大学物理-波动

第二篇振动与波第1页第五章波动5.1机械波产生和传输

弹性媒质和波源——（机械波产生条件）弹性媒质：相邻媒质质元间由弹性力相互联络。波源：作机械振动振源。波源处质点振动经过弹性介质中弹性力，将振动传输开去，从而形成机械波。

波动是振动状态传输，是能量传输，而不是质点传输。机械振动在弹性媒质中传输一涉及描述波几个相关概念（1）机械波：第2页(1)质元并未“随波逐流”波传输不是媒质质元传输(2)

“上游”质元依次带动“下游”质元振动第3页软绳软弹簧波传输方向质点振动方向波传输方向质点振动方向在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中声波是纵波。液体表面波动情况较复杂，不是单纯纵波或横波。横波：纵波第4页地震波

地震波从震源以弹性波形式向四面八方传输。地震波在地球内部传输时称为体波，当它抵达地表，即产生沿地表（界面）传输波，称为面波。

地震波在地球内部（体波）传输有纵波（P

波）和横波（S

波）两种形式，而且纵波（P波）传输速度比横波（S波）传输速度快（前者速度在地壳内是

5km/s，在地幔深处是14km/s，而后者速度是

3km/s～8km/s）。

当地震发生时，假如人站在震源正上方地面上，会感觉到先上下颠（纵波引发感觉）然后横向摇（横波引发感觉）。随堂小议地球內部地震波速度分布图

横波是地震时造成建筑物破坏主要原因。发生较大近震时，普通人们先感到上下颠簸，过数秒到十几秒后才感到有很强水平晃动。第5页地震纵波和横波间时间差—自救时间

日本“（年）新潟县中越地震”。在地震中，新干线发生了脱轨事故，这是日本新干线开通40年以来首次，为此日本舆论普遍对新干线应对地震等突发灾害时安全性提出了质疑。地震时，纵波总是先抵达地表，而横波总落后一步。这么，发生较大近震时，普通人们先感到上下颠簸，过数秒到十几秒后才感到有很强水平晃动。这一点非常主要，因为纵波给我们一个警告，告诉我们造成建筑物破坏横波马上要到了，快点作出防范。据称日本新干线所采取系统会让列车在地震发生时，利用地震纵波和横波间时间差自动停顿运行，不过，因为此次新潟地震属于纵波和横波几乎同时到来直下型浅源地震，所以在列车制动前地震就已袭来，日本新干线相关责任人对于今后怎样应对仍未想出最好方法。第6页波线：沿波传输方向作一些带箭头线。波线指向表示波传输方向。波阵面：在波动过程中，把振动相位相同点连成面(简称波面)。波前：在任何时刻，波面有没有数多个，最前方波面即是波前。波前只有一个。平面波：波面为平面球面波：波面为球面3.波阵面和波射线平面波波线波阵面球面波波阵面波线第7页14710132356891112第8页波特征：（1）：波是大量媒质质元集体行为。—单位时间内质点振动次数。周期—频率媒质中质点振动周期。二波特征量—波长

波速

频率振幅（2）：波含有时间周期性。（3）：波含有空间周期性。第9页——沿波传输方向，两个最邻近振动状态相同质元间距离。称为波长，用表示。波长:(1）一个完整波长度(2)质元完成一次全振动时间内,振动朝前传输距离（3）位相差两点间距离—振动朝前传输速度质元振动速度波速沿波传输方向,各质元相位依次落后。b点比a点相位落后：ab

xx传输方向主要结论！第10页能够证实：对于柔软绳索和弦线中横波波速为

T为绳索或弦线中张力;为质量线密度细长棒状媒质中纵波波速为Y为媒质杨氏弹性模量;为质量密度机械波传输速度完全取决于媒介质弹性性质和密度。与频率，波长，振幅无关第11页5.2平面简谐波波动方程以横波为例说明平面简谐波波动方程。已知O点振动方程：一波动方程取得平面简谐波波动方程第12页也即p点位相落后于O点相位：。（1）（2）波源带动弹性媒质中与其相邻质点发生振动，振动相继传输到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。平面简谐波波动表式第13页沿x

轴负方向传输平面简谐波表示式O

点简谐运动方程：由P

点振动得到波动表示式：yxo沿波传输方向,各质点振动时间和相位依次落后第14页（1）A点速度大于零；（2）B点静止不动；（3）C点向下运动；（4）D点振动速度小于零。请指出你认为是正确答案

