2025年高考数学第一次模拟考试（天津卷2）（全解全析）

2025年高考数学第一次模拟考试（天津卷02）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共45分）

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设全集{0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则（）

A.{024,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【解析】由题意可得［N={2,4,8},则MUQ；N={0,2,4,6,8}.故选：A.

2.设。>0,6>0,则+是的（）

ab

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】a>0,b>0,若。+6<1,贝!!

11、（4+6）25+42a2ba2b2、J2a2b„la2b2当且仅当"*时

a1b2a1b2bab2a2\baVb2a2

等号同时成立，充分性满足,

若：+>8,4+公1不一定成立，例如-1,6时，»8,但…>1,必要性不满足,

故选：B.

3.已知"l°g4,6=1吗6,c=bgj,则b,0大小为（）

235

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】D

【解析】"b""可以看成与尸"g：图象的交点的横坐标为〃，

b=10gi6可以看成y=x与〉=logix图象的交点的横坐标为b,

33

0=1°81°可以看成了=》与〉=1°81》图象的交点的横坐标为。,

55

画出函数的图象如下图所示,

由图象可知，c<b<a.

故选：D.

4.已知函数〃x）的部分图象如图所示，则〃无）的解析式可能为（）

A.小)=牛庄

1+―COSX

2

2+In\x\

D.〃x)=

…)XX2+COSX

【答案】D

【解析】根据图象得函数/（x）定义域为{x|xWO},图象关于歹轴对称，即/（X）为偶函数.

4

对于A选项，/⑴=二1一1>2'排除；

1+—COS1

2

对于B选项，函数定义域为R,排除;

,、/、cos(-x)-ln|-x|cosx-lnlxl

对于C选项，函数定义域为｛x1x*0｝,〃-x)=2；si：(「)=2一sinJ故函数为非奇非偶函数，

排除；

对于D选项，函数/(x)符合图象要求.

故选：D

7

5.已知S〃是递增的等比数列｛助｝的前〃项和，其中邑=5，的2=。4，则。5=()

11

A.—B.-C.8D.16

168

【答案】C

【解析】设递增的等比数列｛〃〃｝的公比为4,且夕〉1,

72

•§3=~9%="4，

2

2743

/.%Cl+q+q)=—,axq=%qf

解得。1=：，夕=2；«i=2,q=+(舍去).

贝!Ias=；x24==8.

故选：C.

6.同时具有性质“⑴最小正周期是万；(2)图象关于直线x=£对称；⑶在£勺上是减函数”的一个函数

o63

可以是()

A.y=sin(^+||^)B.y=sin(2x-y)

2兀兀

C.y=cos(2x+—)D.y=sin(2x+—)

36

【答案】D

【解析】A的最小正周期为4,7■，不正确；

当工=工时，B、C没有取得最值，所以不正确；

6

将［。勺代入D,二丫—*--~-彳,：~|三项都符号，

故选D.

7.已知变量4％具有相关关系，其散点图如图所示，则它们分别对应的相关系数小，=1,2,3,4)的大小关系

是()

A.B.r3>ri>r2>r4

C.r3>ri>r4>r2D.r1>r3>r2>r4

【答案】A

【解析】观察散点图知，第一、三图是正相关，且第一图中点的集中程度高于第三图，与接近于1,即

℃0,

第二、四图是负相关，且第二图中点的集中程度高于第四图，々接近于-1,即2<〃<0,

所以有6>4>々.

故选：A

8.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一

定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心

0（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（）

A.1B.；C.-D.—

236

【答案】D

【解析】如图，圆。与N5切于点。，设球的半径为「，

贝！JCM=2r,S.AC=20C,

AC2=OA2+OC2,即4。。2=47，+。。2,得℃="

2.2-

所以水的体积匕•2r——7ir*'=2­

39

23

一兀Y

所以水的体积与球的体积之比是匕£

—"36

3

故选：D.

22

9.已知双曲线C：工—=l（a>0,6〉0）的左、右焦点分别为片，F],点M在双曲线C的右支上,

ab2

MFJMF?,若孙与C的一条渐近线/垂直，垂足为N,且周一|ON|=2,其中。为坐标原点，则双

曲线C的标准方程为（）

A/匕122

B.—匕=1

2016204

222,2

C.匕-匕=1D.—

416420

【答案】C

【解析】因为孙，〃鸟，ONINF1,且。为片工中点，所以ON〃"招，且|。叫二；加印,

因为|明|-|。叫=2,所以耳峥|=2(|g|-|ON|)=4=2a,解得a=2,

直线/的方程为了=-:X,所以|g|==6,则|ON|=b-a，在直角三角形片NO中利用勾股定

22

理得/+伍-4=口解得I』,所以双曲线的标准方程为十告1.

故选：C.

