2025年中考数学第一次模拟考试（江苏徐州卷）（全解全析）

2025年中考数学第一次模拟考试（徐州卷）

全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.（本题3分）-3的相反数是（）

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】D

【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地,

0的相反数还是0.

【详解】根据相反数的定义可得：-3的相反数是3,

故选D.

【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键.

2.（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解

此题的关键.中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180。，能够与自身重合的图形.轴

对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.依据定义判断

即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

C.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意.

D.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

故选：C.

3.（本题3分）下列计算正确的是（）

A.<72»<73=a6B.（/）=a5

C.a5^a3=a2D.（t?+Z>）2=a2+b2

【答案】C

【分析】本题考查了同底数幕乘法，幕的乘方，同底数幕除法和完全平方公式，根据同底数幕乘法，塞

的乘方，同底数幕除法和完全平方公式运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键.

【详解】A、a2-a3=a2+3=a5,原选项计算错误，不符合题意；

B、（/7=/*?=/,原选项计算错误，不符合题意；

C、/士/=1一3=/,原选项计算正确，符合题意；

D>[a+b）2=a2+2ab+b2,原选项计算错误，不符合题意；

故选：C.

4.（本题3分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸

出一个球是红球的概率为（）

A.7B.—C.；D.-

4323

【答案】D

【分析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可.

【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=最4=：2.

故选：D.

【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键.

5.（本题3分）若一个正多边形的内角和是720。，则该多边形是（）

A.正四边形B.正五边形C.正六边形D.正八边形

【答案】C

【分析】本题考查多边形的内角和，设此多边形边数为〃，根据多边形的内角和公式可得方程

180。（〃-2）=720。，求解即可.解题的关键是掌握多边形内角和定理：（〃-2”80。（“23且〃为整数）.

【详解】解：设此多边形边数为〃，

依题意，得：180。（〃-2）=720。，

解得：力=6.

故选：C.

6.（本题3分）将抛物线y=-2/向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为（）

A.y=-2（x-4）2B.y=-2x2-4C.y=-2（x+4）2D.y=-2x2+4

【答案】B

【分析】直接根据二次函数的平移规律"上加下减，左加右减"即可得出答案.

【详解】了=_2/向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为了=-2x?-4.

故选B.

【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换,，理解"上加下减，左加右减"是解题关键.

7.（本题3分）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：

s2=g[0一可2+仅一可？+（3一可？+（3一可？+（6-丁）[•你不能得到的有效信息是（）.

A.这组数据的中位数是3B.这组数据的平均数是3

C.这组数据的众数是3D.这组数据的方差是3

【答案】D

【分析】本题考查了中位数，平均数，众数和方差，根据方差公式可得这一组数据为1,2,3,3,

6,再由中位数，平均数，众数和方差的定义逐项即可求解，熟练掌握相关概念是解题的关键.

【详解】根据方差公式可得这一组数据为1,2,3,3,6,

A、这组数据的中位数是3,原选项不符合题意；

B、这组数据的平均数是，2+；+3+6=3,原选项不符合题意；

C、由于3出现次数最多，则这组数据的众数是3,原选项不符合题意；

D、•.•这组数据的平均数是3,

Z.s2=1[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（3-3）2+（6-3）2]=2.8,

原选项符合题意；

故选：D.

8.（本题3分）如图，函数片3x和片ax+4的图像相交于点八（m,3）,则不等式3x“x+4的解集为（

A.x<lB.x>3C.x<3D.x>l

【答案】A

【分析】根据题意，计算出交点坐标，然后根据图像进行判断即可；

【详解】解：,点八在片3x上

.,.3=3/7）

/./77=1,

由图像知，在点A及点4的左侧，y=3x的图像不高于片ox+4的图像，

.,.当工41时，3x<tzx+4

故答案为A

【点睛】本题考查了一次函数的图像与不等式的关系，掌握并熟练使用相关知识，精准识图，数形结合

是本题的解题关键.

第口卷

二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

9.（本题3分）南海是我国固有领海，她的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为3600000平方千

米.把数3600000用科学记数法可表示为.

【答案】3.6x10s

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中"为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值以0时，〃是正

数；当原数的绝对值<1时，"是负数.

【详解】解：3600000=3.6xl06,

故答案为：3.6x106.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为4X10"的形式,

其中区|。|<10,"为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

10.(本题3分)因式分解：3x3-12x=.

【答案】3x(x+2)(x-2)

【分析】先提公因式3x,然后利用平方差公式进行分解即可.

