2025年中考数学分类复习：图形的相似（46题）（解析版）

专题27图形的相似（46题）

一、单选题

1.（2024.重庆・中考真题）若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是（）

A.1:3B.1:4C.1:6D.1：9

【答案】D

【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可.

【详解】解：两个相似三角形的相似比是1：3,则这两个相似三角形的面积比是1：9,

故选：D.

2.（2024・四川凉山•中考真题）如图，一块面积为60cn?的三角形硬纸板（记为AABC）平行于投影面时,

在点光源。的照射下形成的投影是△ABG，若OB：BBi=2：3,则的面积是（）

A.90cm2B.135cm2C.150cm2D.375cm2

【答案】D

【详解】解：二•一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为AABC）平行于投影面时，在点光源。的照射下

形成的投影是△ABC,OB:BB]=2:3,

.OB_2

,,西一二，

位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5,

•三角形硬纸板的面积为60cm2,

的面积为375cm2.

故选：D.

3.（2024・陕西・中考真题）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形45co的边8上，AF与。C交于点”,

若AB=6,CE=2,则。”的长为（）

A.2B.3cID-I

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质.证明利用相似三角形

的性质列式计算即可求解.

【详解】解：：正方形ABC。，AB=6,

AB=AD=CD=6,

:正方形CEFG,CE=2,

：.CE=GF=CG=2,

：.DG=CD-CG=4,

由题意得AD〃Gb,

AADHS^FGH,

.ADDH6DH

一,艮Rn-

GFGH24—DH

解得£归=3,

故选：B.

4.（2024.湖南.中考真题）如图，在AABC中，点O,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中，错误的是

B.AADE^AABCC.BC=2DED・^^ADE=2SaBC

【答案】D

【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A、C；

由相似三角形的判定和性质可判断B、D,掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的

关键.

2

【详解】解：；点D,E分别为边AB,AC的中点,

DE//BC,BC=2DE,故A、C正确；

'：DE//BC,

：.AADE^AABC,故B正确;

'：AADE^AABC,

•e-S,ADE=；S’ABC>故D错误;

故选：D.

5.（2024.江苏连云港.中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、

丙、丁，其中是相似形的为（）

【答案】D

【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，

进行判断即可.

【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小

不同，是相似形.

故选D.

6.（2024•浙江•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AABC与AAB'C是位似图形，位似中心为点0.若

点4-3,1）的对应点为4（-6,2）,则点8（-2,4）的对应点g的坐标为（）

C.(-8,4)D.(4,-8)

【答案】A

【分析】本题考查了位似变换，根据点44的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变

换的性质是解题的关键.

【详解】解：:△ABC与是位似图形，点A（-3,1）的对应点为A（-6,2）,

^AB'C与△ABC的位似比为2，

.•.点5（-2,4）的对应点B'的坐标为（—2x2,4x2）,即（-4,8）,

故选：A.

7.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，矩形Q4BC各顶点的坐标分别为0（0,0）,A（3,0）,B（3,2）,C（0,2）,

以原点。为位似中心，将这个矩形按相似比;缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（）

A.（9,4）B.（4,9）仁IC]D-d

【答案】D

【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意3横纵的坐标乘以g,即可求解.

【详解】解：依题意，5（3,2）,以原点。为位似中心，将这个矩形按相似比;缩小，则顶点3在第一象限

对应点的坐标是[1，g]

故选：D.

8.（2024・四川成都・中考真题）如图，在YABCD中，按以下步骤作图：①以点3为圆心，以适当长为半径

作弧，分别交54,3C于点N；②分别以M,N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在/ABC

内交于点0;③作射线2。，交AD于点E,交8延长线于点若CD=3,DE=2,下列结论错误的

是（）

B.BC=5

-BE5

C.DE=DF

EF3

4

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综

合.先由作图得到跖为/ABC的角平分，利用平行线证明NAEB=NABE,从而得至！IAE=AB=CD=3,

BF3

再利用平行四边形的性质得到3c=AD=AE+E£）=3+2=5,再证明,分别求出=—,

EF2

DF=2,则各选项可以判定.

