2025年高考数学第一次模拟考试（上海卷1）（全解全析）

2025年高考数学第一次模拟考试(上海卷)01

全解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

1.己知全集。={1,2,3,4,5},集合4={1,3,5},则7=.

【答案】{2,4}

【解析】因为。={1,2,3,4,5},4={1,3,5},

所以N={2,4}.

故答案为：{2,4}.

2.己知i为虚数单位，复数z=；,则复数z的虚部为.

【答案】：/0.1

ii(l-3i)3+i31

【角星析】z=~T=^=^77=77+77"

1+31(1+31)(1-31)101010

所以复数Z的虚部为

故答案为：—.

3.不等式3+5x-2/>0的解集为.

【答案】•，3)

【解析】不等式3+5—>。可化为2--5》-3<0,

即(2x+l)(x-3)<0,解得一g<x<3,

所以原不等式的解集为3)

故答案为:‘利

(2Xx<0i

4.已知函数/(x)=|:一，若/(。)=彳，则实数。=.

【答案】-1或13

113

【解析】若。40,则2。=,,解得：a=-l；若。>0,则。一1=2,解得：「

3

综上所述：。=-1或;.

故答案为：-1或，3

3

5.已知sini=不，且。在第二象限，则tan2a=

【答案】-亍

3

【解析】因为sina=y,且。在第二象限,

sma3

所以tana=

cosa4

2

2tana24

所以tan2a=2

1-tan2aT

故答案为：f

6.已知随机变量X服从正态分布N(3,/)，若尸(X>8)=0.2,贝I］尸(-24XW3)=

【答案】0.3

【解析】解法一：尸(X>8)=0.2=P(X<-2),P(-2VXV3)=；-P(X<-2)=0.3.

解法二：P（3VXV8）=P（X>3）-尸（X>8）=0.3=P（-2<X<3）,

故答案为：0.3

7.直线4：3x-2y+l=0和/2：计5=0的夹角为.(用反三角形式表示)

【答案】arccos-^^-

13

【解析】易知4：3x-2y+l=O的斜率为左设其倾斜角为140,劝，可得tana=；；

jr

又易知4：工-5=0的倾斜角为5,

因此所求夹角为JT:-a,

易知cos（--a\=sina==?屈，因此殳-a=arccos.

12）而13213

故答案为：arccos

13

8.已知二项式（4+击）”的展开式中，前三项的二项式系数之和为37,则展开式中的第五项为.

35

【答案】

O

【解析】解：已知二项式+忘J的展开式中，

前三项的二项式系数之和为d+C：+C；=l+"+攻m=37,则〃=8,

135

故展开式中的第五项为

9.在△/2C中，。是8C边的中点.若N5=2,BC=4,AC=3,则在.75=

【答案】f

4

【解析】如图所示，

由题意得，因为NB=2,BC=4,AC=3,

所以由余弦定理，线段N8与4C的夹角余弦值为：cosNC」气：匕0：02=2?+2T

2x\AB\x\AC\2x2x34

—►—►—►—►13

所以^|«|y4C|.cosZ^C=2x3x（--）=--,

又。是8c中点，所以诟=g（次+%）,

所以方.亚=万；（刀+宿=；/+；方.就=gx22+gx（_|）=:.

故答案为：—.

4

10.已知抛物线/=2分（p>0）的焦点为尸，点尸为抛物线上的动点，点”为其准线上的动点.若AFPM

为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为.

【答案】X2=4y

【解析】因为AEPA/为等边三角形，贝U|PM|=|PF|,

由抛物线的定义得P"垂直于抛物线的准线，

设第，则点M（m,—

（乎+尹4

P

又由焦点/（0,£）,AERM是等边三角形，所以《I„„7——，

2（尹犷+加=4

解得［叫：F，因此抛物线方程为f=4y.

IP一乙

故答案为：x2-4y.

11.上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2）,风吹铃动，悦耳清脆，亦

称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计

算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：

假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；

假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；

假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计.

截面图如下（图3）,其中O03=2Ocm,O2O3=18cm,AB=16cm,则制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少

需要千克铜.（铜的密度为8.9g/cn?）（结果精确到个位）

【解析】由题意可知，圆锥的底面半径为8cm,高为20cm,

圆锥的底面半径为8cm,高为18cm,

H^jl00x1x7tx82x(20-18)x8.94-1000«119,236,

所以，制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少需要120千克铜.

故答案为：120.

12.等差数列｛4｝,”=sin(%),存在正整数/，使得neN*，若集合k[x=&"eN*｝有4个不

同元素，贝"的可能取值有个.