以波速

u沿

X

轴负向传输简谐波

t

时刻波形以下列图随堂小议OXYuABCD

A点向下运动，

y<0；速度小于零。D点向下运动，

y<0；速度小于零。

ABCD第15页例一ＳＯＸP已知：解：第16页例二已知：解：sＸoP（x）第17页二波动方程物理意义（1）给定x，波动方程给出该处质元振动方程。（2）给定t，波动方程给出该时刻各质元离开平衡位置位移分布情况，即该时刻波形图。（3）t和x都变，波动方程给出任意质元在任意时刻t位移。即给出波形随时间而改变情况。第18页解：（1）xoP例三：已知：求（1）：波动方程，

时波形。（2）第19页（2）o第20页例：有一沿x轴正向传输平面波，其波速为u=1m·s-1，波长

=0.04m，振幅A=0.03m．若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻，试求：此平面波波动表示式。解：（1）设原点振动方程为其中A=0.03mT=

/u=0.04(s)，

=2

/T=50

当t=0时，y0=0，所以：cos

=0；原点振动方程：平面波波动表示式：因为质点速度小于零，所以

=

/2第21页解：o例已知：,沿X轴负向传输,求：振幅，波长和波周期、波动方程

t=0波形如图所表示。设波动方程:第22页o设波动方程:第23页弹性波传输到介质中某处，该处将含有动能和势能。在波传输过程中，能量从波源向外传输。考虑棒中体积

V，其质量为

m

(m=

V)。当波动传输到该体积元时，将含有动能Wk和弹性势能Wp。平面简谐波能够证实§5-3波能量与能流1.波能量体积元总机械能第24页⑴由动能、势能公式来看，波在传输过程中任一质元动能和势能都随时间改变，且在同一时刻，位相相同，大小相等。既动能到达最大值时，势能也到达最大；动能为零时，势能也为零。a点：位移最大处，动能为零；没有形变，形变势能为零。b点：位移为零处，动能最大；形变最大，形变势能最大。讨论:介质质元（

m

=

V）机械能波动能量与振动能量是有区分。第25页因为弹簧振子是保守孤立系统，而波传输过程中,质元却与周围介质有相互作用。⑵质元机械能不是常量，而是随时间作周期性改变，这与弹簧振子总机械能是一常数不一样。整个过程，介质不积累能量。所以波传输过程也是能量传输过程。⑶质元能量由0

逐步增加为

m

2A2，表明该质元从外部吸收能量；由

m

2A2逐步降低为0，表明该质元向外部输出能量。体积元总机械能第26页能量密度：2.

能量密度（单位体积媒质中波能量）T平均能量密度：第27页能流在介质中垂直于波速方向取一面积S

，在单位时间内经过S

能量。平均能流：平均能流密度(波强度)

经过与波传输方向垂直单位面积平均能流，用I

来表示，即3.波强度I单位:瓦特/米2(W.m-2)第28页对于球面波,若介质不吸收能量经过两球面总能流相等在均匀不吸收能量媒质中传输平面波在行进方向上振幅不变。球面波振幅与离波源距离成反比第29页4.声波按频率范围划分：次声波f<20Hz

声波20<f<0Hz超声波f>0Hz声强是声波平均能流密度，即单位时间内经过垂直于声波传输方向单位面积声能量。痛觉阈：恰好能引发痛觉最低声强。听觉阈：恰好能引发听觉最低声强。声强上下限值随频率而异。在1000Hz时，正常人听觉最高声强为1W/m2,最低声强为10-12W/m2。将I0=10-12W/m2作为测定声强标准。声强级单位为贝尔（bel）单位为分贝（dB），几个经典声音声强级：细语—10dB炮声声强级—110dB聚焦超声波声强级—210dB第30页声波在理想气体中传输速度

：气体摩尔质量

：气体比热容比T：气体温度（K）R：气体常量

对同种气体、在同一状态下，各种不一样频率声波传输速度相同。标准状态下空气中声速常温下（20℃)

空气中声速常温下一些媒质中声速铅1300

海水1510铁5000玻璃6000(m·s–1)媒质声速声波在媒质中传输速度。声速与媒质特征和媒质温度相关。声速第31页例:用聚焦超声波方式，能够在液体中产生强度达120kW/cm2大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体密度为1g/cm3，声速为1500m/s，求这时液体质点振动振幅。解因I=uA2

2/2，所以可见液体中声振动振幅实际上是极小。第32页5.波叠加与干涉驻波前面我们仅讨论了一列波在介质传输情况，假如有几列波同时在同一介质中传输时而又相遇会怎么样？波独立传输定律当几列波同时在同一介质中传输时，它们是各自独立地进行，与其它波存在是否无关。如乐队合奏、二重唱，空中无线电波很多(仍能分别接收各个电台)