第二部分（选择题共105分）

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

-2+2/

1。・计算：/.V

(6R+i)

【答案】-+^i

22

-2Si-2+2/-1+V3i(-1+何(1-/)2+2后1技

【解析】=^7十h

H.的展开式中含_?项的系数为.

【答案】-935

O

【解析】的展开式中，通项公式为-x^,

令手=5,求得/"=3,可得展开式中含/项的系数C；.-工=-生.

2712)8

12.已知直线/(斜率大于0)的倾斜角的正弦值为手，在x轴上的截距为一2,直线/与抛物线C：

x2=2抄(p>0)交于42两点.若|/用=16,则。=.

【答案】4

【解析】依题意，直线/的倾斜角为45。，斜率人1,直线/的方程为：y=x+2,

fy=X+2

由<2c得--2px—4P=0，设/区,%),及马,%)，贝！)西+迎=2。，匹马=-4p，

[x=2处^

222

从而有|AB|=V1+1|X]-x21=V2--^(Xj+x2)-4X[X2=V2-yj4p+\6p=16,

BPp1+4/7-32=0,而p>0,解得p=4.

13.有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%,第二台车床加工的优秀率为

10%.假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为\

若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%,第二台车床加工的零

件数占总数的40%,现任取一个零件，则它是优秀品的概率为.

【答案】1.5%13%

【解析】由于第一台车床加工的优秀率为15%,第二台车床加工的优秀率为10%,所以两台车床加工

零件，同时出现优秀品的概率为15%X10%=1.5%

记8“加工的零件为优秀品"，A="零件为第1台车床加工“，A=”零件为第2台车床加工“，

尸(")=尸(尸

60%,0=40%,(8|/)=15%,P(B\A)=\0°/o,

由全概率公式可得P(B)=P(B\A)+P(否P(B|N)=60%x15%+40%x10%=13%,

14.在AABC中，M是边2C的中点，N是线段的中点.设益="就=B,试用a,b表示AN为:

若=的面积为石，则当网=________时，而.而取得最小值.

6

【答案】力3+—/1一2

44

【解析】M是边5C的中点，N是线段的中点，贝！)=5(/8+/C),AN=^~(AB+AM)

—►1—►1-----1—►1(1—.1—A3—►1—«3-1-

^T\AAN=-AB+-AM=-AB+-\-AB+-AC\=-AB+-AC=-a+-b

「八〃2222122J4444

■JT

如图所不，△/8C中，Z-A=—,

6

1—»—»冗i—

所以ZUBC的面积为L&C=：M8|xMC|xsin==K,

所以|乖冈就|=46；

所以而=；(方+%){|■方+；衣)3——、21----»21----

=-AB+-AC+-AB-AC

882

3-----_1-----►c1-----------JT

=-\AB^+-\AC|2+-x\AB\x\AC\xcos-

8826

>2,X=2xx4A/3+3=6;

28

当且仅当|就|=⑹函=2行时取等号,

所以为7・NR的最小值为6；

所以此时/。=26，AB=2,/=3，

6

BC2=AC2+AB2-2^C.^S-cos-=12+4-2x2V3x2x—=4,

62

所以8c=2.

15.设函数/(x)=,-2x|-办-2a,其中。>0,若只存在两个整数x,使得〃x)<0,则。的取值范围

是一

【答案】

【解析】因为"x)<。即：,2-2X|<Q(X+2),

即了=._24的图像只有两个整数点位于y=a(x+2)的下方,

只有两个整数x,使得〃x)<。，当x=l时：『-2xl|=l,

此时y=a(x+2)=3a,令3a=1,解得a=；,

此时有两个整数满足/(x)<0

即％=0或%=2,

结合图像可得。的取值范围是,

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.(本小题满分14分)在非等腰△48C中，a,b,。分别是三个内角A,B,C的对边，且。=3,

c=4,C=2A.

⑴求cos/的值;

⑵求ZUBC的周长;

⑶求cos(2/+制的值.

abc

【解】(1)在a/BC中，由正弦定理q=3,c=4,

sinAsinBsinC

3_4

可得

sinAsinC

即高4

因为C=2/,所以—~=——

smAsin2742sinAcosA

2

显然sin/wO,解得cos/=§.

(2)在△NBC中，由余弦定理a2="+c2-26ccos/,

得/—牛+7=0,解得6=3或6=g.

7

由已知Q,b9。互不相等，所以6=

728

所以C43c=。+。+。=3+4+§=亍.

2R

(3)因为cosN=:，所以sin/=Jl-cos?/=——,

33

所以sin2/=2sinAcosA=生5，cos2A=2cos2A-l=,

99

所以cos(24+.=c°s2上崂-sin2■吟=(J反述x」G+46

I9)29218

17.(本小题满分15分)如图，四边形/3CO是边长为2的菱形，N4BC=60。，四边形PNC。是矩形,

PA=1,且平面尸NC。，平面48co.

