2025年高考数学专项复习：导数的单调性（3知识点+六大考点+过关检测）（解析版）

第03讲导数的单调性

T模块导航—T素养目标—

模块一思维导图串知识1.理解导数与函数的单调性的关系，提升直观想象

模块二基础知识全梳理（吃透教材）和逻辑推理的核心素养.

模块三核心考点举一反三2.掌握利用导数判断函数单调性的方法，提升逻辑

推理的核心素养.

【考点一：原函数与导函数间的关系】

3.会用导数求函数的单调区间，提升数学运算的核

【考点二：求不含参函数的单调区间】

心素养.

【考点三：求含参函数的单调区间】

【考点四：已知函数的单调性求参数的值（范围）】

【考点五：利用单调性解不等式】

【考点六：利用单调性比较大小】

模块四小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

一、函数单调性和导数的关系

1、函数的单调性与导函数/（X）的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间（。力）上，如果/（0＞0,那么函数y=Ax）在区间（a,b）上单调递增；

②单调递减：在某个区间（a,b）上，如果/（x）＜0,那么函数尸/㈤在区间（。力）上单调递减.

③如果在某个区间3,6）内恒有f（x）=0,那么函数尤）在这个区间上是一个常数函数.

【注意】

（1）在某区间内/'（尤）＞0（/'（1）＜0）是函数/（X）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；

（2）可导函数/（力在上是增（减）函数的充要条件是对VxG（a,b）,都有/'（%"0（/（X）＜O）且

/'（%）在（a,b）上的任何子区间内都不恒为零.

2、求函数单调区间的步骤

（1）确定函数/（x）的定义域；

⑵求/,（%）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式/'（X）〉0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式r（x）＜o,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

二、已知函数的单调性求参数

1、函数/（X）在区间D上单调增（单减）=/。）20（40）在区间口上恒成立；

2、函数/（尤）在区间D上存在单调增（单减）区间=/'。）＞0（＜0）在区间口上能成立；

3、已知函数/（“在区间D内单调n/'（X）不存在变号零点

4、已知函数”X）在区间D内不单调n/'（x）存在变号零点

三、研究函数与导函数图象之间关系的方法

1、研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其

图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大

于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致。

2、函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数

的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数

值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.

图象

JL0JKJL

1

了（无）变化/W＞o/«＞0r（x）＜or«＜o

规律且越来越大且越来越小且越来越小且越来越大

函数值变函数值增加函数值增加函数值减小函数值减小

化规律得越来越快得越来越慢得越来越快得越来越慢

0＞模块三核心考点举一反三

【考点一：原函数与导函数间的关系】

一、单选题

1.（23-24高二下•四川成都•期中）函数y=f（x）在定义域，*3］内可导，记y=f⑺的导函数为y=

y=f?0）的图象如图所示，贝卯=f（x）的单调增区间为（）

【答案】B

【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系即可得解.

【详解】若要y=r（x）＞0,则由图可知

故y=〃x）的单调增区间为11,£|,

故选：B.

2.（24-25高二上•全国•课后作业）如图是函数/'（尤）的导函数尸（无）的图象，则（）

A./⑺在区间（0,。）内是常函数B./（X）在区间（a,c）内是减函数

C.在区间（。⑷内是增函数D./（X）在区间（d,e）内是增函数

【答案】D

【分析】根据题意，结合导函数/（久）的图象，利用函数的单调性与尸（x）的函数值间的关系，逐项判定，即

可求解.

【详解】对于A中，由0<x<a时，f\x)=C(正实数)，

则/(x)在区间(0,。)内是单调递增的一次函数，所以A错误；

对于B中，当avxvb时，/?(%)>0,当hvxvc时，/?(%)<0,

所以在区间(a,c)内先增后减，所以B错误；

对于C中，当c<x<d时，/?(x)<0,在区间(G")内是减函数，所以C错误；

对于D中，当d<x<e时，­(力>0,/(村在区间(〃,e)内是增函数，所以D正确.

故选：D.

3.(24-25高二上•全国•课后作业)函数/(X)在定义域内可导且导函数为尸(%),且尸(x)的图象如图所示,

则“X)的图象可能是()

【答案】B

【分析】利用排除法，根据尸(久)的符号判断了(x)的单调性，可排除A,D；再根据导数的几何意义排除

C.