【详解】解：由作图可知，所为/ABC的角平分，

；.ZABE=NCBE,故A正确；

:四边形ABCD为平行四边形，

AD=BC,AB=CD,A01BC,

AD〃BC

：.ZAEB=NCBE,

AZAEB=ZABE,

AE=AB=CD=3,

ABC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正确；

•；AB=CD,

：.ZABE=ZF,

•；ZAEB=ZDEF,

AAEB^ADEF,

.BEABAE

**EF-DF-

.BE33

99EF~DF~2f

•••善BF=3=,DF=2,故D错误；

EF2

,/DE=2,

/.DE=DF,故C正确，

故选：D.

9.（2024.山东烟台.中考真题）如图，在正方形A3CD中，点E,尸分别为对角线3DAC的三等分点，连

接AE并延长交8于点G,连接EF,FG,若NAG/=a,则NE4G用含a的代数式表示为（）

A,,D

二

a

A45°—a-90°—a-45°+a、

A.--------B.---------C.----------D.—

2222

【答案】B

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角

性质.证明求得/OFE=45。,证明证得OG=；CD=CG,推出

△DEG^ACFG(SAS),得到GE=GF,据此求解即可.

【详解】解：・・•正方形ABCQ中，点E,尸分别为对角线瓦＞,AC的三等分点，

：.OD=OC,ZODC=ZOCD=45°,DE=CF,

：.OE=OF,

..OEOF

：ZEOF=ZDOC,—=—,

ODOC

：.AEOFs^DOC,

ZOFE=ZOCD=45°,

•:点E,尸分别为对角线BDAC的三等分点,

DE1

•.•一-~f

BE2

•・,正方形ABC。，

・•・AB//CD,

：.,

.DGDE1

•・下一瓦—2'

DG=-CD=CG

29

：.△DEG^ACFG(SAS),

GE=GF,

6

ZGEF=:(180°-ZAGF)=90。-ga,

1i900-a

：.ZFAG=ZGEF-ZAFE=90。——a—45。=45。——a=---------

222

故选：B.

10.（2024•江苏苏州•中考真题）如图，点A为反比例函数y=-g（x<0）图象上的一点，连接AO,过点。

黑An的值为（）

D（J

D-1

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数上的几何意义，三角形相似的判定

和性质，数形结合是解题的关键.过A作ACLx轴于C,过8作3。，工轴于。，证明

利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可.

【详解】解：过A作ACLx轴于C,过8作轴于。，

•••Lco=；xH=；,SiBDO=1x|4|=2,ZACO=NODS=90。,

OALOB,

：.ZAOC=ZOBD=90°-Z.BOD,

AAOC^AOBD,

21

.•.黑幽/图］,即5JOA

=

S.BD。VOB)2loB

Cl\\

(负值舍去)，

(JD2

故选：A.

H.（2024.山东威海.中考真题）如图，在YABCD中，对角线AC,80交于点。，点E在BC上，点尸在

C。上，连接AE,AF,EF,E尸交AC于点G.下列结论错误的是（）

AD

A.若厂-==，则EF〃BD

OFAB

B.若AE_LBC,AFLCD,AE=AF,则EF〃3。

C.若EF〃BD,CE=CF,则N£AC=/fAC

D.若AB=AD,AE=AF,则跖〃班）

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性

质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A,根据题意可得四边形C4是/BCD的角平分线，进

而判断四边形ABCD是菱形，证明RtAACE丝Rt“FC可得CE=CF则AC垂直平分E尸，即可判断B选项，

证明四边形ABC。是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上BE=。尸,则成立，据此，即可求

解.

【详解】解：：四边形A3CD是平行四边形,

：.AD=BC,AB=CD

CEADpnCEBC

A.石——,即——=——又/ECF=/BCD,

~CFABCFCD

：./\CEF^/\CBD

・•・ZCEF=ZCBD

AEF//BD,故A选项正确，

B.若AFLCD,AE=AF,

・・・C4是N5CD的角平分线，

:.ZACB=ZACD

9：AD//BC

：.ZDAC=ZACB

：.ZDAC=ZDCA

：.AD=DC

・・・四边形A3CQ是菱形,

・•・AC1BD

8

在RtAACE,Rt^AFC中,

AE^AF

[AC=AC

：.RuACE^RtAAFC

CE=CF

又•・•=

・•・AC±EF

：.EF//BD,故B选项正确，

C.*/CE=CF,

：.NCFE=NCEF

'：EF//BD,

：.ZCBD=ZCEF,ZCDB=ZCFE

：.ZCBD=ZCDB

：.CB=CD

四边形ABC。是菱形，

AC1BD,

又：EF//BD

：.AC^EF,

,:CE=CF,

：.AC垂直平分所，

/.AE=AF

：.ZEAC^ZFAC,故C选项正确；

D.若=则四边形ABC。是菱形，

由?1E=AF,且跳/时，

可得AC垂直平分E尸，

,?AC1BD

AEF//BD,故D选项不正确

故选：D.

