2025年人教版八年级数学寒假预习：勾股定理的逆定理（1个知识点+4大考点举一反三+过关测试）

第06讲勾股定理的逆定理

T模块导航一素养目标傕

模块一思维导图串知识1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与

逆定理的联系与区别；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

2.能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题；

模块三核心考点举一反三

3.初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定

模块四小试牛刀过关测理就解决一些几何问题。

模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点：勾股定理逆定理

L定义：如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+62=02,那么这个三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如c）.

（2）验证与/+〃是否具有相等关系.若02=/+〃，则AABC是NC=90°的直角三角形；若

c2jta2+b2,则AABC不是直角三角形.

注意：当/+/<C2时，此三角形为钝角三角形；当/+〃〉02时，此三角形为锐角三角形，其中。

为三角形的最大边.

1

6模块三核心考点举一•反三----------------------------

考点一：判断三边能否构成直角三角形

1.若实数X的立方根是2,且实数y、Z满足(y—z+2)2=_Jy-15.

⑴分别求x、y、z的值；

(2)若X、八z是△力BC的三边长，试判定△ABC的形状，并说明理由；

(3)求其最大边上的高.

【变式1-1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.4cm,5cm,6cmB.lcm,V2cm,3cm

C.2cm,3cm,4cmD.1.5cm,2cm,2.5cm

【变式1-2］下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）

A.a—15,b=20,c=25B.a\b\c=3:4:5

C.Z-A+Z-B=Z,CD.Z.A:Z.B:Z.C=3:4:5

【变式1-3］下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.0.1,0.1,0.2B.2,2,4C.6,8,10D.32,42,52

考点二：在网格中判断直角三角形

2.如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，△A8C的三个顶点均在格点上

⑴求△A8C的周长；

(2)试判断△4BC的形状.

2

【变式2-1］如图，每个小正方形的边长为1,请借用网格解决以下问题:

1111

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1111

1111

1111

■.一—一j一一一一一一▲一一一j——1__一,r一一—-

图1图2

(1)如图1所示，请计算△4BC的面积；

(2)在图2中画△£)£1「，使三边DE、EF、DF的长分别为VTU、VI62遍，并判断aDEF的形状，说明

理由.

【变式2-2］如图，每个格子都是边长为1的小正方形，乙ABC=90°,四边形4BCD的四个顶点都在格点上.

卜L一♦I一-♦I।一-卢I»-*-k一l♦-一i

卓、

一：.：•，.、1£>」

(1)求四边形48CD的周长；

(2)连结力C,试判断△力CD的形状，并说明理由.

【变式2-3】如图所示，在边长均为1的5x5正方形网格中，/、BC、。均在格点上.

D

IWI

B

(1)求44DC的度数；

(2)求四边形48CD的面积.

3

考点三：利用勾股定理的逆定理求解

；!|3.如图，在△A8C中，AB=AC,。是边上的一点，BD=5cm,BC13cm,CD=12cm.

⑴判断△4CD的形状，并说明理由;

⑵求△ABC的周长.

【变式3-1］如图，在四边形4BCD中，Z.B=90°,AB=BC=642,CD=16,AD=20.求四边形4BCD

的面积.

【变式3-2】如图所示，在四边形2BCD中，AB=AD=2,BC=3,CD=1,乙4=90。，求乙4DC的度数.

【变式3-3】已知44=9。。，AB^AC^1cm,BD=位,CD=3.回答下列问题.

(1)求乙4BD的度数；

(2)求四边形4BDC的面积.

考点四：勾股定理逆定理的实际应用

4

例4.如图，某中学有一块四边形的空地4BCD,学校计划在空地上种植草皮，经测量=90°,AD=

4m,AB=13m,CD=3m,BC=12m.

(1)求四边形ABC。的面积；

(2)若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

【变式4-1］如图，某居民小区有一块四边形空地小道4C和CE把这块空地分成了△ABC、AACE

和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉.已知N8=90。,4B=12米，BC=16米，4E=15米,

CE=25米.

