2025年山东济南中考数学一轮复习：二次函数的图像与性质（学生版+教师版）

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

二次函数的图象与性质

知识清单梳理

知识点一二次函数的概念及表达式

1.一般地，若两个变量X,y之间的对应关系可以表示成丁=依2+6%

+c(a,b,c是常数，QWO)的形式，则称y是％的二次函数.

2.二次函数表达式的三种形式

(1)一般式：y=ax2-\-bxJrc(a,b,c为常数，aWO).

(2)顶点式：y=a(x—/z)2+k(a,h,左为常数，aWO),顶点坐

标是(h,k).

(3)交点式：y=a(%—Xl)(%—%2),其中X1,%2是二次函数的图

象与入轴交点的横坐标，QWO.

3.二次函数表达式的确定

(1)抛物线过原点，可设为y=o?+法，再代入图象上任意两点坐

标求解；

(2)已知顶点(/z,k)时，可设为顶点式y=a(%—人)2+左，再代

入图象上另一点坐标求解；

(3)已知抛物线与％轴的两交点坐标为(xi,0),(乃，0)时，或

已知对称轴及与％轴的一个交点(xi,0),利用对称轴可求出另外

一个交点的坐标(%2,0),可设为交点式y=a(x—xi)(%—检)，

再代入图象上另一点坐标求解.

知识点二二次函数的图象与性质

4.二次函数丁=依2+"+。(a,b,c为常数，aWO)的图象和性质

开口a>0,开口向上|a<0,开口向下

方向

图象

(草

图)

开口

a>0,开口向上।a<0,开口向下

方向

pi)直接运用公式五=京福

(2)配方法：将一般式化为顶点式y=a(%—//)2-\~k,则对

对称称轴为直线％="

轴

注：还可利用％=安这(其中XI,%2为关于对称轴对称的两点

的横坐标)求解

(1)直接运用顶点坐标公式(_____，_________)求解；

顶点(2)运用配方法将一般式转化为顶点式(x—h)2+k,

坐标则顶点坐标为(h,左)；

(3)将对称轴％=配代入函数表达式求得对应”

a>0时，在对

称轴左侧，y随

%的增大时，在对称轴左侧，y随％的增大

增减

而________；而_________；在对称轴右侧，y随工的增大

性

在对称轴右侧，而____________,

y随％的增大

而__________

。>0时,y有最时，y有最大值；当％=—二时，y的最

最值2a

小值；当％=一大值为__________

/时，y的最小

值为_________

5.二次函数图象的特征与a,6，c关系

a的a>0开口_______________

正负a<0开口_______________

Z?=0对称轴为y轴

a,b

a,b同号对称轴在y轴______________

的值

a,b异号对称轴在y轴______________

c=0抛物线过原点

抛物线与y轴交于

C的c>0

____________半轴

正负

抛物线与y轴交于

c<0

_______________半轴

b2—4ac

与％轴有唯一的交点（顶点）

=0

Z?2—

b2—4ac

4ac与％轴有_______________交点

>0

的值

b2—4ac

与入轴没有交点

<0

【技法总结】代数式的计算或判断

代数式解题思路

—9与1比较

2a

2a—b一?与一1比较

2a

令％=1,看纵坐标

a—b~\-c令％=—1,看纵坐标

4Q+2Z7+C令％=2,看纵坐标

4a—2Z?+c令％=—2,看纵坐标

9Q+3Z?+C令％=3,看纵坐标

9Q—30+C令％=—3,看纵坐标

知识点三二次函数图象的平移

6.从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平

移（以研究顶点坐标为主），平移过程中。不变，因此可先求出其顶

点坐标，根据顶点坐标的平移求解即可.

7.从表达式上考虑：二次函数图象平移规律如下表：

平移II

前平移方向（”平移后

表达>0）表达式

式11

国左平移n，

_单位

Y向右平移n个

a（%

_单位

向上平移〃个

h）2

单位

~\~k

向下平移〃个

单位

【简记】二次函数图象要平移，先化顶点式；上加下减，左加右减.

