2025年上海高考数学复习热点题型专练：三角函数与解三角形（十一大题型）（原卷版）

热点题型•解答题攻略

专题03三角函数与解三角形(十一大题型)

o-----------题型归纳•定方向-----------<>

题型01求值域、最值...........................................................................2

题型02三角函数中解不等式.....................................................................2

题型03零点问题...............................................................................3

题型04实数解、方程根等问题...................................................................4

题型05导数与三角形函数.......................................................................4

题型06解三角形，周长、面积问题..............................................................5

题型07最值问题...............................................................................5

题型08取值范围问题...........................................................................6

题型09解三角形与数列.........................................................................6

题型10平面向量、三角函数、解三角形综合......................................................7

题型11三角函数的实际应用.....................................................................8

o-----------题型探析•明规律-----------♦>

【解题规律•提分快招】

i「巨如三声函双麓柝式亲朝海瓦商厂一一

求形如y=Asin®x+(p^y=Acos®x+cp)(其中a>>0)的单调区间时，要视“(ox+cp”为一个整体，通过解不等

式求解.但如果sO,可借助诱导公式将co化为正数，防止把单调性弄错.

2、奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为丫=人$击0»或丫=人12110»的形式，而偶函数一般可

化为y=Acosft)x的形式.

3、周期的计算方法：利用函数y=Asin((ox+<p),y=Acos(cox+(p)(co>0)的周期为，函数y=Atan((ox+<p)(«)>0)

的周期为求解.

4、确定y=/sin@x+9)+6(/>0,。>0)的步骤和方法

M-TYlV+YYl

(1)求4,b.确定函数的最大值M和最小值冽，贝Ij4=--—,b=---.

2兀

(2)求0.确定函数的最小正周期T,则.

(3)求(p,常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把

图象的最高点或最低点代入.

5、解三角形问题的技巧

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或

边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，

「核三鬲形其青示碓二桂厂通南根据三鬲面薮面i有窠桂布夫扬两天吊兔踵迸行碗面:

L一丽o「录值域，最值

【典例1-1].(24-25高三上•上海宝山•阶段练习)已知〃x)=2cos2x+6sin2x,

⑴求函数N=〃x)的单调递减区间；

⑵若xe[0申,求函数y=/⑺的值域

【变式1-1].(23-24高三上•上海静安•期末)iB/(x)=sin2x-cos2x+2A/3sinxcosx+^(xeR),其中2为

实常数.

⑴求函数V=/(x)的最小正周期；

⑵若函数了=/(x)的图像经过点[],()),求该函数在区间0,：兀上的最大值和最小值.

【变式1-2】.(2024・上海长宁•二模)某同学用“五点法”画函数/(x)=sin(s+e)(0>O)在某一个周期内的

图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

713兀

cox+（p0712兀

2~2

715712兀11兀

XA

6nT12

sin（Gx+e）01A-i0

(1)请在答题卷上将上表△处的数据补充完整，并直接写出函数N=/(x)的解析式；

⑵设0=l,°=0,g(x)=/2(x)+/(x)/g_x]xe。弓;求函数y=g(x)的值域；

【变式1-3】.(24-25高三上•上海•阶段练习)已知函数/(x)=2&cos^x+Z&sinxcosx.

⑴将〃x)化成的形式，并写出/(x)的最小正周期及对称轴方

程；

⑵若“X)在卜•+：]上的值域为[。,可，求6-。的取值范围.

题型02三角函数中解不等式

【典例2-1].(24-25高三上•上海奉贤•期中)已知函数y=/(x)是定义在(一1,1)上的奇函数，并且当x>0

⑴求函数y=/(X)的表达式;

⑵求关于x的不等式〃10g2x+l)+/［x-gj<〃0)的解集.

【变式2-1］.(23-24高三上•上海嘉定•期中)已知函数〃x)=sin2x+2cos2x+l,xw0,^.

⑴求函数V=〃x)的严格减区间；

(2)若不等式可■(x)+2m2/(x)恒成立，求实数比的取值范围.

题型03零点问题

【典例3-11•(24-25高三上•上海闵行•期中)已知函数/(x)=g'sin20x+2cos2(yx-l(其中常数。>0).

(1)若函数f(x)的最小正周期是］，求。的值及函数/(x)的单调递增区间；

TT

(2)若。=1,xe0,-,求函数/(x)的值域及零点.

【典例3-2】.(2024•上海•模拟预测)已知函数［(x)=2cos2x+cos(2x-10-l.

⑴求函数“X)的在［0,兀］上单调递减区间；

⑵若函数“X)在区间［0,刈上有且只有两个零点，求机的取值范围.

【变式3-1］.(2024•上海徐汇・一模)已知/(x)=asin0x+6cos0x(o>O),若定义在R上的函数y=/(x)

的最小正周期为无，且对任意的xeR,都有y(x)wy^|1=4.

⑴求实数。力的值；

(2)设X”%«0,兀),当了产々时，f(xI)=f(x2)=-2,求再+马的值.