(1)求四边形48CE的面积；

(2)小明和小林同时以相同的速度同时从点E出发，分别沿E-4-C和E-D-C两条不同的路径散步,

结果两人同时到达点C,求线段DE的长度.

【变式4-2］如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路4B上的点。处开凿隧道修通

一条公路到点C处，已知点C与公路上的停靠站4的距离为15km,与公路上的另一停靠站B的距离为

20km,停靠站4B之间的距离为25km,且CD1AB.

(1)判断△ABC是什么三角形？并说明理由;

(2)求修通的公路CD的长.

【变式4-3】森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机

5

洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向4B,由点力飞向点B,已知点C为其中一个着

火点，已知4B=1000m,AC=600m,BC=800m,飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.

(1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离；

(2)若该飞机的速度为14m/s,要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞

机扑灭.

<►>模块四小试牛刀过关测-------------

1.下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是()

A.1,4,5B.11,15,13C.5,12,13D.4,5,6

2.园丁住宅小区有一块草坪如图所示.已知AB=6m,BC=8m,CD=24m,DA=26m,且481BC,

这块草坪的面积是（）

3.已知a,b,c是三角形的三边长，如果满足(a-6)2++|c-10|=0,则三角形的形状是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形

5.如图，小正方形的边长均为1,4、B、C是小正方形的顶点，贝吐ACB的度数是()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.已知△A8C的三边长分别为10,24,26,则△2BC的面积为

6

7.如图，△ABC中，4D是BC边的中线，AC=17,BC=16,AD=15,△ABC的面积为.

8.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则△4BC是三角形（填直角、锐角或钝角）.

9.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60。的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某

方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，则乙船沿—

方向航行.

北

10.如图，一块四边形草地4BCD,测得48=8m,BC=17m,CD=9m,AD=12m,Z.ADC=90°.求

该四边形草地的面积.

n

11.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，818型和7188型海警船同时离开港口，各自沿一固定方向

7

巡航.818型海警船航速为32节(1节=1海里/小时)，718B型海警船航速为24节，它们离开港口

一小时后分别位于点Q,R处，且相距40海里.若818型海警船沿北偏东42。方向航行，请解答下列问

题.

(1)试说明△PRQ是直角三角形.

(2)7188型海警船沿哪个方向航行？

12.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4,B,由C到/的路现在已经不

通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点〃(点/、3在同一条直线上)，并新修一条

路测得C8=1.5km,CH=1.2km,HB=0.9km.

(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；

(2)已知新的取水点〃与原取水点A相距0.5千米，则新路CH比路C力少多少千米？

13.如图，某小区的两个喷泉8的距离48=250m.现要为喷泉铺设供水管道力M,BM,供水点M在

8

小路4c上，至必8的距离MN=120m,到喷泉8的距离=150m.

(1)求供水点“到喷泉48需要铺设的管道总长;

(2)求出喷泉B到小路4C的最短距离.

9

第06讲勾股定理的逆定理

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模块一思维导图串知识1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与

逆定理的联系与区别；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

2.能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题；

模块三核心考点举一反三

3.初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定

模块四小试牛刀过关测理就解决一些几何问题。

模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点：勾股定理逆定理

1.定义：如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+〃=。2,那么这个三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

（3）首先确定最大边（如c）.

（4）验证与/+〃是否具有相等关系若02=/+〃，则AABC是/C=90。的直角三角形；若

c2^a2+b2,则AABC不是直角三角形.

注意：当时，此三角形为钝角三角形；当/+62>02时，此三角形为锐角三角形，其中。

为三角形的最大边.

10

6模块三核心考点举一•反三------------------------------

考点一：判断三边能否构成直角三角形

1.若实数X的立方根是2,且实数八Z满足(y—z+2)2=-77TF.

⑴分别求x、y、z的值；

(2)若x、y、z是△力BC的三边长，试判定△4BC的形状，并说明理由；

(3)求其最大边上的高.