(1)求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值;

(2)求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小;

⑶求点C到平面BPQ的距离.

【解】(1)解：连接8。交NC于。，连接OP,

••・四边形48。是菱形，ABDVAC,

,平面P/CQ_L平面48cD,平面HO0c平面/8CD=/C,BDU平面48cZ),

NBPO即为AP与平面NCQ尸所成角.

••・四边形尸ZC。为矩形，..尸/1/C,

又平面P4C0，平面/3C。，平面B4CQC平面48CD=/C,R4u平面尸4。。,

PA±JFffiABCD,：.PA1AB,：,BP=y)AB2+PA2=V4+1=V5,

在Rt△尸08中，08=百，:.sin/BPO嗯=*=芈,

Dr3

故BP与平面ACQP所成角的正弦值为叵.

5

(2)解：取尸。的中点M,连接8M、DM,

由(1)知，P/_L平面4BCD,

••・四边形43。是菱形，四边形尸为矩形,

BP=BQ,DP=DQ,

:.BMLPQ,DM±PQ,

.•.ZBMD即为二面角8-P0-。的平面角,

在中，BD=273,BM=DM=4BP1-PM1=yJBP2-(1^C)2=4^1=2,

4人共±rm3/n1GBM?+DM?-BD?4+4-12_1

由余弦定理知，c"M1D=—2BM-DM

2x2x22

ZBMD=12O09

故二面角8-尸0-。的大小为120。，则平面BPQ与平面DPQ的夹角为60°.

(3)解：设点C到平面台尸。的距离为d,

**VjBPQ=—B-CPQ9

：.；dx；BM.PQ=；OBx；CQ.PQ,

i7x2x2=V3xlx2,

.,_V3

..d=—,

2

故点c到平面BPQ的距离为1.

2

22

18.(本小题满分15分)已知椭圆C31(。>6>0)的左、右焦点分别为片，F2,过点片的直线/

ab

与C交于M,N两点，叫的周长为8,当直线/垂直于X轴时，|四川=3

(1)求椭圆C的标准方程:

(2)设椭圆C的右顶点为，，直线/M,/N分别交直线x=-4于尸，0两点，当图的面积是

面积的5倍时，求直线/的方程.

【解】(1)由椭圆定义知△"N乙的周长为4。=8,。=2,

*I/2川卜4人2

x=-c代入椭圆方程有1+3=1,/=勿1-二）=勺，y=±-,

a2b-a'«a

所以=---=3,b=VJ,

22

椭圆方程为土+匕=1；

43

（2）由（1）片（TO）,42,0）,若M2,r轴，\MN\=3f|^|=3,片到直线、=-4的距离为4=3,

所以间|=2pW|=6,SA^=|X3X3=|,

SHPQF\=gx6x3=9w4%MN，

因此ACV与x轴不垂直，设ACV方程为》=后（》+1）,〃（三,必），NN，%），

y-k（x+1）

由,得（3+4/）x2+8/x+4公-12=0,

—+—=1

I43

2

8左24k-12

X,+x=-------，xx=------9

19221]29

3+4k3+4左2

直线方程为》=』7。-2）,x=-4代入得V=即尸（一4,一R）,同理。（一4,--^）,

项一2七一2七一2x2-2

同[詈^一詈4=；|尸。|x3=||尸0],

—

A|-zx2zZZ

113

S&AMN=5附卜旧|+3明*|%|=5卜一词，

由题意%驯=5处的,即沙0|=5x/必一期，同|=5|%一对,

一-组；=5|必一为弘=左（西+1）,%=左&+1）代入化简得：

X,-2X.-2

—18Mx_=|5左（西

xxx2-2（/+x2）+4

[8

X]W%,后W。9所以—2（演+工2）+4=9

^^+上+4=身解得I*

3+4左23+4后25

直线/的方程为了=±1^（工+1）,即x±V^y+l=O.

19.（本小题满分15分）设｛%｝是等差数列，其前力项和为S,（〃eN*）,｛"｝为等比数列，公比大于1.已

知4=1,4=4,b2+S2=11,b3+S3=22.

⑴求｛%｝和也｝的通项公式:

(3"1)

⑵设c,=(T)"求｛4｝的前2〃项和;

。"(%+1)勿

,,,11111

(3)设d=ab,求证♦------1--------------1-------------11-------------<一.

nn，

⑼汉〃4比.d2-dxd3-d2d4-d3dnA-dn4

【解】(1)依题意设等差数列｛七｝的公差为d,等比数列也｝的公比为q(q>l),

贝！JS?=可+%=d+2,S3=3q+%3；l)d=3d+3,

4q+2+d=11q=2­4=1

又4+$2=11,4+S3=22,所以解得d=i或（舍去）,

4/+3+31=22'd=5

所以a,=〃,b„=T+l.

⑵由⑴可得IT）.—一）"北会・）’11

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