四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高二下学期数学期中考试试题（含答案）

四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高二下学期数学期中考试试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在各项均为正数的等比数列{an}中，aA．2 B．3 C．12 D．2．已知limΔx→0f(x0+Δx)−f(A．−3 B．3 C．−6 D．63．在数列{an}中，an=1−1aA．2 B．12 C．−124．下列求导运算正确的是（）A．(1x)C．(x−1x5．函数y=f(x)在定义域(−32,3)内可导，记y=f(x)的导函数为A．(−32,−13)C．(−1,−13)，(436．已知数列{an}满足：an=(3−a)n−3,n<7aA．2 B．157 C．1677．已知f(x)=xex，g(x)=−(x+1)2+a，若∃x1A．[e,+∞) B．(−∞,e] C．8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…….，设从上往下各层的球数构成数列{an}A．20252026 B．20251013 C．40462025二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，A．d<0 B．aC．{Sn}中S810．已知函数f(x)=xA．当m≥0时，f(x)有两个极值点B．当m=1，n=1时，f(x)有三个零点C．当m=1，n=1时，直线y=−3x是曲线f(x)的切线D．当m=1时，若f(x)在区间[−1,c]上的最大值为2+n11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”.已知数列{bn}，b1=1，b2=2，A．bB．SC．bD．a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．曲线y=sinx+cosx在点13．数列{an}满足a1=3，an+114．已知函数f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，且f(x)>0，其导函数为f'(x)，且x<0时，2f(x)+xf'(x)<0恒成立，a=f(−4)，b=f(5)，c=f(−6)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，点M为PC边上一点，DM⊥PC，PA=AD=2.（1）证明：平面MBD⊥平面PCD；（2）求二面角M−BD−C的余弦值.16．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），P（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F且斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，点P为直线x=4上任意一点，求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．17．已知函数f(x)=ln（1）若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为−1，求m的取值和曲线y=f(x)在点（2）求函数y=f(x)在区间[2,18．已知数列{an}满足：a（1）求数列{a（2）设bn=15n+1(1−an)(1−an+1)（19．数列{an}满足a1=（1）计算a2，a3，猜想数列（2）求数列{an(n+1)（3）设bn=2an（n∈N*），数列{b

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为数列{an}各为正项等比数列，即an>0，且a3a8=82．【答案】D【解析】【解答】解：因为f'x0=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x03．【答案】B【解析】【解答】解：因为an=1−1an−1（n≥2），且a1=2，

则a2=1−1a1=4．【答案】A【解析】【解答】解：对于A：(1x)'=(x-12)'=-12x-5．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知当且仅当−1<x<12或43<x<83时，f'故答案为：B.【分析】导数恒正的范围即增区间.6．【答案】C【解析】【解答】解：若数列{an}是递增数列，则3-a>0a>115-6a<a，解得157<a<3，

7．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知[f(x)]min因为f(x)=xex，则f'(x)=(x+1)ex，ex>0，所以令所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,又因为g(x)=−(x+1)2+a可得a≥−1e，所以实数a的取值范围是故答案为：C.【分析】由题意可知[f(x)]min≤[g(x)]max，利用导数求8．【答案】B【解析】【解答】解：由题意知a1=1，a2=1+2，所以1a所以1=2×(1−12026)=20251013.

9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为S13=13a7>0，S14=7a1+a14=7a7+a8<0，

即a7>0，a7+a8<0，可知a7>0，a8<0，故B正确；

所以d=a8-a710．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A：当m=0时，f(x)=x3+n，可知f(x)所以m=0时，f(x)无极值点，故A错误，对于B：当m=1，n=1时，f(x)=x3−3x+1令f'(x)>0，得到x<−1或x>1；令f'可知f(x)的单调增区间为(−∞,且f(−1)=3>0，f(当x趋近于−∞时，f(x)趋近于−∞，当x趋近于+∞时，f作出f(x)对于C：当m=1，n=1时，f(x)=x3−3x+1令f'(x)=3x可得f(0)=1，即切点为(0,1)，但(0,所以y=−3x不是曲线f(对于D：当m=1时，f(x)=x由选项B可知：f(x)在(−∞,−1)令x3−3x+n=2+n，整理得(x+1)2又f(x)在区间[−1,c]上的最大值为2+n，所以故答案为：BD.【分析】对于A：根据幂函数单调性分析判断；对于B：利用导数判断f(x)11．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、易知1，2，3，5，8，13，所以b6B、S2025C、b=bD、∵bn∴a故答案为：CD.【分析】由{bn}得b6=13，判断A；计算可得S12．【答案】x+y+1−5π=0【解析】【解答】解：因为y=sinx+cosx，则y'=cosx-sinx，可知y'|x=5π=-1，

