2025年中考数学总复习14 函数的实际应用

微专题14函数的实际应用

练考点

1.汽车油箱中有汽油30L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶

路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.当0≤x≤300时，y与x

的函数表达式是()

A.y＝0.1xB.y＝－0.1x＋30C.y＝D.y＝－0.1x2＋30x

300

2.阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整�个地球”，这句话精辟地阐明了一

个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”.若某杠杆的阻力

和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致

是()

3.如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围一块矩形的地.

已知房屋外墙长40米，则可围成的地的最大面积是平方米.

第3题图

高频考点

考点函数的实际应用(6年5考)

例某工艺品店销售一款摆件，已知每件摆件的成本为30元，销售过程中发现，

在销售单价不低于成本价且不高于40元的试销期间，每周的销售量y(件)与销售

单价x(元)满足反比例函数关系；销售单价高于40元正式售卖时，每周的销售量

y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系，下表是部分销售记录.

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销售单价x(元)…3540444850…

周销售量y(件)…9684807674…

(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象，并求出相应的函数表达式；

例题图

(2)若计划每件摆件的利润率不低于40％，求该摆件每周的最大销售量；

(3)在试销期间，当该摆件的销售单价为多少元时周利润最大？

(4)根据当地规定，该摆件销售单价不得超过50元，若该店计划下周该摆件的销

售单价高于40元，且一周内销售单价保持不变，预计下周利润最多为多少？

易错警示

利用函数的增减性解决实际问题中的最值时，要注意实际问题中自变量的取值范

围对最值的影响.特别地，在二次函数中若对称轴的取值不在自变量的取值范围

内，则最值在自变量取值的端点处取得.

真题及变式

命题点函数的实际应用(6年5考)

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类型一利润(费用)最值问题(6年3考)

1.(2024广东20题9分·北师九下习题改编)广东省全力实施“百县千镇万村高质

量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.

某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均

每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加

50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大

值？(题中“元”为人民币)

2.(2020广东23题8分)某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类

摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的

费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的

个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的.

3

(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平5方米？

(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量

的3倍.求建造这90个摊位的最大费用.

类型二跨学科问题(6年2考)

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3.(2023广东13题3分·人教九下习题改编)某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电

池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I＝.当R＝12Ω时，I

48

的值为A.�

3.1变条件——将一个电阻变为三个串联电阻

(2024广州)如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电

压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3.当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的

值为.

变式3.1题图

4.(2022广东20题9分)物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y(cm)与所挂

物体质量x(kg)满足函数关系y＝kx＋15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所

挂物体质量的数量关系.

x/kg025

y/cm151925

(1)求y与x的函数关系式；

(2)当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量.

拓展类型

5.[图象问题](2024陕西)我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王

师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时，

该车的剩余电量是80kW·h，行驶了240km后，从B市一高速公路出口驶出.已

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知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关

系如图所示.

(1)求y与x之间的关系式；

(2)已知这辆车的“满电量”为100kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口

驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.

第5题图

6.[抛物线型问题](2024东莞模拟)爱思考的小芳在观看女子排球比赛时发现一个

有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，

于是她和同学小华一起进行了实践探究.

经实地测量，可知排球场地长为18m，球网在场地中央且高度为2.24m.建立如

图所示的平面直角坐标系，A为击球点.记排球运动过程中距地面的竖直高度为

y(单位：m)，距击球点的水平距离为x(单位：m).小华第一次发球时，测得y与x

的几组数据如下表：

水平距离x/m04.567.512

竖直高度y/m22.752.82.752

(1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离

x满足的函数表达式；

(2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由；

(3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的形状及对称轴

位置不变，在点O上方击球，既要过球网，又不出边界(排球压线属于没出界)时，

求小华的击球点高度h(单位：m)的取值范围.

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第6题图

新考法

7.[综合与实践]

科学探究

【主题】利用“浮力称”测量浸入水的深度

【项目情境】“曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹冲的

称象思路，制作了一把“浮力称”.

【项目探究】如图①所示，将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，小组成员

通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，得到了一组数据如

下.

【实验数据】

物体质量/kg00.30.60.91.2

浸入水中深度/m0.020.040.060.080.10

【问题解决】设放进杯中的物体质量为xkg，杯子浸入水中的深度为ym.

(1)根据表中数据在给出的坐标网格中描出相应的点，并在图②中画出函数图象；

(2)求放入杯中物体质量在0kg～1.2kg范围内时，杯子浸入水中的深度y与放

入物体质量x之间的函数表达式；

(3)若量杯的高度为0.15m，此“浮力称”可以称质量为2kg的物体吗？

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第7题图

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练考点

1.B【解析】利用油箱中的油量y＝总油量－耗油量，得出函数表达式是y＝－

0.1x＋30(0≤x≤300).

2.B【解析】∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1000N和

0.6m，∴动力F关于动力臂l的函数表达式为1000×0.6＝Fl，即F＝，∴动力

600

F和动力臂l之间的函数图象是反比例函数图象，又∵动力臂l＞0，∴�反比例函

数F＝的图象在第一象限.

600

3.450�【解析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(60－2x)

米，∴菜园的面积＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，由题意得0＜60

－2x≤40，解得10≤x＜30，∴当x＝15时，菜园的面积最大，最大面积为450平

方米.

高频考点

例解：(1)画出函数图象如解图；

∵当销售单价不低于成本价且不高于40元时，每周的销售量y(件)与销售单价

x(元)满足反比例函数关系，

∴设y1＝(30≤x≤40)，将(40，84)代入y1＝中，得84＝，

�1�1�1

解得k1＝3�360，�40

∴y1＝(30≤x≤40).

