甘肃省平凉市崆峒区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

2024—2025第一学期八年级期末质量监测数学注意事项：1．本试卷共150分，考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.下列四个汉字图形中，可以近似地看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列各图中，正确画出边上的高的是（）A. B. C. D.3.下列各式中，是最简分式的是（）A. B. C. D.4.如图，，，，则的度数为（）A. B. C. D.5.下列运算中正确的是（）A. B. C. D.6.如图，小明从平凉大明塔A出发，以15千米/时的速度向正北方向骑行，2小时后到达同学小刚家B处．小明家C在平凉大明塔A的北偏西方向上，在小刚家B的北偏西方向上．则小刚家B到小明家C的距离是（）A.15千米 B.20千米 C.30千米 D.35千米7.已知是关于x分式方程的解，那么k的值为（）A.0 B.1 C.2 D.48.如图，在中，是斜边上的高，，，则的长是（）A. B. C. D.9.如果，那么的值为（）A10 B.9 C.4 D.10.如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.分解因式：________．12.2024年平凉市预计全年完成地区生产总值690亿元，同比增长，数据“”用科学记数法表示为________．13.如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是______________________（填一个即可）．14.如图，在△ABC中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点D，则的度数为________．15.已知，则的值为________．16.如图，已知正六边形ABCDEF边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．18.计算：．19.解方程：．20.如图，已知，，求证：．21.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出△ABC关于x轴成轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；（2）作出△ABC关于y轴成轴对称的△A″B″C″，并写出A″，B″，C″三点的坐标．22.如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．（1）求证：．（2）求证：．四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23.先化简，再求值：，其中，.24.用一条长为的铁丝围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？25.在数学研究活动中，老师给学生们布置了一些有趣的数学题目．小明和小红是研究活动中的积极成员，他们决定一起讨论并解决这些问题．请你帮助他们完成这些计算．（1）小明在活动中遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小明解答这个问题．（2）小红在活动中也遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小红解答这个问题．26.新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车的进价的倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆．（1）甲型汽车和乙型汽车的进价分别为每辆多少万元？（2）该汽车4S店决定用不多于1120万元资金购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，则最多可以购买多少辆甲型汽车？27.数学课上，老师出示了如下框中的题目．如图，在等边中，点E在边上，点D在边的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并证明．小红与同桌小明谈论后，进行了如下回答：（1）特殊入手，探索结论如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系．直接写出结论：________．（填“>”“<”或“=”）图1（2）特例启发如图2，试确定线段与的大小关系，并证明．图2（3）拓展结论，设计新题在等边中，点E在射线上，点D在直线上，且．若的边长为2，，在图3中补画出图形，并求的长．图3

2024—2025第一学期八年级期末质量监测数学注意事项：1．本试卷共150分，考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.下列四个汉字图形中，可以近似地看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的定义理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，据此解答即可．【详解】解：A.不符合轴对称的定义，故不符合题意；B.不符合轴对称的定义，故不符合题意；C.符合轴对称的定义，故符合题意；D.不符合轴对称的定义，故不符合题意；故选：C．2.下列各图中，正确画出边上的高的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，画出边上的高，进行判断即可．【详解】解：由题意，画出边上的高如图：故选D．3.下列各式中，是最简分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．【详解】解：A.，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；B.，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；C.是最简分式，故符合题意；D.，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；故选：C．4.如图，，，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查全等三角形性质，根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴；故选B．5.下列运算中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法法则逐一判断即可．详解】A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意．故选：D【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．6.如图，小明从平凉大明塔A出发，以15千米/时的速度向正北方向骑行，2小时后到达同学小刚家B处．小明家C在平凉大明塔A的北偏西方向上，在小刚家B的北偏西方向上．则小刚家B到小明家C的距离是（）A.15千米 B.20千米 C.30千米 D.35千米【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，根据题意，结合三角形的外角的性质，得到，进而得到，即可得出结果．【详解】解：如图，由题意，得：千米，，∵，∴，∴千米；即：小刚家B到小明家C的距离为30千米；故选C．7.已知是关于x分式方程的解，那么k的值为（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查根据分式方程的解求参数的值，把代入分式方程，进行求解即可．【详解】解：把代入，得：，∴；故选B．8.如图，在中，是斜边上的高，，，则的长是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直角三角形的特征，由直角三角形的特征得，，即可求解；能熟练利用直角三角形的特征进行求解是解题的关键．【详解】解：，，，，是斜边上的高，，，，故选：C．9.如果，那么的值为（）A.10 B.9 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，利用单项式乘多项式的法则和完全平方公式展开，再合并同类项，然后利用整体代入法进行求值即可．【详解】解：∵，∴；故选A．10.如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】对于①，作∠B或∠C的平分线即可，②不能，③作斜边上的高，④在BC上取点D，使BD=BA即可.【详解】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①图，作∠ABC的平分线交AC于点D，则分成的两个三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，符合要求；②图不能被一条直线分成两个小等腰三角形；③图，作等腰直角三角形斜边上的高AD，则可把它分为两个小等腰直角三角形，符合要求；④图，在BC上取点D，使BD=BA，作直线AD，则分成的两个三角形的角的度数分别为：36°，72，72°和36°，36°，108°，符合要求．