2025年中考数学复习：全等与相似模型之十字架模型解读与提分训练（原卷版+解析）

专题23全等与相似模型之十字架模型

几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几

何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生

更好地理解和掌握。

目录导航］

例题讲模型］

-------------------------1........................................................................................................................................................1

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）........................................................1

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）..........................................................4

模型3.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）....................................................6

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）......................................................8

习题练模型］

例题讲模型］

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）

模型解读

“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一

组全等的三角形。

模型证明

条件：1）如图1,在正方形ABC。中，若E、尸分别是BC、CD上的点，AELBF-,结论：AE=BF。

BBE

证明：•.•四边形ABC。是正方形，.•.Z/3E=NC=90。，AB=BC,：.ZBFC+ZCBF=90°

-：AE±BF,ZAEB+NC郎=90°,:.ZAEB=ZBFC,:.AABE丝ABCF（SAS）,：.AE=BF„

条件：2）如图2,在正方形ABC。中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AEXGF；结论：AE=GF。

证明：在EC上取一点P,使得GB=PF,连结8P。

・•・四边形ABC。是正方形，.,.42//CD.•.四边形3PFG是平行四边形，.•.GP/ABP,GF=BP,

同1）中证明，可得AE=GF。

条件：3）如图3,正方形A8CD中，若E、F、G、”分别是BC、CD.AB.上的点，EH1.GF；

结论：HE=GF.

证明：在尸C、3E上取一点P、Q,使得GB=PF,AH=QE,连结2尸、AQ.

,•・四边形ABCD是正方形，.••A8〃CD,...四边形3PFG是平行四边形，...GF/ABP,GF=BP,

同理可证得：四边形AQE"是平行四边形，AQ=HF,同1）中证明，可得HE=GF。

模型运用

例1.（2023.江苏吴江九年级期中）如下图,将边长为9cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD

上的E点，折痕为MN.若CE的长为6cm,则MN的长为cm.

B

例2.（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形ABCD中，AB=12,点E,尸分别在边BC,CD

上，AE与所相交于点G,若BE=CF=5,则BG的长为.

例3.（2024•广东梅州•一模）如图，E、尸分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点，MCE=DF,AE,BF

相交于点。，下列结论：①AE=BF；®AE±BF；③AO=OE；④〃⑦=NFBC中，正确的结论有（）

例4.（23-24江苏九年级期中）苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94

页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1,

探究所提供的正方形ABCD的边长都为2.

【探究】（1）如图2,在正方形ABCD中，如果点E、尸分别在BC、CD上，且AEL始，垂足为那么AE

与正相等吗？证明你的结论.

【应用】（2）如图3,在正方形ABCD中，动点E、E分别在边A3、CD±,将正方形ABCD沿直线E/折叠，

使点8对应的点M始终落在边AD上（点M不与点A、。重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P,

设AE=t,求线段FN的长（用含/的式子表示）.

【拓展】（3）如图4,在正方形ABCD中，E是3C的中点，F、G分别是A3、。上的动点，S.FGLAE,

求EF+AG的最小值.

图］图2囹§图4

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）

模型解读

矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩

形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。

模型证明

1）条件：如图1,在矩形A5CD中，若E是A5上的点，JaDELAC,结论：——=——

ACCD

DE_LAC/./EDC+Z.DCA=90°,/.NAZ）石=NDCA,ADEA—△C4D,-----=-----,-----=-----.

9ACCDACAB

2）条件：如图2,在矩形ABC。中，若£、产分别是A3、CD上的点，＞EFLAC,结论：—.

ACAB

,•,四边形ABCD为矩形，/O==ZB=90。，.•.四边形AGED为矩形，，尸G=AO,NDFG=90。；

:.NGFE+ZEFC=90。；：EF±AC,ZEFC+ZACD=90°,:.Z,GFE=ZACD

•.339°。,:AGEF〜ADAC，.茂嘿,易证"C=",FG=BC,龄

3）条件：如图3,矩形ABC。中，若E、RM、N分别是AB、CD、A。、BC上的点，EF±MN,结论：—=—

MNAB

证明：如图：过点MF作NH、尸G垂直AB,ZNHM=ZFGE=9Q0；

•・•四边形A5C。为矩形，.,.ZA=ZAGO=90。，.•・四边形AGO”为矩形，，产Gd_NH；

■:EF1MN,FG工NH,:・NGFE+/FOH=/HNM+ZNOE=90。；

又•：/FOH=ZNOE（对顶角相等），AZGFE=ZHNM；

EFFGEFBC

/.RtAHNMSRt^GFE,=,易证：NH=AB,FG=BC,-----=.