知识点四二次函数与方程、不等式的关系

8.与方程的关系

方程a¥2+Z?x+c=0(QWO)的解是抛物线y=ax2+bx+c(aWO)

与工轴的交点的横坐标(以。>0为例)：

当4ac>0时，方程aF+bx+cuO(qWO)有两个不相

\_等的实数根：xi=m,%2="T^物线》=渥+人%+。(aWO)

人。披J

▼与％轴有个交点，横坐标分别是

当Z?2—4ac=0时，方程aY2+b%+c=0(aWO)有两个相等

\L/的实数根：%i=%2=zTfe物线法+c(aWO)与工

'力『轴有一个交点,横坐标为z

\一，/一^当Z?2—4ac<0时，方程a%2+b%+c=0(QWO)实数

»根物线y=a%2+b%+c(aWO)与入轴交点

9.与不等式的关系

(1)不等式Q%2+bx+c>0的解集物线位于％轴上方对应的点的

横坐标的取值范围.

(2)不等式QX2+A；+C<()的解集Tfe物线位于入轴下方对应的点的

横坐标的取值范围.

高频考点过关

考点一二次函数的图象与性质

1.(2024商河一模)设二次函数y=o?+c(a,c是常数，a<0),

已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示，若方程ax2+c—m

=0的一个正实数根为5.则下列结论正确的是()

・・・・・・

X-324

y•・・0Pq・・・

A.m>p>0B.m〈q〈0

C.p>m>0D.^<m<0

2.(2022济南)抛物线y=一r+2如一加2+2与y轴交于点C,过点

C作直线I垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线I翻折，

其余部分保持不变，组成图形G,MCm-l,以)，N(m+L”)

为图形G上两点.若yi</2,则根的取值范围是()

或机11

A.7"<—1>0B.—-2<m<-2

C.0<m<V2D.-l<m<l

考点二确定二次函数的表达式

3.若二次函数y=a%2+2的图象经过尸(1,3),Q(m,n)两点，

则代数式«2—4m2—4n+9的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数>=。%2+法+。的图象过点

A(-1,0),B(0,-V3),C(2,0),其对称轴与入轴交于点

D.求二次函数的表达式及其顶点坐标.

考点三二次函数与方程、不等式的关系

5.如图，抛物线—2与X轴交于A,5两点，点尸（机，八）

,22

（n<0）为抛物线上一个动点，当NAP5为钝角时，则加的取值范

围（）

A.—1<m<0

B.—1<7%<0或3<机<4

C.0<加<3或机>4

D.m<-1或0<根<3

6.（2022槐荫一模）二次函数y=af+2a%+3（a为常数，aWO）,

当a—1W%W2时二次函数的函数值y恒小于4,则a的取值范围为

（）

A.a<-

8

B.Q>一1

C.O<aV三或a<0

8

D.O<a<2或一1<。<0

8

考点四二次函数的平移

2

7.（2023高新二模）已知抛物线产%2+m+三与y轴交于点4,将

该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点4且与％轴交于5（一

0）,。两点.若线段。4—5。=1,那么根的值为（）

A.-1B.—1或2C.1D.2或一2

考点五二次函数的图象与系数a,b,c的关系

8.（2024商河清华园模拟）约定：若函数图象上至少存在不同的两

点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点

对称的两点叫作一对“黄金点”.若点A（1,m）,B（n,—4）是

关于%的"黄金函数"y=ax1-\-bxJr-c（aWO）上的一对"黄金点”，

且该函数的对称轴始终位于直线％=2的右侧，有结论①a+c=O；②b

=4；③Lz+Z+c<0；④一l<a<0.则正确的有（）

42

A.1个8.2个仁3个D.4个

9.（2024平阴一模）已知二次函数2%+]（a为常数，且a

>0）,下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数

图象一定不经过第三象限；③当％<0时，y随％的增大而减小；④当

%>0时，y随X的增大而增大.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.②D.③④

达标演练检测

1.（2024平阴二模）二次函数y=a%2+b%+c的图象如图所示，则一

次函数y=ax+c与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致

图象为（）

A.B.

