2024-2025学年云南省曲靖市宣威市高二上册9月月考数学检测试卷合集2套（含解析）

2024-2025学年云南省曲靖市宣威市高二上学期9月月考数学检测试卷（一）一、单选题（本大题共8小题）1．已知，则（

）A．0 B．1 C． D．22．已知命题p：，；命题q：，，则（

）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题3．已知集合，，则（

）A． B． C． D．4．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．15．已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（

）A．-3 B．-4 C．3 D．46．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．如图，平行六面体的各棱长均为，则（

）A． B． C． D．8．已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间中三点，则下列说法正确的是（

）A．B．与是共线向量C．和夹角的余弦值是1D．与同向的单位向量是10．某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（

）A．的值为0.035B．估计这组数据的众数为90C．估计这组数据的第70百分位数为89D．估计成绩低于80分的有350人11．若函数则（

）A．的最小正周期为10 B．的图象关于点对称C．在上有最小值 D．的图象关于直线对称三、填空题（本大题共3小题）12．某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取名志愿者．13．若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为．14．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．则当漏诊率时，误诊率.四、解答题（本大题共5小题）15．如图，正方体中，为的中点．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．16．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)若，且的面积为，求的周长．17．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．18．如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．19．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．(1)求B点到平面PCD的距离；(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案1．【正确答案】C【详解】若，则.故选C.2．【正确答案】B【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题.故选B.3．【正确答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选C．【一题多解】因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选C．4．【正确答案】B【分析】由得，结合，得，由此即可得解.【详解】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选B.5．【正确答案】C【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即得.【详解】由，可得，所以，解得，所以.故选C.6．【正确答案】C【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值．【详解】由题意可知，三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：则，∴，∴，异面直线与所成角的余弦值为．故选C．7．【正确答案】B【详解】由已知可得，，两边平方得，，所以.故选：B.8．【正确答案】B【详解】因为，所以，，所以，故选：B.9．【正确答案】AD【分析】对于A，求出模长即可；对于B，向量共线定理；对于C，向量数量积求角度；对于D，计算同向的单位向量，再比较即可【详解】对于A，，，A正确；对于B，，，，不共线，B错误；对于C，，C错误；对于D，，其同向的单位向量为，D正确.故选AD.10．【正确答案】ABD【分析】利用频率分布直方图频率之和为1，求解众数、百分位数问题.【详解】易知，解得，所以A错误；由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；由频率分布直方图可知前两组频率之和为，前三组频率之和为.故第70百分位数落在区间，设第70百分位数为，则，解得，所以正确；成绩低于80分的频率为，所以估计成绩低于80分的有人.故D错误.故选ABD.11．【正确答案】AD【分析】由正弦型函数的周期公式可求A，通过代入求值的方法可判断BD选项，利用正弦函数的图象与性质可判断C.【详解】，A正确.因为，所以的图象不关于点对称，B错误.因为，所以的图象关于直线对称，D正确.若，则，由的图象可知，在上有最大值，没有最小值，C错误.故选AD.12．【正确答案】15【分析】根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出．【详解】高三年级抽取的人数为．故15．13．【正确答案】/【详解】设直线的倾斜角为，因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，因为，因此，.故答案为.14．【正确答案】【详解】依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得：，由右边的频率分布直方图可得.故15．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，设，连接，则为中点，在中，因为为的中点，所以，又因为平面平面，所以平面.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则，，设为平面的一个法向量，由，得，即，令得设与平面所成角大小为，则，所以与平面所成角的正弦值为．16．【正确答案】(1)(2)6【详解】（1），由正弦定理可得，又，所以，因为为锐角三角形，故．（2）的面积为，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以的周长为．17．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为平面平面，所以，同理，所以为直角三角形，又因为，，所以，则为直角三角形，故，又因为，，所以平面.（2）由（1）平面，又平面，则，以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，所以，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.19．【正确答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）取中点为，连接，可以证明平面，，故可建立如图所示的空间直角系，计算出平面的法向量及后可得点到平面的距离．设，用表示的坐标，从而平面的法向量也可以用表示，根据二面角的余弦值为可得到的值从而得到．【详解】在中，，为中点，∴.又∵侧面底面，平面平面，平面，∴平面.在中，，，∴.在直角梯形中，为的中点，，∴.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，(1)∴．设平面的法向量为，则即取，得．则点到平面的距离.(2)设．∵，∴，∴，∴，∴．设平面的法向量为，则即，取，得．平面的一个法向量为，∵二面角的余弦值为，∴.整理化简，得.解得或(舍去)，∴存在，且.（1）空间中一点到平面的距离可由空间向量来计算，在平面中取一点，则．与线段上的动点相关的问题，如果用空间向量来解决，则需设，因为此时的坐标是关于的一次式，这样的形式便于计算．2024-2025学年云南省曲靖市宣威市高二上学期9月月考数学检测试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足zi=3+2i，则复数z(1－i)的虚部为（

