2025年高考数学一轮复习讲义：集合

第一章集合与常用逻辑用语

第一节集合

课标解读考向预测

1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关

系；能用自然语言、图形语言、符号语言刻集合是高考必考内容，重点考查集合的基本

画集合.运算，以小题形式出现，常联系不等式的解

2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给集，试题难度较低.2025年备考仍以小题为主

定集合的子集，了解全集与空集的含义.训练，在注重集合概念的基础上，牢固掌握

3.理解集合之间的交、并、补的含义，能求两集合的基本关系与运算，适当加强与函数、

个集合的并集与交集，能求给定子集的补集.不等式等知识的联系，借助数轴和Venn图等

4.能使用Venn图表达集合之间的基本关系与工具解决相关问题.

基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.

必备知识——强基础

知识梳理

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：血确定性、质］互异性、辰］无序性.

(2)元素与集合的关系：若a属于集合4,记作。41三_/；若6不属于集合/,记作6辰］生4

(3)集合的三种表示方法：幽列举法、幽描述法、图示法.

(4)常用数集及记法

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

同N*或N

记法+TQSR

(5)集合的分类：有限集和无限集.

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合4B,如果集合/中任意一个元素都是集合3中的元

素，就称集合/为集合2的子集.记作/可。(或3同34).

(2)真子集：如果集合/U2,但也存在元素xGB,且xE/,就称集合/是集合2的真子集,

记作A®(或3四—/).

(3)相等：若/U8,且8.耳4则/=A

3.集合的基本运算

运算自然语言符号语言Venn图

AUB=

QD

由所有属于集合/或属于

并集

集合8的元素组成的集合

或工£团AUB

AClB=

由所有属于集合/且属于

交集

集合3的元素组成的集合

AQB

且xWB}

CuA=

对于一个集合力,由全集U

;

补集中不属于集合/的所有元国U,

CuA

素组成的集合

且X庄/}

4.集合的运算性质

(l)/n/=Z,/r)0=0,Ar\B^BC\A.

(2)/U/=/,NU0=/,AUB=BUA.

(3)/D(CuA)=0,AU(Cu4)=U,CMC")=4

常用

1.空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

2.若有限集/中有〃个元素，则/的子集有2"个，真子集有2"—1个，非空子集有2"-1

个，非空真子集有2”一2个.

3.UB=B=CuB.

4.CM/ng)=(CuA)U(CuB),C”/U2)=(CM)D(CuB).

5.集合元素个数公式：若用card表示有限集中元素的个数，则card(NU3)=card⑷+card⑻

一card(/D3).

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“3,错误的打“x”)

(i)|eQ.()

(2){x[y=xz+l}={y\y=x^+l}={(x,>))=/+1}.()

(3)如果集合3U/,那么若元素a不属于/,则必不属于A()

答案(1)V(2)x(3)7

2.小题热身

(1)若集合〃=任,3=苫},N={x,2=l},则下列式子正确的是()

A.M=NB.MQN

C.NXMD.MDN=0

答案C

(2)已知集合/=&片-4x<0,xGN*},则集合/的真子集的个数为()

A.3B.4

C.8D.7

答案D

(3)已知全集。=1i,集合4={-2,-I,1,2,4,6},B={-2,1,2,3,5},则图中阴

影部分表示的集合是()

A.{-2,1,2}

C.{3,5}3,4,6}

答案A

解析由图可知阴影部分表示的是/rw,又/rw={-2,1,2),故阴影部分表示的集合是{一

2,1,2}.故选A.

(4)(人教A必修第一册习题1.3T4改编)设全集为R,集合N={x|3WxV7},5={x|2<x<10},

则CR(/U8)=,(CRA)QB=.

答案{x|xW2或x210}{x|2<x<3或7<x<10}

考点探究——提素养

考点一集合的基本概念

例1⑴(2024•河南漂河高三摸底)下列四个命题正确的是()

A.10以内的素数集合是{1,3,5,7}

B.0与{0}表示同一个集合

C.方程N—4x+4=0的解集是{2,2}

D.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}

答案D

解析10以内的素数有2,3,5,7,A错误；0是集合{0}中的一个元素，B错误；由集合

中元素的互异性可知，C错误；由集合中元素的无序性可知，D正确.故选D.

