2025年山东济南中考数学一轮复习：一次方程（组）及其应用 （学生版+教师版）

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

-------^次方程（组）及其应用学生版

知识清单梳理

知识点一等式的性质

1.性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果

仍是等式.即如果a=b,那么«±c=.

2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为。的数），

所得结果仍是等式.即如果那么=bc,-C=

（cWO）.

知识点二一元一次方程

3.一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有个未知

数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是,

这样的方程叫作一元一次方程.

4.解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）

移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1.

知识点三二元一次方程（组）

5.二元一次方程：含有个未知数，并且所含未知数的项

的次数都是的方程叫作二元一次方程.

6.二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组

方程叫作二元一次方程组.

7.二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作

二元一次方程组的解.

8.二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未

知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数,

化二元一次方程组为一元一次方程.

（2）加减消元法：通过两式相加（减）消去其中一个未知数.

知识点四一次方程（组）的实际应用

9.一般解题步骤：审、设、歹［）、解、验、答.

10.常见类型及关系

（1）利润问题：售价=标价又折扣；销售额=x销量；

利润=__________—成本；利润率=普*100%.

成本

（2）行程问题

①相遇问题：全路程=甲走的路程乙走的路程.

②追及问题

a.同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程.

b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离追者走

的路程.

（3）工程问题：工作量=工作效率X.

高频考点过关

考点一一元一次方程的解法

1.（2024商河二模）若％=—5是关于X的方程a—3%=16的解，则

a的值是（）

A.1B.-1C.-5D.-31

2.关于%的方程3%—2根=1的解为正数，则根的取值范围是（）

11

A.m<--B.m>--

22

11

C.m>-D.m<-

22

3.关于工的一元一次方程2%+7TI=5的解为％=1,贝Im的值为（）

A.3B.-3C.7D.-7

4.代数式在三与代数式3—2%的和为％则％=.

5.（2024天桥二模）若一元一次方程3%—a=0的解为％=1,则a

考点二二元一次方程组的解法

人力、（3x-\-y=8，口

6.解万程组：•

、2%—y=7.D

x—2y=3,口

7.解方程组:1।313

-x+-y=—.m□

V24，4

考点三一次方程（组）的应用

8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.

其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、

物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人

出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为工人，

物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）

By-8%=3,

Jx—y=4

C8%-y=3,8x一y=3,

D.

y—7x=4Jx—y=4

9.《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良

马日行二百四十里，弩马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良

马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，

慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马％天可以追

上慢马，则下列方程正确的是（）

A.240%+150%=150X12

B.240%—150%=240X12

C.240%+150%=240X12

D.240%—150%=150X12

10.（2024天桥二模）某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有

序发展的指导意见》，拟购买A,5两种型号的帐篷，为游客提供露

营服务.已知购买4种帐篷2顶和5种帐篷4顶，共需5200元；购

买A种帐篷3顶和5种帐篷1顶，共需2800元.

(1)求A种帐篷和5种帐篷的单价各是多少元？

(2)若该景区要购买A,3两种型号的帐篷共20顶，其中5种帐篷

数量不少于A种帐篷数量的号为使购买帐篷的总费用最低，应购买

A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？

达标演练检测

1.（2024天桥一模）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精

湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两

种物品都买），小明的购买方案共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

2.一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水

化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为

%（g）,y（g）,可列出方程为（）

A.%+y=3。B,x+jy=30

C.|%+尸3。D,x+|y=30

3.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是:

“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一

尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩

余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少

尺？可设木头长为％尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是

y—x=4.5,x—y=4.5,

、2%—y=1、2%—y=1

x—y=4.5,

4.关于％的一兀一次方程X+2机=5的解为％=1,则772的值为（）

A.2B.-2C.3D.-3

_Q支-0

5.若和］一'都是关于X,y的二元一次方程以一2y=。

（y=ily=-3

的解，则》一Q的值为.

6.解方程：

(1)x—3=2x+l；

⑵-

7.解方程组：

8.小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共

用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价

多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价.

9.大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报

酬是"型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结

束实习，结算工资时公司给了她一台"型平板电脑和300元现金.

（1）这台M型平板电脑价值多少元？

（2）小敏若工作冽天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得

多少报酬（用含机的代数式表示）？

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

-------^次方程（组）及其应用教师版

知识清单梳理

知识点一等式的性质

1.性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果

仍是等式.即如果a=b,那么a+c=b±c.

2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为。的数），

所得结果仍是等式.即如果那么ac=bc,-c=-c（cWO）.

知识点二一元一次方程

3.一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数,而

且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1,这样的方程

叫作一元一次方程.

4.解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）

移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1.