【详解】观察导函数图象可知/(久)在区间(-8,0)先正后负，在区间(0,+?)先负后正，

故函数“X)在区间(-8,0)内先递增后递减，在区间(0,+?)内先递减后递增，

结合4个选项的图象，可排除A,D；

由导函数的函数值是变化的，即函数/(%)在递减区间的斜率也是变化的，排除C,

故选：B.

4.(23-24高二下•四川绵阳•期末)已知了=尸("为函数/㈤的导函数，如图所示，则的大致图象为

'y=f'M

-1\Olx

【分析】根据导函数正负确定函数的单调性排除B,再根据导数的大小变化确定选项即可.

【详解】因为r(x)»O,所以“X)单调递增，B选项错误；

又因为广(无)在(-8,0)单调递减，可以得出/(x)的切线斜率逐渐变小，A,C选项错误；D选项正确.

故选：D.

5.(23-24高二下•山东临沂・期中)已知函数y=/(x)(xeR)的图象如图，则不等式步的解集为

C.(-双0)口、,21D.(-l,0)u(l,3)

【答案】C

【分析】由f(x)的图象得到/(%)的单调性，从而得到(的正负，即可得解.

【详解】由f(x)的图象可知，在(-8,$和(2,+8)上单调递增，在(；,2)上单调递减,

则当时，广。)>0,xe(2,+«))时，广。)>0,

xe(；2)时，((了)<0,所以不等式的解集为(f。)吗，2).

3J

故选：c.

【考点二：求不含参函数的单调区间】

一、单选题

1.(23-24高二下•河北秦皇岛•阶段练习)函数“M=；X3-；X2-2X+1的单调递减区间为()

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(―8,—1)和(2,+co)D.(―co,—2)和(1,+oo)

【答案】A

【分析】首先求函数的导数，求解尸(力<。的解集，即是函数的单调递减区间.

【详解】由题意得r(x)=f-x-2=(x+l)(x-2),

令尸⑺<0,得-K2,所以/(X)的单调递减区间为(-1,2).

故选：A

2.(23-24高二下.江苏南通•阶段练习)函数>=见匚口的单调增区间为()

X

A.(-oo,l)B.(0,1)C.(l,e)D.(1,+?)

【答案】B

【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案.

【详解】函数y=电区的定义域为(0,+?)，

X

,(lnx+1)x-(lnx+l)xfl-(lnx+l)-Inx

'v=----------X-2----------=-----X--2----=---X-2-，

由y>0MInx<0,解得0<x<l,

所以y=电区的单调增区间为(0,1).

故选:B.

P'+1

3.(24-25高二上•全国裸后作业)函数〃尤卜班+71■的单调增区间为()

A.(0,1)B.(O,e)C.(l,+oo)D.(e,+oo)

【答案】C

【分析】根据题意，求得广(尤)=(无T—+1),结合尸(力>。的解集，即可求得函数的递增区间.

【详解】由函数〃》)=12+巨?，可得其定义域为(。,+"),

日/⑴J产-（：+1）（1乂：，+1）,

令尸（x）>0,解得x>l,所以函数〃x）的单调增区间为（L"）.

故选：C.

4.（23-24高二下・北京通州•期中）定义在区间（-兀㈤上的函数〃x）=xsinx+cosx,则〃尤）的单调递减区

间是（）

【答案】D

【分析】对函数求导并令尸（无）<。，利用三角函数单调性解不等式即可求得结论.

【详解】由/⑺=xsinx+cosxn]*^/r（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

令/'（x）=xcosxv。，

当（一兀,0）时，由xcosx<0可得cos%>0,解得-^•，。｝

当（0,兀）时，由xcosx<0可得cosx<0,解得XE]/，兀｝

因此可得“X）在（f㈤的单调递减区间是[go]和1，。.

故选:D

5.（23-24高二下・吉林•期中）函数/（x）=xe-，的单调递增区间是（）

A.(1,+<»)B.C.(一8,-1)D.(-1,+℃)

【答案】B

【分析】利用导数求出函数的单调递增区间.

【详解】函数/（x）=xeT的定义域为R,求导得/（》）=（1-外尸，

由1f（x）>0,得x<l,所以函数/（>=*'的单调递增区间是（TO,1）.