【答案】4

【解析】设等差数列｛%｝的首项为％,公差为d,则=q+(〃-1”，Z)„=sin(a„),

由题意，存在正整数/，使得又集合｛x|x=4,〃eN*｝有4个不同元素，得出4,

当/=4时，sin(限)=sin(a„),即sin(a„+4)=sin(。,+4d)=sin(%+2k%,

。“+4=%+4d=%+2上万，或%+4d=/一。“+2左左(舍)，

二"=竺="，取左=1，则1=£，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，即集合

422

｛x|x=bn,neN*｝可取4个不同元素；

当t=5,sin(a“+5)=sin(a“)，gpsin(an+5)=sin(a„+5c?)=sin(a„+2k7r),

d=专，在单位圆上的5个等分点不可能取到4个不同的正弦值，故舍去；

同理可得：当t=6,/=7,f=8,集合｛x|x=",〃eN*｝可取4个不同元素；

当此9时，d<—,单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符合

集合｛龙|尤=〃,”eN*｝的元素互异性，故不可取应舍去.

故答案：4.

二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正

确选项）

13.“x，”是“％+J_N2”的（）

2x

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

【答案】A

【解析】若则=当且仅当工=工，即x=l>：时，等号成立，

2x\xx2

所以充分性成立；

^x+->2,例如x=5，贝Ux+」=W22,符合题意，

x3x3

但x=:<；，即必要性不成立；

综上所述：“X2!”是“X+42”的充分非必要条件

2x

故选：A.

14.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽出一个容量为1200的样本,

三个年级学生数之比依次为左：5:3,已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（）

A.240B.300C.360D.400

【答案】C

k940

【解析】依题意可得12^=就，解得上=2,

左+5+31200

3

所以高三年级抽取的人数为T=；xl200=360人.

2+5+3

故选：C

15.如图，两个共底面的正四棱锥（底面/BCD是正方形，顶点£、厂与正方形48。的中心的连线与底

面4BCD垂直）组成一个八面体E-48C。-尸，且该八面体的各棱长均相等，则（）

A.异面直线/E与2C所成的角为45°

B.BD±CE

C.平面ABF±平面CDF

D.直线4E与平面8DE所成的角为60°

【答案】B

【解析】因为BC//AD,所以N以。（或其补角）即为异面直线NE与8c所成的角，

又AD=DE=AE,所以NE/O=60。，即异面直线/£与8c所成的角为60。，A错误;

连接NC交8D于点。，则点。为正方形/BCD的中心，连接£尸，

根据正棱锥的性质可知所必过点O,且OE_L平面/BCD,

所以OE_LAD,又BDLAC,OEcAC=O,OE,/Cu平面/CE,

所以8。工平面/CE,又CEu平面/CE,所以BD_LCE,B正确；

由对称性可知OE=O尸，OA^OC,所以四边形4FCE为平行四边形，

所以AF//CE,又/尸a平面COE,CEu平面C0E,所以/尸//平面CDE,

同理3产〃平面CDE,又AFC\BF=F,AF,8斤u平面4B尸，

所以平面尸〃平面CDE,C错误；

由NE=//，OE=OF,得4O1M,在正方形48CD中，AOVBD,

又BDcEF=O,BD,EFu平面BEDF,所以/O_L平面下，

所以ZAEO即为直线4E与平面BDE所成的角，

设该八面体的棱长为2,则4。=；NC=^AB2+BC2=V2,

所以EO=dAE?-AO?=亚=AO，所以N/EO=45。，D错误.

故选：B.

2222

16.将曲线,+々=1（QO）与曲线］+q_=l（xWO）合成的曲线记作C.设左为实数，斜率为左的直线

与C交于45两点，尸为线段48的中点，有下列两个结论：①存在左，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上;

②存在鼠使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（）.

A.①②均正确B.①②均错误

C.①正确，②错误D.①错误，②正确

【答案】C

【解析】设血玉,必），8（%,％）,xt<x2,P（x0,y0）,则x。=.

222222

对①，当左=0时，9+旦=1,9+丛=1,易得%二%,故两式相减有红—红=0,易得此时演<0<12,

79169167

后Q22

故$=----%，所以_4%+X2_,即4/,%=%.代入上~+匹=1可得

4%=z，丸=必4一.7169

022x?二一1

r8Y3—+A=I

[k%芯;一，所以（4一9，故存在左=0,使得点尸的轨迹总落在椭圆（4-9

1694-4

上.故①正确;

对②，尸（%,%）,%=土产,为=9产.由题意，若存在左，使得点P的轨迹总落在某条直线上，则

2222

---1-1,---1---——1,

79....169

两式相减有江一名+K—攻=0,即且一直+®+%）（必-％）=0,又2iZA=上,故

716997169为一々

江-昌+现回包=0,即夕［布一力，又故若存在左，使得点P的轨迹总落在某条

7169%=可不72

9（区一看］9（

直线上，则乂）一/%（左0eR）为常数.即1167J（X］+X2*o〔167J（再+x2）右左（再一看）

2左（为一工2）22左（占一工2）2k（X］—工2）

因为分子分母网,々次数不同，故若为定值

无解.即不存在人使得点尸的轨迹总落

故选：C

三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.）

17.如图，在四棱锥中，底面/BCD是边长为1的正方形，SA=SB=2,E、尸分别是SC、BD

的中点.