【详解】3x3-12x

=3x(x2-4)

=3x(x+2)(x-2),

故答案为3x(x+2)(x-2).

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，耍求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,

一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.

11.(本题3分)函数中，自变量X的取值范围是—.

X-1

【答案】XXL

【分析】根据分母不能为0,可得X-1H0,即可解答.

【详解】解：根据题意得：X-1H0,

解得：XH1.

故答案是：XK1.

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是明确分母不能为0.

12.(本题3分)若a+6=5,a-b=3,则/-/二.

【答案】15

【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可.

【详解】解：a+b=5,a-b=3,

/.a2-b2

=(a+b){a-b)

=5x3

=15

故答案为15

【点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键.

13.(本题3分)如图，是OO的直径，CD是。。的弦，若N/OC=32。，则NA4C=

D

【答案】58

【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余.连接BC,由电是。。的直径可得

AACB=90°,又由/40。=32。可得N48C=32。，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：连接8C,

是O。的直径，

NACB=90°,

又ZABC=ZADC=32°,

：.ZBAC=90°-32°=58°,

故答案为：58.

14.（本题3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长/为6cm,扇形的圆

心角。为：120。,则圆锥的底面圆的半径r为______cm.

【答案】2

【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用

弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r.

【详解】解：由题意得：母线长/为6cm,夕=120。,

_120^x6

L7ir=----------

180°

r=2cm,

故答案为：2.

15.（本题3分）如图，在平行四边形45CD中，点E在边。。上，DE:EC=3:1,连接4E交于点厂，

则AZ）M的面积与AZM厂的面积之比为

【答案】3:4.

【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD,ABHCD,贝ljDE：AB=3：4,再证明ADEF〜^BAF,利

FFo

用相似比得到大=:，然后根据三角形面积公式求4DEF的面积与4DAF的面积之比.

AF4

【详解】•••四边形/5CD为平行四边形，

/.ABHCD,平行四边形性质，

ZEDF=ZABF

\/EDF=/ABF

/DFE=ABFA

:“EFAF,

r\pnFFF

诟相似三角形对应边成比例，

DE3

----=—fDC—DE+EC,DC—AB,

EC1

•DE_3

••刀一4

.DE_DF_EF_3

・・・AD斯与AZ)E4同高,

・•・SWEF=5XEF义k,S^FA=-xFAxh,

•，-S^EF:S^)FA=EF:FA=3:4

故答案为：3:4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的

公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行

线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质.

16.（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点5在了轴上，且

04=3,OB=4,若反比例函数y=：（左*0）在第一象限的图象经过正方形的顶点。，则人的值

为.

【答案】21

【分析】作OELx轴于E,,由正方形的性质可得=ZBAD=90°,由等角的余角相等可得

ZDAE=ZABO,根据"AAS”可证明可得到/E=02=4,DE=OA=3,从而可得出点

Z）的坐标，即可得到左的值.

【详解】解：如图，作轴于£,

•••四边形/BCD为正方形，

AB=AD,ABAD=90°,

/.ZBAO+ZOBA=90°,

\'ZBAO+ZDAE=90°f

NDAE=ZABO,

ZDAE=ZABO

在“BO和ADAE中，＜/4OB=/DEA=90°,

AB=DA

，△/50也石(AAS),

AE=OB=4,DE=OA=3,

:.OE=OA+AE=3+4=1,

.10(7,3),

;"=7x3=21,

故答案为：21.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的特征，熟练掌握正

方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的特征，添加适当的辅助线，是解题的关键.

17.（本题3分）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上，且AQ=AD,连接DQ并延长,

与边BC交于点P,则线段AP=.

【答案】V17

【分析】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质.先根据勾股定理得到AC的长，再根据

AQ=AD,得出CP=CQ=2,进而得到BP的长，最后在RtZ\ABP中，依据勾股定理即可得到AP的长.

【详解】解：:矩形ABCD中，AB=4,AD=3=BC,

AAC=5,

XVAQ=AD=3,AD〃CP,

/.CQ=5-3=2,ZCQP=ZAQD=ZADQ=ZCPQ,

.'.CP=CQ=2,

ABP=3-2=1,

•••RtZkABP中，AP=AyAB2_|_Bp2=Ay42+12=^j,

故答案为：V17.

18.（本题3分）如图，正方形ABC。中，48=12,4E=3,点P在8c上运动（不与8,C重合），过点P

作「交CD于点Q,则CQ的最大值为

【答案】4

【分析】先证明△BPESACQP,得到与CQ有关的比例式，设CQ=y,BP=x,贝！|CP=12-x,代入解析式,

得到y与X的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值.