故选：B

【考点三：求含参函数的单调区间】

一、解答题

2

1.（24-25高二上•全国裸后作业）己知函数”x）=（（awO）,讨论〃x）的单调性.

【答案】答案见解析

【分析】求导，分4>0和。<0两种情况，利用导数判断了(尤)的单调性.

【详解】由题意知：函数“X)的定义域为R,且:(x)="(2：x),

令r(x)=0,解得x=。或2,

当。>0时，令尸(x)<0,解得x<0或无>2；令r(x)>0,解得0cx<2；

可知在区间(-右0)和(2,+力)上单调递减，在区间(0,2)上单调递增；

当"0时，令r(x)<0,解得0<x<2；令r(x)>0，解得x<0或x>2；

可知〃x)在区间(-g0)和(2,+力)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减，

综上所述：

当a>0时，在区间(-力,0)和(2,+8)上单调递减，在区间(0,2)上单调递增；

当a<0时，f(x)在区间(-%,。)和(2,+力)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减.

2.(24-25高二下•全国•课后作业)设函数/(x)=d+依-3a21nx,其中。eR.讨论/'(x)的单调性.

【答案】答案见解析

【分析】求导得导数的两个零点为x或彳=-£即对。分类讨论即可求解.

【详解】〃无)的定义域是(0,+功，

若a=0,/(x)=/,函数f(x)在(0,+s)上单调递增，

、r,cq/■,,、c2x2+ax—3a2(x—a)Clx+3a)

当。力0时，f\x)=2x+a----=------------=-------------,

XXX

3

令广(x)=0,解得无=a或x=

若"0,贝!J当。<尤<-31时，/。)<°，当x>-3?时，rw>o,

所以/(*)在上单调递减，在1上单调递增；

若a>0,贝！J当0<x<a时，f'(x)<0,当尤〉。时，f\x)>0,

所以/(x)在(0,。)上单调递减，在(。，―)上单调递增.

综上所述，当。=0时，在(0,+◎上单调递增；

当a<0时，f(x)在］。，-TQ上单调递减，在［-］，+"］上单调递增；

当a>0时，/(x)在(0,。)上单调递减，在3,y)上单调递增.

3.(23-24高二下.宁夏银川.阶段练习)已知函数(2a+l)x+alnx+a.

(1)当。=1时，求函数/(X)的单调区间；

（2）当aeR时，求/（x）的单调区间.

【答案】⑴单调递增区间为（1,收），单调递减区间为,，1）

（2）答案见解析

【分析】（D根据导数与单调性的关系，求出单调区间即可；

（2）对含参函数求导，从而得出导数的零点，再通过对二次函数的根的讨论，得出单调区间.

【详解】（1）当4=1时，/（x）=f_3x+lnx+l,定义域为（。,+e）,

r（x）=2x-3+-=（2x-1）（x-1\

XX

令［（元）＞0,得.（1,+8）,令尸（尤）＜0,得

所以的单调递增区间为（0,£|,（1,+a））,单调递减区间为

（2）/（x）=x2-（2a+i）x+a}nx-\-a,定义域为（。,+。）,

:⑺=2*一（24+1）+幺=（-1）"一4）,令「⑴犯得」或x=a.

①当。（0时，当xe［o,1时，尸（尤）＜0,/（X）单调递减，

当无不；,+“时，r（x）＞0,〃x）单调递增；

②当0＜。＜；时，当尤e（O,a）和时，/（尤）＞0,/（%）单调递增，

当xe,』时，r（x）＜0,〃x）单调递减；

③当时，尸（无）上。对Vxe（O,—）恒成立，所以在（0,+。）单调递增;

④当时，当无e,,；］和xe（a,—）时，/（尤）＞0,f（x）单调递增，

当时，尸（x）＜0,/⑺单调递减.

综上所述：当aWO时，/（尤）在，单调递减，在1;，单调递增；

当0＜a＜；时，在［a,gj单调递减，在（0,。）和，,+8）单调递增;

当时，”力在（0,+司单调递增；

当时，”力在单调递减，在(0,；］和3y)单调递增.

4.(2024•山东•模拟预测)已知函数〃x)=x(l-山丘).

(1)若曲线"X)在x=e处的切线与直线＞垂直，求左的值；

(2)讨论f(x)的单调性.

