第10讲 抛物线及其性质【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

第10讲抛物线及其性质【人教A版2019】·模块一抛物线的定义和标准方程·模块二抛物线的几何性质·模块三课后作业模块一模块一抛物线的定义和标准方程1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)【考点1动点的轨迹问题】【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y到直线x=1的距离比它到定点-2,0的距离小1A．y2=2xC．y2=-4x【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）动点Mx,y满足方程5x-A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【变式1.1】（2022·江苏·高二专题练习）已知圆C与过点-1,0且垂直于x轴的直线l仅有1个公共点，且与圆C':x2A．y2=12x B．y2=6x【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）设圆O:x2+y2=4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于PA．x2=8y B．x2=16y【考点2利用抛物线的定义解题】【例2.1】（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点Px0,2在抛物线C：y2=4A．4 B．3 C．2 D．1【例2.2】（2023春·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点MA．78 B．1516 C．34【变式2.1】（2023秋·重庆渝中·高三校考阶段练习）设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B3,0，若A．1 B．2 C．4 D．2【变式2.2】（2023春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为k的直线l交抛物线于A．33 B．±33 C．3【考点3抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3.1】（2023秋·全国·高二期中）已知点1,4在抛物线y=axA．1,0 B．(0,1) C．0,116 D【例3.2】（2023秋·重庆铜梁·高二校联考期末）已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点M4,y0A．x=-2 B．y=-2 C．x=-3【变式3.1】（2023秋·全国·高三校联考开学考试）过抛物线C:x2=2pyp>0的焦点F的直线l交C于A,B两点，若直线lA．y=-3 B．y=-2【变式3.2】（2023·全国·高二假期作业）设O为坐标原点，F为抛物线C：x2=2pyp>0的焦点，直线y=1与抛物线C交于A，B两点，若A．y=-23C．y=-13或y=-【考点4抛物线的标准方程的求解】【例4.1】（2023·全国·高二专题练习）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（

）A．y2=8x B．y2=-8x C．y2=8x【例4.2】（2023·全国·高二假期作业）点M(5,3)到抛物线x2=ay的准线的距离为A．x2=112yC．x2=12y或x【变式4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥lA．y2=8xC．y2=2x【变式4.2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点T在C上，且FT=52，若点M的坐标为0,1A．y2=2x或y2=8C．y2=2x或y2=4【考点5根据抛物线的方程求参数】【例5.1】（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：y2=2px（p>0）上一点，PF=2，∠A．1 B．32 C．2 D．【例5.2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，且F与圆A．5 B．4 C．3 D．2【变式5.1】（2022·全国·高二专题练习）已知点Am,2为抛物线C:y2=2pxp>0上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若△A．12 B．1 C．2 D．【变式5.2】（2022·陕西西安·统考三模）已知抛物线x2=2pyp>0上一点Ax0,3，F为其焦点，直线AF交抛物线的准线于点B.且线段A．±3 B．±22 C．±33 D模块二模块二抛物线的几何性质1．抛物线的几何性质抛物线的简单几何性质：标准

方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形顶点(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴x=0焦点准线离心率e=1e=1开口开口向右开口向左开口向上开口向下焦半径范围x≥0x≤0y≥0y≤02．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.3．与抛物线有关的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.【考点6抛物线的对称性的应用】【例6.1】（2022·全国·高三专题练习）已知点A的坐标为(0,2)，点P是抛物线y=4x2上的点，则使得△OPA是等腰三角形的点A．2 B．4 C．6 D．8【例6.2】（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）焦点为F的抛物线y2=2pxp>0上有一点P2,2p，OA．12,32 B．14,【变式6.1】（2023秋·北京·高三统考开学考试）抛物线W:y2=2px的焦点为F．点F关于原点O的对称点为A．若以F为圆心的圆经过点A且与W的两个交点为BA．△BOC一定是钝角三角形 B．△C．△ABC一定是钝角三角形 D．△【变式6.2】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，且点A到准线l的距离为6，AF的垂直平分线与准线l交于点N，点OA．932 B．934 C．【考点7与抛物线有关的最值问题】【例7.1】（2023·全国·高二假期作业）点M为抛物线y2=8x上任意一点，点N为圆x2+y2-4A．2 B．2 C．3 D．2+【例7.2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点坐标为F1,0，则抛物线上的动点P到点A．2 B．4 C．25 D．【变式7.1】（2022秋·山东淄博·高二统考期末）已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为(-4,3)，则△PMF周长的最小值是（

A．5+15 B．5+17 C．9 D【变式7.2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C1:y2=12x，圆C2:(x-3)2+yA．32 B．22 C．12模块三模块三课后作业1．（2023·全国·高二假期作业）若动点Mx,y到点F4,0的距离等于它到直线x+4=0的距离，则A．x+4=0 B．C．y2=8x2．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若OM=5A．2 B．4C．2或32 D．2或3．（2023春·安徽宣城·高二统考期末）已知椭圆A:x24+A．椭圆A的焦距是2B．椭圆A的离心率是1C．抛物线B的准线方程是xD．抛物线B的焦点到其准线的距离是44．（2023·全国·高二专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线y=ax2的一部分，其焦点坐标为0,-2．校门最高点到地面距离约为A．18米 B．21米 C．24米 D．27米5．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线E:x2=4y，圆C:x2+y-32A．5 B．22-1 C．226．（2023·天津滨海新·天津市校考模拟预测）设双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．以FA．y2=122x B．y2=127．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）若F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，P是抛物线C上任意一点，PF的最小值为1，且A,B是抛物线A．4 B．3 C．2 D．58．（2023秋·贵州贵阳·高三校考期末）已知点A是抛物线y2=2pxp>0上的一点，若以抛物线的焦点F为圆心，以FA为半径的圆交抛物线的准线于B，C两点，BF=BC，当△A．2 B．22 C．4 D．9．（2023·全国·高二专题练习）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A2,4关于P的对称点为B，记P到直线x=-1,x=-3的距离分别dA．217+2 BC．17+2 D．10．（2023秋·山西运城·高二校考期末）已知曲线C的抛物线y2=2x及抛物线y2=-2x组成，A1,2，B-1,2，M,N是曲线CA．2+17 B．1+17 C．3 D11．（2023·江苏·高二假期作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程：(1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在x轴的正半轴上；(2)抛物线的焦点是F-12．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x(1)求点P的轨迹方程;(2)若A(2,2)，求△PAF13．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5(1)问船只能否顺利通过该桥？(2)已知每增加一层货箱，船体连货物高度整体上升4cm；每减少一层货箱，船体连货物