【详解】解：•.•四边形ABC。是正方形，PQ±EP,

,-.ZB=ZC=9O°,NEPQ=90°,

:.ZBEP+NBPE=90°,NQPC+N8PE=90°,

"BEP=NCPQ.

又•,・N8=NC=90°,

."BPESACQP.

・BE_BP

^~PC~~CQ'

设CQ=y,BP=x,贝UCP=12-x.

**•~=一，化简得k(12T2x),

12-xy9

整理得y=-'(x-6)2+4,

9

所以当x=6时，y有最大值为4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，用二次

函数最值表示CQ是解题的关键.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本题10分）计算：

（l）5-（7i-2024）°+4sin60°一“一百|；

（2）2x2-3x+l=0.

【答案】（1）5+75

（2）%=],x2=1

【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，零指数暴和求特殊角三角函数值:

（1）先计算特殊角三角函数值和零指数幕，再根据实数的运算法则求解即可；

（2）利用因式分解法解方程即可.

【详解】（1）解：5-（7T-2024）°+4sin600-11-731

=5-l+4x^-（V3-l）

=5-1+2A/3-V3+1

(2)解：2X2-3X+1=0

(2x-l)(x-l)=0

2x—1=0或x—1=0

解得西=g,%=1・

1+—-4

20.（本题10分）（1）化简:

x-3J厂-6x+9

2(x+l)>3(l-x)

(2)解不等式组2x-l,x

--------<2----

I32

x-3I

【答案】(1)—;(2)y<x<2

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的混合计算:

（1）先把小括号内的式子通分化简，然后把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；

（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到

（无解）”求出不等式组的解集即可.

12x-4

【详解】解：（1）1+

x-3x2-6x+9

x—3+12(x—2)

x-3%—3『

-2(I)?

X

x—32(x-2)

x-3

2

2(x+l)>3(l-x)®

(2)《2x-l

<2—■②

32

解不等式①得：x>|,

解不等式②得：x<2,

二不等式组的解集为gvx<2.

21.（本题7分）为了解学生体育训练的情况，某市从全市九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育

科目测试（把测试结果分为四个等级：A级；优秀；B级：良好；C级：及格；。级：不及格），并将测

试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:

体育测试各等级学生人数扇形图体育测试各等级学生人数条形图

(1)本次抽样测试的学生人数是

(2)扇形图中N0的度数是,并把条形统计图补充完整;

(3)对A,B,C,D四个等级依次赋分为90,75,65,55（单位：分），比如：等级为A的同学体育

得分为90分，…，依此类推.该市九年级共有学生21000名，如果全部参加这次体育测试，则测试等

级为。的共有入；该市九年级学生体育平均成绩为.分•

【答案】（1）400；（2）108°,统计图见解析；（3）2100,75.5

【分析】（1）根据8级的频数和百分比求出学生人数;

（2）求出A级的百分比，360。乘百分比即为的度数，再求出等级为C的人数，进而可补全统计图；

（3）求出四个等级的百分比，求出测试等级为。的总人数，运用加权平均数的求法求出九年级学生体

育平均成绩.

【详解】解：（1）160+40%=400人,

,本次抽样测试的学生人数是400；

（2）120+400x360°=108°,

C等级人数为：400-120-160-40=80（人），

补全条形图如图：

体育测试各等级学生人数条形图

（3）40+400x21000=2100人，90x30%+75x40%+65x20%+55xl0%=75.5.

故答案为：2100,75.5.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必

要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小.

22.（本题7分）为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设.某校计划从前

来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生

中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等

（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是「

（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科

生的概率.

【答案】（1）（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为

【分析】（1）由概率公式即可得出结果；

（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B,历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D,

画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2

个，即可得出结果.

【详解】(1)若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是：2=；1；

42

故答案为9:

(2)设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B,历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D,

画树状图如图：

开始

ABCD

BCDACDABDABC

共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，

21

.•.恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为百=工.

12o

故答案为:

0

【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键.

23.(本题8分)如图，菱形N88的对角线交于点。，点E是菱形外一点，CE//AD,CE//BD.

(1)求证：四边形DEC。是矩形；

⑵连接4E交8。于点F,当N4D8=30。，40=8时，求4E的长度.

【答案】⑴见解析

(2)477

【分析】(1)根据臼/，CE//BD,AC1BD,即可证明；

(2)连接。£,禾U用勾股定理得出麻节=4百，进一步证明出四边形是平行四边形,

得至U0F=；0D=2G,AE=2AF,最后利用勾股定理计算即可求解.

