2025年人教版九年级上册数学寒假提升训练：圆的证明题（含解析）

2024-2025学年人教版九年级上册数学寒假提升训练：圆的证明

题

1.如图，在VA3C中，AB=AC,以48为直径的与BC,AC分别相交于点。，E.

⑴求证：BD=CD-,

⑵若0。半径为5,NCDE=50°,求扇形的面积.

2.如图，VABC为等腰三角形，。是底边2C的中点，腰与。。相切于点D

⑴求证：AC是0。的切线.

(2)已知：ZBAC=120°,BC=12,求。。的半径是多少？

3.如图，是0。的直径，过点B作。。的切线点A、C、。分别为0。的三等分

2025年

点，连接AC,AD,DC,延长AD交8M于点E,CD交AB于点F.

\M

⑴求证：CD//BM-,

⑵连接OE,若£>E=〃z,求△OBE■的面积.

4.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,以AC边为直径作0。交AB于点D,连接。。并

延长交BC的延长线于点E,点P为BC的中点，连接。尸.

(1)求证：PD是。。的切线;

(2)若。。的半径为3,4=30。，求PE的长.

5.如图，A8是。。的直径，AC是。。的弦，半径CE交A3于点F点D在AB

的延长线上，SLDC^DF.

c

(1)求证：DC是。。的切线;

(2)若NOEC=15。，OE=6,求图中阴影部分的面积.

6.如图，CD是。。的直径，点尸是C。延长线上一点，且相与00相切，弦ASLCD于

点、F,过。点作于点E.

⑴求证：AEAD=AFAD；

(2)若尸A=8,PD=4,求。。的半径和DE的长.

7.如图，在VABC中，以48为直径的作。。，分别交AC,8C于点且BE=DE,连

接AE,过点C作CF〃AB,NCBF=NCAE.

2025年

(1)求证：B尸为。。的切线；

⑵求证：CF=CD；

(3)若CF=4,AE=4yj5,求AB的长.

8.如图，是。。的直径，弦CD〃AB,过点。作。。的切线交AB的延长线于点E,连

接BC,BD.

⑴求证：NE=NCBD；

(2)若AE=8,DE=4,求CD的长.

9.如图，A5是。。的直径，ODLAB交。。于点。，点C为上方0。上一点，连接

AC、CD,CD与AB交于点E,过点C作。。的切线C/交A3的的延长线于点况

c

(1)求证：NFCE=NOED；

(2)若C尸=4,BF=2,求0斤的长.

10.如图，在Rt^ABC的斜边上取点E,以AE为直径作。。，。。切BC于点。，连接AD.

4/\

(1)求证：AD平分4AC；

⑵如果AE=6,OC=4,求CE的长.

11.如图，是。。的直径，。是弦AC的延长线上一点，S.CD=AC,的延长线交。。

于点E.

2025年

(1)求证：CD=CE；

(2)连接AE,若/。=26。，求154E的度数.

12.如图，VABC内接于。。，且为。。的直径，过点。作OE〃3C,交0。于点E,

交AC于点。.过A点作直线/交OE的延长线于点尸，且//=/B4C.

(1)求证：直线AF与。。相切；

(2)若。尸=8,1F30?,求AO的长.

13.如图，AB是。。的直径，点C在。。上，连接AC,BC.作OD〃AC交。。于点

交于点E.

⑴求证：BD=CD-

(2)过点。作的切线交AC的延长线于点?若CP=1,BC=4.求AC的长.

14.如图，在0。中，弦40=3。，0EJL/1B于E,OH1BC^H.

⑴求证：AB=CD.

⑵若。。的半径为5,CD=8,BC=4,求OE+C区的长.

15.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，。为AC的中点，过C作。。的切线交OD

的延长线于E,交力B的延长线于兄连E4.

2025年

(1)求证：E4与。。相切；

⑵若CE=3,CF=2,求。。的半径.

16.如图VABC中，ZACB=90°,BE平分—ABC交AC于点E,以点E为圆心，EC为半

径作OE交AC于点?

⑴求证：AB与。E相切；

⑵若AB=15,BC=9,试求AF的长.

