2025年中考数学二轮复习：半角模型 （含解析）

第6节半角模型

前言：如果说手拉手侧重在旋转本身，三垂直侧重在模型构造，半角模型则更多地体现在题型变化.半角模型

一般条件如下：(1)角含半角；(2)邻边相等；(3)对角互补.其中邻边相等与对角互补，以正方形为背景即可，至于

角含半角，是明面上的半角模型，可替换为其他条件，模型条件的等价条件，亦是模型的重点.

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模型认识

如图，在四边形ABCD中,/BAD+NBCD=18(F,AB=AD,点E、F分别在BC、CD上，且^EAF=^BAD.

求证：EF=BE+DF.

证明：延长CD至点G使得DG=BE,

ZBAD+ZBCD=180°,/./B+/ADC=180°,又/ADC+NADG=180°,ZB=ZADG,I£AABE和^ADG中,

AB=AD

ZABE=ZADG,.*.△XEE&ZUDG(SAS')

BE=DG

：.ZBAE=ZDAG,

•••Z.EAF=-ABAD,

2

•••^BAE+ADAF^BAE+^DAF=^BAD=NEAF,即NGAF=NEAF,又AE=AD,

/.AEAF^AGAF(SAS)

EF=GF=DF+DG=DF+BE,即EF=BE+DF.

正方形中的半角

如图.在正方形ABCD中.E、F分别在BC、CD上，且/EAF=45。，连接EF.

结论1：EF=BE+DF.

若E、F分别在CB、DC延长线上时,则EF=DF-BE.

总结反思

作辅助线时，时而截长，时而补短，截长、补短只是形式，关键点在于已知半角的情况下，构造相应的

另一个半角，此处通过旋转即可得另一半角.

若想要将一个三角形恰好地旋转到另一位置，需要：邻边相等，对角互补.正方形可满足要求.

结论2:连接AD,与AE、AF分别交于M、N.则MN2=BM2+DN2.

模型进阶

结论3：若BE=则点F是CD边中点.反之亦然.

引例1：如图1,已知四边形ABCD是正方形将△DAE,△DCF分别沿DE、DF向内折叠得到图2,此时DA与D

C重合A、C都落在G点）若GF=4,EG=6,则DG的长为.

图1图2

解析：从/EDF=45。考虑到半角模型，从4和6之间的关系考虑结果：4=12X36=12X/显然正方形边长为

12,.\DG=12.

引例2:如图，在△ABC中,tan/BAC=l,ADLBC于点D若BD=6,CD=4,则△ABC的面积是______.

解析：AD=12,SABC=|x10X12=60,4BC面积为60.

结论4:AE平分/BEF,AF平分/DFE.

引例3:如图，在直角坐标系中，以坐标原点0(0,0)、A(0,4)、B(3,0)为顶点的RtAAOB,其两个锐角对应

的外角角平分线相交于点P,且点P恰好在反比例函数y=:的图像上，则k的值为()

C.49D.64

解析：过点P分别作PM、PN、PQ垂直于y轴、x轴、AB,则△PMA丝Z\PQA,△PNB注△PQB,；.NAPB=45。,

AB=AM+BN,又OM=ON,，AM=2,BN=3,OM=ON=6,，k=36..•.选A.

模型总结

在正方形ABCD中，条件/EAF=45。等价于:

(1)EF=BE+DF;

-|-1

(2)BE=泗且DF=：DC;

(3)EA平分/BEF或FA平分/DFE.

以上在正方形中有其一则可推其他结论.

引例4:如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF

折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A、D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P,设

BE=x.

⑴当AM=1时，求x的值；

(2)随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化,请说明理由；如不变，请求出

该定值；

备用图

解析:⑴BE=x,则AE=l-x,在RtAAEM中，AE2+AM2=引0,代入得：(1一%)2+Q)2=久2解得：久=*

故x的值为I

⑵不变.

连接BM、BP,过点B作BHLMP交MP于点H,

ZBME+ZBMH=90°,ZEBM+ZBMA=90°,XZBME=ZEBM,ZBMH=ZBMA,

ABAM^ABHM,

；.AM=HM,BA=BH,连接BP,贝（］△BHP0ZXBCP,

，HP=CP,，MP=MH+HP=AM+CP,

/.CAPDM=DM+DP+MP=DA+DC=2.

•••APDM的周长不变，周长始终是2.

模型拓展

结论5:A、B、E、N四点共圆，A、D、F、M四点共圆.

结论6:M、N、F、E四点共圆.

证明：•.•/MEF=NMFN,；.M、N、F、E四点共圆.

结论7:AMAN^AMDA,ANAM^>ANBA.

S^AND.且落=与=篇煞=有=企.