【详解】(1)证明：•.•店7凰，CE//BD,

二四边形OCED是平行四边形,

•.•四边形N8CO是菱形,

ACJ.BD,

：.ZCOD=90°,

二四边形DEC。是矩形.

(2)连接OE,

•四边形/5CD是菱形，

AC1BD,

：.ZAOD=90°,

,/AADB=30°,AD=8,

：.AO=4,

.•.在RUAOD中，OD=782-42=46，

•.•四边形/BCD是菱形，

，OA=OC,

•.•四边形DEC。是矩形，

OC=DE,

：.OA=DE,

又：CE///C,

二四边形工。即是平行四边形，

OF=-OD=2y/3,AE=1AF,

2

.•.在RLNOF中，”="+(2厨=2s,

•*.AE=2AF=45.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理、含30。的

直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质与判定、菱形的性质、矩形的性质与判定是解题的关键.

24.(本题8分)随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如

图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往.已知甲、乙两条路线的长度均为12km,

3

甲路线的平均速度为乙路线的5倍，甲路线的行驶时间比乙路线少lOmin,求甲路线的行驶时间.

【答案】甲路线的行驶时间为20min.

【分析】设甲路线的行驶时间为城，则乙路线的行驶事件为(x+10)min,根据"甲路线的平均速度为

3

乙路线的］倍"列分式方程求解即可.

【详解】解：甲路线的行驶时间为xmin,则乙路线的行驶事件为(x+10)min,由题意可得，

12312

—=—x----,

x2x+10

解得％=20,

经检验X=20是原方程的解,

二甲路线的行驶时间为20min,

答：甲路线的行驶时间为20min.

【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系列出相应的分式方程.

25.(本题8分)如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰

角为60。.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45。，已知山坡AB的坡度i=l：Q,AB=10

米，AE=15米.(i=l：&是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)

E

(1)求点B距水平面AE的高度BH；

（2）求广告牌CD的高度.

（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：V2«1.414,V3«1.732）

【答案】（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.

（2）宣传牌CD高约2.7米.

【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G.分别在RtMBH中，通过解直角三角形求出BH、AH.

（2）在4ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在RtZ\CBG中，ZCBG=45°,

则CG=BG,由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度.

【详解】解：（1）过B作BG_LDE于G,

在Rt/iABF中，i=tan/BAH=3=

ZBAH=30°

.,.BH=yAB=5（米）.

答：点B距水平面AE的高度BH为5米.

（2）由（1）得：BH=5,AH=5Q,

BG=AH+AE=56+15.

在RtZXBGC中，NCBG=45°,

CG=BG=5百+15.

在RtAADE中，

ZDAE=60",AE=15,

.-.DE=V3AE=15V3.

.\CD=CG+GE-DE=56+15+5-15百=20-1073=2.7（米）.

答：宣传牌CD高约2.7米.

26.（本题8分）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）

⑴如图1,正方形网格中的圆经过格点A、B,请利用无刻度直尺画出该圆的圆心；

⑵如图2,△N8C的顶点A、B在OO上，点C在。。内，々C8=90。利用无刻度直尺在图中画的

内接三角形使与△4BC相似；

（3）如图3,利用无刻度直尺和圆规，以NC边上一点。为圆心作使。。过点C,且与48相切.

【答案】⑴见详解

⑵见详解

⑶见详解

【分析】（1）根据圆经过格点A、B,且结合网格以及圆的对称性，得出他为直径，则群的中点

即为所求的圆心；

（2）运用圆周角定理，先连接/O并延长交圆上于一点D,延长BC交圆上于一点E,再连接DE,即AD

为直径，iiLZAED=ZACB=9Q°,则/2=/3,因为访=而，即/1=/2,则=所

以△4DE-A4BC,即可作答.

（3）作角平分线，因为角平分线上的点到角的两边距离相等，满足。。过点C,且与48相切，即可作

答.

【详解】（1）解：该圆的圆心。如图所示：

A、、、

、\

/、\

/X\

/、\

tX、\

।、1

1

i'、1

\0、1

\、

\、

、、!

、X/

X、/

、、B

'—_--

（2）解：如图：先连接NO并延长交圆上于一点。，延长2c交圆上于一点E,再连接DE,

B

D

E

为直径，

/.AAED=/ACB=90°,

Z4+Z3=90°,

NACB=90°,

Z4+Z2=90°,

N2=N3,

丽=丽，

Z3=Z1,

即Z1=Z2,

贝UABAC=NDAE,

所以△/£）£•一△NBC,

（3）解：:•利用无刻度直尺和圆规，以/C边上一点。为圆心作。。，使。。过点C,且与48相切

...作的角平分线交NC于一点，即为圆心。

如图：

【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆的基

本内容，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

27.（本题9分）如图，矩形ABCD中，AB=5,8c=4.点P在A。上运动（点P不与点A、。重合）将

沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）.

