第05讲 直线的方程【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第05讲直线的方程【人教A版2019】·模块一求直线方程的一般方法·模块二两条直线的位置关系·模块三直线方程的实际应用·模块四课后作业模块一模块一求直线方程的一般方法1．求直线方程的一般方法(1)直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知一点常选择点斜式；

②已知斜率选择斜截式或点斜式；

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).【考点1求直线方程】【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）若直线l过两点A(-2,0),B(0,1)，则直线lA．x-2yC．2x-y【解题思路】根据已知条件利用直线方程的截距式求解即可【解答过程】因为直线l过两点A(-2,0),所以直线l的方程为x-2+故选：A.【例1.2】（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）直线经过点A3,-2，倾斜角为π4，则直线方程为（A．x+y+2=0C．x-y-【解题思路】由倾斜角可得直线斜率，利用直线点斜式可整理得到直线方程.【解答过程】∵直线倾斜角为π4，∴直线斜率k∴直线方程为：y+2=x-故选：C.【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）设A、B是y轴上的两点，点P的横坐标为2，且PA=PB，若直线PA的方程为x-y+1=0A．x+y-C．2x+y【解题思路】根据直线PA的方程，确定出PA的倾斜角，利用PA=PB且A、B在y轴上，可得PB的倾斜角，求出P的坐标，然后求出直线【解答过程】解：由于直线PA的方程为x-y+1=0，故其又|PA|=|PB|，且A、B是y轴上两点，故直线又当x=2时，y=3，即∴直线PB的方程为y-3=-(x故选：A．【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知点A5,-2，B7,3，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在xA．5x-2C．5x-2【解题思路】设C(x,y)，【解答过程】设C(x,y)因为A5,-2，B所以x+52=0解得x=-5，y=-3，m=-即C(-5,-3)，M(0,-5所以MN所在直线方程为y+即5x故选：A．【考点2直线过定点问题】【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）不论k为任何实数，直线(2k-1)A．(-2,3) B．(2,3) C．(2,-3) D．(-2,-3)【解题思路】直线方程即k(2x+y-1)+(-【解答过程】直线(2即k(2根据k的任意性可得2x-y∴不论k取什么实数时，直线(2k-1)故选：B.【例2.2】（2023·全国·高二专题练习）无论m取何实数时，直线m-1xA．72,52 B．52,【解题思路】将直线方程可化为-x-3y【解答过程】直线方程可化为-x解方程组-x-3即定点的坐标为72故选：A.【变式2.1】（2023·江苏·高二假期作业）当a取不同实数时，直线a-1x-yA．2,3 B．-C．1,-12 D【解题思路】先化简直线方程，令a的系数为0，即可求出定点坐标.【解答过程】将直线方程化为ax+2-x-y+1=0故选：B.【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）以下关于直线3x-ayA．直线3xB．直线3xC．直线3xD．直线3x-ay【解题思路】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分a=0、a>0、a<0三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B【解答过程】对于直线3x-ay+1=0，令y=0一定不经过原点，故A正确；当a=0时直线即为x当a≠0时直线即为y若a>0，则1a>0若a<0，则1a<0所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；因为直线恒过点-13,0，所以直线故选：B.模块二模块二两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（当时，记为）垂直k1·k2=-1（当时，记为）平行k1=k2且b1≠b2或（当时，记为）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（当时，记为）【考点3由两条直线平行求方程】【例3.1】（2023春·湖北恩施·高二校考期末）过点A2,3且平行于直线2x+A．x-2y+4=0 B．2x+【解题思路】由平行关系设出直线方程，再根据过点A2,3【解答过程】∵所求直线与直线2x∴可设所求直线方程为2x又过点A2,3，则4+3+c=0∴所求直线方程为2故选：B．【例3.2】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知直线l过点A(2,-3)，且与直线y=x+1平行，则直线A．x-y+2=0C．x-y-【解题思路】通过平行可设直线l的方程为x-y+m=0【解答过程】设与直线y=x+1即x-y把点A(2,-3)代入可得2+3+m=0因此直线l的方程为x故选：D.【变式3.1】（2023春·福建福州·高二校考期末）若直线l1:2x-3y-3=0与l2A．3x+2yC．