12.（2024.河南.中考真题）如图，在口48。0中，对角线AC,8。相交于点。，点E为OC的中点，EF//AB

交BC于点F.若AB=4,则所的长为（）

AD

O

BpC

14

A.-B.1C.-D.2

23

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段

中点定义可得出CE=!AC,证明AC郎S^CAB,利用相似三角形的性质求解即可.

4

【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，

/.OC=-AC,

2

•.•点E为0C的中点，

CE=-OC^-AC,

24

EF//AB,

Z\CEF^Z\CAB,

.EFCEBnEF_1

ABAC44

EF=L

故选：B.

13.（2024・安徽•中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=2,80是边AC上的高.点

E,F分别在边AB,8c上（不与端点重合），且DE1DF.设AE=x,四边形DEB产的面积为》则y

关于x的函数图象为（）

10

【答案】A

【分析】本题主要考查了函数图象的识别,相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作而，AC

于点由勾股定理求出AC,根据等面积法求出50,先证明AABCSA"®,由相似三角形的性质可得

AUATC(AD\

出差=三，即可求出AD，再证明△回由相似三角形的性质可得出3A组=把,即可得

ADABS.BFDVBD)

出S&AED~4S&BFD，根据S四边形。历歹=S4ABe-S^D~(^S^BDC_SRDF),代入可得出一次函数的解析式，最后根

据自变量的大小求出对应的函数值.

【详解】解：过点E作£W_LAC于点H,如下图:

ADAB

解得：4)=半，

•*.DC=AC-AD=2y[5--=^->

55

,?ZBDF+NBDE=NBDE+/EDA=90°,ZCBD+ZDBA=ZDBA+ZA=90°,

•*.ZDBC=ZA,ZBDF=ZEDA,

AAED^ABFD，

•C—4C

,*"AED_ruABFD，

S四边形/=，ABC-S&AED_（SR叱-S出DF）

=-ABBC--AEADsinZA--DCDB+-S

2224AAED

1,c318石212出4芯

=—x4x2—x—x------x——=—x------x------

24252V5255

163

--------%

55

V0<x<4,

_16

・••当x=0时，S四边;IJ^DEBF

、/4

当％=4时，S四边形DE"——.

故选：A.

14.(2024.山东・中考真题)如图，点E为YABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长

至点尸，使得EF=DE,连接AF,贝I即为()

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助

线是解题关键.

作辅助线如图，由平行正相似先证ADECSAGIE,再证ABGESAAGE,即可求得结果.

【详解】解：延长。R和AB,交于G点，

12

,/四边形A3CD是平行四边形，

ADC//AB,DC=AB^DC//AG,

：.ADECSQAE

,CEDEDC

**AE-GE-AG?

VAC=5,CE=1,

：.AE=AC-CE=5-1=4,

.CEDEDC_1

*AE-GE-AG-4

DEDE_1

又＜

EF=DE,~GE~EF+FG~4

・EF-1

*FG~3

DCDC1

-,DC=AB,

~AG~AB+BG4

.DC1

,BG一针

.EF_DC1

——，

,FGBG3

.BGFG3

,AG

•・AE〃BF,

•・ABGFS^AGE,

.BFFG3

*AE-EG-4

・•AE=4,

•・BF=3.

故选：B.

二、填空题

15.（2024•江苏盐城中考真题）两个相似多边形的相似比为1：2,则它们的周长的比为

【答案】1：2/1

【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形

的性质是解题的关键.

【详解】解：•••两个相似多边形的相似比为1：2,

它们的周长的比为1：2,

故答案为：1：2.

16.（2024•云南・中考真题）如图，48与。交于点。，且AC〃9.若=:，贝汁类=______

O器B+:O二D+十BD。二2BD

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明“COs△班）0,根据相似三角形周长之比等于相似比,

即可解题.