【变式3-2］.(24-25高三上•上海•期中)已知/(x)=sinox+cosox,。>0,

(1)若。=2,求函数y=/(x),xe0看的值域;

(2)已知a>0,且函数V=/(x)的最小正周期为兀，若函数》=/在［兀㈤上恰有3个零点，求实数。

的取值范围.

【变式3-3].(2024•上海金山・二模)已知函数＞=/(x),记〃x)=sin(0x+°),＜y＞0,0＜。＜兀，

XGR.

⑴若函数丁=/(无)的最小正周期为n,当/弓)=1时，求。和。的值;

•JT

(2)若@=1,(p=z函数y=严0)-2/(%)-。有零点，求实数。的取值范围.

6

【变式3-4】.(24-25高三上•上海•开学考试)已知函数N=〃x)的表达式为〃x)=sin+1,。>0

⑴设0=1,求函数＞=/(x),x«0,可的单调增区间；

⑵设实数”兀，"X)的最小正周期为兀，若在xe[7i,a]上恰有3个零点，求。的取值范围.

题型04实数解、方程根等问题

【典例4-1].(24-25高三上•上海•期中)已知函数y=/(x)的表达式为〃X)=2COS2X+COS12X-]，1.

⑴求函数N=〃x)的单调增区间；

(2)求方程/⑺美在xe[0,可上的解.

【变式4-1].(2023・上海宝山•二模)已知函数/(x)=sinxcosx-6cos2x+1.

(1)求函数/=/(x)的最小正周期和单调区间；

⑵若关于x的方程/(耳-防=0在xe0,j上有两个不同的实数解，求实数他的取值范围.

【变式4-2].(23-24高三下•上海浦东新•期中)己知函数y=/(x),其中/(x)=sinx.

⑴求/上一£|=等在xe[0,可上的解；

⑵已知g(x)=6/(x)/\+/(村/仁+兀)，若关于x的方程g(x)-机=g在xe0,|时有解，求实数加

的取值范围.

【变式4-3].(24-25高三上•上海•阶段练习)已知函数〃x)=Gsin(0x+o)+2sin21个辿[-1(0＜。＜兀)

为奇函数，且/(x)图像的相邻两条对称轴间的距离为

⑴求/(x)的解析式与单调递减区间；

⑵已知“X)在xe时，求方程小⑴+遮外)-3=0的所有根的和.

题型05导数与三角形函数

3冗

【典例5-11.(2024・上海嘉定•一模)已知〃X)=2COS(5+下)，其中。〉0.

4

TT7T

⑴若。=2,求函数y=f(x),xe[一若]的值域;

⑵若〃；)=0,且函数y=〃x)在(：,$内有极小值，但无极大值，求。的值.

【变式5-1].(24-25高三上•上海松江•期中)已知函数/(无)=2cos2x+cos12尤

⑴求函数y=〃x）在［0,可上的单调减区间；

（2）若函数V=〃x）在区间［0,向上有且只有两个极大值点，求实数加的取值范围.

题型06解三角形，周长、面积问题

【典例6-1］.（24-25高三上•上海•阶段练习）在△NBC中，角4及。的对边分别为4。.已知a="，

b,=2cc,cos^，=--1.

4

⑴求c的值；

⑵求sin（2/-3）的值.

【变式6-1】.（2023•上海奉贤•一模）在△工台。中，设角A、B、C所对边的边长分别为。、b、c,已知

V3c=Cbcos/+asin瓦

⑴求角B的大小；

⑵当a=20,6=26时，求边长c和ZVIBC的面积S.

【变式6-21.（2023•上海松江•一模）在三角形/3C中，内角4&C所对边分别为。、次。，已知

asinS=6cos（/一胃.

（1）求角A的大小；

（2）若c=26,三角形/3C的面积为空，求三角形/3C的周长.

3

题型07最值问题

【典例7-1】.（2024•上海•三模）己知A/3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且耳=2csirB.

（1）求sinC的值；

⑵若c=3,求△48C面积S的最大值.

【变式7-11.（2024・上海嘉定•二模）在△45。中，角A、5、。的对边分别为。、b、c,

cos25-sin2B=--.

2

⑴求角B,并计算sin,+1的值；

（2）若6=右，且△N8C是锐角三角形，求a+2c的最大值.

【变式7-2】.（2023・上海•三模）已知在△4BC中，角45。所对的边分别为a,6,c,6=1,且满足

2acosB=cosC+ccosH.

⑴若a=生叵，求ZUBC的面积S；

⑵求a+2c的最大值，并求其取得最大值时cosC的值.

【变式7-3】.(24-25高三上•上海•阶段练习)已知。，b,。分别为ZX/BC三个内角A,B,。的对边，且

2b=c+2acosC.

⑴求A；

(2)若a=g,且ZUBC是锐角三角形，求分+(6+l)c的最大值.

题型08取值范围问题

【典例8-1】•(24-25高三上•上海•阶段练习)在△4BC中，内角A,B,。所对的边分别为b,c,已

知。=btan/且8为钝角，

⑴求B-N；

(2)求sinN-cos8+sinC的取值范围是.

【变式8-1].(24-25高三上•上海•期中)设△4BC的内角4B,C的对边分别为。，4c,a=btaih4且2为

钝角.

