2025年九年级中考数学压轴题专练：新定义（含答案）

专题19二次函数与新定义

（2024秋•诸暨市校级月考）

1.定义：把二次函数y=a（x+〃?y+〃与＞=-a（x-加y（awO,加、”是常数）称作互

为“旋转函数"，如果二次函数必=/+Zzx+2与%=-X2-0.5CX-C（6、c是常数）互为“旋

转函数”，则下列选项中正确的是（）

A.c=-2B.b=—

2

C.当％=，时，%+%=-2，D.不论工取何值，%+%=0

（2023秋•颍东区期中）

2.定义：,,6,c］为二次函数＞=^2+云+4。*0）的特征数.下面给出特征数为

［1,m-2,2加+1］的二次函数的一些结论:①当刃=2时，函数图象的对称轴是y轴;②当机=2

时，函数图象过原点；③当加＜0且x＜l时，y随x的增大而减小；④当机=2时，若

”（-1,%），3（3,%）,则%＜%.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

（2023秋•南岗区期中）

3.定义：二次函数了="2+6x+c（a/0）满足q+6+c=0,那么我们称这个函数为“和谐”函

数；如果二次函数y=ox2+6x+c（aw0）满足。-6+。=0,那么我们称这个函数为“美好”函

数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，则此二次函数的图象与x轴两个交

点间的距离为.

（2024秋•信阳期中）

4.定义：由0,6构造的二次函数了="2+（。-6）工-6叫作一次函数＞=的“滋生函

数”，一次函数＞=依-6叫作二次函数"2+（。-6）x-6的“本源函数”（a,6为常数，且

。#0）.若一次函数＞=的“滋生函数”是尸办2-4x+a+2,则二次函数

y^ax2-4x+a+2的“本源函数”是.

（2024秋•大连月考）

试卷第1页，共30页

5.定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这

个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们

称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y=（x-iy+2就是“友好二次函数”.

⑴直线y=4x-1上的“友好点”坐标为；

（2）若“友好二次函数"y=-/+6x+c的图像与y轴的交点是“友好点”,求这个“友好二次函数”

的表达式；

（3）若“友好二次函数"y=^x2+bx+c的图像过点（-2,8）,且顶点在第一象限

①当机-14x4加时，这个“友好二次函数''的最小值为6,求机的值；

②已知点新（5,4）,N（l,n）,当线段MN与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点

时，直接写出”的取值范围.

（2024•锦江区校级模拟）

6.在平面直角坐标系中给出以下定义：点/（%,〃），点,m'=3m,n'=-6n,则我

们称B是A的“跳跃点”.若二次函数V=ax?-5ax-64无20）的图象上恰有两个点的“跳跃点”

在直线》=-2x+36上，则°的取值范围为.

（2023•盐城）

7.定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次

函数为一次函数的轴点函数.

【初步理解】

（1）现有以下两个函数：①/=/-1；@y=x2-x,其中，为函数＞=x-l的轴

点函数.（填序号）

【尝试应用】

（2）函数）=X+C（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A,其轴点函数＞=a无2+6x+c

与x轴的另一交点为点8.若求6的值.

4

【拓展延伸】

（3）如图，函数＞a为常数，t＞o）的图象与x轴、y轴分别交于c两点,

2

在X轴的正半轴上取一点N,使得ON=OC.以线段"N的长度为长、线段的长度为宽,

试卷第2页，共30页

在X轴的上方作矩形AGVDE.若函数>=；x+/(/为常数，t>0)的轴点函数了=加/+3+/

的顶点P在矩形跖VDE的边上，求”的值.

8.我们约定：若关于x的二次函数必=办2+云+<?与％=cx2-6x+a,则称函数,与函数必

互为“共赢”函数.根据该约定，解答下列问题：

⑴若关于x的二次函数必=-3/+h+2与%=心/+工+”互为“共赢”函数，则后=_；m=_；

n=.

(2)对于任意非零实数八s,点尸(小)与点。(sj)(rws)始终在关于x的函数必=/+2rx+s

的图像上运动，函数％与％互为“共赢”函数.

①求函数处的图像的对称轴；

②函数”的图像与直线>=f+；交于/、8两点，且长为求％的函数表达式；

⑶在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数弘=a/+6x+c与它的“共赢”函数%的图

像顶点分别为点/、点用若函数必，力的图像交于不同两点。D,且四边形为菱

形，ACAD=60°,请求出该菱形面积的取值范围.