【详解】解：,•,AC〃3D,

:.^.ACO^tJiDO,

,AC_OA+OC+AC_1

BDOB+OD+BD~2

故答案为：］.

17.（2024.江苏扬州•中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像

投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔。在屏幕（竖直放置）上成像AF.设AB=36cm,

A8'=24cm.小孔。到4B的距离为30cm,则小孔。到A®的距离为cm.

【答案】20

【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得过。作OCLAB于

点C,CO交A®于点CL利用已知得出△AOBS/VTOB，，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练

14

掌握相似三角形的性质是解题关键.

【详解】由题意得：AB//AB',

如图，过。作OCLAB于点C,CO交A®于点C',

:•丝上即？24OC

ABOC30

OC'=20(cm),

即小孔0到A'B'的距离为20cm,

故答案为：20.

18.（2024•吉林・中考真题）如图，正方形A3CD的对角线AG8D相交于点。，点E是。4的中点，点厂

FF

是OD上一点.连接若NFEO=45。,则0的值为

BC

【答案】I

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到NOAD=45。，

EFOE1

AD=BC,再证明£F〃AO,进而可证明产,由相似三角形的性质可得不二不=不，即

ADOA2

EF

BC-2,

【详解】解：・・,正方形ABC。的对角线AC,3。相交于点O,

AZOA£>=45°,AD=BC,

・・,点E是。4的中点，

.OE_1

••=一，

OA2

,/ZFEO=45°,

：.EF//AD,

：./\OEF^AOAD,

.•・空=笠」即空=L

ADOA2BC2

故答案为：g.

19.(2024・四川眉山・中考真题)如图，AABC内接于点。在上，AE＞平分/34c交。。于。，连

接BD.若AB=10,BD=2&,则8c的长为.

【答案】8

【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判

定和性质，延长AC,BD交于E,由圆周角定理可得NADB=NAZ)E=90。，ZACB=ZBCE=90°,进而

可证明AABD丝AAE/YASA),得至！］3。=DE=2石，即得BE=46，利用勾股定理得A。=4若，再证明

八ABDSABCE,得至1」装=空，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

ABAD

【详解】解：延长AC,BD交于E,

,.,厄是。。的直径，

:.ZADB=ZADE=90°,ZACB=NBCE=90°,

•.•AD平分NB4C,

:.ZBAD=ZDAE,

又；AD=AD,

：.AABD之AAED(ASA),

BD=DE=2A/5,

BE=4如，

■■-AB=10,BD=2A/5,

AZ)=J102-(275)2=4下,

16

・・・ZDAC=ZCBD,

又「ZBAD=ZDAE,

；・/BAD=/CBD,

-.•ZADB=ZBCE=90°,

:.AABD^ABEC,

.BEBC

.4A/5_BC

10-45石，

20.（2024.湖北・中考真题）AD所为等边三角形，分别延长FD,DE,防，到点AB,C,使DA=EB=FC,

连接ABAC,BC,连接M并延长交AC于点G.若AD=DF=2,则/加尸=,FG=.

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理.利用三角形的外角性质结

合EB=EF可求得NDBF=30。；作CH,8G交3G的延长线于点H,利用直角三角形的性质求得C"=l,

FH=y/3,证明AAG尸SACGH,利用相似三角形的性质列式计算即可求解.

【详解】解：•.,△OEF为等边三角形，DA=EB=FC,

：.AD=DF=EB=EF=2,ZDEF=ZDFE=60°,

：.NDBF=NEFB=-ZDEF=30°,ZAFB=NEFB+ZDFE=90°,NEFB=NGFC=30°,

2

作CHLBG交BG的延长线于点H,

A

CH^^CF=1,FliZi1-12=5

•；ZAFB=/H=90。,

：.AF//CH,

:.AAGFS卫GH,

.竺监即4.FG

"CHGH'B16-FG，

解得=

故答案为：30°,1A/3.

21.（2024・四川眉山・中考真题）如图，菱形ABCD的边长为6,ZBAD=120°,过点。作DE_L3C,交BC

的延长线于点E,连结AE分别交8。，8于点歹，G,则FG的长为.

【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知

识点.

首先根据菱形的性质得到">=3C=CD=6,AD^BC,/BCD=120。，然后勾股定理求出

DE=>JCD2-CE2=3A/3>AE=y/DE2+AD2=377>然后证明出，得至1」苦=桨='=］，

求出人尸=叱，然后证明出AAGZ3sA£GC,得至|J组=竽=_|=2,求出AG=277,进而求解即可.

