2025年高考数学模拟试卷3（全国卷文科）及答案

绝密★启用前

2025年高考数学模拟试卷03（全国卷文科）

数学（文科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合4={1/6,84，B={l,a4},则满足4口3=3的实数°的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4+i

2.已知复数z=「,z的共轨复数为三，则z-z=()

1+1

A庖RU

C.4D.2

22

3.在AASC中，瓦5+2诙=6则（）

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

3355

C.AD=-AB+-ACD.AD=AB--AC

333

4.已知y（x）=£1-siiu是偶函数，贝Ija=()

A.0B.1C.-1D-1

5.设见仅是两个不同的平面，/,机是两条直线，且相。.则尸”是“相//分”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服

活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中

选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为

()

7.已知一个三棱锥的三视图如图，正视图为边长为3的正方形，侧视图和俯视图均为等腰直角三角形，则

此几何体的外接球的表面积为（

A.6兀B.12兀C.177tD.27兀

8.已知点尸（-3,0）,点。在圆+上运动，若NQPO=a,贝han2tz的最大值为（）

A,逆R4后

D.------------C.20D.4&

77

己知函数"x）=sin（ox+9）（0>O）,若直线为函数/（x）图象的一条对称轴，［?,0］为函数〃力图

9.

象的一个对称中心，且“X）在1口

上单调递减，则。的最大值为（）

AYD1824

♦D.—

1717

10.我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜塞，并

大斜幕，减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜幕，减上，余四约之，为实；一为从隅，开

平方得积.”把以上文字写成公式，即S=,；/一+C?*］（其中S为面积，a,b,c为AAFC的

啊I2JJ

三个内角A,B,C所对的边）.若反osC+8053=4,b=5,且当空平=3,则利用“三斜求积”公式

smA

可得AABC的面积S=（）

A.26B.4^/6C.6y［6D.876

22

H.已知双曲线C：1-与=1（。>0,6>0）的右焦点为R过点尸作垂直于x轴的直线/,M,N分别是/与

ab

双曲线。及其渐近线在第一象限内的交点.若又是线段尸N的中点，则。的渐近线方程为（）

亚

A.y=±xB.y=±—x

2

C.y=±^-xD.y=±^-x

35

12.已知〃=51110.5,/?=3吗。=108030.5,则。，瓦c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

第二部分（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

X-4y-3<0

13.已矢口实数羽y满足2x+3y—6W0,贝！Jz=4x+3y的最小值为.

3x-y+2>0

14.设0<e<],向量方=（sin2e,cos。），B=（cose,l）,若M//5，贝八皿9=.

15.已知圆锥SO1的轴截面81B为正三角形，球。2与圆锥5。1的底面和侧面都相切.设圆锥S。1的体积、表面

积分别为匕百，球。2的体积、表面积分别为％，邑，则券W=.

16.抛物线y2=4x的焦点凡点A,8在抛物线上，且=弦48的中点〃在准线上的射影为N,

则W\MN\的最大值为________-

IAB\

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试题

考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分.

17.（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举

办这一亚洲最大的体育盛会.为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好

浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计他们的竞赛成绩（满分100分,

每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]（W：分）,

得到如下的频率分布直方图.

频率/组距

（1）试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛大学生成绩的平均数及中位数；（同一组数据用该组

数据的区间中点值作代表）

（2）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“亚运达人”，成绩低于90分的学生称为“非亚运达人”.这100

名参赛大学生的情况统计如下.

亚运达人非亚运达人总计

男生153045

女生55055

判断是否有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关.

n^ad—bc^

附:K2(其中〃=a+Z?+c+d).

(〃+/?)"+d)(〃+c)伍+d)

pg%)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（12分）已知数列｛%｝是公差d不为零的等差数列，其前〃项和为S“，若。2,小成等比数列，且S4=20.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

.111

(2)记(=---+----+,,,+-----，求证：

4出a2a3

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面底面ABC。为等腰梯形,

AB//CD,且AB=2CD=2AD=2.

DC

(1)证明：平面PAC_L平面BBC；

(2)若点A到平面PBC的距离为也，求四棱锥尸-ABC。的体积.

2

20.(12分)已知〃x)=(2x+l)lnx-5，曲线在》=1处的切线方程为'=依+》•

(1)求。,匕；

(2)证明f(x)<ax+b.