（1）求证：曲V/平面S/8；

7T

（2）若二面角S-AB-D的大小为-,求直线SD与平面ABCD所成角的大小.

【解析】（1）证明：取线段SB、42的中点分别为X、G,连接E"、PG、FG,

则EH〃BC,EH=LBC,FG//AD,FG=-AD,（1分）

22

又底面ABC。是正方形，即BC//AD,BC=AD,

则EH//FG,EH=FG,即四边形EFGH为平行四边形，

则即//HG,（4分）

又EF在平面外，HGu平面”3,

（2）取线段的中点为。点，连接S。、DO,

又SA=SB=2,底面/3C。是边长为1的正方形,

jr

又二面角的大小为5,

即平面平面4BC。，（7分）

又SOu平面”8,平面818门平面/8。>=48,

则SO_L平面4BCD,

则/S。。是直线SD与平面A8CD所成角，（9分）

在Rt/kSZ）。中，tanZ.SDO=力。=#,

TT

即ZSDO=~,

3

7T

故直线SD与平面ABCD所成角的大小为§.（14分）

18.已知函数/（x）=sinxcosx-V3cos2x+^-.

⑴求函数y=/（x）的最小正周期和单调区间；

（2）若关于X的方程/（力-加=0在工£0卷上有两个不同的实数解，求实数冽的取值范围.

【解析】（1）f（x）=sinxcosx-43cos2xd■―-=—sin2x-^-cos2x=sinf2x--，

v7222I

则函数y=/（x）的最小正周期7=千?TT=兀；（1分）

^>2^7i--1-<2x-y<2ATI+^-（A:GZ）,解得左兀一吉+■（左wZ）,

jrSjr

可得函数尸"X）的单调递增区间为+—（左eZ）.（3分）

令2k7i+^<2x-y<Iku+^-^keZ）,角军得左兀+g+（左sZ）,

57rI17T

可得因数y=〃x）的单调递减区间为+—+—住ez）；（6分）

（2）由⑴可知，x时，y=〃x）在卜，曾上单调递增，在他上单调递减,

当xe,〃x）由一直增大到1,

_12J3|_32J2

当xe[",』，〃x）由1减小到（12分）

1223，32

一「厂、

若关于X的方程/（x）-加=0在xe0,三上有两个不同的实数解，则实数加的取值范围为三』（14分）

19.学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题.其中必答题

是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择

其中4道题目回答即可.现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取100名学生进行调

性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计

男性30

女性7

总计100

P(x2>k)0.10.050.010.001

k2.7063.8416.63510.828

请完成上述2义2列联表，并根据小概率值&=0.05的独立性检验,分析“公序良俗”达人与性别是否有关.

（2）从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变

量X的分布和数学期望.

n(ad-be)2

参考公式:其中〃=a+b+c+d.附表见上图.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解析】（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有20人，由此补全列联表如下:

性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计

男性133043

女性75057

总计2080100

（2分）

零假设〃。：“公序良俗”达人与性别无关，

100（13x50-7x30）2

可得*。4.937>3.841，

20x80x57x43

所以根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们可推断打。不成立，即认为“公序良俗”达人与性别有关.

（6分）

（2）由题意，随机变量X的可能有0,1,2,3,

可得P（X=0）=（7分）

99

C；CjCjCjC]C；__14

P（X=1）=o+oo+o（8分）

33

C-C；+CjC'8

P（X=2）=ooo（9分）

33

尸（X=3）=$=4，（10分）

所以X的分布列如下：

X0123

251488

p

99333399

25142QQ8

所以数学期望矶X）=0x^+lx云+2x莉+3x^=去.（14分）

yy3333yy33

22

20.已知点尸（1』）在双曲线r：三-4=1的一条渐近线上，耳耳为双曲线的左、右焦点且用•罚=o.

ab

（i）求双曲线r的方程；

（2）过点p的直线/与双曲线r恰有一个公共点，求直线/的方程;

（3）过点P的直线/与双曲线左右两支分别交于点4B,求证：加＜2.7.