结论9:AAFE^AAMN.且篇=9=篇=由结论6可得/ANM=NAEF,ZAMN=ZAFE.

-,.△AFE^AAMN.

由结论8可得：某=VI

1.如图，正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AD、CD±,若NEBF=45。，则△EDF的周长等于.

2.如图，在正方形ABCD内作/EAF=45）AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接ER过点A作AH±EF,垂足

为H,将4ADF绕点A顺时针旋转90。得到△ABG,若BE=2,DF=3,则AH的长为.

3.如图,正方形ABCD中.AB=6,G是BC的中点.将小ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则D

E的长是（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

4.如图.在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4,EC=8将正方形边AB沿AE折叠到AF延长EF交DC

于G,连接AG、FC,现在有如下4个结论:①NEAG=45。；②FG=FC;③FC〃AG;④SAGFC=14.其中正确结论的个

数是（）

A.1B.2C.3D.4

5.如图，已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合），将4ADE沿AE对折至△AFE,

延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.

给出下列判断：①NEAG=45。；②若.DE=*则AG〃CF;③若E为CD的中点，则△GFC的面积为2④若

CF=FG,则OF=（V2-l）a;⑤BG-DE+AF-GE=a2.

其中正确的是.（写出所有正确判断的序号）

6.如图，在正方形ABCD中.E、F分别是BC、CD上的点，且/EAF=45。，AE、AF分别交BD于M、N,连

按EN、EF、有以下结论：

①AN=EN;②当AAF时，黑=2-四③BE+DF=EF;④存在点E、F,使得NF>DF.其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.如图，在矩形ABC中，AB=2.BC=4,点E、F分另U在BC、CD上，若AE=V5,NEAF=45。,贝！］AF的长为

8.如图,四边开乡ABCD中,AD〃BC,/BCD=90°,AB=BC+AD,NDAC=45°,E为CD上一点，且/BAE=45°,若C

D=4,则4ABE的面积为（）

B,

_________________

~'D

A.-B.-C.-D.-

7777

9.已知如图.在正方形中，AD=4,E、F分别是CD、BC上的一点，且/EAF=45。，EC=1,将△ADE绕点A

沿顺时针方向旋转90。后与AABG重合，连接EF,过点B作BM〃AG,交AF于点M,则以下结论:①DE+BF=EF,

@BF=^.(3)AF=y.④SABF=羡正确的是()

10.如图1,在正方形ABCD内作NEAF=45*AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH±EF.垂

足为H.

(1)如图2,将小ADF绕点A顺时针旋转90。得到△ABG.

①求证：△AGE^AAFE;

②若BE=2,DF=3,求AH的长.

⑵如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想::线段BM、MN、ND之间有什么数量关系?

并说明理由.

划二

BE°QBEC

图1图2

：B:

图3

1L在矩形ABCD的CD边上取一点E,WABCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处

(1)如图1,若BC=2BA,求/CBE的度数；

(2)如图2,当AB=5,且AFFD=10时,求BC的长；

⑶如图3,延长EF,与NABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时，求雪的值.

图3

12.如图.正方形ABCD的对角线相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点(不与点B,C,D重合)，AM,

AN分别交BD于点E,F,且NMAN始终保持45。不变.

/［、一PTT尸

(1)求-证'：4一=V—2

AM2

(2)求证：AFXFM;

(3)请探索：在/MAN的旋转过程中，当NBAM等于多少度时，ZFMN=ZBAM?写出你的探索结论，并加以

证明.

13.问题背景：如图1,在四边形ABCD中，ZBAD=90°,ZBCD=90°.BA=BC,ZABC=120°,ZMBN=60°,Z

MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.探究图中线段AE、CF、EF之间的数量关系.小李同学探

究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE,连接BG,先证明△BCG^ABAE,再证明△BFG以Z^BFE,可得出

结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2,在四边形ABCD中，ZBAD=90°,ZBCD=90°,BA=BC,ZABC=2ZMBN,/MBN绕B

点旋转.它的两边分别交AD、DC于E、F,上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成

立“）,不要说明理由；

探究延伸2:如图3,在四边形ABCD中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=180°,ZABC=2ZMBN,/MBN绕B点旋

转.它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立?并说明理由；

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30。的A处.舰艇乙在指挥中心南偏东

70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，

同时舰艇乙沿北偏东50。的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达

E、F处.且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70。.试求此时两舰艇之间的距离.

图3图3

第6节半角模型

1.解析：根据半角模型结论可知EF=AE+CF,.•.△EDF的周长等于DA+DC=4,故△EDF的周长为4.6.