(2023•长沙)

9.我们约定：若关于x的二次函数必=%/+4x+q与％=吁2+与(^2同时满足

+(4+4)2+履-%I=°，3-打产;0,则称函数必与函数为互为“美美与共”函

数.根据该约定，解答下列问题：

⑴若关于X的二次函数必=2/+履+3与%="?x2+x+”互为“美美与共”函数，求k,m,n

的值；

⑵对于任意非零实数r,s,点尸(，，。与点。(s,f)(Ts)始终在关于x的函数为=/+2rx+s

试卷第3页，共30页

的图像上运动，函数必与为互为“美美与共”函数.

①求函数%的图像的对称轴；

②函数%的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则,

请说明理由；

(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数必=+6x+c与它的“美美与共”函数%

的图像顶点分别为点点8,函数必的图像与x轴交于不同两点C,D,函数为的图像与

x轴交于不同两点E,F.当=时，以4,B,C,。为顶点的四边形能否为正方形？

若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由.

(2024•张店区二模)

10.我们定义：二次函数了="+%无+c(a*0)与丁=-办2+&-0("0)关于原点。互为“伴

随函数

⑴请直接写出二次函数尸，-2*-3关于原点。的“伴随函数”的函数表达式；

⑵若点尸(〃?,")在二次函数产--2x-3的图象上，请证明点)在该二次函数关于

原点。的“伴随函数''的函数图象上.

(2024•铁东区二模)

11.定义：若二次函数图象与一次函数图象交于两点，且其中一个交点是二次函数的顶点,

则称这两点间的线段为此二次函数与一次函数的“顶点截线段”.

在数学活动课上，老师展示图1,在平面直角坐标系工帆中，抛物线y=-/+6x+c与直线

3

了=-4无+4交于尸，/两点，与夕轴交于点8,且点尸是抛物线v=-/+6x+c的顶点(点

3

尸与点C,点。不重合)，直线了=-^》+4分别与x轴，＞轴交于。，C两点.老师要求同

学们探究此情境下顶点截线段的长是否存在规律？

【形成猜想】

智慧小组同学分别画出点尸的横坐标为1,2,3时的图象，并量出相应的“顶点截线段”长,

发现它们的长度相等，进而形成猜想“顶点截线段”产区的长是定值.

【进行验证】

智慧小组同学通过计算求得点P的横坐标为1,2,3时“顶点截线段”力的值，验证了他们

试卷第4页，共30页

的猜想.

（1）当点尸的横坐标为2时，请你求出抛物线的解析式（化为一般式）及“顶点截线段”尸N

的长度.

【推理证明】

3

（2）智慧小组同学得到的猜想：二次函数>=-/+加+。与一次函数y=-1x+4的“顶点截

线段”力的长度为定值，是否正确？请你判断，并说明理由.

【拓展延伸】

老师在同学们分析、探究后，提出下面问题：

（3）点0为射线CD上一点（点0与点C,点。不重合），且点0为二次函数

22

4:y=aAx+6]X+q与二次函数4：y=a2x+b2x+c2的顶点，二次函数4和乙与一次函数

>=-；工+4的“顶点截线段”分别为线段。67,线段二次函数右的图象与x轴另一交点

12.定义：二次项系数之和为1,对称轴相同，且图象与了轴交点也相同的两个二次函数互

为友好同轴二次函数.例如：>=2/+4x-5的友好同轴二次函数为y=f2-2x-5.

（1）函数y=-3x2+3x+l的对称轴为,其友好同轴二次函数为,两

个函数表达式的二次项系数的关系是.

（2）已知二次函数G:y=a无2+4ax+4（其中。片0且awl且其友好同轴二次函数记为

G.

①若函数G的图象与函数G的图象交于48两点（点A的横坐标小于点&的横坐标），求线

段42的长；

②当-3<x<0时，函数C2的最大值与最小值的差为8,求。的值.

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（2020秋•景德镇期末）

13.定义：若二次函数y=左的图象记为。，其顶点为4瓦k）,二次函数

了=勺（无-左）,+%的图象记为G，其顶点为3（后，h）,我们称这样的两个二次函数互为“反顶

二次函数

分类一：若二次函数G：y=%（x-〃y+左经过G的顶点3,且。2：＞=。2（X-左丫+人经过G

的顶点4我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”.