21.(12分)已知双曲线C:，■-，=l(“>0,b>0)的右焦点尸(2,0),离心率为半，过JF的直线4交C于点A,B

两点，过下与4垂直的直线4交C于9E两点.

(1)当直线4的倾斜角为巳时，求由A民2E四点围成的四边形的面积；

(2)直线妆+3分别交//于点M,N,若M为AB的中点，证明：N为的中点.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.

._fx=l+2coscr

22.(10分)在平面直角坐标系xQy中，曲线。的参数方程为).(。为参数).以坐标原点为极

[y=2sma

点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为0sin[e-5)=呼.

(1)求C的普通方程和/的直角坐标方程；

(2)设直线/与x轴相交于点A,动点8在C上，点M满足痂=丽，点/的轨迹为E,试判断曲线C

与曲线E是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.

23.(10分)已知a,b,c均为正数，且a+b+c=3.

1a

⑴是否存在。，b,c,使得一+—£(0,5),说明理由；

ab+c

(2)TIE明,—3+〃+(3+b+:3+cW6

数学（文科）•参考答案

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的。

123456789101112

BBCAACDBBBCB

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-714.-/0.515.116.B

23

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试题

考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分.

17.（12分）

【详解】（1）=65x0.015x10+75x0.030x10+85x0.035x10+95x0.020x10=81,

由10x0.15+10x0.30=0.45,10x0.15+10x0.30+10x0.35=0.8>0.5,

故中位数位于［80,90）,设中位数为y,则有去胃=?:一解得了“81.43,

90-800.8-0.45

即平均数无=81,中位数y=81.43；

100(15x50-30x5)2

(2)=--9.091>7.879-

45x55x20x8011

故有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关.

18.（12分）

【详解】（1）因为的,%，%成等比数列，且邑=20,

所以=(4+1)(％+7")1=2

由dw0,解得

4。］+6J=20d=2

所以4=ax+{n-V)d=2n.

(2)i—=^|-=…〃),

ataM411771

1

/曰TI1111、1“1、

得+门…+不—1)=*/，

由“eN*，有々＞0,所以1一一二＜1,得雹=1(1一一

H+1n+14(n+1)4

19.(12分)

【详解】(1)在等腰梯形ABCD中，因为AB=2CD=2AD=2,

所以ZADC=NBCD=120。，ZDAB=ZABC=60°,

所以/C4B=30。，所以NACB=9(T,AC，3c.

因为平面尸AB平面ABCD,平面PABc平面ABCD=AB,PA1.AB,PA(^平面PAB,

所以PAL平面A3CD.

又3Cu平面ABCD,所以PA_L3C.

又尸AcAC=A,PA,ACu平面PAC,所以3C，平面PAC.

又BCu平面BBC,所以平面PAC_L平面BBC.

(2)如图，过点A作AELPC于点E,由(1)可知平面R4CL平面P8C,

又平面PACfl平面尸3。=尸。,钻(=平面尸47,所以平面PBC,故AE=@.

2

在AWC中，ZADC=120°,AD=DC=\,所以AC=g.

在RSACE中，AE=­,AC=^,所以NACE=3O。.

2

XPA1AC,tanZACP=—=^,所以上4=1,即四棱锥P-ABCD的高为1.

AC3

由题意知，梯形ABC。的高为YL所以梯形45。9的面积为Lx(l+2)x，i=±8,

所以四棱锥尸-ASCD的体积为1x&Gxl=3.

344

20.(12分)

丫211

【详解】(1)由〃x)=(2x+l)lrLx—■—/'(%)=21nx+(2x+l)x=21nx-x+—+2,

则广⑴=2,所以曲线〃力在点x=l处的切线斜率为左=2,

又因为"l)=-g,所以切线方程为：y+|=2(x-l),即y=2x-|.

所以a=2,b=—1.

(2)要证明办+b,只要证(2x+l)lnx-—2]+gWO,

2

r5i

设g(x)=(2x+l)hix-------2%+—,则g，(x)=21IIXH-------x,

22%

4/z(x)=21nx+--x,则〃'(x)=21]二—(I)W0，

XXXX

所以网力在(o,+e)上单调递减，又〃⑴=0,

所以当xe(o,l)时,〃⑺>0,则g(x)在(0,1)上单调递增，

当xe(l,+e)时，g)<0,则g(x)在(1,+8)上单调递减,

所以g(x)«g(l)=0,所以〃x)<or+6.

