湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）VIP

湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列导数运算正确的是（）A．(sinπ3C．(e2x)2．已知二项式(2x−1)n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则nA．6 B．7 C．8 D．93．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)=2xfA．32−π3 B．32+4．1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（）A．240 B．480 C．384 D．14405．若点P是曲线y=lnx−x2上任意一点，则点P到直线A．22 B．2 C．2 D．6．三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（）A．350 B．140 C．560 D．2807．若(1+x)16=aA．215−C168 B．2158．若曲线y=lnx与曲线y=xA．(−ln2−1,C．(−ln2+1,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．(x−2A．展开式共7项 B．x项系数为－280C．所有项的系数之和为1 D．所有项的二项式系数之和为12810．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（）A．四名同学的报名情况共有43种B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是14D．P(B|A)=11．已知函数f(x)=lnA．函数f(x)的极小值为1B．函数f(x)在点（1，0）处的切线方程为y=x−1C．202D．若曲线y=f(x)与曲线y=xα无交点，则α三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知C16k=C13．已知函数f(x)=ex,x>0−2x214．已知当x≥e时，不等式xa+1x−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f(x)=x（1）求函数f(x)在x=2处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间和极值．16．在6名内科医生和4名外科医生中，包含内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？（1）有3名内科医生和2名外科医生；（2）既有内科医生，又有外科医生；（3）至少有1名主任参加；（4）既有主任，又有外科医生．17．某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的14，13，（1）求选到的学生是艺术生的概率；（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．18．某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为12ln(2x+1)−mx万元，其中（1）若m=1201，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x(（2）若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为120x万元，已知该企业加工生产能力为x∈[20，30](其中x19．设函数f(x)=ln（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)有两个零点x1，x①求a的取值范围；②证明：2a<x

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：对于A：常数的导数为0，所以(sinπ3对于B：因为(log3对于C：利用复合函数求导法则，则(e2x)对于D：因为(1x)故答案为：B.【分析】根据求导公式逐项求导验证即可2．【答案】A【解析】【解答】解：据题意，已知二项式(2x−1)n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，

此时展开式共有7项时，满足仅有第四项最大，

此时n=7-1=6.

故答案为：A

3．【答案】A【解析】【解答】解：由题意，f(x)=2xf对上式求导得：f'(x)=2f'(π3)+cosx，

当x=所以f(x)=−x+sinx，

此时f(π故答案为：A.【分析】根据题意，对等式两边求导，再令x=π3，求出f'4．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，

所以得利用“插空法”：

第一步：先将鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有A44种排列方式；

第二步：上面的四个菜形成5个空位，此时选出2个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有利用分步乘法乘法原理公式得：A4故答案为：B.【分析】利用插空法结合计数原理即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，要求点P到直线l：x+y−4=0距离的最小值，

只需要保证过点P的曲线斜线与直线l平行即可，

此时问题转换成求两条直线的距离问题：

下求过点P作曲线y=lnx−x首先假设设切点为P(x0,y0此时切线斜率为k=1x0−2x0，

因为切线与直线l平行，

所以1x∴P(1,−1)，

此时点P到直线l:故答案为：D【分析】先分析出当切线与直线l:x+y−4=0平行时，点P到直线6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，并且规定打下面的球才能打上面的球，有顺序；

因此是定序问题：

利用定序公式：则这些气球都打破的不同打法数为：

A88A7．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，(1+x)16=a0+a1x+a2x2(1+x)16根据对称性知：a0故答案为：C.【分析】计算an8．【答案】A【解析】【解答】解：由题意，曲线y=lnx与曲线y=x2+2x+a(x<0)有公切线，

因为f(x)=lnx，

求导有f'y−lnx1=1x1假设公切线与函数g(x)因为g(x)=x2+2x+a(x<0)，y−(x22+2x2则1x1=2x2+2lnx由x1>0，得−1<x2<0对F(x)=则F(x)所以F(则a>−ln所以实数a的取值范围是(−故答案为：A.【分析】设公切线与函数f(x)=lnx切于点A(x1,lnx9．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A：因为n=7，所以展开式共有8项，所以A错误；对于B：展开式的x项为C7对于C：令x=1，则(1−2)7对于D：所有项的二项式系数和为27故答案为：BD.【分析】根据(a+b)n的展开式有n+1项，判断A的真假；令x=1可得展开式中所有项的系数和，判断B的真假；计算x的系数，判断C的真假；利用所有项的二项式系数和为210．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A：根据题意，对于甲、乙、丙、丁四名同学每个同学都有3种选择，所以四名同学的报名情况共有34对于B：第一步：先将四名志愿者分为2，1，1三组，此时有C4第二步：将这三组分到三个活动中，进行全排列共有A33=6种，

所以“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，所以B正确；对于C：“四名同学最终只报了两个项目”的概率是C4对于D：利用条件概率公式进行计算，由于P(A)=C42所以P(B|A)=P(AB)故答案为：BCD.【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名志愿者先分组，再分到三个活动可判断B；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断C；由条件概率可判断D.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意，f(x)=lnxx，x>0；