（1）所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是命题.（填“真”或“假”）

（2）试求出了=/-4x+5的“反顶伴侣二次函数

⑶若二次函数G与G互为“反顶伴侣二次函数”，试探究6与电的关系，并说明理由.

（4）分类二：若二次函数G:y=%（X-+k可以绕点M旋转180。得到二次函数G;

2

y=a2（x-k）+h,我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”.

①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是命题.（填“真”或“假”）

②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点〃有什么特点？

③如图，G，互为“反顶旋转二次函数”，点E,尸的对称点分别是点Q,G,且跖〃GQ〃X

轴，当四边形EF0G为矩形时，试探究二次函数C-C?的顶点有什么关系.并说明理由.

（2021秋•山西月考）

14.阅读以下材料，并解决相应问题.

小聪在课外学习时遇到这样一个问题:

定义：如果二次函数〉="1尤2+3（：+＜?］（%*0,q,61,q是常数）与＞=。2尤2+4工+。2

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(a2A0,a2,b2,。2是常数)满足％+%=0，4=仇，c1+c2=0,则这两个函数互为“旋

转函数”.

求函数y=2x2-3尤+1的旋转函数.小聪是这样思考的，由函数一3x+l可知，％=2,

4=-3,G=l,根据％+%=0,bx=b2,q+c2=0,求出出，瓦,c2就能确定这个函数的

旋转函数.

请思考小聪的方法解决下面问题：

(1)写出函数V=/-4x+3的旋转函数；

⑵已知函数V=2(x-l)(x+3)的图象与x轴交于48两点，与y轴交于点C,点/、B、C

关于原点的对称点分别是4、4、G，试求证：经过点4、耳、£的二次函数与

y=2(x-l)(x+3)互为“旋转函数”.

(2024秋•昆山市期中)

15.定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图像的“2

倍点例如，点⑵4)是函数y=x+2的图像的“2倍点”.

(1)一次函数了=3无+1的图像的“2倍点”的坐标是,二次函数＞=/-3的图像的“2

倍点”的坐标是；

⑵若关于x的二次函数y=x2+3x+2-c(c为常数)的图像在上存在两个“2倍点”，求c的

取值范围；

(3)设关于x的函数y=x?+机的图像上有且只有一个“2倍点”为点力,关于x的函数

y=x2-2nx-x+4n+2(〃为常数且的图像上有两个“2倍点”分别为点2,点C(点

8在点C的左侧)，且BC=3/8,求％,〃的值.

(2024秋•长沙期中)

16.在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点”(XJ)是函数图象上任意一点，

纵坐标y与横坐标X的差y-x称为点A的“纵横值”.函数图象上所有点的“纵横值”中的最大

值称为函数的“最优纵横值”.例如：点4(1,3)在函数》=2x+l图象上，点A的“纵横值”为

3-1=2,函数y=2x+l图象上所有点的“纵横值”可以表示为y-x=2x+l-x=x+l,当

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3WxW6时，x+1的最大值为6+1=7,所以函数N=2x+l（3VxV6）的“最优纵横直，为7.

根据定义，解答下列问题：

⑴①点以-5,1）的“纵横值”为；

②函数＞=；+x（-34龙W-1）的“最优纵横值”为；

⑵若二次函数y=-x2+6x+c图象的顶点在直线x=：上，且“最优纵横值”为3,求。的值；

（3）若二次函数y=-（x-7z）2+左图象的顶点在直线y=X+9上，当-14x44时，二次函数

的“最优纵横值”为7,求力的值.

（2024秋•思明区校级月考）

17.【定义与性质】

如图，记二次函数＞=a（x-6），c和"-"工-犷+以力。）的图象分别为抛物线C和G.

定义：若抛物线C1的顶点。储国）在抛物线C上，则称G是C的伴随抛物线.

性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；

②若。是C的伴随抛物线，则C也是G的伴随抛物线，即C的顶点P（仇。）在。上.

【理解与运用】

191911

（1）若二次函数N=-/（x-2）~+加和y=+1的图象者B是抛物线y=］工2的伴随

抛物线，则优=,"=.

【思考与探究】

（2）设函数＞=/-2代+4左+5的图象为抛物线C2.

①若函数＞=--+公+0的图象为抛物线品，且J始终是品的伴随抛物线，求d,e的值;

②若抛物线G与x轴有两个不同的交点（占⑼，（与0）（再＜%）,请直接写出为的取值范围.