【答案】⑴左=1

(2)答案见解析

【分析】(D对函数求导，结合题意有，r(e)=-ln(te)=-l,即可求解左值；

(2)对函数求导，分左＞0和左＜0两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.

【详解】(1)因为/(x)=x(l-In"),TO,所以解(x)=-ln(H),

曲线〃x)在X=e处的切线与y=x垂直，

所以/'(e)=-ln(⑹=一1,得4=1；

(2)由/(x)=x(l-InAx)得/'(x)=—ln(Ax),

当人＞0时，〃力的定义域为(0,+?),

令/''("=0得%=：，

当时，尸(无)〉0,当尤时，f?(*)＜0

所以在/J上单调递增，在上单调递减；

当左＜0时,“X)的定义域为(y,o),

令/'("=。得%=

当时，f?(久)＜0,当时，f?(久)＞0

所以〃x)在「巴£|上单调递减，在［,()］上单调递增.

综上所述：当人＞0时，小)在(。,£|上单调递增，在上单调递减；

当左＜0时，在「双£|上单调递减，在］，。)上单调递增.

5.(24-25高二下•全国•课后作业)已知函数/(x)=^——--alnx(aGR).

X

⑴求曲线y=/(%)在点(11⑴)处的切线方程;

(2)求/(x)的单调区间.

【答案】(l)，=e—a

(2)答案见解析

【分析】(D利用导数的几何意义求解即可；

(2)求出函数的定义域，对函数求导后，分aWO,0<a<l,l<a<e,a=e和a>e讨论导数的正负，从

而可求出函数的单调区间.

【详解】(D由可得f(x)=e'(xl)s+a,

XX

贝！I尸⑴=0且f(D=e-a,

所以曲线y=在点(1,/(1))处的切线方程为y=e-。.

(2)由函数/(x)=£二-alnx的定义域为(0,+⑹，且外的=史生二"，

xx2

若aWO,令/'(x)=0,解得*=1,当xw(0,l)时，fr(x)<0,当xe(l,+w)时，f'(x)>0,

所以函数/(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+s).

若。〉0,令/'(x)=0,解得x=l或x=lna,

①若InaVO,即0<aVl时，当xe(0,l)时，f\x)<0,当尤e(l,+oo)时，f\x)>0,

所以函数/(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).

②若0<lna<l,即l<a<e时，当xe(0,lna)时，f'{x}>0,当xe(lna,l)时，f'{x)<0,当xe(l,+(»)时，

Ax)>0,

所以函数的单调递减区间为Qna,1),单调递增区间为(0」na),(l,+8).

③若Ina=1,即。=e时，可得(。)2。且等号不恒成立，

所以函数/Xx)的单调递增区间为(0,+A).

④若Ina>l,即a>e时，当xw(0,l)时，f'(x)>0,当xe(l,lna)时,f\x)<0,当xe(ln>+8)时,f(x)>0,

所以函数/Xx)的单调递减区间为(1,Ina),单调递增区间为(0,1),(Ina,+8).

综上，当aWl时，f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(L+A)；

当l<a<e时，/(x)的单调递减区间为(Ina,1),单调递增区间为(0,lna),(L+s)；

当a=e时，f(x)的单调递增区间为(0,+s)；

当a>e时，/(x)的单调递减区间为(l,lna),单调递增区间为(0,1),(Ina,+8).

6.(23-24高二下•广东中山•阶段练习)已知函数/1(X)=lnx+加-x+a+1.

(D证明曲线y=/(x)在x=i处的切线过原点；

⑵若a>0,讨论/W的单调性；

【答案】⑴证明见解析

(2)答案见解析

【分析】(D求导，可得“1)=2°,进而可得切线方程为y-2a=2a(x-l),进而可得恒过原点；

(2)1(x)=2a—x+l(x>0),分4=0,a>^-,0<。<：三种情况讨论可得/(x)的单调性.

x88

【详解】(D由题设得尸(元)=,+2依一l(x>0),所以广(1)=1+24-1=2%

又因为/⑴=。-1+“+1=2”，所以切点为(1,2a),斜率左=2a,

故切线方程为丁-2“=2a(工-1),即>=2以，所以y-0=2a(x-0)恒过原点.