2.已知二次函数丁=依2+法+c(q>0)的图象过点A(1,n),B(3,

“)，若点。(一1,”)，D(0,以)，E(6,”)也在该二次函数

图象上，则下列结论正确的是()

A.》1<》2<丁3B.y2<yi</3

C.yi<y\<yiD.yi<y?,<y2

3.已知二次函数y=(x—h)2+1(人为常数)，在自变量％的值满足

的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5,则"的值是

()

A.1或一5B.1或3

C.1或一3D.—1或5

4.如图，反比例函数的图象经过二次函数y=aX2+云图象的顶

点(一号,租)(m>0),则有()

A.a=b+2kB.a—b—2k

C.k<b<0D.a<k<0

5.(2024莱芜实验模拟)在平面直角坐标系中，已知点A(—3,1),

B(1,5),若二次函数丁=m2+3%—2(加W0)与线段A5无交点,

则机的取值范围是()

141根

A.2-<m<4B.m3<-JtWO

1A._（V4

m>4或

C.-2^m3<-D.m3<-

6.（2023长清一模）已知抛物线C：>二加+版+^?经过点（机，yi）,

（772+I,>2）,yi—yi=—2机+1,当一2W%W2时，在抛物线。上任

取一点"，设点V的纵坐标为力若一5W/W5,则c的取值范围是

（）

A.0<c<V2B.W

22

C.c25或cW—1D.3<c<4

7.（2024长清一模）定义：在平面直角坐标系中，点尸（％,y）的横、

纵坐标的绝对值之和叫作点尸G,y）的勾股值，记[P]=lxl+1

yI.若抛物线y=ax2-\-bx-\-l与直线y=%只有一个交点C,已知点C

在第一象限，且2W[C]W4,令/=2〃-4Q+2024,则彳的取值范围

为（）

A.2023&W2024B.2020<?<2021

C.2021—022D.2022—023

8.已知二次函数y=a?+陵+c（qWO）的部分图象如图所示，图象

经过点（0,2）,其对称轴为直线％=—1.下列结论：①3a+c>0；

②若点（一4,约），（3,以）均在二次函数图象上，则③

关于"的一元二次方程QT+桁+C：—1有两个相等的实数根；④满

足ax1-\-bx-\-c>2的x的取值范围为-2<%<0.其中正确结论的个数

为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=—法+c的图象与

坐标轴交于A,B,。三点，其中点A的坐标为（0,8）,点5的坐

标为（一4,0）.

求该二次函数的表达式及点C的坐标.

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

二次函数的图象与性质教师版

知识清单梳理

知识点一二次函数的概念及表达式

1.一般地，若两个变量X,y之间的对应关系可以表示成丁二④^十8%

+c（a,b,c是常数，QWO）的形式，则称y是％的二次函数.

2.二次函数表达式的三种形式

（1）一般式：y=ar2+Z?x+c（a,b,c为常数，aWO）.

(2)顶点式：y=a(x—/z)2+k(.a,h,左为常数，aWO),顶点坐

标是(h,k).

(3)交点式：y=a(x—xi)(%—检)，其中Xi,%2是二次函数的图

象与入轴交点的横坐标，QWO.

3.二次函数表达式的确定

(1)抛物线过原点，可设为y=o?+法，再代入图象上任意两点坐

标求解；

(2)已知顶点(加k)时，可设为顶点式y="G—h)2+k,再代

入图象上另一点坐标求解；

(3)已知抛物线与％轴的两交点坐标为(％i,0),(改,0)时，或

已知对称轴及与％轴的一个交点(为，0),利用对称轴可求出另外

一个交点的坐标(%2,0),可设为交点式y=a(x—xi)(%—检)，

再代入图象上另一点坐标求解.