【答案】(1)X=8,y=15,z=17

(2)直角三角形，理由见解析

(3塔

【分析】(1)由立方根的定义可求出x的值，由平方和算术平方根的非负性可求出y和2的值；

(2)根据勾股定理逆定理求解即可；

(3)设最大边上的高为心根据三角形面积公式可得出八=%，代入数据求解即可.

Z

【详解】(1)解：•••实数尤的立方根是2,

.,.%=23=8.

V(y-z+2)2-Jy-15,则(y-z+2=+Jy-15=0,

,(y-z+2=0

,•(y-15=0'

解得：n

lz=17

(2)解：V82+152=289=172,

x2+y2=z2,

ABC的形状为直角三角形；

(3)解：设最大边上的高为八，

"-"SAABc^lxy=^hz,

...h=?=答=詈，即最大边上的高为翳.

【点睛】本题考查立方根的定义，非负数的性质，勾股定理逆定理，代数式求值，三角形的面积计算.熟

练掌握上述知识是解题关键.

【变式1-1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()

A.4cm,5cm,6cmB.lcm,V2cm,3cm

C.2cm,3cm,4cmD.1.5cm,2cm,2.5cm

【答案】D

【分析】根据三角形存在的条件，勾股定理的逆定理，解答即可.

本题考查了三角形的存在，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

11

【详解】解：：6<4+5,与两边之和大于第三边一致，构成三角形，

22

但42+5=41*6=36,构不成直角三角形，

.,.A不符合题意；

Vl+V2<3,与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形，

更不可能构成直角三角形，

.,.B不符合题意；

V4<2+3,与两边之和大于第三边一致，构成三角形，

但22+32=1342=16,构不成直角三角形，

；.C不符合题意；

V1.5+2=3.5>2.5,与两边之和大于第三边一致，构成三角形，

且1.52+22=6.25=2.52,构成直角三角形，

.'.D符合题意；

故选：D.

【变式1-2］下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）

A.a=15,b=20,c=25B.a'.b:c=3:4:5

C.Z-A+Z-B=Z.CD.NB:=3:4:5

【答案】D

【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键.利

用勾股定理的逆定理，三角形内角和，直角三角形两个锐角互余，逐项分析即可.

【详解】解：A.152+202=625,252=625,

152+202=252,

・••故该选项能判断△ABC为直角三角形，不符合题意；

B.a\b\c=3:4:5,

—3k,b—4/c,c—5k,

则。2+炉=25k2,c2=25k2,

a2-+b2=c2,

・••故该选项能判断△ABC为直角三角形，不符合题意；

C.,•*Z-A+Z-B=Z.CZ-A+Z-B+Z.C=180°,

・•・zC=90°,

・••故该选项能判断△ABC为直角三角形，不符合题意；

D.•••乙4:/C=3:4:5,

设乙4=3a,Z-B—4a,Z.C=5a,

•••zX+ZB+zC=180°,

・•・12a=180°

12

解得a=15°

•••Z.A=45°,NB=60°,NC=75°

・••故该选项不能判断△力BC为直角三角形，符合题意；

故选：D.

【变式1-3］下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()

A.0.1,0.1,0.2B.2,2,4C.6,8,10D.32,42,52

【答案】C

【分析】题目主要考查勾股定理逆定理，理解题意，熟练掌握运用勾股定理逆定理是解题关键.运用勾

股定理逆定理验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断直角三角形.

【详解】解：A、0.1+0.1=0.2,不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；

B、2+2=4,不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；

C、62+82=100=102,能组成直角三角形，故符合题意；

D、(32)2+(42)2=337,(52)2=625,^(32)2+(42)2(52)2,故不能组成直角三角形,故不符合题

思-Vr、.，

故选：C.

考点二：在网格中判断直角三角形

例2.如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，△力BC的三个顶点均在格点上

।-一।—।—

(1)求△ABC的周长；

(2)试判断的形状.