5EGCE3

【详解】解：・菱形ABC。的边长为6,ZBAD=120°,

.\AD=BC=CD=6,AD〃BC,/BCD=120。,

ZDCE=60°f

VDEIBC,

18

:・/DEC=90°,

在RtVOCE中，•/ZCDE=90°-ZDCE=30°,

:.CE=-CD=3

2f

DE=VCD2-CE2=3A/3,

:.BE=BC+CE=9,

・・・AD//BE,

ZADE=180。—/DEC=90°,

在RtZXADE中，AE=^DE2+AD2=^（373）2+62=377,

・・•AD//BE,

:△AFD^巫FB,

.AFAD_6_2

,FE~BE~9~3f

AF=-AE=-x3/7=,

555

•：AD//CE,

:.AAGDsAEGC,

AGAD6

••访二之二=2,

/.AG=^AE=ZX3币=2币,

33

:.FG=AG—AF=2y^—^~=^~.

55

故答案为：巫.

5

S]

22.（2024・四川乐山・中考真题）如图,在梯形ABC。中，AD/8C,对角线AC和2。交于点。，若才迺工,

°Anrn°

【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识.熟练掌握平行线间的距离，相似

三角形的判定与性质是解题的关键.

-ADd

设AD3C的距离为d,则沁^=申-----=1,即怨=；,证明AAODSACOB,则红也=（丝

S'△ABnCcDn-BDC/~1d/3BC3Snr\BC

2

计算求解即可.

【详解】解：设仞，5C的距离为（

-ADd

q

Q4ABD2

□△BCD-BCd

2

■:AD^BC,

：.ZADO=ZCBOf/DAO=NBCO,

:.>AODs卫OB,

.Sv./叫二缶2j

・、BOCVBC）⑶9J

故答案为：—.

23.（2024.黑龙江绥化•中考真题）如图，己知点A（-7,0）,B（x,10）,C（-17,y）,在平行四边形ABCO中,

它的对角线02与反比例函数y5（％wO）的图象相交于点。，且00:03=1:4,则左=.

X

【答案】-15

【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点氏。，作x轴的

垂线，垂足分别为QE,根据平行四边形的性质得出3（-24,10）,证明△ODESAOBF得出凄=6,

DE=2.5,进而可得0（-6,2.5）,即可求解.

【详解】如图所示，分别过点反。，作x轴的垂线，垂足分别为EE,

AEO

20

•..四边形A0C3是平行四边形，点A（-7,0）,B（x,10）,C（-17,y）,

•*.0A=BC=7,

：.x=-24,即8(—24,10),则OE=24,BF=10

轴，轴，

DE//BF

・•・△ODES^OBF

,OE_ODDE_1

OE=6,DE=2.5

£>(-6,2.5)

左=-6x2.5=—15

故答案为：-15.

24.(2024.四川成都.中考真题)如图，在RtA4BC中，ZC=90°,AD是AABC的一条角平分线，E为AD

中点，连接3E.若BE=BC,CD=2,贝1」3£)=.

r答案】

【分析】连接CE,过于尸，设BD=x,EF=m,根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰

三角形的性质证得CF=£>F=ga）=l,ZEAC=ZECA,ZECD=ZEDC=ZBEC,进而利用三角形的外角

性质和三角形的中位线性质得到NCED=2NC4E,AC=2EF=2m,证明ACBESACED,利用相似三角

形的性质和勾股定理得到病=3+2x;根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明ACABSAFBE

得到2M=（x+l）（x+2）,进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可.

【详解】解：连接CE,过E作防工CD于E设BD=x,EF=m,

VZACB=90°,E为AD中点,

CE=AE=DE,又CD=2,

ACF=DF=-CD=1,ZEAC=ZECA/ECD=/EDC,

2f

：・NCED=2NCAE,AC=2EF=2m,

":BE=BC,

；・/BEC=/ECB,则N3EC=/EDC,又/BCE=/ECD,

:•小CBESCED,

.CECB

:.—=—,ZCBE=ZCED=2ZCAE,

CDCE

・•・CE2=CDCB=2(2+X)=4+2A:,

贝|Jm2=EF2=CE2-CF2=3+2%;

AD是AABC的一条角平分线，

ZCAB=2ZCAE=ZCBE,又ZACB=NBFE=90。,

:•从CABs小FBE,

.ACBC

**BF-EF

.・.昔=^^,贝iJ24=(x+l)(x+2),

•*-2(3+2x)=(x+1)(x+2),BP%2-x-4=0>

解得尤=近土1(负值已舍去)，

故答案为：姮土1.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线

性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难

度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键.

