江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知甲､乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间①在[t②在[t③在t2④乙小区在t2时刻的分出量比tA．1 B．2 C．3 D．42．等差数列{an}(n∈N*A．40 B．30 C．20 D．103．设f(x)在R上的导函数为f'(x)，若limΔx→0A．-2 B．2 C．-6 D．64．数列{an}(n∈N*)满足a1=1，前n项和为A．18 B．28 C．40 D．545．等比数列{an}(n∈N*)中，a2A．-8 B．4 C．-2 D．06．我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将1−9九个数字填入一个3×3的正方形方格，满足每行､每列､每条对角线上的三个数字之和相同（如图）.已知数列{an}(n∈N*A．60 B．72 C．76 D．807．对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：f'(x)是y=f(x)的导函数，f″(x)是f'(x)的导函数，若方程A．2022 B．2023 C．2024 D．20258．对于任意实数a∈M，不等式ae2−a+1>ln(a+1)−lnaA．(0,e] B．[1e2,二、､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．等比数列{an}(n∈N*)满足A．{an}为递增数列 C．{bn}中最小项的值为110．奇函数f(x)满足对于任意x∈(0,π2]，有f'A．−3f(−πC．2f(π411．已知a∈R，若函数f(x)=x3−3A．x2=1 C．x1x2三、､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数f(x)=e3x−2+ln2x，则13．足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如A组中有4支队伍，则该组需要进行6场比赛.按此规则，设一个含有n(n≥2)支球队的小组中进行的所有比赛场次为an场，则1a14．已知函数f(x)=ex−1−x−a(x−1)2，当x≥1四、､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知数列{an}(n∈N*)的前（1）求a2（2）试猜想{a16．已知函数f(x)=2xlnx−x（1）若函数g(x)=f(x)+x2，求g(x)在点（2）试判断f(x)的单调性，并证明；（3）证明：f(x)<0.17．正项等差数列{an}(n∈N*)的公差与正项等比数列{bn}(n∈（1）求{a（2）求{cn}的前n18．函数f(x)=x（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数g(x)图象上存在两点A(x1,y1),B(x2,y219．函数f(x)=ln(x+1（1）当a=1时，求f(x)的极值点个数；（2）若x≥0时，f(x)单调递减，求a的取值范围；（3）求证：ln2n+1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由图像可知在[t1,t2]这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确；

在[t2,t3]这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快，故②正确；

在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢，故③2．【答案】B【解析】【解答】解：因为数列{an}为等差数列，所以a7−a4=3d=2a1，即a1=3．【答案】C【解析】【解答】解：limΔx→0f(3−Δx)−f(3)4．【答案】B【解析】【解答】解：因为an+1+an=n+3，所以a2+a1=4，a4+a5．【答案】A【解析】【解答】解：因为f(x)=x(x−a1)(x−a2)(x−a3)，所以f'(x)=6．【答案】C【解析】【解答】解：因为an=2n+2，所以an+1-an=2=d，所以{an}为等差数列，a1=4，

所以7．【答案】B【解析】【解答】解：已知g(x)=13x3−12x2+3x−512则g'(x)=x2−x+3，g''(x)=2x-1=0，

所以g8．【答案】D【解析】【解答】解：不等式ae2−a+1>ln(a+1)−lna可移项化简为：

a所以e2+令g(x)所以g(x)所以有g(所以2+ln即ln(a+1)−所以a+1a<e又因为2<e所以12所以只有D选项满足要求.故答案为：D.【分析】由题意不等式化简运算可得e2+lna+(lna+2)>ln(9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为数列{an}为等比数列，a4=12>0，an=2n-5，

所以an+1an=q>0，即an+1>an所以{an}为递增数列，故A选项正确；

因为bnbn-1=an+2⋅anan+1⋅a10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：令gx=fxsinx则g'x=f'(x)sinx+f(x)cosx>0恒成立，

所以g(x)在(0,π2]上单调递增，又因为f(x)为奇函数，所以g(x)是偶函数，

因为-32f-π3=g-π3=gπ3<gπ11．【答案】A,D【解析】【解答】解：根据题意可得，函数f(x)的三个不同零点x1f=(x−=x对于A，结合x1,x2,x3依次构成等差数列，则有2x2解得3x2=3，即x对于B，设x1,x2,x3由−x1由于d的值不确定，