【答案】(1)5+3病

(2)△力BC是直角三角形，见解析

【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理以及勾股

定理的逆定理是解题的关键.

(1)利用勾股定理可得：AB2=5,AC2=20,CB2=25,从而求出力B,AC,BC的长，然后利用三

角形的周长公式，进行计算即可解答；

(2)利用(1)的结论，再根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；

【详解】(1)由题意得：

AB2=22+12=5,

13

AC2=22+42=20,

CB2=32+42=25,

：.AB=V5,/IC=V20=2V5,BC=V25=5,

△力BC的周长=AB+AC+BC—V5+2v5+5=3V5+5,

.♦.△ABC的周长为5+3V5；

（2）△ABC是直角三角形，

理由：由（1）可得：

AB2+AC2=5+20=25,BC2=25,

：.AB2+AC2=BC2,

△力BC是直角三角形.

【变式2-1］如图，每个小正方形的边长为1,请借用网格解决以下问题:

⑴如图1所示，请计算△力BC的面积；

(2)在图2中画△£>M,使三边DE、EF、DF的长分别为VIU、V10,2星,并判断aDEF的形状，说明

理由.

【答案】谯

(2)直角三角形，见解析

【分析】本题考查了根据网格求三角形面积，勾股定理和无理数，勾股定理逆定理.

(1)用割补法即可解答；

(2)由VTU=732+12,2*=闻=V42+22确定DE,EF,DF,根据勾股定理逆定理，即可确定

形状.

【详解】(1)角星：SAABC=3x3——x1x3——x1x2——x2x3=—

(2)解：vVlO-V32+l2,2V5=V20=V42+22,

如图所示，△DEF即为所求.

14

即。#+EF2=DF2,

...△DEF是直角三角形.

【变式2-2］如图，每个格子都是边长为1的小正方形，/.ABC=90°,四边形2BCD的四个顶点都在格点上.

(1)求四边形4BCD的周长；

(2)连结力C,试判断△力CD的形状，并说明理由.

【答案】⑴12+5金

(2)Z\4CD是直角三角形

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键.

(1)利用网格和勾股定理求出四边形4BCD的各边长即可求解；

(2)利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得△4CD是等腰直角三角形.

【详解】(1)解：AB=4,BC=3,CD=V32+42=5,AD=Vl2+72=5V2,

・"四边形4BCD=4+3+5+5应=12+5V2；

(2)解：△力CD是等腰直角三角形，理由如下，

•：AC=V32+42=5,CD=432+42=5,AD=5V2,

：.AC2+CD2=50,AD2=50,AC=DC

.,.AC2+CD2=AD2,

△力CD是等腰直角三角形，^ACD=90°.

【变式2-3】如图所示，在边长均为1的5x5正方形网格中，A、B、C、。均在格点上.

15

D

(1)求乙4DC的度数；

(2)求四边形4BCD的面积.

【答案】(1)N4DC=90°

【分析】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理得逆定理，掌握勾股定理及逆定理是解题关键.

(1)由网格可知，AD2=5,CD2=20,AC2=25,再根据勾股定理的逆定理求解即可；

(2)根据S四边形ABCD=S&4CD+S&4BC求解即可・

【详解】(1)解：AD2=I2+22=5,CD2=22+42=20,AC2=52=25,

：.AD2+CD2=25=AC2,

：.Z.ADC=90°；

⑵解：=S&ACD+^AABC=^X5X2+-X5x3=—.

考点三：利用勾股定理的逆定理求解

IXi例3.如图，在△力BC中，AB=AC,。是力B边上的一点，BD=5cm,BC=13cm,CD=12cm.

(1)判断△ACD的形状，并说明理由；

(2)求△ABC的周长.

【答案】(1)直角三角形；理由见解析

(2)46.8cm

【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，属于常考题型，熟练掌握勾股

定理及其逆定理是解题的关键.