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备用图

（2024秋•献县月考）

18.定义:如果二次函数4：y=%/+4X+GbvC］为常数）与4：y=&/+%x+C2

（出成0,%,b2,。2为常数）满足%+%=。，且过相同的两个点，那么这两个函数4,。称

为“可对称函数

图1图2

（1）求。的函数表达式；

⑵设二次函数4,4的顶点分别为。，E,在（1）的条件下.

①如图1,将抛物线4向右平移，当点E落在抛物线6上时，设交点为G,连接。G,求DG

的长度；

②如图2,连接4D,过点E作斯〃交图象4于点尸，直接写出点尸的坐标.

（2024秋•西湖区校级月考）

19.新定义：如果二次函数夕=。/+云+°（。*0）的图象经过点（-2,0）,那么称此二次函数

试卷第9页，共30页

的图象为“定点抛物线”.

（1）试判断二次函数y=-3/-3》+6的图象是否为“定点抛物线”；

（2）若定点抛物线y=x?+（加+l）x+2-A：与直线＞=x只有一个公共点，求m的值；

⑶若一次函数＞=（2-"）x+4-2〃的图象与定点抛物线y=-x2-x+2的交点的横坐标分别

为X1和且占＜3＜%,求"的取值范围.

（2024秋•诸暨市校级月考）

20.定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标的-2倍的点，则称该点为这个函数图象

的“逆倍点”.

⑴若点-2a）是二次函数y=/+2x的图象上的“逆倍点，，，贝心=一

（2）若点P（，2）是二次函数y=x2+6x+c的图象上唯一的“逆倍点”，求这个二次函数的表达

式；

（3）若二次函数了="2+云+。Q,6是常数，a＞0）的图象过点（0,2）,且图象上存在两个

不同的"逆倍点5（X2,—2X2）,且满足上-々|=2,如果

z=b2+4b+\,请求出z的取值范围.

（2024秋•番禺区校级月考）

21.我们定义：把/=ax叫做函数y=ax2的伴随函数.比如：/=x就是了=r2的伴随函

数.数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数歹="2（。*0的常数），若点（加,”）

在函数y=的图象上，则点（一私”）也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于了

轴对称.解答下列问题：

试卷第10页，共30页

(1)=X的图象关于一轴对称;

(2)①直接写出函数v=4/的伴随函数的表达式」

②在如图①所示的平面直角坐标系中画出y=4/的伴随函数的大致图象；

(3)若直线丁=b-3左(左片0)与了=4/的伴随函数图象交于A、B两点(点A在点B的上方),

连接。/、0B,且A4B。的面积为12,求上的值；

(2023秋•洪泽区校级期中)

22.小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数>=4x2+6]X+q(%20,%,4，J是常数)与>=电丫2+62》+。2

(“220,%，方2，。2是常数)满足%+。2=0，b\=b],Cj+c2=0,则称这两个函数互为“旋

转函数求y=-x?+3x-2函数的“旋转函数

小明是这样思考的：由y=-x?+3x-2函数可知q=-1,4=3,%=-2,根据％+和=0,

4=打，6+02=0求出。2，%,c2,就能确定这个函数的“旋转函数”.

请参考小明的方法解决下面的问题：

⑴写出函数了=*+3x-2的“旋转函数”；

⑵若函数乂=X?-m+"与%=-X?+-3互为“旋转函数”，求(机+〃产3的值；

(3)已知函数了=g(x-l)(x+4)的图象与x轴交于A、8两点，与了轴交于点C,点A、B、C

关于原点的对称点分别是4、星、G.试证明经过点4、星、G的二次函数与函数

试卷第11页，共30页

y=；(x-l)(x+4)互为“旋转函数”.

(2023秋•天宁区校级月考)

23.定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于到另

一条坐标轴的距离不大于。的点叫做该函数图象的级方点”.

例如，点(2,3)为双曲线＞=@的“3级方点”，点(二,口为直线＞=1'+］的“；级方点”.

x332

(1)下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是(只填序号)；

&y=x；②尸一土③＞=*+"

x2

(2)已知y关于x的二次函数y=—(无一a+l)~+3(a—1)—3(°—1)+2,

①当。=2时，该函数图象的“2级方点”的坐标是；

②当该函数图象的“。级方点”恰有三个时，求。的值.

(2023秋•鲤城区校级月考)

24.在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标恰好是横坐标的百倍，那么我们就把这个

点定义为“萌点”.