(2)由(1)得尸(x)=2"—-x+l(x>0),

X

—Y+1

①4=0时，/'(%)=-----,

当X£(O,1)时，r(x)>0,/(%)在(0,1)上单调递增，

当%£(1,+8)时，r(X)<0,/(%)在(1,+8)上单调递减；

令［％)=2办2_%+1,则A=l-8a

②a>0且A=l—8aW0,即时，f'(x)>0,/⑴在(0,+刃)上单调递增，

8

0<。<一时，A=1—8f7>0,

8

t［x)=2ax1-x+l>Q,贝IJo<x<匕边丑，或》>1±2匠近，得「(无)>0

4〃4。

所以/(X)在fo,Iz^ElZ］上单调递增，在f巨呼,+J上单调递增；

I4a)I4aJ

t(x)=2ax2-x+l<0,则+贝厅'(x)<0,

4a4〃

所以/(x)在［匕尸£匕手电］上单调递减，

综上：。=0时，/(X)在(0,1)上单调递增；F(X)在(L+◎上单调递减；

时，在(0,+8)上单调递增；

8

0<。」时,/(X)在0,1一i;8a上单调递增,在1+号~8“，+8上单调递增;

8

公)在［千,咤鸵］上单调递减.

【点睛】方法点情，利用分类讨论法是求解含参数的函数的单调区间常用的方法.

【考点四：已知函数的单调性求参数的值(范围)】

一、单选题

1.（24-25高二上•浙江宁波・期中）若函数/（x）=得在［2,+8）上单调递增，则上的取值范围为（）

4

B.k<-lC.k<lD.k<——

3

【答案】D

【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可

【详解】由得/⑴

又“X）在［2,y）上单调递增，

所以r⑺>0在［2,田）上恒成立，即依2+2苫-左40在［2,e）上恒成立，

22

即"1一在［2,e）上恒成立，只需求出1一的最小值即可，

----X----X

1Qo1

又在［2,+向单调递减，所以则一91<0,

XZ5t

424

所以一耳47<0,故k4-飞.

故选：D

2.（23-24高二下•广东佛山•阶段练习）已知函数〃尤）=2无+向-2在区间［1,2］上单调递减，则实数a的取

值范围为（）

A.（-oo,-3］B.（-oo,-3）

C.（-oo,-10］D.（-oo,-10）

【答案】C

【分析】根据题意可知广（X）=2+：+?V0在［1,2］上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可.

【详解】尸（无）=2+：+*,若函数仆）=22』三在区间［1,2］上单调递减，

即（（无）=2+』+=W0在［1,2］上恒成立，

XX

2

即QV-2x-x在［1,2］上恒成立.

令/犬）二一2一一孙则力⑴在［1,2］上单调递减，/z（x）min=/z（2）=-2x4-2=-10,

所以a4/z（x）111ta卬4一10,

即6ZG（-a?,-10］

故选：C.

3.(23-24高二下•吉林四平•期中)若函数〃尤)=In尤+g以2+3在区间0,4)内存在单调减区间，则实数。的

取值范围是()

A-DB.(f焉一…)

C.D.(0,1)

【答案】A

【分析】对/(x)求导，分和。<0两种情况，结合/'(x)在区间(1,4)内存在单调减区间，求出。的取值

范围即可.

2

【详解】/(x)=lnx+l«x+3,;(月」+以=竺±1,

当时，尸(无)>0,不符合题意；

当时，令/(x)<0,解得无>g,

f(x)在区间(1,4)内存在单调减区间，

«/—<4,解得a<-二.

Valo

实数”的取值范围是1-8,-.

故选：A.

4.(23-24高二下・四川遂宁•阶段练习)函数/(%)=(lr)lnx+依在(1,+a))上不单调则a的取值范围是()

A.ae(^o,0)B.6ze(l,+oo)

C.ae(-l,+oo)D.aG(0,+oo)

【答案】D

【分析】由〃x)在(L-)上不单调，可得r(x)在",欣)上必有零点，利用。=皿­1+1,构造函数

z(x)=lnx-：+l,再求出”的取值范围.

【详解】依题意r(x)=-lnx+J+a-l,

因为函数〃%)=(1-X)lnx+办在(l,+oo)上不单调，

所以广⑴在(1,y)上有零点，

令g(%)=-lnx+』+Q-l,令g(%)=0,得<2=lnx--+1,

令z（x）=lnx」+l,贝”（%）=工+二,

xxx~

当X>1时，z［x）>O,z（x）单调递增,又Z⑴=0,

所以z（x）>0,故a=z（x）>0,

所以。的取值范围是（0,包）.