MNNHMNAB

模型运用

例1.（2024・山西大同.模拟预测）矩形ABCD中，E为2D边上一点，且AD=8,AB=6.将AA£B沿座翻

折到△3EF处，延长EF交3C边于G点，延长3歹交CD边于点况且切=CH,则线段ED的长为.

例2.（22-23下借州・二模）在矩形ABCD中，E是8C边的中点，连接AE,过点8作族，AE于点射

4n

线正与直线8交于点P,设%=加.

图①图②备用图

⑴如图①，若相=1,求证：AE=BP；（2）如图②，当点P恰好与点。重合时，试确定机的值；

CP

⑶作点3关于直线A石的对称点当以点P,D,R为顶点的三角形是等腰三角形时，求二的值.

例3.（2023年河南九年级中考三模数学试题）综合与实践

【问题发现】（1）如图1,在正方形A3CD中，点£,F,G,X分别在边A3,BC,CD,D4上，且EGLFH

于点。.试猜想线段EG与我的数量关系为

O

C

N

图1图3

【类比探究】（2）如图2,在矩形ABCD中，AB=a,BC=2a,点出F,G,X分别在边AB,BC,CD,

DA上，连接EG,FH,且EG1.9，垂足为O.试写出线段EG与EH的数量关系，并说明理由;

【拓展应用】⑶如图3,在四边形A8CD中，N，45c=90。，/3CD=60。，点N分别在边AB,BC±,

连接CM,DN,且垂足为O.已知AB=3,BC=DC=4,若点M为A3的三等分点，直接写

出线段DN的长.

模型3.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）

模型解读

条件：如图1,已知等边AABC,BD=EC（或CO=AE）,

结论：®AD=BE,②和BE夹角为60。，③。

Bnc

模型证明

证明：如图，在等边AABC中，AB=AC,ZABC=ZC=60°,

AB=BC

在AMP与中，\AABC=AC,:.^ABD^BCE(SAS),：.AD=BE,ZBAD=ZCBE；

BD=EC

:.ZAFE=ZABF+ZBAD=ZABF+ZCBE=ZABC=60°,，A。和BE夹角为60。；

ZBAD=ZCBE,ZBDF=ZADB，二4BDF~^ADB，同理：ABDF~^BEC

模型运用

例1.（2324下•淄博・一模）如图，等边AABC,点E,尸分别在AC,8c边上，AE=CF,连接A凡BE,

相交于点尸.（1）求/班方的度数；（2）求证：BPBE=BFBC.

例2.（2324・南通・模拟预测）如图，已知尸是等边AABC内的一点，且/AP3=120。，延长AP,BP,分别

交BC,AC于点。，E.若AB=3,BD=l,则AAB尸的周长等于.

例3.（2324下•吉安•模拟预测）课本再现：

（1）如图1,D,E分别是等边三角形的两边AB,AC上的点，且AO=CE.求证：CD=BE.下面是小涵同

学的证明过程：证明：是等边三角形，；.AC=BC,NA=NACB=60。.

VAD=CE,；.AADC名ACEB（SAS）,：.CD=BE.

小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：/瓯的度数是；

迁移应用：（2）如图2,将图1中的8延长至点G,使尸G=EB,连接AGBG.利用（1）中的结论完成

下面的问题.①求证：AG//BE；②若CF=2BF,求证：AD=2BD；拓展提升：（3）在等边“RC中，若

点，E分别在射线AB,AC上，连接CD跖交于点/，且/BFD=60。，将8绕点C逆时针旋转到CM,

PC

且使得NMCB=NADC.直线ZW与直线BC交于点P,若CF=2BF,则标的值为

图1图2

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）

模型解读

该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。

模型证明

1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）:

条件：如图2,在A4BC中，AB=BC,AB±BC,结论：①。为8c中点，®BF±AD,③AF：FC=2：1,④

ZBDA=ZCDF,®ZAFB=ZCFD,⑥/AEC=135。，@AE=42EC,以上七个结论中，可“知二得五”。

证明：不妨把①②作为条件，来证明③-⑦的五个结论。

如图1,过点C作BC的垂线交BF于点H,过点A作AG垂直于CH,：.ZBCH=90°,：.ZCBH+ZCHB=90°

'：AB±BC,：.ZABC=9Q°,：.ZBCH=ZABC=9Q°,\"BF1AD,：.ZCBH+ZADB=90°,：.ZCHB^ZADB,

'：AB=BC,:.ABAD沿ACBH,：.BD=CH,:。为BC中点，:.BD=DC=CH,:.AB=2CH,

易证：四边形ABCG为正方形，即AB〃CG,AZ\BAF~Z\HCF,：.AF：CF=BA：HC=2：1

"：AB^BC,ABLBC,：.ZBCA=45°,'：ZBCH=90°,：.ZBCA=ZGCA^45°,

"：DC=CH,CF=CF,：.ADCF^AHCF,AZCHF=ZCDF,ZCFH=ZCFD,

：.ZBDA=ZCDF,VZCFH=ZAFB,：.ZAFB=ZCFD,

如图2,过点C作CQ垂直于BR.,.NBQC=90。，

\'AB±BC,：.ZABD=ZBQC=9Q°,：,ZABE+ZQBC=9Q°,\'AB=BC,；.ABAE沿八CBQ,

：.CQ=BE,AE=BQ,'：BF±AD,CQLBF,易证：AEAF〜AQCF,：.EA-.QC=AF：CF=2：1。

万

：.AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ,：.CQ=EQ,；.△QEC为等腰直角三角形，；./QEC=45。，QC=^EC

：.ZAEC=135°,AE=5EC。

2）直角三角形中的十字模型：

如图3,在三角形ABC中，BC=kAB,AB1BC,①。为BC中点，®BF±AD,③ARFC=2：lc,®ZBDA=

/CDF,®ZAFB=ZCFD,@ZAEC=135°,@AE=42EC,以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似）

证明：不妨把①②作为条件，来证明③-⑦的五个结论。

由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证

明，有兴趣的同学可以自行证明即可。

模型运用

例1.（2324上•深圳•期中）如图，在RQABC中，ZABC=90°,B4=BC=3,点。为3C边上的中点，连

接AD,过点B作于点E,延长BE交AC于点足则8尸的长为.

B

D

E

AC

例2.（2324下・沧州・二模）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=3C,点。是线段A3上的一点，连

接CO,过点B作BGLCD,分别交C。、C4于点E、F,与过点A且垂直于A3的直线相交于点G,连接

DF,下列结论错误的是（）

C.当8、C、R。四点在同一个圆上时，DF=DBD.若黑=；,则S»BC=9凡血.

/\,D，

例3.（2324下•三明・期末）如图①，在AABC中，AC=8C,ZACB=90。，点。在边BC上,过点C作CE，AD,

垂足为交A3于点E.

图①图②

（1）小亮通过探究发现N3CE=NCAD,请你帮他说明理由；（2）如图②，CN平分NACB交AD于点M小明

通过度量猜想有CV=3E,他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；（3）如图③，连接DE,若。是8C的中点，

小刚通过探究得到结论AD=CE+DE,请你帮他说明理由.

习题练模型］

1.（23-24江苏八年级期末）如图，将边长为3的正方形A8CZ）纸片沿折叠，点C落在A8边上的点G

处，点。与点H重合，CG与EF交于点P,取GH的中点Q,连接尸。，则△GP。的周长最小值是（）

A.-+272B.3+3/c,-+2^/3D.-

2222

2.（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形ABC。中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF

交于G,连接AG、HG.下列结论：®CELDF-®AG=DG；③NCHG=/DAG；®2HG=AD.正确

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2324下・贵港•一模）如图，在等边AABC的AC,BC边上各任取一点P,Q,且AP=C。，AQ,BP

相交于点0,下列三个结论：①若PC=2AP,贝ljBO=6PO；②若BC=8,3尸=7,贝UPC=5,®AP2=OP.AQ,

其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

4.（2324・德州•二模）如图，正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE,过点D作DMLAE,

垂足为点M,交AB于点F.将AAMF沿AB翻折得到AANF.延长DM,AN交于点P.给出以下结论①

2

△ABE=ADAF;②△APF~ADAP；③AP2=PF-PD;④若tanNADF=§,贝l|5^群:5AAM,=4:5；.其

A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④

5.（2324下.江门.模拟预测）如图，在RaABC中，ZACB=90°,AC=BC.点D是线段8C上的一点，连接

AD,过点C作CGLA。，分别交A。、A8于点G、E,与过点B且垂直于的直线相交于点忆点。是

BC的中点，连接。E.则RF与与=;

6.（2324下•山西・一模）如图，在R柩4BC中，ZABC=90°,AB=BC=2,AE是8c边上的中线，过点8

作AE的垂线2。，垂足为X,交AC于点。，则的长为.