。假如这几列波在空间某点处相遇，那么每一列波都将独立地保持自己原有特征(频率、波长、振动方向等)传输。1.波叠加第33页水滴圆形独立传输春意盈盈，细雨绵绵。第34页在几列波相遇处，质元振动是各列波单独传输时在该处引发振动合成。（2）波叠加性。2.波干涉（1）相干条件：振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定相干波：满足相干条件几列波称为相干波。能发出相干波波源称为相干波源。第35页A2()A1()A()Pr1r221ss（2）干涉定量分析两个相干波源波源S1和S2振动方程分别为：S1和

S2单独存在时,在P点引发振动方程为:P点合振动方程为:振幅A第36页振幅A（合振幅最大）（合振幅最小）若

10=

20，上述条件简化为：（合振幅最大）（合振幅最小）波程差波程差第37页因若I1=I2，叠加后波强度：同频率、同方向、相位差恒定两列波,在相遇区域内,一些位置振动一直加强,另一些位置振动一直减弱,强度在空间形成稳定分布，这一现象称为波干涉。干涉现象强度分布第38页同频率、同方向、相位差恒定两列波,在相遇区域内,一些位置振动一直加强,另一些位置振动一直减弱,强度在空间形成稳定分布，这一现象称为波干涉。第39页例：两相干波源S1与S2相距5m，其振幅相等，频率都是100Hz，位相差为

；波在媒质中传输速度为400m·s-1，试以S1

S2连线为坐标轴x，以S1

S2连线中点为原点，求S1

S2间因干涉而静止各点坐标。解：已知S2在其左侧产生左行波波动方程为:两个振动相差为:设：S1在其右侧产生右行波波动方程为:xS1xS2OP第40页当

φ=

(2k+1)

时，质点因为两波干涉而静止，静止点为x=2k，k为整数，但必须使x值在-l/2到l/2之间，即-2.5到2.5之间．当k=-1、0和1时，可得静止点坐标为x=-2、0和2(m)

两个振动相差为:xS1S2OP第41页两列振幅相等相干波，在同一直线上相向传输时所产生干涉现象。三驻波(一个特殊干涉现象)

1驻波概念设有两列相干波，分别沿X轴正、负方向传输，其表示式为：

2

驻波定量分析（1）驻波表示式驻波是干涉特例。其合成波方程(驻波方程)为：第42页简谐振动位相简谐振动振幅它表示各点都在作简谐振动，各点振动频率相同，是原来波频率。但各点振幅随位置不一样而不一样。第43页波腹：波腹位置为：波节位置为：（2）

驻波振幅分布波节：

第44页X相邻波腹间距离为：相邻波节间距离也为第45页（3）驻波位相X*在波节两侧点振动相位相反。

结论：*两个波节之间点其振动相位相同。第46页能量分布（4）驻波能量分布波节体积元不动，一直动能Ek=0。（1）

其它各质点同时抵达最大位移时：波腹及其它质点动能Ek=0，波节处形变最大势能EP

最大。在波腹处相对形变最小，势能最小。波腹附近各点速度最大Ek

最大，波节及其它点无形变EP=0。（2）其它各质点同时经过平衡位置时：平衡位置时，能量表达为动能，而动能集中在波腹附近。

能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，驻波能量不作定向传输，其能量转移过程是动能与势能相互转移以及波腹与波节之间能量转移。所以驻波不传输能量，最大位移时，能量表达为势能，而势能集中在波节附近。第47页

驻波不传输能量，“驻”字三层含义：（1）驻波波形不传输（2）驻波相位不传输（3）驻波不传输能量驻波是媒质一个特殊运动状态，稳定态。这可从能流密度证实：因为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和为零。第48页4.由入射波与反射波产生驻波固定端反射第49页4.由入射波与反射波产生驻波自由端反射第50页声源水空气声源水玻璃由波密媒质到波疏媒质界面反射由波疏媒质到波密媒质界面反射当形成驻波时反射界面上总是出现波腹反射界面上总是出现波节振源固定端反射软绳自由端反射总是出现波腹总是出现波节当形成驻波时4.由入射波与反射波产生驻波(1).试验现象第51页驻波驻波入射波入射波反射波反射波波疏媒质波密媒质XOY由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射，在界面处，形成驻波时，总是出现波腹。反射波振动相位总是与入射波振动相位相同。波阻：介质密度和波速乘积称为波阻。波阻较大介质称为波密介质；波阻较小介质称为波疏介质。(2).理论分析第52页yy入射波入射波驻波驻波反射波反射波波密媒质波疏媒质2l2lXYO由波疏媒质入射在波密媒质界面上反射，在界面处，形成驻波时，总是出现波节。反射波振动相位总是与入射波振动相位相反，即差了