(1)若一次函数〉=履+2左-1的图象上有一个“萌点”的横坐标是-3,求左值；

(2)若二次函数y=曰/+k的图象上没有“萌点”，求后的取值范围.

(2023秋•姑苏区校级月考)

25.定义：将函数C的图像绕点尸(0,〃)旋转180。，得到新的函数G的图像，我们称函数G

是函数C关于点P的相关函数.例如：当〃=1时，函数y=g(x-6)2+3关于点尸(0,1)的相

关函数为7=-；(x+6)2-l.

⑴当力=0时，

①二次函数j=/关于点P的相关函数为；

②点4(2,3)在二次函数y=ax2-2ax+a(a+0)关于点P的相关函数的图像上，求a的值；

⑵函数＞=也关于点P的相关函数是'=啦，贝；

(3)当-14x42时，二次函数y=-2尤2+4〃X-"2的相关函数的最小值为-1,求力的值.

(2023秋•石峰区月考)

试卷第12页，共30页

26.定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点尸(。,"+2),则称点尸为函数图象上

的“沉毅点”.例如：直线P=3x-2上存在的“沉毅点，，是尸(2,4).

(1)判断直线夕=-x+4上是否有“沉毅点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；

(2)若抛物线y=x2+3x+2-k上存在两个“沉毅点”/(项,如和8(3，刃且卜一司=存求左

的值；

(3)若二次函数y=：/+(机-+l)x+2〃+2/-2的图象上存在唯一的“沉毅点”，且当

O

-24机43时，〃的最小值为/+4,求t的值.

(2022•荔城区校级开学)

27.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值

点”.

(1)若二次函数y=/+6x+2的图象上存在唯一的“等值点”，求6的值；

(2)若将函数了=-/+2的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与图象其余部分

组成新的图象，求该图象上的所有“等值点”的坐标；

(3)若将函数.y=-/+2的图象在直线》=加下方的部分沿直线了=加翻折，翻折后的部分与

图象的其余部分组成新的图象，当该图象上恰好有三个“等值点”时，请直接写出的加值.

(2024•岳麓区校级三模)

28.若定义纵坐标与横坐标平方的差为常数的点为“晨点”

(1)当这个常数为1时，下列函数存在“晨点”的请划“T”，不存在的请划“x”.

①y=x-3()

③y=-x?()

⑵若二次函数y=-x2+4办+a有且只有一个“晨点”，且点(2,5)关于该二次函数的“晨点”的

对称点恰好也是“晨点”，求这个二次函数的解析式；

(3)已知N(a,0),B(b,0),其中。<0<6,“晨点”C在了轴上，直线NC和直线2c上的另一

个“晨点”分别为。，E,若四边形/灰)£能组成平行四边形，且有四边形N8DE面积不超过

4,则四边形周长是否存在最大值，如果存在，请求出最大值，如果不存在请说明理由.

试卷第13页，共30页

29.二次函数＞=。"-〃)2+后(。*0)的图像是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于

原点对称的抛物线了，再将得到的对称抛物线V向上平移状(机＞。)个单位，得到新的抛物

线”，我们称％,叫做二次函数＞=a(x-〃)2+左(°w0)的〃?阶变换.

(1)二次函数y=2(x+3)2-2的顶点关于原点的对称点为,这个抛物线的2阶变换的

解析式为;

⑵若二次函数M的5阶变换的关系式为％Ex+炉+4.

①二次函数M的解析式为；

②若二次函数M的顶点为点A,与x轴相交的两个交点中右侧交点为8,尸是了轴上的一

个动点，请求出使周长最小时，点尸的坐标.

(2023秋•秦淮区校级月考)

30.【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线'=加，对于任意一个函数图象，把该图象在

直线x=加上的点以及直线x=m右边的部分向上平移n个单位长度(〃＞0),再把直线x=m

左边的部分向下平移"个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于

fx+l(x＞0)

直线X=加的“〃分移函数”.例如：函数〉=%关于直线x=0的力分移函数”为〉=J二.

[x-l(x＜0)

【概念理解】

⑴已知点4(3,3)、6(3,4)、乙(0,-4),其中在函数y=x-2关于直线x=2的“2分移函数”图

象上的点有」

【拓展探究】

(2)若二次函数y=-/+2》+6关于直线尤=3的“〃分移函数”与x轴有三个公共点，是否存在

n,使得这三个公共点的横坐标之和为3+2g,若存在请求出"的值，若不存在，请说明理

由.

