2025年中考数学一轮专题复习强化练习第14课时　二次函数的图象与性质 （含答案）

第14课时二次函数的图象与性质

1.(2024·石家庄模拟)对于二次函数y=x2-2x+3的图象,下列说法正确的是()

A.开口向下B.对称轴是直线x=-1

C.顶点坐标是(1,2)D.与y轴的交点为(0,2)

2

2.(2024·广东)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x的图象上,则()

A.y3>y2>y1B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y3>y1>y2

3.(2024·包头)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为()

A.y=(x+1)2-3B.y=(x+1)2-2C.y=(x-1)2-3D.y=(x-1)2-2

22

4.(2024·石家庄模拟)如图,☉O的半径为2,C1是函数y=x的图象,C2是函数y=-x的图象,则阴影部

分的面积是()

A.πB.2πC.4πD.6π

5.(2024·贵州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为

(-1,4),则下列说法正确的是()

A.二次函数图象的对称轴是直线x=1

B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2

C.当x<-1时,y随x的增大而减小

D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3

6.(2024·达州)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横

坐标小于1,则下列结论正确的是()

A.b+c>1B.b=2

C.b2+4c<0D.c<0

7.(2024·泸州)已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限,则实数

a的取值范围为()

A.1≤a<B.0<a<

93

82

C.0<a<D.1≤a<

93

8(),2

8.(2024·邯郸三模)函数y=的图象大致是()

()-()

�+1�≥1

32

4�+11�<1

ABCD

9.(2024·湖北)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的顶点坐标为(-1,-2),与y轴的交点在x轴

上方,下列结论正确的是()

A.a<0B.c<0C.a-b+c=-2D.b2-4ac=0

10.(2024·邯郸丛台区二模)已知二次函数y=mx2-2mx+3(m为常数,且m≠0),当-1≤x≤2时,函数有最小

值2,则m的值是()

A.1B.C.1或D.1或-

111

11.(2024·宁夏)若二次函数3y=2x2-x+m的图象与x轴3有交点,则m的取值范围3是.

12.(2024·辽宁)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A,B,点B的坐标为

(3,0),若点C(2,3)在抛物线上,则AB的长为.

13.(2024·邯郸一模)在平面直角坐标系中,设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a≠0).

(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的解析式.

(2)已知a=b=1,当x=p,q(p,q是实数,p≠q)时,该函数对应的函数值分别为P,Q,若p+q=2,求

证:P+Q>6.

222

1.(2024·石家庄裕华区二模)已知a>0,设函数y1=a(x-1),y2=a(x-2),y3=a(x-3).直线x=m与函数

y1,y2,y3的图象分别交于点A(m,c1),B(m,c2),C(m,c3),下列说法正确的是()

A.若m<1,则c2<c3<c1

B.若1<m<2,则c1<c2<c3

C.若2<m<3,则c3<c2<c1

D.若m>3,则c3<c2<c1

2.(2024·任丘一模)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0),对称轴为直线x=1.则下列结论:

①abc<0;②2a+3b>0;③函数y=ax2+bx+c的最大值为-4a;④若关于x的方程ax2+bx+c=a+5有两

个相等的实数根,则a=-2.正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

2

3.(2024·河北模拟)如图,已知抛物线y1=-x+1,直线y2=-x+1,下列判断中:

①当x<0或x>1时,y1<y2;

②当x=-2或x=3时,y2-y1=6;

③当x>时,y1-y2随x的增大而增大;

1

2

④使|y1-y2|=的x的值有3个.

1

其中正确的个3数是()

A.1B.2C.3D.4

2

4.(2024·保定二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线l:y=-(x-3)+2,点M(x1,m),N(x2,m)是

l上两点,且x1<x2,将MN上方抛物线沿MN向下翻折,翻折后得到一个形如“”的新图象.当这个

新图象与直线y=-2恰好只有2个公共点时,关于m的取值范围,甲说:m<-2;乙说:m=-2;丙说:

-2<m≤0;丁说:0<m<2,则()

A.甲、丁的说法合在一起才正确

B.乙、丙的说法合在一起才正确

C.乙、丁的说法合在一起才正确

D.甲、丙的说法合在一起才正确

【详解答案】

基础夯实

1.C解析:∵二次函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2,

∴该函数图象开口向上,故选项A错误,不符合题意;

对称轴是直线x=1,故选项B错误,不符合题意;

顶点坐标为(1,2),故选项C正确,符合题意;

与y轴的交点为(0,3),故选项D错误,不符合题意.故选C.

2.A解析:∵二次函数y=x2,

∴该二次函数图象的开口向上,且对称轴为y轴.

∴当x≥0时,y随x的增大而增大,

∵0<1<2,∴y1<y2<y3.故选A.

3.A解析:y=x2+2x=(x+1)2-1.将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为y=(x+1)2-3.故选

A.

22

4.B解析:∵C1是函数y=x的图象,C2是函数y=-x的图象,

∴两函数图象关于x轴对称,

∴阴影部分面积即是半圆面积,

∴阴影部分的面积S=π×22=2π.故选B.