(2)若集合/={0-3,2a-1,a2-4),且一36/,则实数a=.

答案0或1

解析①当。一3=—3时，＜2=0,此时/={—3,-1,—4}；②当2a—1=-3时，a=-1,

此时”={—4,—3,—3),舍去；③当/一4=一3时，a=±l,由②可知a=—1舍去，则

当a=l时，/={—2,1,—3}.综上，a=0或1.

【通性通法】

与集合中元素有关问题的三个关键点

【巩固迁移】

I.已知集合力={为£为/+心0},且2庄4则实数。的取值范围是()

A.{a|a<4}B.{a|a24}

C.{a|aW—4}D.{a\a^-4}

答案C

解析由题意可得22+aWO,解得aW—4.故选C.

2.已知集合/={(x,创/+/忘3,xWZ,jGZ},则/中元素的个数为()

A.9B.8

C.5D.4

答案A

解析集合/={(x,y,H+VWS,xGZ,yWZ}={(一1»—1),(—1,0),(—1,1),(0)一

1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共9个元素.故选A.

【02h

3.设a,bGR,集合{1,a+b,a}=['aj,则次期+"期二.

答案2

Qbu

解析由题意知aWO,因为{1,a+b,a}=〔'aJ,所以。+6=0,则e=-1,所以a=

a

—1,6=1.故/。24+62024=1+1=2.

考点二集合间的基本关系

例2(1)(2023・新课标II卷)设集合/={0,-a},3={1,a-2,2a—2},若/U3,则a=

()

A.2B.1

2

C.-D.-1

3

答案B

解析因为/UB,所以a—2=0或2°—2=0,解得。=2或。=1.若a=2,此时/={0,—

2},3={1,0,2},不符合题意；若a=l,此时/={0,—1},B={1,-1,0},符合题意.综

上所述，。=1.故选B.

(2)已知集合4={x|-2WxW5},B={x\m+l^x^2m-l},若8U4则实数机的取值范围为

答案(一8,3]

2m-11,

解析•.■UN,...若8=0,则2加一1<〃?+1,解得机<2；若2W0,贝(加+12—2,解

2m—1W5,

得.综上，实数加的取值范围为（一8,3].

【通性通法】

1.判断集合间关系的三种方法

根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从

列举法

而找出集合之间的关系

从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上

结构法

找差异进行判断

在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定

数轴法

集合与集合之间的关系

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转

化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.求得参数后，可以把端

点值代入进行验证，以免增解或漏解.

注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况，否

则易造成漏解.

【巩固迁移】

4.设集合尸={7}=炉+1},M={x伙=炉+1},则集合M与集合尸的关系是()

A.M=PB.PGM

C.MPD.PM

答案D

解析因为尸={7}=/+1}=在}，1},M={x[y=x2+1}=R,所以尸M.

5.(2024•湖南湘潭模拟)若集合N={1,2},B={x\x2+mx+l=0,xGR},且214则实数

m的取值范围为________.

答案[—2,2)

解析若3=0,则/=加2—4<0,解得一2<加<2,符合题意；若1G8,则12+〃?+1=0,

解得加=—2,此时8={1},符合题意；若2GB,则22+2机+1=0,解得加=—;此时8

={2,不符合题意.综上所述，实数加的取值范围为[—2,2).

考点三集合的基本运算(多考向探究)

考向1集合间的交、并、补运算

例3(1)(2023・新课标I卷)已知集合时={-2,-1,0,1,2},7V={x|x2-%-6^01,则MDN

=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D.2

答案C

解析因为N={X|X2—X—620}=(-8,-2]U[3,+8),而M={—2,-1,0,1,2},

所以A/nN={—2}.故选C.

(2)(2024•山东潍坊高三上学期月考)已知集合N={x,2—x—20},5={x|ex<l},则4U3=

()

A.(—8,1)B.(—8,2)

C.(-2,0)D.(-1,2)

答案B

解析由题意，N={x|x2—x—2<0}={x|—l<x<2},8="芳<1}={小<0},所以/UB=(—8,

2).故选B.