2x-3【解题思路】由题意设直线l2的方程为2x-3y+m=0，然后将点【解答过程】因为直线l1:2x-3y-因为直线l2过点(2,1)所以4-3+m=0，得所以直线l2的方程为2故选：D.【变式3.2】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）与直线y=-2x+3平行，且与直线y=3xA．y=-2x+4C．y=-2x-【解题思路】先求出直线y=3x+4交于x轴交点P(-43【解答过程】设直线y=3x+4交于x轴于P点，令y=0，则所求直线与y=-2x+3平行，设代入得-2×(-4所求直线方程为：y故选：C.【考点4由两条直线垂直求方程】【例4.1】（2023春·广东深圳·高二校考期中）经过点P0,1，且与直线y=2xA．y=2x+1C．y=-12【解题思路】根据题意，得到所求直线的斜率k=-1【解答过程】由题意知，直线y=2x-因为所求直线与直线y=2x-1垂直，所以所求直线的斜率满足又因为所求直线过点P0,1，所以方程为y-1=-故选：C.【例4.2】（2023·高二课时练习）在过点2，1的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是（A．x+2y-C．2x+3y【解题思路】根据与原点距离最远的直线是与原点与2，1【解答过程】在过点2，1的所有直线中，与原点距离最远的直线是与原点与2，1连线垂直的直线，过2，1和(0,0)的直线斜率为12故选：B.【变式4.1】（2022秋·广东广州·高二校联考期中）直线l的方向向量为2,3，直线m过点1,1且与l垂直，则直线m的方程为（

）A．2x+3yC．3x+2y【解题思路】先由直线l的方向向量求得kl，再利用直线垂直的性质求得km，从而利用点斜式即可求得直线m【解答过程】因为直线l的方向向量为2,3，所以kl又因为直线m与l垂直，所以klkm所以由直线m过点1,1可得，直线m的方程为y-1=-2故选：A.【变式4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知A3,1，B1,-2，C1,1，则过点C且与线段ABA．3x+2yC．2x-3【解题思路】求出直线AB的斜率，可得其垂线的斜率，再利用点斜式可求出答案【解答过程】解：因为kAB所以与AB垂直的直线的斜率为-2所以过点C且与线段AB垂直的直线方程为y-1=-2故选：D.【考点5根据两直线平行或垂直求参数】【例5.1】（2023·全国·高一专题练习）已知直线l1:x(1)若l1⊥l(2)若l1∥l2【解题思路】（1）根据两直线垂直的公式A1（2）根据两直线平行，A1B2=【解答过程】（1）若l11×a+a×-（2）若l1∴a2=-2aa=-3时，l1:a=1时，l1:x+所以a=-3【例5.2】（2023·高三课时练习）已知两直线l1:x+m2y+6=0，(1)相交；(2)平行.【解题思路】（1）对m进行分类讨论，结合两直线相交求得正确答案.（2）根据两直线平行列方程，化简求得m的值.【解答过程】（1）当m=0时，l1:此时1×3m≠m由于m≠0，所以m解得m≠3且m所以当m≠3且m≠-1且m≠0时，l1（2）由（1）可知，当m=0时l1与当m≠0时，要使l1与则需1×3m=m由于m≠0，所以m解得m=3或m当m=3时，l1当m=-1时，l1:x+y综上所述，当m=0或m=-1时，l1与【变式5.1】（2023·全国·高二专题练习）a为何值时，(1)直线l1:x(2)直线l3:2x【解题思路】（1）根据两直线平行所满足的公式得到方程和不等式，求出a的值；（2）法一：考虑a=0与a≠0两种情况，根据斜率乘积为法二：根据两直线垂直所满足的A1A【解答过程】（1）要使两直线平行，则需2a3a解得：a=1所以当a=16（2）法一：①当a＝0时,直线l3的斜率不存在，直线l3:x-②当a≠0，直线l3:要使两直线垂直，必有-2综上①②可得：当a＝0时,两直线垂直.法二：要使直线l3:2x只需2a解得：a＝0，所以当a＝0时，两直线垂直.【变式5.2】（2023秋·高二课时练习）已知两条直线l1:mx+8y(1)l1与l2相交于一点(2)l1//l2且(3)l1⊥l2且l1在【解题思路】（1）根据题意得到方程组m2（2）当m=0时，此时不满足l1//l2；当（3）根据题意得到方程组2m+8【解答过程】（1）解：由于l1与l2相交于一点P(m,1)可得m2+n（2）解：当m=0时，可得l1:8y+当m≠0时，因为l1//l2且l解得m=4,n=-4（3）解：由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1模块三模块三直线方程的实际应用1．直线方程的实际应用利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.【考点6直线方程的实际应用】【例6.1】（2022·高二课时练习）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度．【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答.