处再跑步到B点救援；方案2：防火员从

卡点4直接跑步前往8处救援.若防火员的跑步速度为5m/s,骑车的速度为20m/s.（参考数据:sin35。-0.57,

cos35°«0.82,tan35°«0.70,sin55°«0.82,cos55°«0.57,tan55°«1.43)

16

（l）AB的长为米（结果保留整数）；

⑵防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由.

【变式10-2】（2024•甘肃天水•模拟预测）苦水高高跷是甘肃省兰州市永登县传统民俗文化之一，起源于元

末明初，至今已有700余年的历史，也是国家非物质文化遗产之一.如图1,表演者穿着传统戏剧服饰，画

上秦腔剧目中的人物脸谱，手持道具，凌空飞舞，被业内人士称为行走的"空中戏剧2024年春节，永登

县连城镇牛站村社火团队表演了醉关公.某校综合实践研究小组开展了"测量高跷关公腿多长”的实践活动，

过程如下：

方案设计：如图2,某人垂直踩在地面上，在地面上选取A,2两处分别测得NC4D和NCBD的度数（A,D,

8在同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上A,8两点的距离为3.9m,ACAD=42°,ACBD=58°.

解决问题：求高跷关公腿CD高度.

根据上述方案及数据，完成求解过程.（结果精确到0.1米.参考数据sin42。x0.67,cos42°«0.74,tan42°=

0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°«1.60.

图1图2

【变式10-3］（2024・甘肃・模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题.

课

探究物理实验装置中的几何测量问题

题

成

组长：XXX组员：XXX,XXX,XXX

员

实

验

测角仪，皮尺，摄像机等

工

具

方方案一方案二

17

案

设

计

PBLAC)

说点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到

明达水平面的位置，点C为木块的位置.

测

量AB=4米，乙PBC=40°,AC=5.9米，乙PCB=40°,

数Z.PAB=15°.乙PAB=22°.

据

请选择其中一种方案计算出摄像机机位尸到小车行驶轴线48的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据

tan40°«0.84,tanl5°~0.27,tan22°«0.40)

18

专题1.6直角三角形的边角关系全章专项复习【2大考点10种题型】

【北师大版】

＞题型梳理

【考点1锐角三角函数】.......................................................................1

【题型1利用设参法求锐角的三角函数值】......................................................2

【题型2构造直角三角形求锐角的三角函数值】..................................................3

【题型3锐角三角函数与一元二次方程的综合】..................................................4

【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】................................................4

【考点2解直角三角形】.......................................................................5

【题型5解直角三角形】.......................................................................7

【题型6构造直角三角形解斜三角形】...........................................................8

【题型7与仰角、俯角有关的问题】............................................................9

【题型8与方位角有关的问题】................................................................11

【题型9与坡角、坡度有关的问题】...........................................................13

【题型10方案设计问题】......................................................................15

►举一反三

【考点1锐角三角函数】

1.在直角三角形中,一个锐角的逊与逊的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作_§!凶_.

2.在直角三角形中，一个锐角的逾与逊的比叫做这个锐角的余弦锐角A的余弦记作_cosA_.

3.在直角三角形中，一个锐角的逊与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作—坦凶_.

NA的对边a

正弦：sinA=

斜边c

NA的邻边b

余弦:cosA=

斜边c

NA的对边a

正切：tanA=

NA的邻边b

常见三角函数值：

锐角a

30°45°60°

三角函数、

19

£V3

sin。也

222

£

cosaV3

工V2

V3

tana1V3

T

【题型1利用设参法求锐角的三角函数值】

【例1】（2024•四川达州•一模）如图，四边形力BCD为矩形纸片，AB=7,BC=9,现把矩形纸片折叠，

使得点C落在48边上的点L处（不与A,8重合），点。落在D'处，此时，C'。交4。边于点E,设折痕为

【答案】A

【分析】设BC'=zn,由矩形的性质得乙4=乙8=ZC=90。，由折叠得PC'=PC,NPC'E=NC=90。，则

ABC'P=^AEC=90°-iLAC'E,因为△PBC，三△C2E,所以BP=AC'=7-BC=AE=m,可求

得C'E=2+m,由勾股定理得n?+（7-6）2=（2+巾）2,求得符合题意的小值为3,贝|BC'=3,PC=5,

所以COSNBLP=|^=|,于是得到问题的答案.

【详解】解：设B