知识点三二元一次方程（组）

5.二元一次方程：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数

都是1的方程叫作二元一次方程.

6.二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组

方程叫作二元一次方程组.

7.二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作

二元一次方程组的解.

8.二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未

知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数,

化二元一次方程组为一元一次方程.

（2）加减消元法：通过两式相加（减）消去其中一个未知数.

知识点四一次方程（组）的实际应用

9.一般解题步骤：审、设、歹［）、解、验、答.

10.常见类型及关系

（1）利润问题：售价=标价X折扣；销售额=售价X销量;利

润=售价一成本；利润率=瞿><100%.

-----------成本

（2）行程问题

①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程.

②追及问题

a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程.

b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路

程.

（3）工程问题：工作量=工作效率X工作时间.

高频考点过关

考点一一元一次方程的解法

1.（2024商河二模）若％=—5是关于％的方程。一3%=16的解，则

a的值是（A）

A.1B.-1C.-5D.-31

2.关于%的方程3%—2根=1的解为正数，则根的取值范围是（B）

11

A.m<--B.m>--

22

1I

C.m>-D.m<-

22

3.关于%的一元一次方程2%+加=5的解为％=1,则根的值为（A）

A.3B.-3C.7D.-7

4.代数式看与代数式3—2%的和为4,则尸一1.

5.（2024天桥二模）若一元一次方程3%—a=0的解为％=1,则Q=

3.

考点二二元一次方程组的解法

'3%+y=8,口

6.解方程组:

、2%—y=7.D

f3%+y=8,口

解：

、2%—y=7,□

①+②得5%=15,解得％=3,

将％=3代入①得3X3+y=8,解得y=—1,

y—13

故原方程组的解为■

ly=-1.

x—2y=3,口

7.解方程组:

***口

x-2y=3,□

解:1।313「

-%+-y=—?n

(24，4

②X2—①得少=%解得y=l.

将y=l代入①得％—2=3,解得X=5,

•••原方程组的解为

ty=1.

考点三一次方程（组）的应用

8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.

其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、

物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人

出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为工人，

物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（C）

y-8%=3,

A.B.\

y—7x=4Jx—y=4

8%—y=3,8x—y=3,

C.

y—7x=4Jx—y=4

9.《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良

马日行二百四十里，弩马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良

马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，

慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马"天可以追

上慢马，则下列方程正确的是（D）

A.240%+150%=150X12

B.240x-150%=240X12

C.240%+150%=240X12

D.240%—150%=150X12

10.（2024天桥二模）某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有

序发展的指导意见》，拟购买A,5两种型号的帐篷，为游客提供露

营服务.已知购买A种帐篷2顶和5种帐篷4顶，共需5200元；购

买4种帐篷3顶和5种帐篷1顶，共需2800元.

（1）求A种帐篷和5种帐篷的单价各是多少元？

（2）若该景区要购买4,5两种型号的帐篷共20顶，其中3种帐篷

数量不少于A种帐篷数量的号为使购买帐篷的总费用最低，应购买

A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？

解：（1）设A种帐篷的单价是加元，5种帐篷的单价是〃元，

根据题意，得［2僧+4九=5200,解得尸=600,

（3m+n=2800,5=1000.

答：A种帐篷的单价是600元，5种帐篷的单价是1000元.

（2）设购买A种帐篷％顶，购买帐篷的总费用为y元，则购买5种

帐篷（20一%）顶.

•:B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的%

.•.20—解得％W15.

根据题意，得y=600%+1000（20—%）=—400%+20000.

:一400<0,随%的增大而减小，

当％=15时，y最小值=-400X15+20000=14000,

此时20—%=20—15=5.

答：购买A种帐篷15顶，购买5种帐篷5顶，总费用最低为14000

元.

达标演练检测

1.（2024天桥一模）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精

湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两

种物品都买），小明的购买方案共有（B）

A.3种B.4种C.5种D.6种

2.一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水

化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为

%(g),y(g),可列出方程为(A)

A.%+y=3。B.%+|尸3。

C|%+尸3°D,x+|y=30

3.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是:

“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一

尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩

余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少

尺？可设木头长为％尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是

y—x=4.5,x—y=4.5,

、2%—y=1、2%—y=1

x-y=4.5,y—x=4.5,

4.关于％的一元一次方程X+2机=5的解为％=1,贝Im的值为(A)

A.2B.-2C.3D.-3

_r-\支-0

5.若和］一'都是关于％,y的二元一次方程以一2y=》

(y=ily=-3

的解，则b—a的值为2.

6.解方程：

(1)x—3=2%+1；

解：移项得%—2%=1+3,合并同类项得一%