专题二 方程与不等式-2025届中考一轮数学突破热点训练营（含解析）

专题二方程与不等式——2025届中考数学突破热点训练营

1.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三

十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行

酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设醇

酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为()

xy2xy2xy2xy2

A.B.C.D.

50x10y3050x10y3010x50y3010x30y50

2.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每

株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，

如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩余椽的运费恰好等于一株椽的价钱.根据题

6210

意可列方程3x1，其中x表示()

x

A.剩余椽的数量B.这批椽的数量C.剩余椽的运费D.每株椽的价钱

3.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直粟

三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，

一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是甲、

乙两种解答方案，则()

甲：设换了清酒x斗，列方程为10x35x30，…；

x30x

乙：设用x斗谷子换清酒，列方程为5，…

310

A.只有甲对B.只有乙对C.甲、乙都对D.甲、乙都不对

4.在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年下学期平均

每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学

期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率

为x，则可列方程为()

22

A.701x290B.701x90C.901x270D.901x70

5.把1-9这9个数填入33方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相

等，这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”.

图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为：()

A.1B.3C.4D.6

6.甲、乙两地相距约240千米，新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速

提高了60%，时间比原来缩短了30分钟.设原来的平均车速为x千米/小时，则根据题意可列

方程为()

24024012402401

A.B.

x160%x2(160%)xx2

240240240240

C.30D.30

x(160%)x(160%)xx

7.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问

人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7

钱，还差4钱.问人数、物价分别是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是

()

y3y4y3y4

A.8(x3)7(x4)B.8x37x4C.D.

8787

8.电影《刘三姐》中有这样一个对歌的场景.

罗秀才：三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？

刘三姐的姐妹们：九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主.

该歌词表达的是一道数学题，其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇

数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同.问：应该如何分？设狗

数量多的三个群均为x条，则正确的是()

300x

A.依题意狗数量少的群是条B.依题意3003xx

C.x有最小值，但无最大值D.x99是正确解，但不是唯一解

9.塑料凳子轻便实用，在生活中随处可见.如图，若4个塑料凳子叠放在一起的高度为

60cm，6个塑料凳子叠放在一起的高度为70cm，则11个塑料発子叠放在一起的高度是()

A.95cmB.96cmC.97cmD.98cm

2

10.对于实数a，b，定义一种新运算“”为：ab，这里等式右边是通常的实数运

ab2

216

算.例如：13，则方程x11的解是()

1324x1

A.x4B.x5C.x6D.x7

11.定义：如果一元二次方程ax2bxc0(a0)满足abc0，那么我们称这个方程为

“凤凰”方程.已知ax2bxc0(a0)）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论

正确的是()

A.acB.abC.bcD.abc

12.某家商店的账目记录显示，卖出26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入是264元.若以同样

的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是_______.

13.某公园门票价格如下表：某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人

数分别为a和b(ab).若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一

个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为a_______，b_______.

购票人数1~4041~8080以上

门票价格20元/人16元/人13元/人

14.在一次综合实践活动中，某小组用Ⅰ号、Ⅱ号两种零件可以组装出五款不同的成品，编号

分别为A，B，C，D，E，每个成品的总零件个数及所需的Ⅰ号、Ⅱ号零件个数如下：

成品编号Ⅰ号零件个数Ⅱ号零件个数总零件个数

A347

B549

C4610

D437

E628

选用两种零件总数不超过25个，每款成品最多组装一个.

（1）如果Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，写出一种满足条件的组装方案

________（写出要组装成品的编号）；

（2）如果Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，同时所需的Ⅱ号零件最多，写出满足

条件的组装方案________（写出要组装成品的编号）.

15.图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方.其背面有方框四行十六

格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相

加之和均为34）.小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数

a，b，c，d有如图1的位置关系时，均有abcd17.如图2，已知此幻方中的一些数，

则x的值为___________.

16.淄博烧烤风靡全国.某烧烤店今年5月份盈利20万元，预计7月份盈利28.8万元，设每月

盈利增长的百分率相同，则6月份盈利___________万元.

17.新春佳节，小明和小颖去看望李老师，李老师用一种特殊的方式给他们分糖，李老师先给

11

小明1块，然后把糖盒里所剩糖的给小明，再拿给小颖2块，又把糖盒里所剩糖的给小

66

颖.这样两人所得的糖块数相同.则李老师的糖盒中原来有_________块糖.

18.杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”正要组成都分，是中华民族衡重的基本量具.杆秤依

据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤

星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此.

下图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当

于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的

位置送出货物的质量如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲

的质量是40g；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质

量是60g.根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克.