知识点二二次函数的图象与性质

4.二次函数(a,b,c为常数，QWO)的图象和性质

开口方a>0,开口

a<Q,开口向下

向向上

图象7■

(草匕M

图)o|Wx*V*

开口方a>0,开口

a<0,开口向下

向向上

⑴直接运用公式尸一,求解；

对称轴

(2)配方法：将一般式化为顶点式y=a(xf)2+左，则

对称轴为直线x=h.

注：还可利用％=宁(其中%1，%2为关于对称轴对称的两

点的横坐标)求解

(1)直接运用顶点坐标公式(£，)求

顶点坐解；

(2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=aCx-h)2+k,

标

则顶点坐标为(h,k)；

(3)将对称轴为=配代入函数表达式求得对应州

Q>0时,

在对称轴

左侧，y随

%的增大而_

。<0时，在对称轴左侧，y随％的增大而增

增减性减小；在

_；在对称轴右侧，y随工的增大而减小

对称轴右

侧，》随五

的增大而—

增大

a>0时,y

有最小值；

当％=—2。<0时，y有最大值；当％=一/时，V的最大

2a

最值

时，y的最值为生”

小值为—

4ac-b2

5.二次函数图象的特征与a,b,C关系

。的Q>0开口向上

正负a<0开口

b=0对称轴为y轴

a,b

a,8同号对称轴在y轴左侧

的值

a,b异号对称轴在y轴右侧

物线过原点

抛物线与y轴交于

c的c>0

正半轴

正负"、.

抛物线与y轴交于

c<0

负半轴

〃一4QC

一与％轴有唯一的交点（顶点）

=0

b2一

b2—4ac

4ac与％轴有两个交点

>0

的值

b2—4ac

与入轴没有交点

<0

【技法总结】代数式的计算或判断

无数式解题思路

2a~\~b—9与1比较

2a

2a—b

一2?a与一1比较

Q+/7+C令％=1,看纵坐标

a—b-\-c令％=—1,看纵坐标

4Q+2Z7+C令％=2,看纵坐标

4a—2b-\-c令％=—2,看纵坐标

9a+3Z?+c令％=3,看纵坐标

9a—3Z?+c令％=—3,看纵坐标

知识点三二次函数囱象白笄/

6.从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平

移（以研究顶点坐标为主），平移过程中Q不变，因此可先求出其顶

点坐标，根据顶点坐标的平移求解即可.

7.从表达式上考虑：二次函数图象平移规律如下表:

平移

前平移方向（«平移后

表达>0）表达式

式

向左平移八个

y=a（%一力+八）2+左

_单位

y向右平移几个

a（%y=a(x—h—n)2+左

单位

向上平移〃个

h）2y=q(%—/7)左+〃

单位

+左

向下平移〃个

y=a(%——/1)2+左一八

单位

【简记】二次函数图象要平移，先化顶点式；上加下减，左加右减.

知识点四二次函数与方程、不等式的关系

8.与方程的关系

方程ax2+Z?x+c=0(aWO)的解是抛物线y=ax1+bx+c(aWO)

与工轴的交点的横坐标（以。>0为例）：

当Z?2—4QC>0时，方程Q%2+b%+c=0(aWO)有两个不相

_等的实数根：xi—m,物线yuQp+bx+c(aWO)

与x轴有个交点，横坐标分别是tn,n

当加一4比=0时，方程依2+Z?%+c=0(aWO)有两个相等

\y的实数根：%I=%2=ZT^物线y=a%2+b%+c(aWO)与工

『轴有一个交点,横坐标为z

\，|/当廿一4。(?<0时，方程(°。0)无实数

演根Tfe物线y=a%2+b%+c(aWO)与X轴无交点

9.与不等式的关系

(1)不等式a/+b%+c>0的解集物线位于入轴上方对应的点的

横坐标的取值范围.