1

2

5.D解析:A.∵顶点坐标为(-1,4),∴对称轴为直线x=-1,故A错误;

B.由对称性可知,(-3,0)关于直线x=-1对称的点为(1,0),故B错误;

C.图象开口向下,当x<-1时,y随x的增大而增大,故C错误;

D.设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+4,将(-3,0)代入得4a+4=0,解得a=-1,

∴y=-(x+1)2+4,令x=0,得y=3,

∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3,故D正确.故选D.

2

6.A解析:抛物线y=-x+bx+c与x轴交于两点,分别设为(x1,0)和(x2,0),且x1<1,x2>1,

∴x1-1<0,x2-1>0,

∴(x1-1)(x2-1)<0,

∴x1x2-(x1+x2)+1<0,

由根与系数的关系可得,-c-b+1<0,∴b+c>1.故选A.

7.A解析:∵函数图象经过第一、二、四象限,

-

∴->0,∴0<a<,

2�33

2�2

又a-1≥0,Δ=(2a-3)2-4a(a-1)>0,解得1≤a<,

9

8

∴a的取值范围为1≤a<.故选A.

9

(8),

8.A解析:∵y=

()-(),

�+1�≥1

32

∴当x≥1时,函数图4�象+为1直线1,�且<k>10,当x<1时,函数图象为对称轴为直线x=-1的抛物线,

当x=1时,y=1+1=2,代入二次函数解析式得y=×(1+1)2-1=2,

3

4

∴两段函数图象是连续的.故选A.

9.C解析:∵抛物线的顶点为(-1,-2),

∴可设抛物线的解析式为y=a(x+1)2-2.

∴y=a(x2+2x+1)-2=ax2+2ax+a-2.

又抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

∴b=2a,c=a-2.

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,

∴c=a-2>0.

∴a>2>0,故A、B均不正确.

又抛物线的顶点为(-1,-2),

∴当x=-1时,y=a-b+c=-2,故C正确.

由b=2a,c=a-2,

得b2-4ac=4a2-4a(a-2)=8a>0,故D错误.故选C.

10.D解析:∵二次函数的解析式为y=mx2-2mx+3,

∴抛物线的对称轴为直线x=1.

∵当-1≤x≤2时,函数值y的最小值为2,

∴①当m>0时,x=1时,y=2,

则m-2m+3=2,解得m=1.

②当m<0时,

∵对称轴是直线x=1,

∴当x=-1时,y取最小值2,

则m+2m+3=2,解得m=-.

1

3

故m的值为1或-.故选D.

1

3

11.m≤解析:∵二次函数y=2x2-x+m的图象与x轴有交点,

1

8

∴Δ=(-1)2-4×2×m≥0,解得m≤,

1

8

即m的取值范围为m≤.

1

8

12.4解析:∵抛物线y=ax2+bx+3过B(3,0),C(2,3),

∴,-,

,,

9�+3�+3=0�=1

∴

∴抛4�物+线2的�解+3析=式3为y=�-x=2+2x+3.

∴抛物线的对称轴是直线x=-=1.

(-)

2

2×1

∵抛物线与x轴的一交点为B(3,0),

∴另一交点为A(1-2,0),即A(-1,0).

∴AB=3-(-1)=4.

,,

13.解:(1)由题意,得解得

,-,

�+�+1=0�=1

∴该函数的解析式为4�y+=x2-�2x++1.=1�=2

(2)证明:由题意,得P=p2+p+1,Q=q2+q+1,

∴P+Q=p2+p+1+q2+q+1

=p2+q2+4

=(2-q)2+q2+4

=2(q-1)2+6≥6,

由条件p≠q,知q≠1.

∴P+Q>6.

能力提升

1.D解析:如图所示,

A.由图象可知,若m<1,则c1<c2<c3,故选项错误,不符合题意;

B.由图象可知,若1<m<2,则c2≤c1<c3或c1≤c2<c3,故选项错误,不符合题意;

C.由图象可知,若2<m<3,则c3≤c2<c1或c2≤c3<c1,故选项错误,不符合题意;

D.由图象可知,若m>3,则c3<c2<c1,故选项正确,符合题意.故选D.

2.C解析:∵抛物线开口向下,∴a<0,

∵抛物线交y轴于正半轴,∴c>0,

∵->0,∴b>0,∴abc<0,故①正确.

�

2�

∵抛物线的对称轴是直线x=1,

∴-=1,∴2a+b=0,∵b>0,

�

2�

∴2a+b+2b>0,

∴2a+3b>0,故②正确.

∵抛物线交x轴于点(-1,0),(3,0),

∴可以设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),

当x=1时,y的值最大,最大值为-4a,故③正确.

∵ax2+bx+c=a+5有两个相等的实数根,

∴a(x+1)(x-3)=a+5有两个相等的实数根,

∴ax2-2ax-4a-5=0,Δ=0,

∴4a2-4a(-4a-5)=0,

∴a(a+1)=0,

∴a=0(舍去)或a=-1,故④不正确.故选C.

2

3.C解析:由题意,可得y1=-x+1和y2=-x+1图象的交点为(0,1),(1,0),

∴当x<0或x>1时,y1<y2,故①正确.

22

令y2-y1=-x+1-(-x+1)=x-x=6,

∴x=3或x=-2.

∴当x=-2或x=3时,y2-y1=6,故②正确.

2

∵y1-y2=x-x=-,

121

�2−4

又y1-y2对应抛物线开口向上,

∴当