17.如图，AB,AC分别与。。相切于B,C两点，2。的延长线交弦CD于点E,CE=DE,

连接OD.

B

A

⑴求证：ZA=ZDOE；

(2)若OD〃AC,。。的半径为2,求AB的长.

18.如图，四边形ABC。，ZC=90°,以4B为直径作。。，经过点。，交3C于点E,D为

弧AE的中点.

⑴求证：CD是。。的切线;

(2)若A2=20,BE=2CD,求阴影部分的面积.

19.如图，在VA3C中，AB=AC,以45为直径的0。分别交8C,AC于点。，E,连

接BE,OD,BE与OD交于点、F.

2025年

A

⑵当/ABE=48。时，求/C3E的度数.

20.如图，A5是。。的直径，点C在上.BC平分/过点8作应＞_U于点£).

⑴求证：CD是。。的切线；

(2)连接OD,若/ASD=60。，CD=3,求OD的长.

2025年

《2024-2025学年人教版九年级上册数学寒假提升训练：圆的证明题》参考答案

1.(1)见解析

⑵些无

36

【分析】本题考查了扇形面积和等腰三角形的性质以及圆周角定理.掌握扇形的面积公式、

等腰三角形的性质以及圆周角定理是解题的关键.

(1)连接，根据圆周角定理的推论得到/班n=90。，再根据等腰三角形的性质即可得到;

(2)根据已知求出40。=50。，根据扇形面积公式即可得到答案.

【详解】(1)证明：连接AO

为。。的直径

:.ZADB=90°

又•.♦AC=AB

:.CD=BD

(2)vZCDE=50°

Z.EDB=180°-NCDE=130°

又：四边形ABDE内接于

:.ZCAB+ZEDB=180°

ZCAB=180°-ZEDB=50°

VAO=BO,CD=BD

是△胡C的中位线

:.OD//AC,

:.ZBOD=ZBAC=5QP

.<_50,_125

••3南取八女八—-----71XJ2-.............71

扇形OBD36Q36

2.(1)见解析

(2)。0的半径是3

【分析】(1)过点。作OELAC于点E,连接ODQ4,根据等腰三角形“三线合一”的性

2025年

质结合角平分线的性质定理，得出OE=OD,即OE是0。的半径，即证AC是。。的切线;

（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可求出08=6,/3=30。，再根据含30度角的直角

三角形的性质得出DO=；O2=3,即得出答案.

【详解】（1）证明：过点。作OELAC于点E,连接OD,OA,

•.•△ABC为等腰三角形，。是底边2C的中点,

.•.AO是/BAC的平分线.

•.•AB与O相切于点。,

ODLAB,

:.OE=OD,即OE是0。的半径，

二AC是。。的切线；

（2）解：：VA5C为等腰三角形，。是底边BC的中点,

AO是ZB4c的平分线，AO±BC,OB=6,

：.ZBAO=ZCAO=-ABAC=60°.

2

=30°.

OD±AB,

DO=-OB=3,

2

.•・。0的半径是DO=3.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质和判定，角平分线的性质定理，含30度

角的直角三角形的性质，连接常用辅助线是解题关键.

3.（1）见解析

（2）S&OBE=6府

【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定、三角形的外心、圆切线的性质、平行线的判定，

等边三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、含30。角的直角三角形的

性质，熟练掌握知识点推理是解题的关键.

（1）根据三等分点，得出AO=Z）C=AC，AACD内接于。。，推出AD=OC=AC,点0

2025年

是AACD的外心，得出AB_LCD,根据切线的性质，得出5E_LM,根据“同一平面内，垂

直于同一条直线的两条直线平行”，即可得证。0〃3加；

(2)连接08,由(1)^AD=DC=AC,ABLCD,BELAB,得出AACD是等边三角

形，ZABE=90°,得出NC4O=60。，计算出角度NE4B=30。，ZAEB=60°,根据“直径所

对的圆周角是直角“，得出NADB=//)E=90。，求出N£>3E=30。，根据“30。角所对的直

角边是斜边的一半”，结合勾股定理，推出比=2〃z,OB=y/3m,根据三角形面积公式，计

算SAOBE=gxBExO2,得出答案即可.