【解答过程】依题意，设l与t的关系式为：l=kt+于是得12.506=40k+b则l与t的关系式为l=0.00015t+12.5，当t所以所求直线的方程为l=0.00015t+12.5，铁棒在100℃【例6.2】（2022·全国·高二专题练习）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，点Q在AB上，且PQ//CD，（1）如图建立直角坐标系，求线段AB所在直线的方程；（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到1m2【解题思路】（1）根据题意可得OA=20,OB（2）设Qx,20-2x【解答过程】（1）由题意得OA=20,所以线段AB所在直线的方程为x30+y（2）设QxS=-故当x=5,y=503【变式6.1】（2023秋·上海浦东新·高二校考期中）足球比赛中，攻方队员在守方队员的逼抢下，其行进路线可看作一条直线l，已如球门两根立柱的坐标分别为A-3，0，B3，0，直线l过两点-现攻方队员在行进过程中寻求机会射门，其位置用点P表示，（1）若以攻方队员与球门中心O（O为坐标原点）的距离最近为标准，求点P的坐标；（2）若以攻方队员对球门范围的视角最大（即∠APB最大）为标准，求点P（结果保留一位小数）【解题思路】建立平面直角坐标系，求得直线l的方程.（1）设出P点坐标，根据OP⊥l列方程，解方程求得P（2）设出P点坐标，通过计算tan∠APB的最大值，求得此时对应的点P【解答过程】建立平面直角坐标系如下图所示，由于直线l过两点-20，-20，-10，-（1）当直线OP⊥l时，攻防队员与球门中心O的距离最近，直线OP的方程为y=2x.由（1）设P-2a①当57+2a=0，a=-572②当63+2a=0，a=-632③当a≠-572且a≠-632时，kPA=a-2a-57,k【变式6.2】（2023秋·江苏扬州·高二校考阶段练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα=-2.在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、5km.现要过点P修建一条直线型公路BC（1）记∠CBM=θ，并设tan（2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数S=（3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．【解题思路】（1）由倾斜角的范围得出斜率范围；（2）以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，得到直线AN的方程是y=-2设点Px0，3，根据点P到直线的距离公式得到设直线BC的方程为y-3=kx-1，求出B点坐标，由直线y-3=k（3）由（2）得1+Sk2+2【解答过程】（1）由题意得90°<α<θ即-2<（2）以点A为原点，AM所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知得AN所在直线的方程为y=-2x，即根据已知设P点坐标为x0，3，由点P到公路AN的距离为5解得x0=1或x0=-4.当x0所以公路BC所在直线的方程为y-令y=0，得x=1-3将y=-2x代入y-3=k即C所以S=（3）由（2）得1+S有Δ=(2S-6)2-当S=15时，k故面积的最小值为15，此时B5综上所述，当点B距离点A5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15k模块四模块四课后作业1．（2023·全国·高二专题练习）平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（

）①直线l：x+y②直线y=kx-2③直线x-④直线x-3A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】①代入验证即可；②当x=0时可得在y轴的截距；③由k>0,b>0【解答过程】①将P1,2代入x+y②当x=0时，y=-2，故在③由x-y+4=0故k=1>0，故其图像不经过第四象限，故正确；④x-3y+1=0的斜率为故选：C.2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）直线l1:mx-y+1=0,lA．0 B．1 C．0或1 D．13或【解题思路】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可.【解答过程】l1⊥l2⇔m3故选：C.3．（2022·高二课时练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（

）A．25min B．35min C．40min D．45min【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率k及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.【解答过程】由题意知：蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过(6,17.4),(21,8.4)两点，故其斜率k=∴直线方程为l-∴当蜡烛燃尽时，有t-21=14，即故选：B.4．（2023·全国·高二专题练习）已知直线x+ky-2-3k=0恒过定点Q,A．x+y-4=0 B．2x-【解题思路】求出直线x+ky-2-3【解答过程】由题意知x+ky-则直线恒过定点Q(2,3)，验证选项得直线l的方程可以为2故选：B.5．（2023·全国·高二专题练习）下列说法不正确的是（