所以a不一定等于2，故B项不正确；对于C，因为x1x2x3=a，且a=d对于D，由f(x)表达式的一次项系数为-1，

可知x故选：AD.【分析】根据多项式乘法的法则将函数化简运算，利用恒等思想得到−(x1+12．【答案】92【解析】【解答】解：已知f(x)=e3x−2+ln2x，则f'(x)=3e3x−2+1x，所以f'13．【答案】2023【解析】【解答】解：由题意可得C42=6，所以an=Cn2=nn-12，所以114．【答案】(−∞【解析】【解答】解：由已知，当x≥1时，f(x)≥0恒成立，

即f(所以f(所以∴e设g∴∵x⩾0①若2a≤1时，即a≤12时，∴g'(∴g∴g(x)∴g(x)⩾g②若2a>1时，即a>12时，令g″∴当x∈(0,ln2a)∴g(x)∴g(x)⩽g(0)=0，不满足题意，

综合故答案为：(−∞,【分析】化简不等式，利用换元法可得∀x⩾0，ex−x−ax15．【答案】（1）由题知，a2=2同理，a3=2（2）由（1）可猜想an已知an=2n+1S化简得(n−1)Sn=(n+1)则有Sn又a1=S则an当n=1时，上式仍成立，则an【解析】【分析】(1)利用递推公式即可；

（2）由（1）可得an=2n+1S16．【答案】（1）解：由题知，g(x)=2xlnx(x>0)则k又g(1)=0，故切点为(1,切线方程为：y−0=2(x−1)，即2x−y−2=0；（2）函数f(x)在定义域上单调递减，证明如下：已知x>0,f'(x)=2(lnx+1−x)，设x∈(0,1)时，h'(x)>0,则h(x)max=h(1)=0，即f（3）要证f(x)<0，即证2xlnx−x2<0设m(x)=lnxx(x∈(0,e)时，m'(x)>0,则m(x)【解析】【分析】（1）先求导，求出k，利用点斜式方程即可；

（2）求导令h(x)=2(lnx+1−x)再对h(x)求导，利用导数和单调性的关系即可；

（3）由题意可转化为lnxx<117．【答案】（1）解：设等比数列的公比为q(q>0)，则等差数列公差也为q，由题知，a1+a3即5q=2+2q2，解得q=2或当q=2时，由a2=54b2得：则{an}当q=12时，由a2=54b综上，数列{an}（2）解：由（1）可得cnT2两式相减得：−T=3⋅故{cn}的前【解析】【分析】(1)由题意可得q=2或q=12，再分别求出a1,b18．【答案】（1）解：由题知，x>0,令y=2x2−2x+a当a≥12时，Δ≤0，则f'(x)≥0恒成立，故当a<12时，Δ>0,若0<a<12，则0<x1<x2，且x∈(0若a≤0，则x1<0<x2，且x∈(x2,+∞)时，综上：当a≥12时，f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增；当0<a<12时，f(x)在(0,x1),（2）解：f'(x)=2x−2+ax，若f(x)是拉格朗日中值函数，则需满足存在A(x即2⋅x1+①当a=0时，上式对任意的0<x1<x2②当a≠0时，需满足2(x1−x2)x令h(t)=lnt−2(t−1)t+1(t∈(0当0<t<1时，h(t)<h(1)=0，即方程lnt=2(t−1)t+1在区间综上：当a=0时，f(x)为拉格朗日中值函数，f(x)的拉格朗日平均值点有无数个；当a≠0时，f(x)不是拉格朗日中值函数.【解析】【分析】(1)对f(x)求导，令y=2x2−2x+a(x>0)对Δ=4−8a分类讨论即可；

（2）利用“拉格朗日中值函数”的定义原式可转化为19．【答案】（1）解：由题知，f(x)=ln(x+1令f'(x)=0，得故f(x)在(−12,x1则f(x)在x1处有极小值，在x2处有极大值，即（2）解：f'(x)=22x+1−a2x设g(x)=4x+22x2+2x+1则g(x)≤g(0)=2，故a≥2；（3）证明：由（2）知，a=2,x≥0时，令x=12n−1,即l