【详解】(1)证明：：点A、C、。为。。的三等分点，

AD=DC=AC>AACD内接于。。，

AD=DC=AC,点。是AACD的外心，

...点A、。在线段C。的垂直平分线上，

C.ABLCD,

1.,过点B作。。的切线BM,

，BELAB,

：.CD//BM；

(2)解：如图，连接05,

•・•由（1）得：AD=DC=AC,AB1CD,BE±AB,

•••△ACD是等边三角形，ZABE=90°,

：.ACAD=60°,?EAB-?CAD-^60=30?,

22

ZAEB=90°-30°=60°,

•IA5是。。的直径，

:・ZADB=ZBDE=90。，

：.?DBE90??AEB30?,

2025年

又DE=m,

BE=2DE=2m,BD=BE2-DE2=-m2=8n,

又：在RtAADB中，ZDAB=3O°,

:.AB=2BD=2®n,OB=^AB=y/3m,

在RAOBE中，SROBE=g*BExOB—~x2mxy/3m=\f3rn2.

4.(1)见解析

(2)6A/3

【分析】(1)连接8,圆周角定理，得到NCD3=90。，斜边上的中线得到

PB=PD=PC=-BC,进而得到N3=N3。尸，等边对等角，得到NA=NOZM,根据等角

2

的余角，推出/电火=90。，即可；

(2)证明△口)尸是等边三角形，进而推出ABDC四应)尸(ASA),得到尸E=3C,勾股定

理求出BC,即可得出结果.

【详解】(1)证明：连接。，

CDLAB,

NCDB=90°,

:点P为BC的中点，

，PB=PD=PC=-BC,

2

ZB=ZBDP,

•/OD=OA,

：.ZA=Z.ODA,

:ZACB=90°,

ZB+ZA=90°,

2025年

NBDP+ZADO=90。,

：.NPDE=180°-NBDP-ZADO=90°,

'/O。是。。的半径，

PO是0。的切线；

(2)解：NBDC=90°,ZB=30°,

：.ZPCD=60°,

由(1)知，PC=PD,

二△口)「是等边三角形，

PD=CD,ZBCD=ZDPE=60°,

NBDC=NPDE=90。,

：.ABDC名AEDP(ASA),

：.PE=BC,

•/AC=6,

：.AB=2AC=12,

BC=7AB2-AC2=6G，

PE=BC=6A/3.

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定性质，含30度角的直角三

角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键.

5.(1)证明见解析

⑵186-6万

【分析】(1)连接OC,由等边对等角可得/OCE=/OEC,NDCF=NDFC=NEFO,由

直角三角形的两个锐角互余可得NE+NEFO=90。，进而可得/OB+/DCF=90。，即

ZOCD=90°,然后根据切线的判定定理即可得出结论；

(2)由三角形的内角和定理可得=尸C=NOCE=75。，ZD=30°,由直角三角形

的两个锐角互余可得/COD=60°,由含30度角的直角三角形的性质可得OD=2OC=U,

利用勾股定理可得CD=y]OD2-OC2=673，然后根据§阴影=S^COD~S扇形C08即可得出答案.

【详解】(1)证明：如图，连接OC,

2025年

OC=OE9

・•・ZOCE=ZOEC,

,:DC=DF,

：.ZDCF=ZDFC=ZEFO,

VOE1AB,

・•・ZEOF=90。,

；・/E+/EFO=90°,

：.ZOCF+ZDCF=90°,

：.NOCD=90。，

•・•OC是O。的半径，

・•・OC是。。的切线；

(2)解：,：ZOEC=15°,NEO尸=90。，

・•・ZEFO=ZDFC=ZDCF=75°,

・・・ND=30。，

・・・ZCOD=6Q0,

OC=OE=6,

:.OD=2OC=n,

CD=yl0D2-0C2=6A/3>

S阴影=S«COD-S扇衫COB=1X6X673-6°^6^18A/3-6^,

即图中阴影部分的面积为18石-6%.