(2)不等式Q%2+bx+c<0的解集Tte物线位于％轴下方对应的点的

横坐标的取值范围.

高频考点过关

考点一二次函数的图象与性质

1.(2024商河一模)设二次函数y=af+c(a,c是常数，a<0),

已知函数值y和自变量％的三对对应值如表所示，若方程ax2Jrc-m

=0的一个正实数根为5.则下列结论正确的是(B)

・・・・・・

X-324

y・・・0Pq•••

A.m>p>0B.m〈q〈0

C./?>m>0D.q<.m<.0

2.(2022济南)抛物线y=—f+2mx—病+2与y轴交于点C,过点

C作直线/垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，

其余部分保持不变，组成图形G,M(m-1,竺)，N(m+1,»)

为图形G上两点.若》1<m，则机的取值范围是(D)

机<一或机

A.1>0B.--2</w<-2

C.0<m<V2D.-l<m<l

考点二确定二次函数的表达式

3.若二次函数y=af+2的图象经过尸(1,3),Q(m,n)两点，

则代数式«2—4/w2—4«+9的最小值为(A)

A.1B.2C.3D.4

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a%2+"+c的图象过点

A(-1,0),B(0,-V3),C(2,0),其对称轴与入轴交于点

D.求二次函数的表达式及其顶点坐标.

解：设二次函数的表达式为y=a(x+1)(%—2),将5(0,f)

代入得°=手，.••二次函数的表达式为尸*%+1)G—2)=畀%—

1\2_9V3

2)8'

考点三二次函数与方程、不等式的关系

5.如图，抛物线y=：%2—9―2与％轴交于A,5两点，点尸(加，n)

-22

(«<0)为抛物线上一个动点，当NAP5为钝角时，则冽的取值范

围(B)

A.—1＜m＜0

B.—1＜加＜0或3＜加＜4

C.0＜加＜3或加＞4

D.m＜-1或0＜机＜3

6.（2022槐荫一模）二次函数丁=0?+2依+3（a为常数，aWO）,

当时二次函数的函数值y恒小于4,则a的取值范围为

（D）

A.a＜-

8

B.Q＞一1

-1

C.O＜a＜上或Q＜0

8

D.O＜a＜工或一1＜。＜0

8

考点四二次函数的平移

2

7.（2023高新二模）已知抛物线y=X2+mx+?与丁轴交于点A,将

该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点A,且与％轴交于5（一

0）,。两点.若线段。4—5。=1,那么根的值为（D）

A.-1B.—1或2C.1D.2或一2

考点五二次函数的图象与系数a,江c的关系

8.（2024商河清华园模拟）约定：若函数图象上至少存在不同的两

点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点

对称的两点叫作一对“黄金点”.若点A（1,m）,B（n,—4）是

关于%的"黄金函数"y—a^+bx+c（aWO）上的一对"黄金点”，

且该函数的对称轴始终位于直线％=2的右侧，有结论①a+c=O；②b

=4；③工a+U+c<0；④一1<Q<0.则正确的有（C）

42

A.1个8.2个仁3个D.4个

9.（2024平阴一模）已知二次函数y=ap—2%+1（Q为常数，且a

>0）,下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数

图象一定不经过第三象限；③当％<0时，y随％的增大而减小；④当

%>0时，y随％的增大而增大.其中所有正确结论的序号是（B）

A.①②B.②③C.②D.③④

达标演练检测

1.（2024平阴二模）二次函数的图象如图所示，则一

次函数y=ax+c与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致

图象为（A）

2.已知二次函数丁=依2+法+c（a>0）的图象过点A（1,n）,B（3,

“），若点。（一1,”），D（0,以），E（6,”）也在该二次函数

图象上，则下列结论正确的是（B）

A.y\<yi<y3B.y2<yi<ys

C.y3<yi<yiD."</3<》2

3.已知二次函数y=（x—h）2+l（h为常数），在自变量％的值满足

的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5,则"的值是

（D）

A.1或一5