(3)(2023•全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<l},{x\~l<x<2},则{邓;22}=()

A.Cu(MUN)B.7VUCuM

C.CU(MCN)D.MUCUN

答案A

解析由题意可得MUN={x|x<2},贝(IC3UN)={Rx22},A正确；CM={x|x21},则

NUCuM^{x\x>-\],B错误；MnN={x|—贝i]C—1或1},C

错误；CW={x|x<—1或x22},则MUCJW={X|X<1或x》2},D错误.故选A.

【通性通法】

解决集合运算问题的三个技巧

集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的

看元素构成

关键

有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明

对集合化简

了、易于解决

离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，

应用数形

常借助数轴求解

【巩固迁移】

6.(2022•全国甲卷)设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合/={—1,2},S={x|x2-4x

+3=0},贝UC^U5)=()

A.{1,3}B.{0,3}

C.{-2,1}D.{-2,0}

答案D

解析由题意，5={X|N—4X+3=0}={1,3},所以ZU5={-1,1,2,3},所以C"/UB)

={-2,0}.故选D.

7.(2022•新高考I卷)若集合M={尤|g<4},N={x|3xNl},则MDN=()

A.{x|0Wx<2}B.kI3J

C.{x|3^x<16}D.1^I3,

答案D

I

解析因为M={x|J<4}={x|0〈xV16},N={x|3x^l}=kI^3j,所以MDN=

IWx<16

tv3J.故选D.

8.用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系

的图形称为“欧拉图”.后来，英国逻辑学家约翰・韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的

“Venn图”.则图中的阴影部分表示的集合为（）

A.B.(CMDBDC

c./n（c®ncD./riBn（c⑷

答案D

解析由图可知，阴影部分在集合a3的公共部分，且不在集合c中，故图中的阴影部分

表示的集合为/ngn（cuQ.故选D.

考向2利用集合的运算求参数

例4（2024・江苏无锡天一中学高三模拟）已知集合4="£2|—14<3},B={x\ix-a<Q},且

/n（C避）={1,2},则实数。的取值范围是（）

A.(0,4)B.(0,4]

C.(0,3]D.(0,3)

答案C

解析由集合N={xWZ|-14<3}={0,1,2},B={x\3x-a<0}='xIX<^,可得CR8=

〉4

'xX^3],因为/n(CR8)={1，2},所以解得0<aW3,即实数a的取值范围是(0,

3].故选C.

【通性通法】

利用集合的运算求参数的方法

注意：确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取另外千万不要忘记考

虑空集.

【巩固迁移】

.|尸^——

9.（2023•河北衡水中学高三一模）已知集合M={x|xW〃?},N=k「4J.若MUN

=R,则实数加的取值范围是()

A.[―1,+°°)B.[4,+00)

C.(一8,-1]D.(—8,4]

答案B

解析由N—3x—4>0,得％v—1或%>4,即N=(—8,—1)U(4,+°°),因为MUN=R,

M=(—m],所以加24,即实数次的取值范围为[4,+°°).故选B.

10.已知集合Z={X|N+X—6>0},B={x\2a-l<x<a+2}9若/CIBW。，则实数Q的取值范

围为.

答案(—8,—l)U(0,3)

、2a—1<—3,

解析由题意可得集合4=(-8,—3)U(2,+°°),因为所以，或

2a—1<a+2

。+2>2,

■解得0<一1或0<a<3,所以实数a的取值范围是(一8,-l)U(0,3).

2a—l<a+2,

考向3集合语言与思想的运用

例5某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，

已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6

人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人.

答案8

解析设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为/,B,C,同时参加数学和化学

小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图，由全班共36名同学可得(26—6—x)+6+(15

—4—6)+4+(13—4—x)+x=36,解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.

【通性通法】

(1)运用集合语言及思想解决实际问题时，注意Venn图的应用，它是解决集合交、并、补运

算的有力工具，先利用Venn图表示交、并、补的区域，如果在集合外，那么与集合的补集

运算有关，如果在公共部分，那么与集合的交集运算有关.

(2)注意公式card(/U8)=card(/)+card(3)—card(/D8)的合理运用.

【巩固迁移】

11.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢

足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的

比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

答案C

解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足

球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例为x,则(60%—x)+(82%—x)+x=96%,解

得x=46%.故选C.