⑴求AP的取值范围;

⑵连接。/W并延长交矩形ABCD的AB边于点G,当NNBM=2N4DG时，求AP的长.

【答案】（1）0</尸彳

（2）255⑸

2

【分析】（1）根据点P在AD上运动可判断出，点M落在CD上时，AP的长度达到最大.利用翻折的

性质和勾股定理求出OW■和DM长度，再利用APDW,即可推断出北最大长度,从而求出AP

取值范围.

4P4-再根据

（2）利用已知条件和翻折性质推出442尸=N4DG,从而证明A4DG”48尸，得出）

AG4

翻折性质、矩形性质和等腰三角形性质推出MH=；AG.在RtaPHW中，

PM2=PH2+HM2,即可求出4P长度.

【详解】（1）解：当/W落在CD上时，AP的长度达到最大，如图所示,

四边形ABCD是矩形,

AB=CD=5,BC=AD=4,ZA=ZC=ZD=90°,

沿直线翻折,

ZPMB=ZA=90°,BM=AB=5,

CM=^BM'-BC1=A/52-42=3，^PMD+ZBMC=90°.

DM=5-3=2.

ZPMD+ZMPD=90°,

/BMC=ZMPD.

•「NO=NC=90°,

:.APDMFMCB.

.PDDM

'~CM~1BC'

.PD_2

一亍一"

3

:.PD=-.

2

AP=AD-AP=~.

2

・•.AP的取值范围是0</PWg.

故答案为：0〈/尸

(2)解：如图，

由折叠性质得：/ABP=/MBP,

ZABM=2ZABP,

•・•/ABM=2ZADG,

/ABP=NADG,

•・•ZDAG=ZBAP,

小ADG,

.4P_AB_5

・^―茄一“

设4P=5x,4G=4%过M作"于H,连接

由折叠性质得：AP=MP=5x,AM工BP,

1•ADAM=90°-ZBAM=NABP=NADG.

/.AM=DM,

/.DH=AH=-AD=2.

2

:,HP=2-5x.

•「/BAD=ZMHA=90°,

：，MN//AG.

•・•DH=AH,

・•./WN为△4DG的中位线，贝!|JW=；/G=2X,

在RtAPW中，PM2=PH2+HM2,

：.（5x）2=（2x）2+（2-5x）2,

.5±V2l

••x=--------.

2

25±5721

/.AP=--------.

2

•・•AP<AD=4.

...Ap=25+5y/21（舍去）.

2

e25-5^21

2

故答案为：25-5同.

2

【点睛】本题考查的是矩形的综合题，涉及到的知识点有翻折性质、三角形相似、中位线定理和勾股

定理.解题的关键在于是否能判断出M落在CD上时，AP的长度达到最大.解题的难点在于是否能正

确画出图形，解题的易错点在于是否能排除上的其中一个值.

28.（本题11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数丁="2+队-2的图象经过点工（-1,0）,

3（3,0）,与了轴交于点C,连接8C、AC.

⑴求二次函数的函数表达式；

（2）设二次函数的图象的顶点为。，求直线8D的函数表达式以及sinNCAD的值；

⑶若点M在线段48上（不与48重合），点N在线段BC上（不与8、C重合），是否存在ACMN与

△4OC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

74

【答案】(1)〉=§X2-§X-2

(2)N=:X-4；sin=

365

⑶存在，点N的坐标为：或［■］或("l，一

74

【分析】(1)用待定系数法可得二次函数的函数表达式为y=§x2-§x-2；

(2)由y=gx2-gx-2=g(x-l)2-1,得。［，-：)，用待定系数法可得直线如的函数表达式为：

N=gx-4,设即与V轴交于E,过点C作CPLBE于点尸，求得。(0,-2),£(0,-4),根据

2S.CBE=BE<P=CE.OB，得CP=S^=—=q,及可得m/09)_曰__£_a叵；

BE55SCBC-^~65

(3)由待定系数法可得直线5c解析式为y=|x-2,设M(pO),-2),根据△/OC是直角

三角形，且察=g，得到ACMN与△NOC相似，ACMN是直角三角形，且两直角边的比为?，再分

三种情况进行讨论即可得到答案.

【详解】(1)解：