）A．直线y=axB．直线y=3x-2C．直线3x+D．过点-1,2且垂直于直线x-【解题思路】求出直线y=ax-3a+2a∈R所过定点的坐标，可判断A选项；根据直线截距的定义可判断【解答过程】对于A选项，直线方程可化为ax-3+2-y故直线y=ax-3a对于B选项，直线y=3x-2在y轴上的截距为对于C选项，直线3x+y+1=0的斜率为-3对于D选项，直线x-2y故过点-1,2且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为y-故选：C.6．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线m:xcosα-A．m和n可能重合B．m和n不可能垂直C．m和n可能平行D．在m上存在一点P，使得n以P为中心旋转后与m重合【解题思路】根据km=cosα>-3=kn可得A，C错误；当cosα=13时，B错误；当点P是直线m【解答过程】由题意得：km=cosα>-3=kn所以直线m又当cosα=13时，直线m和当点P是直线m和n的交点时，n以P为中心旋转后可以与m重合，故D正确．故选：D.7．（2023·全国·高二专题练习）若△ABC的三个顶点为A(1,0)，B(2,1)，C(0,2)，则BCA．3x+2yC．2x-y【解题思路】根据B,C【解答过程】因为B(2,1)，C(0,2)，故可得B,则BC边上的高所在直线的斜率k=2，又其过点A故其方程为y=2(x-故选：B.8．（2023秋·青海西宁·高二统考期末）已知直线l1:2x-y+1=0,l2:3A．-5 B．5 C．-7 D【解题思路】利用直线一般式下平行与垂直的性质求解即可.【解答过程】因为l1所以由l1⊥l2，得由l2//l3，得所以a-故选：B．9．（2023·全国·高二专题练习）设m∈R，过定点A的动直线x+my+1=0和过定点B的动直线mx-yA．25 B．32 C．3 D【解题思路】根据动直线方程求出定点A,B的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得|PA|【解答过程】解：由题意，动直线x+my+1=0直线mx-y-2m+3=0可化为又1×m+m所以|PA因为|PA所以PA+PB≤2故选：D.10．（2022秋·贵州贵阳·高三校考阶段练习）已知m∈R，若过定点A的动直线l1：x-my+m-2=0和过定点B的动直线l2：mx+A．A点的坐标为2,1 B．PAC．PA2+PB2=25【解题思路】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.【解答过程】因为l1:x故直线恒过定点A2,1，故A选项正确；又因为l2：mx+y+2m-由l1:x-my+m-2=0所以l1⊥l2,可得PA所以PA2+PB2=因为PA⊥PB,设∠则PA=5所以2PA+PB=52cosθ+sinθ=55sinθ+φ,所以当故选：D.11．（2023·全国·高二专题练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是3，且经过点A5,3(2)经过点A-(3)在x轴，y轴上的截距分别为-3,-1(4)经过点B4,2，且平行于x(5)求过点A1,3，斜率是3的直线方程(6)求经过点A-5,2，且在y轴上截距为2【解题思路】（1）（5）：根据直线点斜式方程运算求解；（2）根据直线的两点式方程运算求解；（3）根据直线的截距式方程运算求解；（4）根据平行关系可得直线的斜率，进而可得方程；（6）根据题意结合直线的斜截式方程运算求解.【解答过程】（1）由点斜式得直线方程为y-3=3（2）由两点式得直线方程为y-5-（3）由截距式得直线方程为x-3+（4）因为平行于x轴，所以直线的斜率为0，又因为直线过点B4,2，所以直线方程为：（5）由点斜式得直线方程为y-3=3(x（6）由题意可知该直线斜率存在，又因为直线在y轴上截距为2，所以可设直线方程为y=又因为该直线过点A-5,2，则2=-5k所以直线方程为y=212．（2023秋·高二课时练习）设直线l1:ax-by+4=0，l（1）l1⊥l2，且（2）l1//l2，且l1，【解题思路】（1）由l1过点M(-4,-1)，可得：-4a+（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当b=0时，可知：两条直线不平行；当b≠0时两条直线分别化为：y=abx+4b，y=(1-【解答过程】解：（1）∵l1过点M(-4,-1)∵l1⊥解得：a=1b=0（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当b=0时，两条直线分别化为：ax+4=0，可知两条直线不平行．当b≠0时，两条直线分别化为：y=a由于l1//l2，且l1∴ab=1-a解得：b=2a=13．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l的方程为3x+4y-12=0(1)过点-1,3，且与l(2)过点-1,3，且与l(3)l'与l垂直，且l'【解题思路】（1）根据直线平行斜率满足的关系，结合经过的点即可求解，（2）根据直线垂直斜率满足的关系，结合经过的点即可求解，（3）根据直线垂直关系，可设直线的方程，根据面积即可求解.【解答过程】（1）方法一l的方程可化为y=-34x+3，∵l'与l平行，∴l'的斜率为又l'过点-1,3，∴由点斜式得直线l'的方程为y方法二由l'与l平行，可设l'的方程为3x将-1,3代入得m=-9.∴所求直线方程为方法三由l'与l平行，且过点-1,3，则l'的方程为3（2）方法一l的方程可化为y=-34x+3，由l'与l垂直，得l'的斜率为又l'过点-1,3，∴由点斜式得直线l'的方程为y方法二由l'与l垂直，可设l'的方程为将-1,3代入得n=13.∴所求直线方程为（3）方法一l的方程可化为y=-34x+3，∵l'⊥l，设l'在y轴上的截距为b，则直线l'的方程为令y=0，可得l'在x轴上的截距为由题意可知，围成的三角形面积S=12⋅∴直线l'的方程为y=4即4x-3方法二由l'与l垂直，可设直线l'的方程为则l'在x轴上的截距为-p4，在y由题意可知，围成的三角形面积S=12∴直线l'的方程为4x-14．（2023·全国·高二专题练习）已知直线