2.解析：EF=BE+DF=5,设正方形边长为x,则CE=x-2,CF=x-3,勾股定理得：(x-2)2+(x-3)2=5?,解得x=6

或-1(舍)，故AH=AB=6,AH的长为6.C.

3.解析：：AG平分/BGE,S.BG=^BC,：.DE=”C=2,故选C.

4.B.

解析：①③正确，选B.

5.①②④⑤

解析：结论①正确，易证△ADE^AAFE,AAFG^AABG,/.EAG-^DAB=45

结论②正确若DE=，厕G是BC中点GC=GF,.\ZGCF=ZGFC,XZCFG+ZGFC=ZFGB,.\ZGFC=ZF

GA,；.AG〃CF.

结论③错误，ZFGB=2ZFGA,/./FGC=NFGA,；.AG〃CF.若E为CD中点，则BG=^BC,SGCE=

222

aGF_2c_2a_a

6'自EF-3'_0FC-5.6-151

结论④正确，若GF=FC,贝1JDE=BG,不妨设DE=BG=x,贝!JGE=2x,EC=GC=a-x,由△ECG是等腰直角三角形，

可得：2x=V2(a—久，解得：x=(V2—l)a.

结论⑤正确，正方形面积是a?,AF.GE是五边形ABGED的面积，故证明△GEC面积为BGQE即可设BG=m,

DE=n厕EG=m+n,CG=a-m,CE=a-n,根据勾股定理可得：

(a-m)2+(a—n)2=(m+n产化简得：mn=a2—am—an,

2

SOEC=I(a——n)=|(a—am—an+mn)=mn.

综上所述，正确的是①②④⑤.

6.B.

解析：根据/EAN=45o=NEBN,:.A、B、E、N四点共圆,；.NANE+/ABE=180。，又/ABE=90。，

.•.NANE=90。，...△ANE是等腰直角三角形，；.AN=EN,故结论①正确；

不妨设正方形边长为1,设CE=x,贝！］CF=x,BE=DF=l-x,由半角模型可得EF=BE+DF,；.EF=2-2x,在RtACEF

中,EF2=CE2+CF2,

代入得：d+*2=（2—2x）2,解得：x=2-V2.

C£=2-V2,BE=1-（2-V2）=V2-1,

•趣=息=今故结论②错误；

CE2—V22

由半角模型可得：BE+DF=EF,故结论③正确；

易证△DNFs/\BNA,；.NEA=DFBA,即箓=翳，

在小ABN中，显然AN<AB,

.•.在△DNF中，NF<DF,

故结论④错误.

综上，正确的①③，故本题选B.

n4V10

/.-------.

3

解析：如图，延长AB至点M使得BM=2,延长DC至点N使得CN=2,连接MN,则四边形AMND是正方形,

VBE=1,

：.MG=2,即点G是MN中点，DF=1DN=1，

：.AF=-V10.

3

------------ic

8.D.

解析：过点B作BH±AD交AD于点H,贝DH=BC,设BC=x,贝UAB=x+4,AH=4-x,

在RtAAHB中，AH2+BH2=代入解得：x=l,

即BC=1,考虑/BAE=45。，过点A作AFLAD交CB延长线

于点F,则四边形ADCF是正方形，由半角模型可得：

BE=BF+DE=3+DE,设DE=y,贝!]CE=4-y,在RtABCE中，

22222

BC+EC=BE?代入得:I+(4-y)=(3+y),

解得：y=T,SABE=&BF+SADB=[X3x4+|x,X4=弓.

故选D.

解析：结论①显然正确；

设BF=x,则EF=3+x,CF=4-x,勾股定理得:

(4-%)2+I2=(%+3产解得：%=提故结论②正确；

AF=肥+针=竿,故结论③错误；

VBM/7AG,.•.△FBM^AFGA,且至=二

FG25

C=工乂变乂4=里-。=型乂=21

FGA211'"FBM7\257175'

故结论④正确；综上所述，选D.

10.解析：⑴©VZEAF=45°,AZBAE+ZDAF=45°,VAADF^AABG,AZDAF=ZBAG,

ZBAE+ZBAG=45°,即/£人6=45。,在4AGE和^AFE中，

AG=AF

■ZEAG=ZEAF>:.AAGE@2FE(.SAS').

AE=AE

@AH=6.

⑵=BM2+ON?,证明略.

11.解析:(1)BF=BC=2BA,/.ZAFB=30°,；.NCBF=30。,又BE平分NCBF,AZCBE=15°.

(2)由题意得:△EDFS/^FAB,ABDE=AFFD=10,；.DE=2,CE=3,DF=4S,AF=2V5,•••AD

FABA

—3y/5,：.BC—3

(3)过点M作MP_LBA交BA延长线于点