7T

(1)若4=诊,。=2,求的面积；

(2)求siM+sinC的取值范围.

【变式8・2].(23-24高三上•上海嘉定•期中)在△45。中，角4、B、C所对的边分别为。、b、c,且满

足〃sinCcos5+6sin/cosC=­a.

2

⑴求角力；

(2)若MBC为锐角三角形，求sin8sinC-gsin28+"的取值范围.

4

题型09三角函数或解三角形与数列

【典例9-1].(20-21高三上•上海虹口•期中)在A48c中，角/、B、C的对边分别为a、b、c,已知

sin8=R,且而.元=12.

13

(1)求△4BC的面积；

(2)若a、b、c成等差数列，求6的值.

【典例9-2].(23-24高三上•上海嘉定•期中)已知函数/(x)=2Gsinxcosx-2sin2x.

(1)求/(x)的最大值及取得最大值时x的值；

(2)在中，内角48,C所对应的边为见mc,若"4)=0,4/c成等差数列，且益.就=2，求。的

值.

【变式9-1】.(23-24高三下・上海松江•阶段练习)设△ABC的内角N、B、C所对边分别为a、b、c,若

1+cosB_2-cosA

sinBsinA

(1)求证:a、6、c成等差数列;

(2)若久氏c(a<b<c)均为整数，且存在唯一的钝角A/BC满足条件，求角C的大小.

【变式9-2].(2019•上海松江•一•模)已知函数/(x)=2后sinxcosx-Zsiifx.

⑴求〃x)的最大值；

(2)在ZX/BC中，内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,若〃/)=0,b、a、c成等差数列，且

AB-JC=2,求边。的长.

【变式9-3】.(2024•陕西宝鸡•三模)已知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，为=5,且％,%，%成等比

数列.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

⑵设bn=ancos号,求数列｛bn｝的前2024项和.

题型10平面向量、三角函数、解三角形综合

【典例10-1].(24-25高三上•上海•期中)已知函数〃x)=sin2x-cos2x-百sinjx-

⑴求的最小正周期和严格增区间；

(2)若A是三角形/BC的内角，==求三角形/3C的外接圆半径.

【典例10-2].(24-25高三上•上海•期中)设向量加=3$2工,君)，〃=(2,sin2x),f(x)=m-n.

(1)求函数y=/(x)的最小正周期及单调增区间；

⑵在△NBC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c.若〃/)=2,。=2,且Hc=3,求△ZBC的面积.

【变式10-1].(24-25高三上•上海•阶段练习)在中，角A、B、C的对边分别为。、6、c.已知

2ccosA=2b-a.

⑴求角。的大小；

⑵设"为48边的中点，若c=6,"6=1,求|而|的大小.

【变式10-2].(23-24高三下•上海青浦•阶段练习)已知函数/(x)=sinxcosx-sin2x+g.

(1)求/(x)的单调递增区间；

7T

(2)在△45。中，a,b,c为角4B,。的对边，且满足Z?cos2/=bcosZ-asin_B,且求角4的

值.

【变式10-31.(2024•上海浦东新•三模)已知/(x)=2sin(0x+°),其中。>0,|^|<|.

(1)若。=；,函数y=f(久)的最小正周期7为4兀，求函数y=f(久)的单调减区间；

(2)设函数y=f(x)的部分图象如图所示，其中赤.％=12,£>(0,-V3),求函数的最小正周期7,并求y=f

(%)的解析式.

【变式10-41.(2024•上海松江•二模)设〃x)=sin2>|x+百cos£xsin£x(0>O),函数了=/(x)图象的两

条相邻对称轴之间的距离为兀.

⑴求函数y=〃x)的解析式；

3

(2)在中，设角A、5及。所对边的边长分别为。、b反c,若。=百，6=后，/U)=-,求角C.

【变式10-5].(24-25高三上•上海虹口•阶段练习)已知/(%)=底111刃犹053-8$20%+；,。>0.

7T

(1)若函数y=/(x)在区间上是严格增函数，求实数。的取值范围；

(2)设△4BC的三边分别是。涉,。，若。=c=l,/(C)=-1,求。+2/»的取值范围.

题型11三角函数的实际应用

【典例11-1].(23-24高三上•上海浦东新•阶段练习)某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花

园.如图所示，。为圆心，半径为1千米，点A、B、尸都在半圆弧上，设2NOP=/POA=8,

JT

/AOB=20,其中0<e<一.

(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段附、AB,8M三部分组成，求当。取何值时，参观的线路最

长；

(2)若在花园内的扇形。八？和四边形QW8/内种满杜鹃花，求当。取何值时，杜鹃花的种植总面积最大.

【变式11-1].(23-24高三上•上海浦东新•期末)某街道规划建一座口袋公园.如图所示，公园由扇形/OC

区域和三角形区域组成.其中4。、。三点共线，扇形半径。/为30米.规划口袋公园建成后，扇形

/OC区域将作为花草展示区，三角形COD区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道.

7T

（1）若440c=§,OD=2OA,求休闲步道总