【点睛】本题主要考查了等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定，三角形的

2025年

内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理，求其他不规则图形的面积，三角形的面

积公式，求扇形面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

6.(1)证明见解析

(2)6;y

【分析】(1)连接Q4,根据OA是0。半径，AP是。。的切线得。4LAP,ZQ4E=90°,

即NE4Z)+/QW=90。，根据AB_LCD于尸得NAFD=90。，则NE4£>+NAZ»=90。，根据

。4=。。得/。4。=44。0,即可得；

(2)在中，设。A=x,则QD=x,OP=x+2,由勾股定理可得。4?+4尸？=O尸，

,74

即无2+8?=(尤+4)一，解得x=6，则OA-6,OP=10,在AAOP中，根据等面积法可求AF=—,

1Q19

在Rt△尸。4中，由勾股定理得。方=],即可得。尸=(,根据角平分线的性质可得

DE=DF=—.

5

【详解】(1)证明：如图，连接。4,

•・・。4是。0半径，AP是。。的切线，

：.OA±APf

：.NQ4£=90。，

即NE40+/Q4O=9O。，

TAB_LCD于凡

JZAFD=90°,

ZFAD+ZADO=90°,

'：OA=ODf

：.ZOAD=ZADO,

：.ZEAD=ZFAD；

(2)解：在RtzXAOP中，设OA=%,

2025年

OD=X,OP-x+4,

由勾股定理可得：OA2+AP2=OP-，

即f+82=(x+4)2,

得x=6,

,OA=6,OP=\0,

：AB_LCD于R

__AOAP_OPAF

・・^/\AOP=2=2'

即S△3等=

AF=y,

24

在Rt△尸。4中，04=6,AF=y,由勾股定理得:

・•・DF=OD-OF=—,

5

「A。平分NE4P,DF±AF,DELAP,

：.DE=DF=Xj,

12

•••。。的半径为6,DE的长为

【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，掌

握切线的性质，等边对等角，勾股定理，角平分线的性质是解题的关键.

7.(1)证明见解析

(2)证明见解析

⑶AS=10

【分析】(1)由圆中弦、弧、圆周角之间的关系，结合题意得到/8尸再由直径

所对的圆周角是直角，利用直角三角形两锐角互余，等量代换即可得到NCBR+NABC=90。,

从而确定8尸为。。的切线；

(2)连接2。，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，得至lJ/3DC=90°,再由两个三角

形全等的判定与性质得到AB=AC,/ABE=NACE,BE=EC,进而根据平行性质及全等

三角形的判定得到ABFC沿&BDC,从而得到CF=CD；

2025年

(3)设AB=无，BE=EC=y,在RtABD。中、在中、在RtZXABE中由勾股定理

列出相应方程，解方程组及方程即可得到答案.

【详解】(1)证明：・.・5石=DE,

:.BE=DE，

:./CAE=NBAE,

・.・NCBF=NCAE,

:"CBF=/BAE,

・「AB为。。的直径，

.\ZAEB=90°,

:.ZBAE+ZABC=90°f

ZCBF-^-ZABC=90°.

.•.AB_L5尸且05为。。的半径，

为。。的切线；

(2)证明：连接50,如图所示：

・•.NBDC=9U。,

由（1）知NC4E=44E,

Y.-ZAEB=ZAEC=90°,AE=AE,

.△AEB^AAEC,

:.AB=ACf/ABE=/ACE,BE=EC,

•：CF//AB,

2025年

,\ZCFB=ZABF=90°NFCB=NCBA,

:"FCB=/DCB,

又YBCMBC,

/.△BFC^ABDC,

:.CD=CF；

（3）解：设=BE=EC=y,

CD=CF=4,AE=4A/5,

・・・在RM5DC中，由勾股定理可得8。2=5。2+。02,即瓦)2=4,2—16,

・・・在RtZXABO中，由勾股定理可得=502+4)2,即加＞2=/,

/.4y2-16=x2-(x-4)2®,

・•・在RtZkABE1中，由勾股定理可得即②f=/十卜石『，

由①②消去V得到4Y一卜石了-16=/-(x-4『，解得为=10,X2=-8(舍去)，

AB=10.