7.（23-24九年级上.辽宁鞍山•期中）如图，在VABC中，ZACB=90°,AC=3C=4,点。为3c边上一动

点（不与点&C重合），CE垂直AD交A3于点E,垂足为点”，连接出/并延长交AC于点尸，下面结论：

①若AD是5c边上的中线，则冬5；②若AD平分/C4B,则生=也；③若皮）=2CD,则=

5BD2

④当CD=3D时，AF=2CF.正确的有（填序号）

8.（2324上•珠海•期中）在中，NACB=90。，AC=3C,。为BC中点，连接AD,过点C作CEJ_AD

于点E,交A3于点过点8作时，3C交CE的延长线于点凡则下列结论正确的有（请填序号）

①4ACD2ACBF；®ZBDM=ZADC；③连接AF,则有AACr是等边三角形；④连接。尸，则有A3垂

直平分。尸.

9.（2324上•无锡・期末）如图，在边长为3的等边AABC中，D、E分别为边BC、AC上的点3Z）=CE,AD

与助相交于点P,NBPD=.若BD=1,则AP=.

10.（2024•江苏泰州模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，尸是DC上一点，AE平分/BAF交BC于点E,

且£>E_LAF,垂足为点M,BE=3,AE=2底,则MR的长是

BEC

11.（2023•北京海淀•一模）如图，正方形ABCD中，点E,尸分别在8C,8上,BE=CF,AE,BF交于点、

G；（1）ZAGF=.（2）在线段AG上截取MG=3G,连接DM,NAG尸的角平分线交。欣于点N.

①依题意补全图形；②用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明.

12.（2024・河南•一模）综合与实践

数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1,在正方形A3。中，已知广，求证：AE=BF.

甲小组同学的证明思路如下：由同角的余角相等可得乙环=/〃4£.再由=ZfiAF=ZD=90°,

证得AA即丝A/ME（依据：）,从而得AE=BE.

乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知AE=3/，同样可证得班证明思路如下：

由AB=D4,=可证得尸丝RtADAE（HL）,可得zABb=NZME,再根据角的等量代换即可证

得&£1_!_■.

完成任务：⑴填空：上述材料中的依据是（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）

【发现问题】同学们通过交流后发现，已知AE_LM可证得钻=3产，已知AE=3户同样可证得叱，

为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究.

【迁移探究】（2）在正方形A3CD中，点E在CO上，点M,N分别在AD,BC上，连接/区就交于点P.甲

小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据MN=AE画出图形如图3所示.甲小组同学

发现已知仍能证明=乙小组同学发现已知MN=AE无法证明MNJ_AE一定成立.

①在图2中，已知跖VLAE,求证：MN=AE；②在图3中，若NZME=a,则NAR0的度数为多少?

【拓展应用】(3)如图4,在正方形ABC£＞中，AB=3,点E在边A3上，点M在边AD上，且AE=AM=1,

点尸，N分别在直线CD,8C上，若EF=MN,当直线所与直线MN所夹较小角的度数为30。时，请直接

写出C尸的长.

13.(23-24八年级上.湖北宜昌•期中)请阅读，完成证明和填空.

九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下:

⑴如图1,正三角形ABC中，在A3、AC边上分别取点M、N,使=连结3N、CM,发现8N=CM,

且/NOC=60°.请证明：NNOC=60°.

(2汝口图2,正方形ABCD中，在A3、BC边上分别取点V、N,使AM=3N,连结AN、DM,那么AN=

，旦/DON=度.

(3)如图3,正五边形ABCDE中，在A3、BC边上分别取点V、N,^AM=BN,连结AN、EM,那么AN=

,且NEON=度.

(4)在正〃边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.

请大胆猜测，用一句话概括你的发现：.

14.(23-24八年级下•江西宜春・期中)［特例感知］如图1,在正方形ABCD中，点E,尸分别为AB,仞的

中点，DE、CF交于点G.

(1)易证AADE名ADCF,可知DE、CF的关系为；(2)连接3G,若AB=6,求BG的长.

［初步探究］如图2,在正方形ABCD中，点E为边上一点，/GJ.DE分别交AD、BC于F、G,垂足为

0.求证：FG=DE.

［基本应用］如图3,将边长为6的正方形ABC。折叠，使得点A落在边CO的中点〃处，折痕为PQ,点P、

。分别在边A。、2C上，请直接写出折痕尸。的长：PQ=.