(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；

(2)设力。=%cm,贝=力。=(x+5)cm,然后在Rt△ACD中根据勾股定理即可得到关于x的方程,

解方程即可求出x,进一步即可求出A8的长，从而求得△力BC的周长.

16

【详解】(1)解：△力CD是直角三角形；理由如下：

BD=5cm,BC=13cm,CD=12cm,

：.BD2+CD2=52+122=169,BC2=169,

：.BD2+CD2=BC2,

.•.△BCD是直角三角形，贝ijNBDC=90。，

：.Z.ADC=90°,

...△acD是直角三角形；

(2)解：设AD=xcm,贝=AD+BD=(x+5)cm,

.'.AB=AC=(%+5)cm,

V^ADC=90°,

：.AC2=AD2+CD2,即(X+5)2=/+i22,

解得：%=11.9,贝IjAB=力。=16.9cm

.•.△4BC的周长=16.9+16.9+13=46.8cm.

【变式3-1］如图，在四边形4BCD中，乙8=90。，AB=BC=60,CD=16,AD=20,求四边形ABC。

的面积.

【答案】132

【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关

键；

连接AC,根据勾股定理求出AC,再证明AC?+力屏=CD2t得出mac=90。，根据S四边形ABCD=S.+

SNCD即可得出答案•

【详解】解：连接AC,

VZ.B=90°,AB=BC=6V2,

22

：.AC2=AB2+BC2=(6V2)+(6V2)=144,

VCD=16,AD=20

：.AD2=202=400,CD2=162=256,

vAC2+CD2=144+256=400,

17

：.AC2+CD2=AD2,

：.ADCA=90°,

四边形4BCD的面积为：s四边形"CD=SOBC+S&ACD=IX6V2x6V2+1x12x16=132.

【变式3-2】如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=2,BC=3,CD=1,乙4=90。，求乙4DC的度数.

【答案】135°.

【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接BD,由题意可

得△4BD是等腰直角三角形，推出乙4DB=45。，由勾股定理结合勾股定理逆定理得出△BC0是直角三

角形，且NBDC=90。，即可得解.

【详解】解：连接B0,

在RtaB力。中，■：AB=AD=2,

・•.△ABD是等腰直角三角形

•­•AADB=45°,BD2=AD2+71F2=22+22=8

在aBCD中，DF2+CD2=8+I2=9=CB2,

••.△BCD是直角三角形，且NBDC=90。，

•­•AADC=乙ADB+乙BDC=45°+90°=135°.

【变式3-3］已知乙4=90。，AB=AC=1cm,BD=V7,CD=3.回答下列问题.

⑴求41BD的度数；

(2)求四边形4BDC的面积.

【答案】⑴135°

(加+日

【分析】此题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及二次根式的应用，利用勾股定理逆定理判定

△BCD是直角三角形是解决此题的关键.

18

(1)根据乙4=90。，AB=AC=1cm,易证△力BC是等腰直角三角形，得至UNABC=45°,再利用勾股

定理求出BC,再利用勾股定理的逆定理证出△BCD是直角三角形，得到NCBD=90。，即可求解出N4BD

的角度；

(2)根据四边形2BCD的面积就等于两个直角三角形的面积之和即可求解.

【详解】(1)解：力=90。，4B=AC=1cm,

是等腰直角三角形，

：.AABC=45°,

BC-y/AC2+AB2=Vl2+l2=V2.

'：BD=巾,CD=3.

ABC2+BD2=CD2,

.♦.△BCD是直角三角形，且ZCBD=9O。，

：.^ABD=乙4BC+乙CBD=135°；

(2)解：•.,△ABCABCO都是直角三角形，

•・S四边形4BCD=S^ABC+SABCD=5xABxAC+-xBCxDB=-xlxl+-xV2x币=1H—•

即四边形2BCD的面积为1+苧.