【点睛】本题考查圆综合，涉及圆中弦、弧、圆周角之间的关系、圆周角定理、直角三角形

性质、切线的判定、平行线性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程(组)等知

识，熟练掌握相关几何知识灵活运用是解决问题的关键.

8.(1)证明见解析

(2)CD=y

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题关键.

(1)作C。于点P，连接OC,OD,先由平行的性质易得NDO尸+NDOE=90。，再

由切线的性质得OD/OE,进而得NE+NDOE=90。，即可得NE=NDO/，再由垂径定理

和圆周角定理可得NCBD=g/DOC,继而可得结论；

(2)作于点G,设。。的半径为r，则Q4=OD=r,OE=8-r,由勾股定理列

2025年

方程得r+42=（8-4，解方程得r=3,进而可得。£、。尸的值，再由勾股定理可得DF的

值，最后由8=2。厂可得答案.

【详解】（1）证明：作。尸，CD于点尸，连接OC,OD,如图1,

・•・ZDFO=90°,

■:CD//AB,

：.ZDFO+ZEOF=180°,

・•・ZEOF=90。,

ZDOF+ZDOE=90°,

•・・。石是。。的切线，。是切点，

：.OD1DE,

：.ZE+Z£>OE=90°,

・•・ZE=ZDOF9

•：OC=OD,

：.ZDOF=-ZDOC,

2

•.・ZCBD=-ZDOC,

2

・•・ZDOF=ZCBD,

・・・ZE=ZCBD；

(2)解：作DG_LAE1于点G,如图2

G\BE

2025年

-：CD//AB,O'，。于点尸，

/.DGLCD,OF±AE,

.,•四边形OfUD为矩形，

/.DG=OF,

设。。的半径为「，则CM=OD=r,

VAE=8,

OE=8-r,

:在RtzXODE中，NODE=90。,DE=4,

：.r2+42=(8-r)2,

解得r=3,

：.OE=5,

'：S&ODE=^ODDE=^GDOE,

.erODDE12

OE5

...在Rt^OF。中，DF=>JOD2-OF2=|,

1Q

CD=2DF=—.

5

9.(1)见解析

(2)5

【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识.

(1)连接OC,由切线的性质得到NOCF=90。，则/。7£+/尸©£=90。，由OD_LAB得

到NOED+/ODE=90。，由OC=OD得到NOCE=/ODE,即可证明结论；

(2)设。。的半径为r,则OC=QB=r,OF=OB+BF=r+2,■；利用勾股定理得到

(r+2)2=42+r2,解方程得到r=3,即可得到答案.

【详解】(1)解：连接OC,

2025年

,/过点C作。。的切线CF交AB的的延长线于点F.

：.OC±CF,

：.NOCF=90°,

：.ZOCE+ZFCE=90°,

：8,48交。0于点。，

NBOD=90。,

ZOED+ZODE^90°,

"：OC=OD

：.NOCE=NODE,

：.NFCE=NOED；

(2)设。。的半径为r,则OC=O3=r,OF=OB+BF=r+2,

在RtAOCF中,

OF2^CF2+OC2,

A(r+2)2=42+r2,

解得r=3,

OF=OB+BF=r+2=5

10.(1)见解析;

⑵CE的长为2.

［分析Xl)连接OD,由切线的性质得OD±3C,又ABL2C,则故有OD〃A3,

根据平行线的性质可得N3AD=NO/M,再证明/Q4D=/R4D,从而求证；

(2)设CE=x,则OC=3+x,然后由勾股定理得出32+42=(无+3))再解方程并检验即

可.

【详解】（1）证明：连接OD,

2025年

:。。切BC于点。，

:.OD±BC,

•；ZABC=90°,

AB±BC,

：.OD//AB,

：./BAD=NODA,

'：OA=OD,

：.AODA=AOAD,

：./OAD=/BAD,

/.AD平分/R4C；

(2)解：：AE=6,

：.OD=3,

设CE=x,则OC=3+x,

在RtAOCD中，or>2+CD2=OC2,

32+42=(%+3)2,

解得不=2,无2=-8（舍），

即CE的长为2.

【点睛】本题考查了圆的切线性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，勾股定理，解一

元二次方程，解题的关键时熟练掌握相关性质定理.