）A．－5 B．－5i C．－3 D．－3i2．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（

）A． B．C． D．3．某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：则这组数据的（

）A．众数是30 B．分位数是30.5C．极差是37 D．中位数是434．已知直线：，：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．6．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（

）A． B． C． D．7．某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（

）A． B． C． D．8．过定点M的直线与过定点N的直线交于点P，则的最大值为()A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角的取值范围是B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D．已知向量，，则在上的投影向量为10．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则（

）A．两人均获得满分的概率B．两人至少一人获得满分的概率C．两人恰好只有甲获得满分的概率D．两人至多一人获得满分的概率11．扎马钉（图1），是古代军事战争中的一种暗器.如图2所示，四个钉尖分别记作，连接这四个顶点构成的几何体为正四面体，组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，设，则下列结论正确的是（

）A．B．为正四面体的中心C．D．四面体的外接球表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为.13．将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点重合.14．学校为了解学生身高(单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为的样本.其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．

(1)证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的正弦值．16．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组.

(1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；(3)若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.17．已知点，直线和(1)过点作的垂线，求垂足的坐标；(2)过点作分别于交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程．18．已知函数满足，且在上有最大值.(1)求，的值；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．已知中，角，，的对边分别是，，，.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，且，求周长的最小值.1．A【分析】由复数的运算法则求得复数z(1－i)，然后根据复数的定义得结论．【详解】由已知，，其虚部为．故选：A2．B【分析】根据空间基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解.【详解】对于A中，由，所以不能作为一组空间基底；对于B中，假设共面，则存在，使得，即，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以向量可以作为空间的一组基底；对于C中，由，所以不能作为空间的一组基底；对于D中，由，所以不能作为空间的一组基底.故选：B.3．B【分析】由众数定义可判断A错误，将数据从小到大排列后根据中位数、极差、百分位数定义可判断CD错误，B正确.【详解】根据题意可知，每个数出现的次数都是一次，即众数不是30，即A错误；将这10个数据从小到大排列为；易知为整数，所以分位数是第一个数与第二个数的平均值，即为，即B正确；易知其极差为，即可得C错误；中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，可得D错误.故选：B4．C【分析】根据两直线平行与斜率的关系即可求解.【详解】因为，所以，解得，所以“”是“”的充要条件，故选：C.5．A【分析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离.【详解】依题意，，设平面的法向量，则，令，得，则点到平面的距离为，所以点到平面的距离为.故选：A6．A【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案.【详解】，则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值，即．故选：A.7．C【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，画树状图如下，共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，故他们选择同一项活动的概率是，故选：C．8．D【分析】求出直线与直线过的定点，由得到两直线垂直，从而得到，由勾股定理得到，结合基本不等式求出最大值.【详解】动直线经过定点，动直线，即，令，解得：，故直线过定点，因为直线，所以过定点的直线与定点的直线始终垂直，又是两条直线的交点，，，故（当且仅当时取“=”）.故选：D.9．ACD【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的垂直及充要条件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以，故A正确；对于B选项，因为直线与直线互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量，使得为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确;对于D选项，因为向量，所以在上的投影向量为，故D正确.故选：ACD.10．ACD【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即得.【详解】设“甲获得满分”，“乙获得满分”，则,对于A，“两人均获得满分”可表示为,因两人能否获得满分相互独立，故,

即A正确；对于B，因“两人至少一人获得满分”的对立事件为“两人都没获得满分”,则“两人至少一人获得满分”的概率为：，故B错误；对于C，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为，其概率为：，故C正确；对于D，因“两人至多一人获得满分”的对立事件为“两人都获得满分”，则“两人至多一人获得满分”为：,故D正确.故选：ACD.11．AB【分析】容易判断B；将图形还原成正四面体，取CD中点F，进而证明平面ABF，然后判断A；设E为A在平面BCD上的投影，设出正四面体的棱长，进而根据勾股定理求出棱长，然后判断C；根据球的表面积公式可以判断D.【详解】如图，正四面体ABCD，由题意，，则O为正四面体ABCD的中心，B正确；设E为A在平面BCD上的投影，易知点E为三角形BCD的中心，连接CF交CD于F，则F为CD的中点，连接AF，则，而，所以平面ABF，所以.A正确；设该正四面体棱长为，则，因为，，联立解得a=263.C错误；易知该四面体外接球半径为1，则外接球的表面积为.故选：AB.12．【分析】由，借助模长公式得出的长.【详解】因为所以即故13．【分析】先求线段的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点与点，可知线段的中点为，且，则线段的中垂线的斜率，则线段的中垂线方程为，即，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以所求点为.故答案为.14．【分析】根据题意，求出样本的平均数和方差，结合用样本估计总体的思路，即可得答案．【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为，其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，则样本的平均数，样本的方差，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为．故．15．(1)证明见解析(2)．【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面；（2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值；【详解】（1）如图所示，连接．

因为，分别是棱，的中点，所以，因为，，所以，，所以四边形是平行四边形，则．因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，平面,所以，又因为，所以，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题中数据可得，，，．设平面的法向量为，则令，得．因为，,所以平面平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则．故，即平