［应用拓展］如图4,在四边形ABCD中，AB=AD,/BAD=/BCD=90°,BC=14,CD=2,AEL8C于E,

AFLDE交BC于F,则AF长为.

15.(2324下•成都市•九年级期中)已知四边形ABC。中，E、尸分别是A3、AO边上的点，DE与CF交

于点G.(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且OELCF,求证：4ADE〜ADCF；(2)如图②，若

四边形ABCD是平行四边形，试探究：当与/EGC满足什么关系时，空=空成立？并证明你的结论;

CFCD

DE

(3)如图③，若3A=3C=6,DA=DC=8,ZBAD=90°,DELCF,请直接写出——的值.

16.（23-24九年级下•江苏连云港•期中）【实践探究】

（1）如图1,矩形A3CQ中，AB=6,8C=8,A£，&）交5C于点瓦则一的值是.

BD

【变式探究】（2）如图2,R/AABC中，N8AC=90。,AB=6,AC=8,0为AC边上一点，连接8。AEL8。,

交BC于点E，若求班的长;

【灵活应用】（3）如图3,在矩形ABCD中，AB=9,点E,尸分别在。CAB上，以所为折痕，将四边形

3CEF翻折，使得3C的对应边百C’恰好经过点A,过点A作ANLEF交BC于点N,若A5'=3,设AAC'G

AN

的面积为S-OEG的面积为％VW尸的面积为S”若5「27邑=邑，则评的值为

17.（2024・广东深圳・中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻

的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行

四边形

（1）如图1所示，四边形ABCQ为“垂中平行四边形"，AF=5CE=2,则AE=;AB=_______

（2）如图2,若四边形"CD为"垂中平行四边形"，且=猜想AF与C£＞的关系，并说明理由；

（3）①如图3所示，在44BC中，BE=5,CE=2AE=U,BEJ_AC交AC于点E,请画出以8C为边的垂

中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；

②若AABC关于直线AC对称得到VAB'C,连接CB',作射线C?交①中所画平行四边形的边于点P,连接

PE,请直接写出PE的值.

18.（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）【数学模型】（1）如图1,在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点

DF

E、尸分别在边4）、A3上，CE±DF,垂足为点。，则==

CE

【模型探究】（2）如图2,在平行四边形ABCD中，点E、尸分别在边A£＞、AB上，DF与CE交于点0,

且/尸OC=/A,请证明：DFAB=ADCE；

【拓展应用】（3）如图3,白云小区有一块四边形绿地ABCD,为了居民出行方便计划在四边形ABCD中修

两条小路，在边AD上取一点E,连接与CE交于点。，BD、CE即为规划的两条小路，其中AD=155m,

370m,ZA==12。。，且器1,求两条小路长度的比，即求黑的值.

图1图2图3

专题23全等与相似模型之十字架模型

几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几

何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生

更好地理解和掌握。

目相航］

例题讲模型］

...........................................................................19

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）.......................................................19

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）.........................................................25

模型3.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）..................................................30

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）....................................................35

习题练模型］

...........................................................................40

例题讲模型］

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）

模型解读

“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一

组全等的三角形。

模型证明

条件：1）如图1,在正方形A2CZ）中，若E、尸分别是BC、CZ）上的点，AE±BF；结论：AE=BF。

19

证明：•.•四边形ABC。是正方形，.•.ZABE=NC=90。，AB=BC,：.ZBFC+ZCBF=90°

■.AE1BF,：.ZAEB+ZCBF^90°,:.ZAEB=ZBFC,AABE^ABCF(SAS),：,AE=BFO

条件：2）如图2,在正方形ABC。中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE1GF；结论：AE=GF。

证明：在PC上取一点P,使得G8=PF,连结BP。

,•・四边形A3CD是正方形，.,.AB//C。，.•.四边形3PFG是平行四边形，；.G尸//8尸，GF=BP,

同D中证明，可得AE=GF。

条件:3）如图3,正方形A8CZ）中，若E、F、G、”分别是BC、CD、AB.上的点，EHIGF；

结论:HE=GFo

证明：在FC、BE上取一点P、Q,使得AH=QE,连结BP、AQ.

,•・四边形ABCD是正方形，.••AB〃CD,...四边形BPPG是平行四边形，.♦.GF/ABP,GF=BP,

同理可证得：四边形AQEH是平行四边形,C.AQUHF,AQ=HF,同1)中证明，可得HE=GF。

模型运用

例1.（2023.江苏吴江九年级期中）如下图,将边长为9c机的正方形纸片ABC。折叠，使得点A落在边C。

上的E点，折痕为MN.若CE的长为6cm,则MN的长为cm.