19.为了保护水资源，提倡节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：

北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）

供水户年用水量其中

阶梯水价

类型（立方米）水费水资源费污水处理费

第一阶梯0—180（含）52.07

自来水第二阶梯181—260（含）74.071.571.36

第三阶梯260以上96.07

某户居民2023年用水共缴纳1040元，求这户居民2023年的用水量.

20.燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共有七

张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它

们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富

多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回

文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长为多少

尺？

答案以及解析

1.答案：A

解析：设醇酒为x斗，行酒为y斗，由题意，则有

xy2

，

50x10y30

故选A.

2.答案：B

解析：每株掾的运费是3文，那么少拿一株掾后，剩下的掾的运费恰好等于一株掾的价

钱，

6210

3(x1)表示少拿一株掾后的运费，表示一株掾的价钱，

x

x表示这批掾的数量.

故选：B.

3.答案：A

解析：甲：设换了清酒x斗，则醑酒5x斗，

列方程为10x35x30；

乙：设用x斗谷子换清酒，则用30x斗谷子换醑酒，

x30x

列方程为5；

103

甲正确、乙错误，

故选：A.

4.答案：D

解析：设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据题意得：

2

901x70.

故选：D.

5.答案：A

解析：如图，

依题意可得25827y，

解得y6，

8x6258，

解得x1.

故选：A.

6.答案：A

解析：新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了60%，且原来的

平均车速为x千米/小时，

新修的高速公路开通后的平均速度为160%x千米/小时.

240240302402401

根据题意得：，即.

x160%x60x160%x2

故选：A.

7.答案：D

y3

解析：根据“每人出8钱，多出3钱”可知y8x3，x，根据“每人出7钱，还差4

8

y4y3y4

钱”可知y7x4，x，故8x37x4，.

787

8.答案：D

解析：设狗数量多的三个群均为x条，

∵一个群，狗的数量少，三个群，狗的数量多且数量相同，狗的总数为300条，

3003x

∴狗的数量多的三个群的的总数为3x，狗数量少的群是条，故A选项错误，

∴3003xx，故B选项错误，

解得：x75，

∵3x300，

∴x100，

∴75x100，

∵x为奇数且为整数，

∴x有最小值77，最大值为99，

∴x有最小值也有最大值，x99是正确解，但不是唯一解，故C选项错误，D选项正确，

故选：D.

9.答案：A

解析：设1个塑料凳子的高度为x

cm，每叠放1个塑料凳子高度增加y

cm.根据题意，得

x(41)y60,x45,

解得x(111)y4510595，11个塑料凳子叠放在一起的

x(61)y70,y5,

高度为95cm.

10.答案：B

26

解析：根据题中的新定义化简得：1，

x1x1

去分母得：26x1，解得：x5，

经检验x5是分式方程的解.

故选：B.

11.答案：A

解析：∵方程有两个相等的实数根，

∴b24ac0，

∵abc0，

∴bac

2

∴b24aca22acc24aca22acc2ac，

2

∴ac0，

∴ac，

故先：A.

12.答案：396元

解析：设一支A型牙刷收入x元，一盒B型牙膏收入y元，由题意，得

26x14y264，

化简得：13x7y132，

则39x21y396，

所以，收入应该是396元，

故答案为：396元.

13.答案：60；30

解析：1170不能整除16，

两个部门的人数ab81，

又1560不能整除16，

每个部门的人数不可能同时在41~80之间，

由于ab，所以，当1b40,41a80，则有：

20b16a1560

，

13ab1170

a60

解得，，

b30

故答案为：60；30.

14.答案：ABD（答案不唯一）；ACE

解析：（1）设Ⅰ号零件个数为x，Ⅱ号零件的个数为y，

Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，

11x13，

由表得满足Ⅰ号零件的组法为：

组ABC用Ⅰ号零件12个，组ABD用Ⅰ号零件12个，组ACD用Ⅰ号零件11个，组BCD用

Ⅰ号零件13个，组ACE用Ⅰ号零件13个，组ADE用Ⅰ号零件13个，

以上六种方案中使用Ⅱ号零件个数为：

组ABC用Ⅱ号零件14个，组ABD用Ⅱ号零件11个，组ACD用Ⅱ号零件13个，组BCD用

Ⅱ号零件13个，组ACE用Ⅱ号零件12个，组ADE用Ⅱ号零件9个，

两种零件总数不超过25个，

xy25，

满足题意的方案为组ABD，ACD，ACE，ADE，

一种满足条件的组装方案可以是ABD，

故答案为：ABD；

（2）由（1）得，组ACE用的零件最多，为25个，

故答案为：ACE.

15.答案：1

解析：如图，根据小明的发现，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17y，

在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，如图所示，

在第四列中，四个数分别是x，xy，17y，15，

xxy17y1534，

x1；

故答案为1.

16.答案：24

解析：设