25.（2024•江苏苏州・中考真题）如图，AASC,ZACB=90°,CB=5,C4=10,点。，E分别在AC,AB

边上，AE=y/5AD,连接DE,将VADE沿DE翻折，得到VFDE,连接CE,CF.若△CEF的面积是人班。

面积的2倍，则40=.

F

22

【答案】y/31

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的

判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解

答的关键.

设AD=X,=根据折叠性质得DF=AZ)=X,ZADE=ZFDE,过E作EH_LAC于H,设所与AC

FHAHAP

相交于M,证明得到==F=F，进而得到石H=x,AH=2x,证明R"EHE＞是等腰

BCACAB

直角三角形得到NHDE=ZHED=45°,可得ZFDM=90。，证明AFDM^EHM(AAS)得到

13

DM=MH=-x,贝|CM=AC-A。-DM=10-根据三角形的面积公式结合已知可得

[10-|x}x=2(25-5x),然后解一元二次方程求解X值即可.

【详解】解：：4万二百人。，

设AD-x,AE=\[5x,

VADE沿OE翻折，得到VFDE,

：.DF=AD=x,ZADE=ZFDE,

过E作EH_LAC于H,设£1尸与AC相交于M,

F

则ZAHE=NACB=90。，又NA=NA,

；・AAHES*CB,

,EHAHAE

**BC-AC-

,CB=5,CA=10,AB=VAC2+BC2—A/102+52=5A/5，

.EHAH_4Sx

5105旧

：.EH=x,AH=y]AE2-EH2=2x>贝！1£>"=A/f-AD=x=E”,

RbEHD是等腰直角三角形，

:.NHDE=ZHED=45°,贝！IZADE=ZEDP=135°,

・•・NFDM=135。-45。=90。，

在*DM和2EHM中,

ZFDM=ZEHM=90°

<ZDMF=ZHME,

DF=EH

：.^FDM^EHM(AAS),

13

ADM=MH=-x,CM=AC-AD-DM=10——x,

22

S=S+S=-CM-EH+-CM-DF=-[lQ--x\-xx2=\lQ--x\-x,

CFFrMFrMF7

△CHrACAZCACMF22I2/

S^BEC=S^ABC~S^AEC=XWX5-X10-X=25-5%,

・・・ACEF的面积是△BEC面积的2倍，

**•^10——=2(25—5x),贝lj3x?—40x+100=0,

解得士=¥，X2=1O(舍去)，

BPA£>=y,

故答案为：—.

三、解答题

26.(2024・四川眉山・中考真题)如图，BE是。。的直径，点A在。。上，点C在班的延长线上,

ZEAC=ZABC,AD平分—BAE交。O于点。，连结DE.

⑴求证：C4是。。的切线；

(2)当AC=8,CE=4时，求DE的长.

【答案】(1)见解析

(2)6也

24

【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判

定是解题的关键.

(1)连接Q4,根据圆周角定理得到4场=90。，根据等腰三角形的性质得到NABC=44O,求得

ZOAC=90%根据切线的判定定理得到结论；

(2)根据相似三角形的判定和性质定理得到3c=16,求得BE=BC-CE=12,连接50,根据角平分线

的定义得到=求得BD=DE，得到BD=DE,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

.\ZBAE=90°f

ZBAO+ZOAE=90°f

:OA=OB,

,\ZABC=ZBAO,

・・・/E4C=NABC,

.\ZCAE=ZBAO,

/.ZG4E+ZOAE=90°,

ZOAC=90°,

・・,Q4是。。的半径，

「.C4是O。的切线；

(2)解：-ZEAC=ZABC,ZC=ZC,

「.△Ai5csAEXC,

ACCE

**BC-AC?

•.•8_=4一，

BC8

:.BC=16f

:.BE=BC-CE=12f

连接30,

・.・AD平分上BAE,

\?BAD?EAD,

…BD-DE，

/.BD=DE,

•.,BE是O。的直径,

:.ZBDE=90°,

27.(2024・四川凉山・中考真题)如图，A3是。。的直径，点C在。O上，AD平分/B4C交。O于点。,

过点。的直线DE1AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点尸.