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和三角形的内角和定理，在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原等腰三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.分解因式：________．【答案】【解析】【分析】本题考查因式分解，直接利用平方差公式法进行因式分解即可．【详解】解：；故答案为：．12.2024年平凉市预计全年完成地区生产总值690亿元，同比增长，数据“”用科学记数法表示为________．【答案】【解析】【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．据此求解即可．【详解】解：数据“”用科学记数法表示为，故答案为：．13.如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是______________________（填一个即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意已知一组边相等，一个公共角相等，再添加一个角相等即可求解．【详解】解：添加，∵，,，∴，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．14.如图，在△ABC中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点D，则的度数为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质；由三角形内角和定理得，由线段垂直平分线的性质得，由等腰三角形的性质，即可求解；掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】解：，，，由图得：在的垂直平分线上，，，，故答案为：．15.已知，则的值为________．【答案】7【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值．由已知得，再整体代入计算即可求出值．【详解】解：∵，∴，即，∴．故答案为：7．16.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．【答案】60°【解析】【详解】如图，因为点Ａ关于GH的对称点是F，所以连接BF交GH于点P，则PA+PB=PF+PB=BF，所以PA+PB的最小值是BF.因为∠BAF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，所以∠AFB=30°.因为∠HGF=90°，所以∠GPF=60°.故答案为：60°.三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．【答案】11【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和乘方的运算．根据零指数幂、负指数幂和乘方的运算法则对原式进行化简，再进行计算即可．【详解】解：．18.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查整式的混合运算，先根据乘法公式计算括号内，再利用多项式除以单项式的法则进行计算即可．【详解】解：原式．19.解方程：．【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程．去分母，化成整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解．【详解】解：原方程两边同时乘以得，，解得：，检验：当时，，所以原方程的解是．20.如图，已知，，求证：．【答案】见详解【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定；由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证；掌握全等三角形的判定及性质，平行线的判定方法是解题的关键．【详解】证明：在和中，（），，．21.已知△ABC在平面直角坐标系中位置如图所示．（1）作出△ABC关于x轴成轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；（2）作出△ABC关于y轴成轴对称的△A″B″C″，并写出A″，B″，C″三点的坐标．【答案】（1）点坐标为（-3，-2）、点坐标为（-4，2）、点坐标为（0，3），画图见解析；（2）点坐标为（3，2）、点坐标为（4，-2）、点坐标为（0，-3），画图见解析【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点坐标为（-3，-2）、点坐标为（-4，2）、点坐标为（0，3），然后顺次连接、、即可；（2））根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数求出点坐标为（3，2）、点坐标为（4，-2）、点坐标为（0，-3），然后顺次连接、、即可．【详解】解：（1）∵、、是A（-3，2）、B（-4，-2）、C（0，-3）关于x轴的对称点，∴点坐标（-3，-2）、点坐标为（-4，2）、点坐标为（0，3），如图所示，即为所求；（2）∵、、是A（-3，2）、B（-4，-2）、C（0，-3）关于y轴的对称点，∴点坐标为（3，2）、点坐标为（4，-2）、点坐标为（0，-3），如图所示，即为所求；【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于能够熟练掌握关于x轴和关于y轴对称的点的坐标特征．22.如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．（1）求证：．（2）求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的性质求出，根据角平分线性质求出，即可证明，即可得出答案；（2）证明，推出，即可得出答案．【小问1详解】证明：连接和，∵是的垂直平分线，∴，∵平分，，，∴，，在和中，，∴，∴；【小问2详解】证明：∵平分，，，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23.先化简，再求值：，其中，.【答案】x－1【解析】【分析】分式的混合运算．注意通分、约分的方法．最后代入求值．【详解】解：原式＝＝x－124.用一条长为的铁丝围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？【答案】（1）（2）能，理由见解析【解析】【分析】（1）设底边长为，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；（2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解【小问1详解】解：设底边长为，则腰长为，根据题意得：，解得：，则，∴三角形的三边长分别为．【小问2详解】解：能，理由如下：①当底边长为时，则腰长三角形的三边分别为，∵，∴此时能围成三角形；当腰长为时，则底边，三角形的三边分别为，∵，∴不能围成三角形，综上所述，能围成一个底边是，腰长是的等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．25.在数学研究活动中，老师给学生们布置了一些有趣的数学题目．小明和小红是研究活动中的积极成员，他们决定一起讨论并解决这些问题．请你帮助他们完成这些计算．（1）小明在活动中遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小明解答这个问题．（2）小红在活动中也遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小红解答这个问题．【答案】（1）（2）26【解析】【分析】本题考查幂的运算，完全平方公式变形计算：（1）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆用进行计算即可；（2）利用完全平方公式变形计算即可．【小问1详解】解：∵，∴，∵，∴；【小问2详解】∵，，∴，∴，∴，∴．26.新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车的进价的倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆．（1）甲型汽车和乙型汽车的进价分别为每辆多少万元？（2）该汽车4S店决定用不多于1120万元的资金购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，则最多可以购买多少辆甲型汽车？【答案】（1）甲型汽车的进价为每辆12万元，乙型汽车的进价为每辆10万元；（2）最多可以购买60辆甲型汽车．【解析】【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用；（1）设乙型汽车的进价为每辆万元，则甲型汽车的进价为每辆万元，再利用用2400万元购进甲型汽车的数量比1800万元购进乙型汽车的数量多20辆，建立方程求解