故选：D

二、填空题

9

5.（24-25高二上•全国•课后作业）若函数〃尤）=1——Inx在区间［1-。,2-句内单调递增，则。的取值范围

X

是.

【答案】［。,1）

【分析】求导，利用导数可知“X）的单调增区间为（0,2］,结合题意列式求解即可.

【详解】由题意可知：/（X）的定义域为（0,+?）,且尸（同=》-：=不，

令厂（久）20,得0<xV2,可知/（x）的单调增区间为（0,2］,

/\r-1f1—Q>0

若函数/⑺在区间［〜乂-力内单调递增，依题意2a<2,解得。《"1，

所以。的取值范围是［0,1）.

故答案为：［0,1）.

6.（23-24高二上•山西长治•期末）若函数〃x）=：（a>0且"1）在区间［，+田）上单调递增，则实数。

的取值范围是.

【答案】上2,心）

【分析】函数求导后，“X）在区间1,+，）上单调递增，转化为尸（X）NO在区间［,+，）上恒成立，然后

利用函数单调性求最值即得.

【详解】由函数/（尤）=：">0且a/1）在区间心,+8）上单调递增，

得:（力=加吗-优=优（*-1）20在区间（；,+e］上恒成立，

XX、乙）

又三在区间（g,+，|上恒正，只需满足xlna-1"在区间■，+/］上恒成立即可，

令g（x）=xlna—1,

若贝!Jlna<0,则一次函数g(x)=xlna-l在区间上单调递减，不可能恒正;

若贝!Jlna>0,则一次函数g(x)=xlna-l在区间单调递增，

所以只需g(x)>g')。，即；lna-120,解得aNe?,

故答案为：[e1+8).

【考点五：利用单调性解不等式】

一、单选题

1.(23-24高二下•江苏南通・阶段练习)已知函数/(x)=x+lnx+cosx,5g/(x2-4)</(3x),则实数x的

取值范围是()

A.[-1,4]B.(-oo,2)u[4,+oo)

C.(0,4]D.(2,4]

【答案】D

【分析】利用导数判断出函数/(%)的单调性，即可根据单调性的定义解出.

【详解】因为/(x)=x+lnx+cosx(x>0),

所以r(x)=l+1-sinx>0,即在(0,+?)上函数”X)单调递增，

X2-4>0

由/(X2-4)</(3X)可得，<3x>0,解得2。44,即xe(2,4].

尤2-443x

故选：D.

2.(24-25高二下•全国•课后作业)已知了。)的定义域为R,/(D=2023,且/'(x)26x恒成立，则不等式

/(x)>3尤2+2020的解集为()

A.(-1J)B.(1,+℃)C.D.(1,+co)

【答案】B

【分析】先构造函数，再求导函数判断函数的单调性，最后应用单调性解不等式即可.

【详解】令函数g(尤)=/(尤)-3炉,因为g'(x)=r(x)-6xN0,所以解x)在R上单调递增.

因为g(D=〃1)-3=2020,所以不等式/。)>3炉+2020等价于g(x)>g⑴，

所以无>1.

故选:B.

3.(23-24高二下.江苏扬州.期中)已知函数的定义域为(0,+8),>/(l)=e-1,f'{x}+x>ex,则

不等式2e—2/(x)>炉的解集为()

A.(0,1)B.(0,+8)C.(l,+oo)D.(O,l)|J(l,-H»)

【答案】A

【分析】由题设不等式整理后构造函数gQ)=/(x)-e，+；Y满足g，(x)>o,得出y=g(x)在(0,+?)上单调

递增，整理待求不等式，利用函数，=g。)的单调性即可求得.

【详解】由r(x)+x>e，可得/⑺―e，+x>0,gp(/(x)-e'+|x2y>0,

设g(元)=〃x)-e'+gx2,xe(0,+s),则由g'(x)>0可得，y=g(x)在(0,+?)上单调递增.

Xg(l)=/(l)-e+|=e-1-e+|=0,

由2e「2/(x)>f可得，/(x)-eA+1x2<0,即g(x)<g(l),解得0<x<l.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题.

解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函

数值等条件，利用单调性求解抽象不等式.