221~

【解析】（1）设双曲线「:餐-4=1的渐近线为蚱±乙，片（-c,0）,g（c,0）

aba

因为点尸（1,1）在双曲线的一条渐近线上，所以0=6,即=+=

又用勾=+1)=0,^1-C2+1=O,C=V2,

又力+/=。2,解得。=6=1,故双曲线「的方程为x2-/=i.（4分）

(2)

如图，当直线斜率不存在时，x=l,满足题意；（5分）

如图，当斜率存在时，由双曲线的性质结合看图可得,

当直线过点尸且平行于双曲线的渐近线V=r时，直线与双曲线也只有一个公共点,

此时，k=--=-1,（7分）

a

此时直线方程为:=即x+y-2=0

综上：直线的方程为x=l或》+了-2=0.（10分）

（3）由题，直线斜率存在,

设直线方程为y-1=左（》一1）,即夕=依-左+1,<i4（x1,y1）,B（x2,y2）>

x2-y2=l

联立,,,,整理得:(l-yt2)x2+2A：(/c-l)x-F+2A：-2=0,

yy=kx-k+i

1一r/0

A>0

2k(k-l)_2k

则Xy+X==>—1<左<1

2k2-\k+\

k2-2k+2

<0

由弦长公式：M同=Jl+左2kl一司=J1+左2,J（%1+工2）2-4玉％2

令碎人箭工'（一2"则典=24,

（后+1）

则”（斤）=4T1），则即（12分）

左+l)2(ld)J

令加（左）二公一次2+5左一1,左£（一1,1）,加（左）与7（左）同正负,加（左）=3。-2左+5,左£（一1,1）,止匕时A＜0,则

M（左）＞0,即加的单调递增,

则一8=加（一1）＜冽（左）〈加（1）=4,且加<0,（13分）

则业。€（!!）,使得m（k0）=0

贝I］当后式%照）,加伏）＜0,即，优）＜0,则〃（左）单调递减.

当入％,；），加⑻＞0,即〃的＞0,则力㈤单调递增.

则h（k）在《出取得最小值h（k°），且/z体）＜心=,

故以同=2廊后＜2「|!=半＜警!=:1=2.7

即\AB\^=28（院）＜半＜2.7,原命题得证.

n（18分）

21.设函数y=〃x）的定义域为D,对于区间/=［。，可（/CD）,当且仅当函数v=/（x）满足以下①②两个

性质中的任意一个时，则称区间/是V=/（x）的一个“美好区间

性质①：对于任意不©/,都有/（%）€/；性质②：对于任意吃e/,都有/立0）e/.

⑴已知/（力=一/+2%，xeR.分别判断区间［0,2］和区间［1,3］是否为函数y=/（x）的“美好区间”，并说明

理由；

（2）已知/（X）=!?-X2-3%+12（%GR）＞777＞0,若区间［0,间是函数了=/（x）的一个“美好区间”，求实数加

的取值范围；

⑶已知函数V=/（x）的定义域为R,其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意。＜6,都有

f（a）-f（b）＞b-a.求证：函数y=/（x）存在“美好区间”，且存在％eR,使得/不属于函数y=/（x）的

任意一个“美好区间”.

【解析】（1）区间［0,2］和区间［1,3］都是函数丁=/（x）的“美好区间”，理由如下:

由f(x)=-x2+2x=-(x-l)2+1,

当xe［0,2］时，/（x）e［0,l］E［0,2］,所以区间［0,2］是函数V=/（x）的“美好区间”

当xe[l,3]时，/(x)e[-3,l],不是[0,2]的子集,

所以区间［1,3］不是函数y=的“美好区间”（4分）

(2)记/=S={/(x)|xe/}

若区间［0,向是函数V=f（x）的一个“美好区间”，则S屋/或S口/=0

由/(x)=|x3-x2-3x+12(xeR),可得f'(x)=x2-2x-3=(x-3)(尤+1),

所以当x<-l或x>3时，r(x)>0,则的单调递增区间为：(-。,-1),(3,+与；

当-l<x<3时，r（x）<0,则f（x）的单调递增区间为：（-1,3）,

/（三衿）=12,得至U〃尤）在［0,+。）的大致图像如下:

（5分）

⑴当0<〃?<3时，/（x）在区间［0,网上单调递减，且/（机）>/（3）=3,

所以$="（"）,12］,则sn/=。，即对于任意与e，，都有/（%）任/,满足性质②,

故当机e（0,3）时，区间［0,间是函数尸/（x）的一个，美好区间”；（6分）

（ii）当34加W士芋，“X）在