3360

∵当销售�单价高于40元时，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关

系，

∴设y2＝k2x＋b(x＞40，k2≠0)，将(50，74)，(44，80)代入y2＝k2x＋b中，

＋

得，解得＝－，

2＋

74=50���21

∴y28＝0－=x4＋4�1224(�x＞40)，�=124

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∴y与x的函数表达式为y＝3360；

－

�(30≤�≤40)

�+124(�>40)

例题解图

(2)∵每件摆件的成本为30元，计划每件摆件的利润率不低于40％，

－

∴×100％≥40％，

�30

解得30x≥42，

由(1)得y2＝－x＋124(x＞40)，

∵－1＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x＝42时，y2取得最大值，最大值为82.

答：该摆件每周的最大销售量为82件；

(3)由(1)可知y1＝(30≤x≤40)，

3360

设试销期间每周总利�润为W1元，

则W1＝(x－30)y1＝(x－30)·＝－＋3360，

3360100800

��

当－最大时，W1最大，

100800

∵－100�800＜0，30≤x≤40，

∴当x＞0时，－随x的增大而增大，

100800

�

∴当x＝40时，W1取得最大值，为－＋3360＝840.

100800

答：在试销期间，当该摆件的销售单价为4040元时，周利润最大；

(4)设下周总利润为W2元，

∵该店计划下周该摆件的销售单价高于40元，

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∴销售量与售价满足关系式y2＝－x＋124(x＞40)，

22

∴W2＝(x－30)y2＝(x－30)(－x＋124)＝－x＋154x－3720＝－(x－77)＋2209，

∵根据当地规定，该摆件销售单价不得超过50元，

∴40＜x≤50，

∵－1＜0，

∴当x＜77时，W2随x的增大而增大，

∴当x＝50时，W2取得最大值，为1480.

答：预计下周利润最多为1480元.

真题及变式

1.解：选择利润最大：

设该果商定价为每吨x万元，利润为W万元，

则销量为100＋50(5－x)＝(350－50x)吨，∴W＝(x－2)·(350－50x)＝－50x2＋450x

－700，

∵－50＜0，对称轴为直线x＝－＝4.5，

450

∴当x＝4.5时，W最大，此时W2＝×((−45.05)－2)×(350－50×4.5)＝312.5，(8分)

答：该果商定价为每吨4.5万元时利润最大，最大利润为312.5万元.(9分)

或选择销售收入最大：

设该果商定价为每吨x万元，销售收入为y万元，

则销量为100＋50(5－x)＝(350－50x)吨，∴y＝x(350－50x)＝－50x2＋350x，

∵－50＜0，对称轴为直线x＝－＝3.5，

350

∴当x＝3.5时，y最大，此时y＝23×.(5−×50()350－50×3.5)＝612.5，(8分)

答：该果商定价为每吨3.5万元时销售收入最大，最大销售收入为612.5万元.

(9分)

2.解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积

为(x＋2)平方米，

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由题意得＝×，(2分)

60360

解得x＝3�，+25�

经检验，x＝3是原方程的解且符合实际，(3分)

∴x＋2＝5.

答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米；

(4分)

(2)设建A类摊位a个，则建B类摊位(90－a)个，

由题意得90－a≥3a，解得a≤22.5，(5分)

设建造这90个摊位的费用为y元，

则y＝40a×5＋30(90－a)×3＝110a＋8100，(6分)

∵110＞0，

∴y随a的增大而增大，

∵a取整数，

∴a的最大值为22，

∴当a＝22时，y取最大值，最大值为110×22＋8100＝10520.

答：建造这90个摊位的最大费用为10520元.(8分)

3.4【解析】当R＝12Ω时，I＝＝4(A).

48

变式3.1220【解析】∵U＝IR11＋2IR2＋IR3，当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，

I＝2.2时，U＝2.2×20.3＋2.2×31.9＋2.2×47.8＝2.2×(20.3＋31.9＋47.8)＝220.

4.解：(1)将x＝5，y＝25代入y＝kx＋15中，得25＝5k＋15，

解得k＝2，

∴y与x的函数关系式为y＝2x＋15(x≥0)；(4分)

(2)当y＝20时，20＝2x＋15，

解得x＝2.5，(8分)

∴当弹簧的长度为20cm时，所挂物体的质量为2.5kg.(9分)

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5.解：(1)设y与x之间的关系式为y＝kx＋b(k≠0)，

将(0，80)，(150，50)代入y＝kx＋b中，

＝－

得，解得，

＋1

80=��5

∴y5与0=x之15间0�的关�系式为y�＝=－80x＋80；

1

(2)当x＝240时，y＝－×240＋580＝32，

1

∴该车的剩余电量占“满5电量”的百分比为×100％＝32％.

32

答：王师傅驾车从B市这一高速公路出口1驶00出时，该车的剩余电量占“满电量”的

32％.

6.解：(1)由表格可知抛物线顶点坐标为(6，2.8)；

设y与x之间的函数关系式为y＝a(x－6)2＋2.8.

将(0，2)代入，得2＝a(0－6)2＋2.8，解得a＝－.

1

经检验，表格中其他数据也满足上述关系.45

∴排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离满足的函数表达式

为y＝－(x－6)2＋2.8；

1

(2)能，理45由如下：

当x＝9时，y＝－(9－6)2＋2.8＝2.6.

1

∵2.6＞2.24，45

∴小华这次发球能过网；

(3)设只改变击球点高度后抛物线的表达式为y＝