21.(12分)

【详解】（1）由题意知£==2「.〃=—"2=4—3=1,

a3

所以C的方程为:-丁=1

•••直线4的倾斜角为：，过点尸（2,0”.直线《的方程为y=x-2

X2

设4（再,乂）,_8（%2，%），联立V3'2=1

y=x-2

%=6

得2/一12X+15=0「.<15

无1%2二万

2

/.|AB\=A/1+k卜-兀21=>/2•J(X]+%2『一4再马=2^3

r~

•・•4与k互相垂直，4的倾斜角为彳.,・由对称性可知\ED\=\AB\=2V3

（2）方法一：由题意可知44的斜率存在且不为。，设/"的方程分别为〉=匕（》-2）»=&（厂2）由44互

相垂直可得上他=-1①

y=k,（x-i\_3-2kxm②

联立"+3…E

y=k（x-i）

联立x

x1-~3y2=3

1r\72

整理得（1一3肾）尤2+12Kx-3（4形+1）=0,；.xA+xB=—

1—3K

•.•M是AB的中点，为=五芋二苫?③

21一3勺

,3—"lk,Tn—6k；31—k；

由②③ZB得丁丁=匚宓’即"=5.丁④

尸&"一2）得/=色皿⑤

同理联立

x=my+31-k2m

由①④⑤得

_6左一6K。_\；）_6勺-6《+6（：右_6k°_6kl__6%

“一2k「3k正巧）-2K-3勾+3匕%—3.+匕-3k一「3公⑥

-b

y=fc,（x-2）

联立

尤2-3丁=3'

/\\_]2左2

得（1一34）％2+126%—3（46+l）=0,...％o+%E=p^^

_6k2

取DE中点V,所以卬=1需⑦

15k2

由⑥⑦得N'与N重合，即N是DE中点.

方法二：由题意可知44的斜率存在且不为0,设乙4的方程分别为x=rj+2,x=sv+2

由4,互相垂直可得区=T

设A,8的坐标分别为（为,%）,（彳2，%）

尤=4y+2

联立

炉-3y2=3'

得任一3）/+布/+1=0,又•.•4一+%=^7

_y,+%It,

•.,M是AB的中点；・%/=~2^=J~P

=+2=

'62t2）

整理可得的/汨中点N'、3-名3-?2j

又•.•直线/：x=冲+3恒过定点//（3,0）,

3—3/；-2%

同理丽=

3]-3-2八3_3.2£―243%2_3+3_3,）

3-彳3彳-13Z12—13—Z,2（3_/：乂3彳_1）

:.HM〃加，三点共线

所以。E的中点N'在/上，又DE上的点N在/上

所以N'与N重合，即N是DE中点

方法三：由题意可知44的斜率存在且不为。，设44的方程分别为，=尢（彳-2）,尸治（彳-2）

由4,4互相垂直可得％能=-1①

、

y=勺（x-2）3—2kMh7k\_

联立得M‘所以。"=薮砺②

x=my+3l-km91—km

}x7

W=i

设A,8的坐标分别为（%,刈,（孙必），代入C得，

两式相减得

变形为21产•止匹=:，即自材/广;③

玉+工2玉_入233

«=!，即"2=].?!-④

由②③得

3-2klm32勺

»=以”一2）得N3-2k2mk|

同理联立2

x=my+31-k2m'1-k2mj，

所以BN=薮1⑤

_k2_1kxk2_1

由①④⑤得°N=32k31一片=3-2（i：）=亚，

2k1

所以七

取DE中点N',同理可证自M•网=g⑦

由⑥⑦得％卯="加.

结合N,N'均在直线4上，所以N'与N重合，即N是DE中点.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.

22.(10分)

【详解】(1)由题设曲线C的参数方程，消参得(无一17+丁=4,

由尤=/?cos6,y=/?sin。，且/?sin^-^=^-(/?sin6,-/?cos6,)=W1,£y_gx=当，化简得

x-y+3=0,

，C的普通方程为(％-1)?+丁=4,/直角坐标方程为工-y+3=0.

(2)当y=。时，x=-3nA(-3,0),易知3(l+2cos〃,2sina),设

,»/\——►/\------——►fx+3=2COS6Z-X+1fx=COS6Z-l一

可得AA/=(x+3,y),M