二、填空题

4.(23-24高二下•广东深圳•期末)已知函数〃x)=2x—sin2x,则不等式/(n+〃3》_4)<0的解集

为.

【答案】(-4,1)

【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式.

【详解】由/(龙)=2x-sin2x得r(x)=2-2cos2x=2(l-cos2x)N。，

所以函数〃x)=2x-sin2x是R上的增函数，

又由=—2x-sin(-2力=-(2尤-sin2x)=-/⑺得函数/⑺是奇函数，

则由/(炉)+/(3工一4)<0得/(/)<一/(3万-4)=〃4-3刈，

所以X?<4-3了=f+3x-4<0=>(x-l)(x+4)<0,

解得-4<x<l.

故答案为：(-M).

5.(23-24高二下•天津北辰•期中)已知〃x)是定义在(一,0)(0,-)上的奇函数，/'⑺是“X)的导函

数，"1)/0,且满足(⑺lnx+W<0,则不等式(x—2)/(x)<0的解集为.

【答案】(9,0)，(2,+8)

【分析】构造函数g(x)=〃x)lnx,求导判断函数为单调递减，从而可得在(0,『)上〃”<0,在(e,0)

上，/(x)>0,求出不等式的解集即可.

【详解】令g(x)=/(x)lnx(x>。),贝！)g(x)=r(x)inx+W<0,

可知g(x)=/(x)lnx在(0,+co)上为减函数，而g(l)=0,

在(0,1)上，lnx<0,g。)>0,所以/(x)<0；

在(1,+?)上，lnx>0,g(x)<0,而/⑴H0,/(x)<0；

可得在(0,抬)上〃x)<0,

又因为〃x)是定义在(f,0)(0,+8)上的奇函数，则在(7),0)上，/(x)>0,

x>2fx<2

不等式(x-2)/(x)<0等价于,〃x)<0或解得x>2或x<0,

故不等式的解集为(-力,0)。(2,+力).

故答案为：(-OO,0)U(2,+8).

6.(23-24高二下•四川凉山•期中)已知定义在R上的可导函数/(x),满足矿(x)+/(x)>0在R上恒成立，

且"1)=2,则不等式犷(x)<2的解集为.

【答案】(-8,1)

【分析】构造函数g(x)=^G),由题意可得g(x)在R上单调递增，不等式4(x)<2可转化为g(x)<g⑴,

结合函数单调性计算即可得.

【详解】令85)=令(力，则有g'(x)=/(x)+矿(%),

由.矿'(X)+“X)>。在R上恒成立，故g'(x)>0在R上恒成立，

即函数g(x)在R上单调递增，

由/(1)=2,贝(Jg⑴=lx〃l)=2,

即不等式<2可转化为g(x)<g⑴，

结合函数单调性可得x<l,即不等式#(%)<2的解集为(-双1).

故答案为：

【考点六：利用单调性比较大小】

一、单选题

1.(23-24高二下•天津•期中)己知函数〃x)=cos^+e*,且。=〃2)、=c=/(ln2),则〃、b、

C的大小关系（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】根据题意，求导得/（左）,即可得到/（X）在（。,+e）上单调递增，从而可比较函数值的大小关系.

【详解】由/（x）=cosx+e%nT^/r（x）=-sinx+ex,

当兀>0时，/'（%）=-sinx+ex>-sinx+l>0,

所以〃%）在（0,+。）上单调递增，

_1ic1-2In2Ine—In4_

X--ln2=---=---<0,所以=<ln2,

2222

即g<ln2<2,贝！J/g)<〃ln2)<〃2),

所以

故选：D

2.(24-25高三上•云南昆明•阶段练习)己知函数/(x)=a=/(/(4)),b=f(f(ln3)),c=f/L2

77

则<7,6,c的大小关系是（）

A.a<c<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】分类讨论，当x>l时，/（x）=—,当0<x<l时，/（x）=--,最后利用导数得到函数的单调

XX

性即可求解.

【详解】由函数〃尤）=—,得当X>1时，/（x）=—,k（力=上萼，所以“X）在（Le）上单调递增,

%XX

在(e,+8)上单调递减，所以在(L+s)上的最大值为/(e)=j.

当0<x<l时，/(%)=--,尸(无)=皿二，所以/•(%)在(0,1)上单调递减.