即切点坐标为(5π,−1)，切线斜率为k=-1，

所以切线方程为13．【答案】60【解析】【解答】解：因为a1=3，an+1−an=2n−1，

则a2−a1=2−1，a3−a2=214．【答案】a>b>c【解析】【解答】解：令F(x)=x2f(x)因为当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0可知F(x)在(−∞,又因为f(x)则F(−x)=(−x)2f(−x)=则F(x)在(0,+∞)上单调递减，可得即16f(4)>25f(5)>35f(6)，因为f(x)>0，可得f(4)f(5)>25所以f(4)>f(5)>f(6)，又因为f(x)为偶函数，所以f(−4)>f(5)>f(−6).故答案为：a>b>c．【分析】构建函数F(x)=x2f(x)，结合题意分析可知F(x)为偶函数，在(−∞,0)上单调递增，在(015．【答案】（1）证明：如图所示，连接AC，BD，因为底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC，由题得DM⊥PC，且DM∩BD=D，DM，BD⊂平面MBD，则PC⊥平面MBD，又PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD；（2）解：如图，以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，点D竖直向上方向所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，D(0,0,0)，A(2,0,因为DM⊥PC，所以由勾股定理可得DM即8−PM2且PM+MC=PC=PC联立①②两式，可得PM=433=23PC所以M(23,43由题意可知，AP=(0,0设平面MBD的法向量为n=(x有DM⋅n=设二面角M−BD−C为θ，则cosθ=所以二面角M−BD−C的余弦值为33【解析】【分析】（1）连接AC，BD，可证得BD⊥平面PAC，进而得BD⊥PC，结合已知可证PC⊥平面MBD；（2）以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，点D竖直向上方向所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面MBD的一个法向量为n=(1,−1,1)，又AP16．【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，必过点P1(−1,32代入点P3(0,−3)得，∴椭圆C的标准方程为：x2（2）证明：设M(x1,y1设直线MN的方程为：y=x−1，由y=x−1x24Δ>0，x1+xk===2×(−因为kPF=n所以直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．【解析】【分析】(1)分析可知椭圆必过P1(−1,32)，P2(1,32)，必不过点17．【答案】（1）解：因为f(x)=lnx−mx，所以则k=f'(1)=1−m=−1，∴f(x)=lnx−2x，则切线方程为y+2=−(x−1)，整理得x+y+1=0；（2）解：由f'(x)=1x−m，因为m>0当0<x<1m时，f'(x)>0，当故函数f(x)在(0,1m①当1m≤2，即m≥12时，函数所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为②当1m≥3，即0<m≤13时，函数所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为③当2<1m<3，即13<m<12又f(3)−f(2)=ln所以当13<m<ln32时，当ln32≤m<12综上可知，当0<m<ln32时，函数f(x)的最小值为当m≥ln32时，函数f(x)的最小值为【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义可得m=2，进而可得切点坐标和切线方程；

(2)求导可知f(x)的单调性，分类讨论y=f(x)在[2,18．【答案】（1）解：a1+5a1+5a2+①－②得5n−1an∴an=1当n=1时，a1∴an=2（2）解：当n=1时，b1S1当n≥2时，b=S==5∵14×1综上所述，Sn【解析】【分析】(1)分析可知5n−1an的前n项和为n+15，根据通项公式与前n项和的关系分析求解；19．【答案】（1）由题意可得a2=1猜想：an=n证明：由an+1=1所以1an+1−1所以1an+1−1数列{1an−1}所以1an−1（2）解：设cn设{an(n+1)⋅3nTn=1×3Tn①－②得，−2Tn所以{an(n+1)⋅3n（3）解：bnSn要证Sn只需证2n−2(1即证12方法一：设f(n)=lnn+2只需证明f(n)的最大值小于0，作差得f(n+1)−f(n)=lnn+3构造函数g(x)=ln(1+x)