。半波损失折合成波程差反射波第53页例1：一平面简谐波y1=0.03cos(20

t-x),在距离原点5m处有波密媒质反射面AB,波传至AB全部被反射。求:(1)反射波波动方程；(2)驻波方程;(3)0x5m内波节、波腹位置0xAB5m解:求驻波方程关键是求反射波波动方程,而且要尤其注意介面反射是否有半波损失。由y1=0.03cos(20

t-x)得到=2m,或u=20m·s-1,原点振动方程为:y0=0.03cos(20

t)P0点振动传到介面AB再反射到x处所经过距离：介面反射有半波损失疏密x反射波波动方程:第54页(2)驻波方程即:所以波腹位置是:第55页56例2：如图所表示，一平面简谐波沿X轴正方向传输，BC为波密媒质反射面。波由P点反射，OP=3/4，DP=/6。在t=0时，O处质点合振动是经过平衡位置向负方向运动。求D点处入射波与反射波合振动方程。（设入射波与反射波振幅皆为A，频率为。）解：设O为坐标原点，入射波方程为则反射波波动方程是合成波波动方程（驻波）为oxDP入反波疏波密BC第56页57在t=0时，x=0处质点y0=0，y0/t<0，所以：所以，D点处合振动方程是oxDP入反波疏波密t=0时，

O处质点合振动是经过平衡位置向负方向运动第57页弦线长度等于半波长整数倍时形成驻波。——

驻波条件两端固定4.弦线上驻波决定声音音调基频二次谐频谐频频率和强度决定音色四次谐频第58页波源频率

是单位时间内波源振动次数或发出‘完整波’个数；波源媒质观察者有相对运动时，观察者接收到频率不一样于波源振动频率现象，称为多普勒效应。5.6多普勒效应二多普勒效应分析与定量研究观察者接收到频率

是观察者在单位时间内接收到振动数或完整波数；第59页sul1.波源和观察者均相对于媒质静止波源振动频率

观察者测得频率

'两个相邻等相位面之间距离是一个波长观察者测得频率

'，是单位时间内连续经过接收器等相位面数目，亦即单位时间内连续经过接收器完整波个数。观察者测得频率就是波源振动频率第60页sul2.波源静止观察者向波源运动波源振动频率

观察者测得频率

'观察者每秒接收到整波数，即观察者测得频率为观察者测得频率是波源振动频率倍。假如波源静止观察者背离波源运动，观察者测得频率为频率升高第61页213132波面间距较窄波面间距较宽3.观察者静止，波源（相对于媒质）向观察者运动。先看一个普通现象经过手抖动,让绳子末端小石头在水面边抖动边移动它们所激起水波波阵面分布是一系列偏心圆。若在空气中有一个振动频率恒定定向运动声源，它所激起声波波阵面分布，则是一系列偏心球面。第62页··SS

运动前方波长缩短→λ←*S第63页us3.观察者静止，波源（相对于媒质）向观察者运动波源振动频率

观察者测得频率

'观察者测得频率为假如波源以速度VS离开观察者，观察者测得频率为运动前方波长缩短

=-vST。频率升高第64页s波源振动频率

观察者测得频率

'4.观察者和波源同时相对于媒质运动这时观察者每秒接收到整波数，由观察者运动和波源运动两种原因同时决定，观察者测得频率为当波源和观察者同时相向运动时当波源和观察者同时相背运动时第65页sun多普勒效应波源振动频率

,观察者测得频率'sun-(背)+(向)snusnu相向运动,频率升高;背离运动,频率降低第66页

多普勒效应也给当前为人们所普遍接收“大爆炸宇宙学”提供了一定证据。光波频率改变使人感觉到是颜色改变.假如恒星远离我们而去，则光谱线就向红光方向移动，称为红移；假如恒星朝向我们运动，光谱线就向紫光方向移动，称为蓝移。

天文学家未来自星球光谱与地球上相同元素光谱比较，发觉星球光谱几乎都发生红移，这说明星体都在远离地球向四面飞去。这一观察结果被‘大爆炸’宇宙学理论提倡者视为其理论主要证据。电磁波（比如：光波），也有多普勒效应第67页

大爆炸宇宙学观点：宇宙开始于一个密度无限大“奇点”，宇宙爆炸是空间膨胀，物质则伴随空间膨胀。在宇宙早期，温度极高，在100亿度以上。物质密度也相当大。宇宙间只有中子、质子、电子、光子和中微子等一些基本粒子形态物质。不过因为整个体系在不停膨胀，结果温度很快下降。当温度降到10亿度左右时，中子开始失去自由存在条件，它要么发生衰变，要么与质子结合成重氢、氦等元素；化学元素就是从这一时期开始形成。温度深入下降到100万度后，早期形成化学元