课时作业

A级

一、单项选择题

1.(2023•全国甲卷)设集合4={x|x=3后+1,左GZ},B={x\x=3k+2,kGZ},。为整数集，

CM/U2)=()

A.{x\x=3k,左WZ}

B.{x\x=3k—1,1GZ}

C.{x\x=3k—2,左ez}

D.0

答案A

解析因为整数集Z={x|x=3匕左£Z}U{x|x=3『H,左£Z}U{x|x=3左+2,左WZ},U=Z,

所以Cu(AUB)={x[x=-3k,kGZ}.故选A.

2.(2022•新高考II卷)已知集合4={-l,1,2,4},5={x||x-l|^l),贝1]幺08=()

A.{-1,2}B.{1,2}

C.{1,4}D.{-1,4}

答案B

解析2={x|0WxW2},故/ng={l,2}.故选B.

3.设集合M={x|x2=x},N={x|lgxW0},则MUN=()

A.[0,1]B.(0,1]

C.[0,1)D.(—8,1]

答案A

解析・.,M={0,1},N={x|O<x^l},：.MUN={x|O^x^l}.

2

4.已知集合4={(%,y)\y=x}fB={(x,y)\y=y[x}f则4n8的真子集个数为()

A.1B.2

C.3D.4

答案C

,卜=N,|x=0,,|x=L1,,

解析由・厂得・或-，/n2={(o,0),(1,1)},即/ns有2个元素，

y=7x,卜=0卜=1.

的真子集个数为22—1=3.故选C.

5.已知集合/={RX2—2X>0},B^{x\x>a},若/U3=R,则实数0的取值范围是()

A.(—8,0)B.(—8,0]

C.(2,+°o)D.[2,+°o)

答案A

解析因为4={x|x2—2x>0}=(-8,0)U(2,+°°),NU3=R,所以a<0.故选A.

6.(2024・湖南益阳高三上学期月考)已知/={(x,y)\x+y^0],8={(x,y)\x2+2y1^l},M=

/rw.则〃■中元素的个数是()

A.0B.1

C.2D.4

答案C

解析因为/={(x,y)\x+y=0},B={(x,y)\x2+2y2=]},所以集合4是直线x+y=0上的

点的集合，集合2是椭圆/+2产=1上的点的集合.因为”=/n£所以若要求M中元素

x+y=0,

的个数，只需联立方程•‘解得3或,—韵即椭圆和直线有两个交点

^v2+2j2=1,

N3_<|四

[3,3J或I3,3J,所以M中元素的个数是2.故选C.

7.某班45名学生参加“3T2”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动

表现，评定为“优秀”“合格”2个等级，结果如下表：

\^级

优秀合格合计

除草301545

植树202545

若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为()

A.5B.10

C.15D.20

答案c

解析用集合/表示除草“优秀”的学生，2表示植树“优秀”的学生，全班学生用全集。表示,

则C必表示除草“合格”的学生，C表示植树“合格”的学生，作出Venn图，如图.设两个

项目都“优秀”的人数为x,两个项目都“合格"的人数为y,由图可得20—x+x+30—x+y=45,

X=>+5,因为ymax=10,所以Xmax=10+5=15.故选C.

8.已知集合PU(CRQ)=(-2,+8),pno=(—2,1),则。=()

A.(—2,+°°)B.(—8,i)

C.(—8,-2]D.[1,+°0)

答案B

解析根据右面的Venn图，I区表示H1(CR。)，II区表示H)。，III区表示0n(CRP),IV

区表示cR(PU。)，则集合尸u(cR。)对应于i区、n区、iv区的并集，所以HI区对应(一8,

-2],从而0对应H区、III区的并集，故。=(-8,1).故选B.

二、多项选择题

9.已知集合43均为R的子集，若/"8=0,贝(1()

A.NUCRBB.C&AQB

C./UB=RD.(CR/)U(CR8)=R

答案AD

解析如图，根据Venn图可得/=C避，故A正确；由于BUCiU,故B错误；/U8UR,

故C错误；(CR4)U(CRS)=CR(/n8)=R,故D正确.故选AD.