【深度思考】

⑶已知《-川，5(0,2),C(4,0),0(0,-2),若函数yi—法仙＞0)关于直线工=0的

“3分移函数”图象与四边形N8CD的边恰好有4个公共点，请直接写出b的取值范围.

(2023•同安区二模)

试卷第14页，共30页

ax2+bx+c(x20)

31.定义：对于给定的二次函数了=#+加+。(。*0),把形如>=2,'/一人的函

-ax+6x+c(x<0)

数称为二次函数."="2+8+。伍/0)的对联函数.如图，已知矩形/BCD的顶点坐标分别

为/(1,1),取1,3),C(-3,3),D(-3,1).

(1)已知二次函数y=/-2x+c,若点。(0,4)在这个二次函数图象上，求该二次函数的对联

函数；

(2)在(1)的条件下，求出这个二次函数的对联函数图象与矩形/BCD的边的交点坐标；

(3)当二次函数y=x2-bx(b>0)的对联函数的图象与矩形/BCD只有2个交点时，求6的

取值范围.

32.定义：如果二次函数了=%/+6]X+C](qwO、%、々、q是常数)与y=出炉+&》+。2

(出片0、/、&、。2是常数)满足％+出=。，4=仇，Cj+c2=0,则这两个函数互为“旋

转函数”.

⑴写出函数y=/-4x+3的旋转函数.

(2)若函数了=5/+(加-1h+〃与了=-5/-〃尤-3互为旋转函数，求(2加+”产s的值.

⑶已知函数V=2(x-l)(x+3)的图象与x轴交于/,8两点，与y轴交于点C,点N,B,C

关于原点的对称点分别是4、4、G，试求证：经过点4、4、。的二次函数与

y=2(x-l)(x+3)互为“旋转函数”.

(2024•长沙模拟)

试卷第15页，共30页

33.定义：如果实数机，力满足机2-2〃=t,ri1-2m=t,且心力”，/为常数，那么称点尸(加,〃)

为“改革创新点”，例如点(-2,0)是“改革创新点”.

(1)(1,1),(5,-3),(-3,1)三个点中，点—是“改革创新点”；

⑵设函数了=-：(x＜0),y=x-6仅＞0)的图象的“改革创新点”分别为点A,B,过点&作

BCLx轴，垂足为C.当△4BC的面积为3时，求b的值；

⑶若点。(。力)是“改革创新点”，用含t的表达式表示必，并求二次函数＞=尸-3"3的函数

值了的取值范围.

(2024•龙岗区校级模拟)

34.【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点/(x,y)是函数图象上任意

一点，纵坐标y与横坐标x的差“N-x”称为点/的“纵横值”.函数图象上所有点的“纵横值”

中的最大值称为函数的“最优纵横值”.

【举例】已知点/。,3)在函数y=2x+l图象上•点/(1,3)的“纵横直，为y-x=3-l=2；函

数y=2x+l图象上所有点的“纵横值”可以表示为y-x=2x+l-x=x+l,当3VxW6时，x+1

的最大值为6+1=7,所以函数y=2x+l(3VxW6)的“最优纵横值”为7.

【问题】根据定义，解答下列问题：

⑴①点8(-6,2)的“纵横直，为」

4

②求出函数了=(+无(24尤44)的“最优纵横值”；

(2)若二次函数y=-x2+6x+c的顶点在直线x上，且最优纵横值为5,求c的值；

⑶若二次函数＞=-，+(26+1)》-/+3,当-14x44时，二次函数的最优纵横值为2,直

接写出6的值.

(2024春•雨花区期末)

35.定义：若一个函数图象与直线＞=一》有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象

的交点称为“零和点”，例如：V=x+2图象与＞=T的交点是则昨龙+2是“零和函

数”，交点(T1)是“零和点”.

(1)以下两个函数：@y=2x-l,@y=x2+x+4,是“零和函数”的是(填写序

试卷第16页，共30页

号）；

⑵一个“零和函数”了=/+〃氏+力（加，〃均为常数）图象与X轴有交点（2,0）,顶点恰好是“零

和点”，求该二次函数的解析式；

（3）若二次函数y=办2+乐+。"，b,c均为常数，且avO）的图象上有两个不同的“零和

点”/（%,“）和2伉必），且x；+x；=5,该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是-?，若

1224

已知V="丁2-《6+y,求〃■的取值范围.