XX

又〃4)=学=殍=〃2),l<ln3<|<^<2,

42V)2

所以0<〃ln3)</(五)<〃2)=〃4)<<,所以a<c<6.

故选：A.

00

3.(24-25高三上•浙江•期中)已知函数〃力=1+葭，若。=1吗0.6,z，=3\c=log53,则有()

A./(«)>/(^)>/(c)B./(Z?)>/(c)>/(a)

C./(&)>/(«)>/(c)D./(c)>/(a)>/(&)

【答案】B

【分析】由已知可得/'(X)为偶函数，则/(Iog30.6)=/[og3£|,利用对数函数的性质和指数函数的性质,

可得0<log3g<g,b>\,|<C<1,又当尤>0时，由尸⑺>0,可得“X)为单调递增函数，即可得到答

案.

【详解】因为函数/吠)=新+b且定义域为R,则〃-司=b+6'=/卜)，所以/(x)为偶函数,

3

因为Q=log30.6=log3—<0,

贝!|"logs0.6)=/(-log30.6)=/l-log315

又log3g<log3K=g,Iog3g>log31=0,b=3001>3°=1,

C=log53>log56二;,

c=log53<log55=1,

则;<c<l,所以30tH>log53>log3g,

当x>0时，因为/'("=e'—ef>0,所以/'(x)为单调递增函数,

所以/0)>/(c)>/(a).

故选:B.

4.(24-25高三上•重庆•阶段练习)己知a=sin±6=立,c=ln』，则()

332

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【分析】构建g(x)=x-sinx,xe[o,l),利用导数判断g(x)的单调性，进而可得”;<6,再结合对数函数

单调性可得;<c<从

【详解】记g(x)=尤-sinx,xe[0,l),则g<x)=l-cosxN。,

可知g(x)在[0,1)上单调递增，贝!Jg,卜g(0),即]sing>0,

可得a=sin!<J<=b；

333

又因为贝!|21n』<l<31n。，即工<历3<!<且；

⑶⑶223223

所以a<c<b.

故选:B.

5.（23-24高二下•湖北•期末）已知5,>e8,a=3*b=54,c=e5，则a女c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】对于a6,久。扩大适当的倍数变为整数幕的形式比较即可；对于。、，，构造函数比较大小即可

【详解】对于久6,同时12次方可得3,与53,易知甲<53,所以。<6；

对于4c,同时4e次方可得5,与e3由题干可知>5‘>e',所以5e>e3即6>c；

对于“、c,同时取对数可得苧与,，/（x）=—,r（x）=LW竺=0,解得x=e,

3exx

易得〃X）=5'在（O,e）单调递增，（e,+8）单调递减，易知坐<工吧=[,所以"C.

x3ee

综上可得a<c<b9

故选：B.

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一、单选题

1.（23-24高二下•四川南充・期中）函数y=gY-inx+2的单调减区间为（）

A.（-1,1）B.（1,+<»）C.（0,1）D.[1,+<»）

【答案】C

【分析】求导，令>'<0求解可得.

1九21

【详解】由题知，y=x-L=」,x>o,

XX

令-―-<0,解得0<x<1,

x

所以，函数y=gV_inx+2的单调减区间为（0,1）.

故选：C

2.（23-24高二下•浙江嘉兴•期中）函数y=/（x）的图象如图所示，y=尸（均为函数y=/（£）的导函数，则

不等式/（“<0的解集为（）

A.（—3,-1）B.（0,1）C.（一3,-1）。（0,1）D.（—oo,+。）

【答案】C

【分析】由〃x）的图象得到的单调区间，从而得到r（x）的取值情况，从而得解.

【详解】由图可得/（X）在（F,-3）上单调递减，在（-3,-1）上单调递增，在上单调递减，在（L”）上

单调递增，

所以xe（f,-3）时/⑺＜0,xe（-3-l）^r（x）＞0,

xe（—1,1）时（尤）＜0,尤时（无）＞0,

所以不等式矿（无）＜。的解集为（-3,-1）（0,1）.

故选：C

3.（23-24高二下•北京•阶段练习）已知函数，（x）=xsinx”R,则汐⑴,/"勺大小关系为（）

A.佃＞〃1）＞佃B.〃1）＞佃＞山）

。•田加怎口可⑴

【答案】A

【分析】对函数求导后，求出函数的单调区间，然后根据函数的单调性比较大小即可.

【详解】由