11.⑴见解析

（2）ZBAE=38°

【分析】（1）连接BC.首先证明钻=BD,推出ZA=ZD=ZE即可解决问题；

（2）连接AE,根据Zfi4E=90O-ZABE,只要求出NABE即可.

【详解】（1）证明：连接BC,

2025年

•：CD=AC,则5c垂直平分

AB=BD,

.\ZA=ZD,

・.・ZA=ZE,

「.ZD=NE,

CD=CE；

(2)解：连接A石，

ZABE是AABD的一个外角，

:.ZABE=ZBAC+ZD=52°,

•.•AB是。。的直径，

:.ZAEB=90°,

.­.ZB4£,=90°-52°=38°.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角

形的外角性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

12.(1)见解析

(2)273

【分析】本题考查切线的判定与性质、圆周角定理的推论、勾股定理应用，解题的关键是掌

握相关的性质定理，进行证明.

2025年

(1)先证明NAOR+N尸=90。即可得出NQ4/=90。，从而证明结论；

(2)先求出。4=,0/=4,再求出。。==。4=2,利用勾股定理求出结论.

【详解】(1)证明：・・・O£〃3C,

・•・ZAOF=ZABC,

・・・A3是。。的直径，

・•・ZACB=90°,即ZABC+ABAC=90°,

•；NF=/BAC,

ZAOF+ZF=90°f

ZOAF=90°,

OA±AFf

・・,Q4是。。的半径，

直线AF与。0相切；

(2)解：,：OF=8,?F30靶OAF=90?,

：.OA=-OF^4,

2

•/OE//BC,

：.ZODA=ZBCA=90°,

,：?BACIF30?,

OD=—OA=2,

2

在RtAOAD中，OD2+AD2=OA2,

22+AD2=42，

解得4。=2百，

，AD的长为2石.

13.⑴见解析

(2)3

【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，平行线的性质可得出8±BC,然后根据垂

径定理即可得证；

(2)根据切线的性质以及(1)的结论可证明四边形CFDE是矩形，则Z)E=CF=1,根据

垂径定理得出BE=CE=；BC=2,在RtABOE中，根据勾股定理求出OE,然后根据三角

2025年

形中位线定理求解即可.

【详解】(1)证明：是。。的直径,

ZC=90°,

'：OD//AC,

：./O£B=/C=90。，

:.OD±BC,

BD=CD；

,/DF是。。的切线，

:.ODVDF,

又OD上BC,ZBCF=1800-ZACB=90°,

四边形CFDE是矩形，

,DE=CF=1,

•/OD1BC,BC=4,

：.BE=CE=-BC=2,

2

在RUBOE中，BO2=OE-+BE1,

A(<9E+1)2=OE2+22,

3

解得OE=5，

VBO=AO,BE=CE,

：.AC=2OE=3.

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理等

知识，熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键.

14.⑴见解析

2025年

(2)O£+O//=3+V21

【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是

解题的关键；

(1)由题意易得AB=CD，进而问题可求证；

(2)连接OB,由勾股定理，得OE=3.根据垂径定理可进行求解.

【详解】(1)证明：•.・AD=3C,

AD=BC'AD+BD=BC+BD，

即AB=CD>

:.AB=CD.

由勾股定理，得OE=dOB2-EB。=,52-42=3.

同理可得OH=5.

:.OE+OH=3+向.

15.(1)见解析

⑵,

2

【分析】本题考查三线合一、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理

并能利用等面积法解决问题是关键.

(1)连接OC,由三线合一得OELAC,根据垂直平分线的性质可得CE=AE,证明

△OCE丝△OAE,利用全等三角形的性质可得NQ1E=9O。即可；

(2)先利用勾股定理求得AF=4,设OA=OC=x,再根据等面积法列

』x3x4=，x5尤+』x3x即可求解.