（2024春•长沙期末）

36.对某一个函数给出如下定义：对于函数了，若当aWxWb,函数值J的取值范围是

m<y<n,且满足"-m=则称此函数为"/系郡园函数”

⑴已知正比例函数7=ax（lVxV4）为"1系郡园函数”，则“的值为多少？

⑵己知二次函数>=--+2^+。2,当14xW3时，了是“/系郡园函数”，求/的取值范围；

（3）已知一次函数了=&+1（aWx46且左>0）为“2系郡园函数”，尸（x,y）是函数y=履+1

上的一点，若不论於取何值二次函数了=加/+（加-2）x-2〃7+l的图象都不经过点尸，求满

足要求的点P的坐标.

（2024•焦作模拟）

37.在平面直角坐标系中，正方形0/3C的边长为〃（〃为正整数），点A在x轴正半轴

上，点C在了轴正半轴上.若点"（xj）在正方形043c的边上，且x,了均为整数，定义点

M为正方形。/3C的“ZS点”.

若某函数的图象与正方形048c只有两个交点，且交点均是正方形O/8C的“LS点”，定义

该函数为正方形。/8C的“ZS函数”.

例如：如图1,当"=2时，某函数的图象G经过点（0,1）和（2,2）,则该函数是正方形0/8C

的'US函数

试卷第17页，共30页

⑴当〃=1时，若一次函数夕=履+/（左片。）是正方形。48。的“£5函数”，则一次函数的表达

式是（写出一个即可）；

TV]

（2）如图2,当〃=3时，正方形0/8C的“整点函数y=—（x>0）的图象经过5c边上的点。,

x

与边相交于点E,请直接写出加的值

⑶当〃=4时，二次函数y=，+6x+4的图象经过点B.若该函数是正方形。的“ZS函

数”，求。的取值范围；

（2024•本溪二模）

38.定义：

在平面直角坐标系中，图象上任意一点PQ,y）的纵坐标V与横坐标x的差即>-x的值称为点

P的“坐标差”；例如：点43,7）的“坐标差，，为7-3=4,而图象上所有点的“坐标差”中的最

（1）求二次函数y=-X2+7X+1的图象的“特征值”；

运用：

（2）若二次函数了=-/-法+。（0/0）的“特征值”为一1,点B与点C分别是此二次函数的图

象与x轴，了轴的交点，且点3与点。的“坐标差”相等，求此二次函数解析式；

拓展：

（3）如图，矩形。D斯，点E的坐标为（7,4）,点。在x轴上，点尸在V轴上，二次函数

试卷第18页，共30页

>=-/+"+4的图象的顶点在“坐标差，，为3的函数图象/上.

①当二次函数）=-/+"+4的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式;

②当二次函数>=-/+.+4的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出。的取值范围.

(b|24ac-b2

参考公式：〉=6+&r+c（cw0）=Q|XH---------।+4q

(2a

（2024•丹东二模）

39.定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过的两个顶点，则函数R是

的“勾股函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为（久1,%）,（町,72），

且王<%,当自变量X满足占WXW%时，此时函数E的最大值记为Vmax，最小值记为歹加〃，

h_Vmax歹min，则h是RtA^SC的“DX”值.

2

已知：在平面直角坐标系中，RtA^BC,NACB=90°,BC//

（1）如图，若点C坐标为（1/），AC=BC=4.

①一次函数％=-x+6是RtZ\48C的“勾股函数”吗？若是，说明理由并求出RtAlBC的

“DX”值，若不是，请说明理由;

②是否存在反比例函数为=£（左/0）是RtA48C的“勾股函数”，若存在，求出左值，不存

在，说明理由.

⑵若点N的坐标为（2,2）,点8的坐标为（1,加）,二次函数%=/+6x+c是RtZ\4BC的“勾

股函数

①若二次函数%=/+加+<?经过/,C两点，贝URtZ\48C的“DX”值〃=_；

②若二次函数%=x?+6x+c经过，，8两点，且与RtZkZBC的边有第三个交点，求加的取

值范围;

③若二次函数为+bx+c经过4,8两点，且的“DX”值〃加2,求机的值.

16

试卷第19页，共30页

(2024春•海门区校级月考)

40.对某一个函数给出如下定义；当自变量x满足加(a,〃为实数，"?<〃)时，

函数y有最大值，且最大值为2〃-2加，则称该函数为理想函数.