考点四：勾股定理逆定理的实际应用

例4如图,某中学有一块四边形的空地力BCD,学校计划在空地上种植草皮，经测量ND=90。，力。=

4m,AB=13m,CD=3m,BC=12m.

(1)求四边形48CD的面积；

(2)若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

【答案】(l)24m2

⑵学校需要投入4800元买草皮

【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直

角三角形是解题的关键.

(1)连接ZC,利用勾股定理求出AC,由AC、AB、BC的长度关系可得三角形力BC为一直角三角形，用

S；MBC-S/V1CD即可解答；

(2)根据总价=单价x数量计算即可求解.

【详解】(1)解：如图，连接AC,

19

D

H

乙D-90°,AD=4m,CD—3m,

在Rt△ACD中，AC=y/AD2+CD2=5m,

AB=13m,BC=12m,

：.BC2=144MB2=169,AC2=25,

：.BC2+AC2=AB2,

•••△ABC是直角三角形，且乙亿8=90。，

・••四边形/BCD的面积为：^/\ABC~

11

=-AC-BC--AD-CD

22

11

=-x5x12----x4,x3

22

=24(m2)；

(2)解：根据题意：200x24=4800(元)

答：学校需要投入4800元买草皮.

【变式4-1］如图，某居民小区有一块四边形空地A8CD,小道4C和CE把这块空地分成了△ABC、AACE

和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉.已知N8=90。,4B=12米，BC=16米，4E=15米,

CE=25米.

(1)求四边形4BCE的面积；

(2)小明和小林同时以相同的速度同时从点E出发，分别沿E-4-C和EtD-C两条不同的路径散步,

结果两人同时到达点C,求线段DE的长度.

【答案】(1)246平方米

(2)线段OE的长度为6米

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；

(1)根据勾股定理求得力C2,进而根据勾股定理的逆定理证明△2CE是直角三角形，再根据三角形的

面积公式，即可求解；

(2)根据题意得出ED+DC=35米，设=米，贝l]CD=(35-x)米，在RtZXACD中，根据勾股定

理建立方程，解方程，即可求解.

20

【详解】(1)解：=90。,48=12米，BC=16米

：.AC=7AB2+BC2=20米

•：AC2+AE2=202+152=625=252=CE2

△力CE是直角三角形，S.Z.CAE=90°

四边形4BCE的面积为S^BC+SAAEC=\ABXBC+|XCx/IE=1x12x16+1x20x15=96+

150=246平方米

(2)解：由(1)可得△ACE是直角三角形，^LCAE=90°

依题意，ED+DC=EA+AC=15+20=35米，

设DE=x米，则CD=(35-x)米

在RtWCD中，CD2=AC2+AD2

.1.(35-x)2=202+(15+x)2

解得：x=6,即线段DE的长度为6米.

【变式4-2］如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路力B上的点。处开凿隧道修通

一条公路到点C处，已知点C与公路上的停靠站4的距离为15km,与公路上的另一停靠站B的距离为

20km，停靠站4,B之间的距离为25km,且CD148.

(1)判断△ABC是什么三角形？并说明理由；

(2)求修通的公路CD的长.

【答案】(1)直角三角形，理由见解析；

(2)修通的公路CD的长是12km.

【分析】(1)根据勾股定理的逆定理，由4C2+BC2=4炉得到aACB是直角三角形；

(2)利用的面积公式可得SA4BC=XLBC="B-CD,从而求出CD的长；

本题考查了勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是解题

的关键.

【详解】(1)解：直角三角形，理由，

•：AC=15km,BC=20km,AB=25km,

A152+202=252,

：.AC2+BC2=AB2,

...△4C8是直角三角形；

(2)解：由(1)得：△力CB是直角三角形；

：.^ACB=90°,

21

VCD1AB,

：.S^ABC=\AC^BC=\AB-CD,

・・・CD="竺二"等=12(km),

AB25

修通的公路CD的长是12km.