(1)求证：E尸是。。的切线;

(2)连接E。并延长，分别交于两点，交4)于点G,若。。的半径为2,N尸=30。，求G/VTGN的

值.

【答案】(1)见详解

72

⑵一

25

【分析】(1)连接OD,根据等腰三角形的性质及角平分线得到OD//AC,根据平行线的性质得ZODF=90°,

即可证明；

(2)连接⑷V,先解RtaOZJF,求得。尸=4,。歹=26，则AF=6,AE=3,可证明=D尸=26，

由ADGOSAAGE,得段=空=£,i^DG=-AD,AG=-AD,证明△MGD-"GN,即可得到

AGAE355

72

GMGN=GDGA=—.

25

【详解】(1)解：连接OD,

26

E

N

'：OA=OD,

：./2=/3,

,/AD平分NB4C,

；•Z1=Z2,

Z1=Z3,

OD//AC,

：.ZODF=ZAED

'：DE1AC,

ZAED=90。,

：.ZODF=90°,

即OD_LEF,

是。O的半径

£■尸是。。的切线；

(2)解：连接MD,AN,

E

N

•:々=30。,

.•.在Rt^OD厂中，OF=2OD=4,

由勾股定理得：DF=y]OF2-OD2=273

AF=2+4=6,

•.・在RtAAEF中，ZF=30°,

AE=—AF=3,

2

VZF=30°,OD1EF

：.ZDOF=60°=Z2+Z3,而/2=/3,

N2=30。，

AZ2=ZF,

/.AD=DF=2A/3,

OD//AE,

:.小DGOs小AGE,

.DGOD2

**AG-AE-3'

23

・•・DG=-AD,AG=-AD,

：AM=AM9

:.ZANG=ZMDGf

丁ZMGD=ZAGN,

：.AMGD^AAGN,

.MG_GD

••布一嬴’

oo/Tzr2m

：.GMGN=GDGA=-AD-AD=—AD2=—x（2y/3\=—.

552525'’25

【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，30。的直角三角形的性质，

等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键.

28.（2024•江苏盐城・中考真题）如图，点C在以AB为直径的。。上，过点C作。。的切线/，过点A作AD，/,

垂足为。，连接AC、BC.

⑴求证：AABC^AACD；

（2）若AC=5,CD=4,求。。的半径.

【答案】（1）见解析

28

【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运

用这些知识点是解题关键.

(1)连接0C,根据题意得/OCD=/OC4+/ACD=90。，ZACB=ZACO^ZOCB=90°,利用等量

代换确定=再由相似三角形的判定即可证明；

(2)先由勾股定理确定AD=3,然后利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】(1)证明：连接OC,如图所示：

•「CD是O。的切线，点。在以为直径的0。上，

・•・ZOCD=ZOCX+ZACD=90°,ZACB=ZACO+ZOCB=90°,

:・NACD=NOCB,

;OC=OB,

:・NOBC=NOCB,

:・/ACD=NABC,

VAD1Z,

：.ZADC=90°,

：.ZADC=ZACB,

：.AABC^AACD；

(2)VAC=5,CD=4,

AD=心—42=3,

由(1)得△ABCsAACD,

.ABACAB5

>•---=----即Rn----=—

ACAD53

・・・O。的半径为g25+2=25

30

29.(2024・陕西・中考真题)如图，直线/与。。相切于点A,是。。的直径，点C,。在/上，且位于

点A两侧，连接8C,BD,分别与交于点E,F,连接EF,AF.

B

⑴求证：ZBAF=NCDB；

(2)若O。的半径r=6,AD=9,AC=12,求所的长.

【答案】（1）见解析

⑵斯=言^.

【分析】（1）利用切线和直径的性质求得NA4D=/BE4=90。，再利用等角的余角相等即可证明

NBAF=NCDB；

（2）先求得AB=12=AC,BD=15,证明“WC和△口£是等腰直角三角形，求得AE的长，再证明

ABEF^BDC,据此求解即可.

【详解】（1）证明：：直线/与OO相切于点4

ZBAD=90°,

：.ZBDA+ZABD