(1)当机=_1,〃=2时，在①y=gx+3；②y=-2x+4中，是理想函数；

⑵当〃=3根+2时，反比例函数y=—是理想函数，求实数加的值；

x

⑶已知二次函数y=/-"x+zM?+2加-3是理想函数，且最大值为2加+4.将该函数图象向左

平移近个单位长度所得图象记为C,®,必)，值,%)是图象C上两个不同的点.若%+%=4,

6

求证：yl+y2>~.

(2024春•越秀区校级月考)

41.定义：平面直角坐标系xQy中，点尸(a,b),点。(c,d),若c=ka,d=-kb,其中左为

常数，且上片0,则称点0是点P的“左级变换点”.例如，点(-4,6)是点(2,3)的“一2级变换

点”

9

(1)函数>=-'的图象上是否存在点的“左级变换点”？若存在，求出发的值；若不存在，

说明理由；

⑵动点/(0-2)与其“左级变换点”3分别在直线人上，在4，4上分别取点(〃凡必)，

(〃/,").若左V-3,求证：yj-y2>4；

(3)关于x的二次函数y=〃/-”x-6”(尤20)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”

都在直线N=-x+3上，求力的取值范围.

(2024•株洲模拟)

42.定义：对于函数，当自变量无=%,函数值了=/时，则%叫做这个函数的不动点.

试卷第20页，共30页

⑴直接写出反比例函数y的不动点是.

⑵如图，若二次函数y=姓2+及有两个不动点，分别是0与3,且该二次函数图象的顶点尸

的坐标为（2,4）.

①求该二次函数的表达式；

②连接。尸，”是线段0P上的动点（点/不与点O,尸重合），N是该二次函数图象上的

点，在x轴正半轴上是否存在点。（加⑼满足==若存在，求心的

最大值；若不存在，请说明理由.

阅读材料：在平面直角坐标系中，若点£和点F的坐标分别为（不必）和立2,%）,则点E和

点F的距离为忸7]=J（X|-七）2+（乂-%J-

（2024春•海州区校级月考）

43.我们定义：点尸在一次函数N=^+6上，点0在反比例函数y='上，若存在尸、。两

点关于〉轴对称，我们称二次函数v=a/+bx+c为一次函数和歹="+6反比例函数丁=£

X

7

的“向光函数”，点尸称为“幸福点”.例如：点尸在y=x-l上，点。（1,-2）在y=——

上，P、。两点关于y轴对称，此时二次函数y=--x-2为一次函数y=x-l和反比例函数

V=一士的，，向光函数，，，点p（-l,-2）是“幸福点”.

2

（1）判断一次函数y=x+i和反比例函数y=-一是否存在“向光函数”，若存在,请求出“幸福点”

X

坐标；若不存在，请说明理；

（2）若一次函数y=x-左与反比例函数〉=——只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；

X

⑶己知一次函数y=ax+b与反比例函数有两个，幸福点”/、B（/在3左侧），其“向

x

光函数"y=办2+6X+C与轴X交于C、。两点（C在。左侧），若有以下条件：

①a+6+c=0②“向光函数”经过点（-3,4）,③a>6>0,记四边形/C&D的面积为S,求一

a

的取值范围.

（2024•龙岗区校级模拟）

44.【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：^（-2,-6）,

试卷第21页，共30页

5（010）,C（l,3）等都是“三倍点”.

【背景】己知二次函数＞=-x2-x+c（c为常数），

（1）若记“三倍点”。的横坐标为乙则点。的坐标可表示为」

⑵若该函数经过点（1,-6）；

①求出该函数图象上的“三倍点”坐标；

②在-34x41范围中，记二次函数y=-x2-x+c的最大值为最小值为N,求M-N

的值；

⑶在-的范围内，若二次函数了=-/-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，直接

写出c的取值范围.

（2024•盐城二模）

45.定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点（%必）,

（x，%）（x为自变量取值范围内的任意数），都有点（羽必）和点（x,%）关于点（x,x）成中心

13

对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”.例如：y,=-x^y2=-x

互为“中心对称函数”.

（1）如果点（x,%）和点（无，%）关于点（x，x）成中心对称，那么三个数x,其，为满足的等量

关系是「

（2）已知函数：①y=-2x和＞=2x；②＞=-x+3和y=3x-3；③》=3/+4工一1和

y=-3x2-2x+l,其中互为“中心对称函数”的是（填序号）；

⑶已知函数尸3x-4的“中心对称函数”的图象与反比例函数”々加＞0）