【变式4-3】森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机

洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向4B,由点力飞向点B,已知点C为其中一个着

火点，已知48=1000m,AC=600m,BC=800m,飞机中心周围500nl以内可以受到洒水影响.

(1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离;

⑵若该飞机的速度为14m/s,要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机

扑灭.

【答案】(l)480m

(2)着火点C能被扑灭，理由见解析.

【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键.

(1)过点C作CD14B于点D,先根据勾股定理的逆定理得出aaBC是直角三角形，利用直角三角形的

面积计算出CD的长，与500比较即可得出结论;

(2)当EC=FC=500m时求出ED的长，进而得出EF的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可

求出时间，从而作出判断.

【详解】(1)解：如图，过点C作CD1于点D,

1000m,AC—600m,BC=800m,

AC2+BC2=6002+8002=10002,AB2=10002,

•••AC2+BC2=AB2,

••.△ABC是直角三角形,

•t,SAABC=54。,BC='CD,

600x800

••・CD=---------=480(m),

1000

因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，480<500,

所以着火点C受洒水影响;

22

(2)解：如图，当EC=FC=500m时，飞机正好喷到着火点C,

ED=DE,

在Rt△CDE中,ED=VCF2-CD2=V5002-4802=140(m),

所以EF=2ED=280m.

因为飞机的速度为14m/s,

所以280+14=20(s),

20秒〉15秒,

答：着火点C能被扑灭.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

1.下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是()

A.1,4,5B.11,15,13C.5,12,13D.4,5,6

【答案】C

【分析】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△力BC的三边满足a?+人2=c2,则△ABC

是直角三角形，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解答本题的关键.

根据勾股数是正整数以及勾股定理的逆定理逐项判断即可解答.

【详解】解：A、•••1+4=5,

二不能组成三角形，故A选项错误；

B、•••II2+132=290丰152,

•••不能作为直角三角形三边长，故B选项错误；

C、•••52+122=169=132,

•••能作为直角三角形三边长，故C选项正确；

D、•••42+52=4162,

•••不能作为直角三角形三边长，故D选项错误.

故选：C.

2.园丁住宅小区有一块草坪如图所示.已知48=6m,BC=8m,CD=24m,DA=26m,S.AB1BC,

这块草坪的面积是()

23

■D

工厂/

-----A

A.48m2B.72m2C.121m2D.144m2

【答案】D

【分析】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点.连接AC,先根据勾股定理求出

力C的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形.从而用求和的方法求面积.

【详解】解：连接AC,则由勾股定理得AC=7AB2+BC2=10m,

V102+242=262,^AC2+DC2=AD2,

：.^ACD=90°.

这块草坪的面积=SRQABC+SRQACD=♦BC+•DC=Tx（6x8+10x24）=144m2.

故选：D.

3.已知a,6,c是三角形的三边长，如果满足（。-6）2+花飞+忙-10|=0,则三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形

【答案】D

【分析】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a,"c的值，并正确运用

勾股定理的逆定理.

根据非负数的性质可知a,6,c的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形.

【详解】解:（a-6）2+Vb-8+|c-10|=0,

a-6=0,b—8=0,c—10=0,

•••a=6,b=8,c=10,

a24-b2=62+82=100,c2=100,

222

••・a+b=cf

・•・三角形的形状是直角三角形，

故选：D.

5.如图，小正方形的边长均为1,4B、C是小正方形的顶点，贝此4cB的度数是（）

24

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求48,BC,4C的长可判断△力BC为等腰直角

三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解.

【详解】解：由图可知：AB=Vl2+22=V5,BC=Vl2+22=V5,AC=Vl2+32=V10,

•••AB2+BC2=AC2,AB=BC,

：.△ABC为等腰直角三角形，乙ABC=90。，

乙ACB=45°.

故选：B.

6.已知△ABC的三边长分别为10,24,26,则△力BC的面积为.

【答案】120

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆运算，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的平方,

那么这个三角形是直角三角形，据此可证明是直角三角形，再根据三角形