10.(2024•河北保定部分高中高三上学期月考)已知Z(/)表示集合/的整数元素的个数，若集

合M={x|x2—9x<10},N—{x|lg(x—1)<1},贝！1()

A.Z(M)=9

B.MUN={x|-l<x<ll}

C.Z(N)=9

D.(CR7W)n#={x|10<x<ll}

答案BC

解析因为M={x|—lv%vlO},N={x|l<x<ll},所以Z(V)=10,Z(N)=9,MUN={x\~

1<X<11},(CRM)nN={Wll}.故选BC.

I二三+也女wzl

11.若集合4={Msin2x=l},B=fyI42,j,则下列结论正确的是()

A.AUB=BB.CRBQCRA

C.AC\B=0D.CRZGCRB

答案AB

..,.Ix=kji~\—，kG7\<Ix=------，kGZ，

解析因为4={x|sin2x=1}=卜14J=bI4J,5=

\y=~+—,kGZITS

ty\42J显然集合

“个,闫」卜二丁,回

所以则/U8=8,所以A正确;

CR5£CR4,所以B正确，D错误；AC\B=A,所以C错误.故选AB.

三、填空题

12.(2024•江苏连云港海滨中学高三学情检测)已知集合/={1,2,3,4,5,6},B=

--WNx&A

Ix-1'则集合3的子集的个数是.

答案8

解析由X-GN,得x-l=6,x-l=3,x—l=2,x—l=l,且xWN,故2={2,3,4},

x—1

则集合8的子集的个数为23=8.

13.已知集合/={m2,-2},B={m,m-3},若4口8={—2},贝!j/U8=.

答案{-5,~2,4)

解析'：AHB={-2},二一2G8,若加=—2,则/={4,~2},B={-2,-5},：.ADB

={12},AU5={-5,-2,4}；若加一3=—2,则〃?=1,<'.A={],—2},B={1,12},

；./08={1,—2}(舍去).综上，AUB={-5,-2,4}.

14.(2024•九省联考)已知集合/={-2,0,2,4},8={小一3%},若4n3=4,则加的

最小值为.

答案5

4W冽+3，

解析由/n8=Z,得由—3|W加，得一冽+3WxW加+3,故有即

―221冽+3,

即加三5,故加的最小值为5.

加25,

B级

15.(2024•河南郑州四中第二次调研考试)某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有

75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记/={x|x是听了数学讲座的

学生},3={x|x是听了历史讲座的学生},C={x|x是听了音乐讲座的学生}.用card(〃)来表

示有限集合M中元素的个数，若card(N(18)=17,card(NnC)=12,card(3nC)=9,

=0,贝U()

A.card(/UB)=143

B.card(/UBUC)=166

C.card(3U0=129

D.card(/riBnC)=38

答案B

解析将已知条件用Venn图表示出来如图，对于A,card(NU3)=46+42+17+12+9=126,

故A错误；对于B,card(/U8U0=46+42+40+17+12+9=166,故B正确；对于C,card(8

UQ=42+40+17+12+9=120,故C错误；对于D,card(^DBnC)=O,故D错误.故选

B.

16.已知集合/={(x,MN+VWl},B={(X,j)||x|+[y|^a}.AQB,则实数a的取值范围是

()

[I,+T

A.L2JB.[1,+°0)

C.[也,+°°)D.[2,+8)

答案C

解析集合4为圆/+产=i内部和圆周上的点集，集合5为直线X+》=Q,x—y=a,~x

+y=a,x+》=—a围成的正方形内部和边上的点集，画出图象，如图所示.当直线£尸与圆

。相切时，设切点为C,连接。/为等腰直角三角形，OE=OF,NE。b=90。，OC

LEF,「.OC为b斜边上的中线，/.OC=~EF,BPEF=2OC=2,：.OE=OF=^EF

22

=/，此时a=也;ZU8,即圆。在正方形内，:.心©

17.（多选）（2024・华南师范大学附属中学高三月考）己知"是同时满足下列条件的集合：①0

RM,1GM；②若x,vG跖则x—yGM；③若xGM且x=0,贝—WM下列结论中正确的

X

是（）

A.-EAf

3

B.—1生M

C.若X,yEiM,贝！J

D.若x,y^.M,则