令f'(x)=0，

即1-lnx=0，则x=e，

则在x∈(0,e)时，有f'(x)>0，

所以f(x)为单调递增函数；

在x∈(e,+∞)时，有f'(x)<0，

所以f(x)为单调递减函数；

所以f(x)的极大值为1e，无极小值，故A错误；

对于B：由f'(x)=1−ln对于C：因为f(x)在(e,所以ln20232023>ln2024即ln20232024>ln对于D：两曲线无交点等价于方程xα显然α≠−1，即xα+1=lnx=ln因此α+1比函数f(xα+1)的最大值还大，

即α+1>故答案为：BCD.【分析】利用导数讨论f(x)的单调性判断A；由导数的意义得到切线的斜率，再由点斜式求出切线方程可判断B；利用f(x)的单调性判断C；将问题转化为α+1=f(x12．【答案】2或6【解析】【解答】解：因为C16所以0≤k≤160≤2k−2≤16，

解得1≤k≤9又k=2k−2或k+2k−2=16，解得k=2或k=6.故答案为：2或6【分析】根据组合数性质Cn13．【答案】e【解析】【解答】解：据题意，g(x)=f(x)−kx恰好有两个零点

分离参数得：f(x)x=k，

问题转化成了求函数h(x)=f(x)x与函数y=k的图象有两个交点，

下求h(x)=f(x)x的函数图象；

（1）当x>0时，此时h(x)=f(x)x=exx，

求导得：h'(x)=e且当x=1时，h(x)=e；

有图像可得，当f(x)故答案为：e.【分析】函数g(x)=f(x)−kx恰好有两个零点等价于方程14．【答案】a≥【解析】【解答】解：由题意，xa+1x−e1x≥alnx，

则1x−e1x≥alnx-xa，

变形得：e1x−lne1x≤xa−lnxa，

设f(x)=x−lnx，上式转换成f(e1x)≤f(xa)，

此时判断f(x)=x−lnx的单调性；

求导得f'(x)=1−1x=x−1x，

所以当(0,1)时，f'(x)<0，

则函数f(x)在(0,1)上单调递减；

当(1,+∞)，f'(x)>0，

函数f(x)在(1,+∞)上单调递增；

所以，x≥e时，函数f(x)单调递增，

故答案为：a≥1【分析】同构变形得e1x−lne1x≤xa15．【答案】（1）解：函数f(x)=x3−6x2所以f'(2)=12−24+9=−3，

所以函数f(x)在点x=2处的切线方程为y=−3(x−2)，

即y=−3x+6；（2）解：令f'(x)=0，解得：x=1或x(−∞1（1，3）3(3f＋0－0＋f(x)单调增极大值2单调减极小值－2单调增所以函数f(x)的单调增区间为(−∞,1)，(3,f(x)的极大值为f(1)=2，

极小值为f(3)=【解析】【分析】（1）求导，先求出f(x)在x=2处斜率，进而求出切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程；

（2）求导，利用导数的正负值判断函数单调性，进而求出函数的极值.16．【答案】（1）先选3名内科医生共有C63=20种选法，

再选2名外科医生共有C42（2）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去1，2，3，4人，

得选派方法为：C（3）分两类：一是选1名主任有C21C故至少有1名主任参加的选派方法共140+56=196种（4）若选外科主任，则其余可任意选，共有C94=126种选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有【解析】【分析】（1）利用分步乘法计数原理，先选3名内科医生，再选2名外科医生进行求解；

（2）利用分类加法计数原理：分内科医生去1，2，3，4人进行求解即可；

（3）至少一名，可以是分类成1名或2名主任参加，分类讨论即可；

（4）利用间接法求解.17．【答案】（1）解：设B＝“任选一名学生恰好是艺术生”，A1=“所选学生来自甲班”，A2P(A1)=14P(B|A1)=225P(B)=P(=（2）解：P(AP(P(所以其来自丙班的可能性最高．【解析】【分析】（1）利用条件概率公式与贝叶斯公式求解得到答案；

（2）利用条件概率公式与贝叶斯公式求解即可.18．【答案】（1）解：设加工费用为f(x)，则f(x)=1∴f'若企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则f'∵2x+1>0，∴200−2x≥0，∴0<x≤100，即该企业加工产品订单的金额x(单位：万元)应在(0（2）解：令g(x)=12ln(2x+1)−mx−∴1∴m+1令h(x)=ln(2x+1)2x，则令t(x)=2x2x+1−ln(2x+1)所以t(x)在[20，30]上单调递减，且∴h'(x)<0在[20，∴m+1∴m≤−3+ln61所以当m∈(0，【解析】【分析】(1)设加工费用为f(x)，则f(x)=12ln(2x+1)−1201x，求出导数，若企业获得的加工费随加工产品订单的金额(2)令g(x)=12ln(2x+1)−mx−120x，根据题意该企业加工生产将不会出现亏损g(x)≥0，求出m+120≤ln(2x+1)2x，令h(