222

2025年

【详解】（1）证明：如图，连接OC,

•.•£F是。。的切线,

:.ZOCE=90°,

,.山为AC的中点，OC=OA,

:.OE±AC,则OE垂直平分AC,

CE-AE,

-.-OC=OA,OE=OE,

..△OCE丝AOAE'(SSS),

/OAE=NOCE=90。,

与。。相切；

(2)解：-.-CE=3,CF=2,

:.EF=5,

由(1)可知CE=AE=3,/OAE-90°,

AF=y]EF2-AE2=752-32=4，

设OA=OC=x,

•°AEAF-Q&EOFT口AEAO，

:.-AEAF=-EFOC+-AEOA

222f

—x3x4=—x5x+—x3x,

222

解得尤=:3,

3

故。。的半径为

2

16.(1)见解析

⑵3

【分析】本题主要考查了圆与三角形综合，熟练掌握角平分线性质，圆切线判定和性质，切

2025年

线长定理，勾股定理，是解题的关键.

(1)作于点X,根据角平分线性质得E"=EC,得点》在。E上，即得A3与。石

相切；

(2)根据勾股定理得AC=12,得AE=12-EC,根据BC是。E的切线，得BH=BC=9,

,9

得AH=6,®®AH2+EH2=AE2>W62+EC2=(12-EC'),解得£。=万，CF=9,即得

AF=3.

【详解】(1)证明：作EH_LAB于点打，

平分—ABC,ZACB=90°,

：.EC±BC,

：.EH=EC,

点〃在。E上，

二AB与。E相切.

(2)解：VZACB=90°,AB=15,BC=9,

AC=y/AB--BC-=12>

AE=AC-EC=12-EC,

：EC是的半径，BC±EC,

/.BC是。E的切线，

BH=BC=9,

:.AH=AB—BH=6,

■:NAHE=90。,

AH2+EH2=AE2,

：.62+EC2=(12-EC^,

2025年

9

:.EC=-,

2

・・・CF=2EC=9,

・•・AF=AC-CF=3,

**•AF的长为3.

17.（1）见解析

⑵2+20

【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质.

（1）连接C。，由切线的性质得NOB4+NOC4=180。，再由四边形内角和得

ZA+ZBOC=180°,由平角的性质得NCOE+/3OC=180。，进而得/COE=NA,再由垂

径定理得NCOE=/DOE,继而可得结论；

（2）过点C作（＞_L熊于点先由已知得四边形CE&W是矩形，进而得CM=3E,

BM=CE,CE//AB,结合（1）易得AOED是等腰直角三角形，进而可得

AM=CM=BE=2+y/2,BM=CE=3,再由AB=+即可得出答案.

【详解】（1）证明：如图，连接CO,

,/AB,AC分别与0。相切于B,C两点,

AOCLAC,OBLAB,

ZOBA+ZOCA=180°,

：.ZA+ZBOC=180°,

又ZCOE+NBOC=180°,

NCOE=ZA,

VCE=DE,OC=OD,

：.OELCD,OE平分NCOD,

：.ZCOE=NDOE,

：.ZA=ZDOE；

（2）解：如图，过点C作"±四于点

2025年

'：OB1AB,OE【CD,CM1AB,

：.ZCMB=ZBME=/BEC=ZECM=90°,

・・・四边形CEW是矩形，

/.CM=BE,BM=CE,CE//AB,

：.ZA+ZACE=180°,

9：OD//AC,

：.ZACD+ZODC=180°,

・•・ZA=ZODCf

由(1)得NA=NDOE,

・•・ZODE=ZDOEf

：.OE=DE,

・・・△西)是等腰直角三角形，

・•・ZODE=ZDOE=ZA=45°f

・•・NAOW=45。，

：.AM=CM,

•「O。的半径为2,即QD=QB=2,

OE=ED=CE=42,

:・AM=CM=BE=2+垃,BM=CE=C，

AB=AM+BM=2+2近.

18.(1)证明见解析

⑵〉

【分析】(1)连接OD,由AD=£)E可得/ABO=/CBZ),进而得/0D3=/CBD,得至I)

OD//BC,即得/ODC+NC=180。，得到/ODC=90。，即可求证；

(2)连接OE,过。作。尸，3C于点尸，可得BE=2BF,/OFC=NOFB=90。,即得

2025年

BF=CD,又可证四边形OZX尸为矩形，得到C