20

M

【答案】3VlOcm

【分析】根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出NMWE=NAWM=90。，进而得出NDAE=NDAE,再

证明ANFM丝AADE,然后利用勾股定理的知识求出MN的长.

【详解】解：作NF1_AD,垂足为F,连接AE,NE,

••.将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN,

AZD=ZAHM=90°,ZDAE=ZDAE,AAAHM^AADE,AZAMN=ZAED,

ZAMN=ZAED

在ANFM和AADE中：-NNFM=ND,/.ANFM^AADE(AAS),AFM=DE=CD-CE=3cm,

NF=AD

又•.•在R3MNF中，FN=9cm,.•.根据勾股定理得：MN="谓，/=历近=3加（cm）.故答案为

3710.

【点睛】本题考查了图形的翻折变换，根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出三角形的全等是解决问

题的关键，难度一般.

例2.（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形ABCD中，AB=12,点E,尸分别在边BC,CD

上，AE与所相交于点G,若BE=CF=5,则BG的长为.

BEC

21

【答案】

【分析】根据题意证明AABE四△3B（SAS）,„EBG^FBC,利用勾股定理即可求解.

【详解】解：：四边形ABCD是正方形，.•.Z4BE=NC=90。，AB=BC,

BE=CF,：.ZWBE^ABCF（SAS）,:"BAE=NCBF,

vZCBF+ZABG^90°,ZBAE+ZABG=90°,.-.ZBGE=90°,:.ZBGE=ZC,

dBGBE

又・.・NEBG=NFBC,.^EBG^^FBC,/.—=——，\-BC=AB=nCF=BE=5,

BCBF9

BF=y/BC-+CF-=7122+52=13，:•第=［，；.BG=瞿.故答案为：萼

1—21313

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质

是解题的关键.

例3.（2024•广东梅州•一模）如图，E、尸分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点，ACE=DF,AE,BF

相交于点。，下列结论：①AE=BF；②AELBF；®AO=OE；@ZAED=ZFBC^,正确的结论有（）

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ADE/尸是解题的关键.根据四

边形ABCD是正方形及CE=D产，可证出△ADE0△54F,则得到：®AE=BF；ZAED=NFBC可判断④；

可以证出NA80+440=90。，则②加'一定成立；用反证法可证明AOwOE,即可判断③.

【详解】解：：四边形ABCD是正方形，.,.CD=AT>=AB,ZBAF=ZADE=90a,-.-CE=DF,:.DE=AF,

AD=AB

在VADE和Z\BAF中，＜/D=NBAF,:必ADE沿ABAF(SAS),；,AE=BF(故①正确)；

DE=AF

ADE名ABA尸(SAS)ZAED=ZBFA'：四边形ABC£＞是正方形，；.AZ)〃BC

：.ZFBC=NBFA：.ZAED=ZFBC(故④正确)；'.\ADE^^BAF(SAS)：.ZABF=ZDAE

22

•..四边形ABCD是正方形，/.ABAD=90°ZABF+ZAFB=90°,ADAE+ZAFB=90°,

4。尸=180。一（/714石+/4由）=90。.・./山，斯一定成立（故②正确）；假设4O=OE,

-.-AE±BF,..AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）,

在RtA^CE中，BE>BC,;.AB>BC,这与正方形的边长AB=3C相矛盾,

，假设不成立，AO^OE（故③错误）；••・正确的有①②④共3个正确，故选：C.

例4.（23-24江苏九年级期中）苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94

页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1,

探究所提供的正方形ABCD的边长都为2.

【探究】⑴如图2,在正方形ABCD中，如果点E、歹分别在BC、CD上，S.AE.LBF,垂足为那么AE

与母■相等吗？证明你的结论.

【应用】（2）如图3,在正方形ABCD中，动点E、尸分别在边A3、CD±,将正方形ABC。沿直线折叠,

使点8对应的点M始终落在边AO上（点M不与点A、。重合）,点C落在点N处，MN与CD交于点P,

设=求线段WV的长（用含t的式子表示）.

【拓展】（3）如图4,在正方形ABCD中，E是8C的中点，F、G分别是A3、8上的动点，且FGLAE,

求EF+AG的最小值.

图3

图1图2

【答案】（1）AE=3尸，理由见解析⑵WV=27-2A/P7⑶何

【分析】（1）据正方形的性质，可证出AME四△3B,即可得证；（2）过C作CG〃昉，交于G,连

接BM,由（1）得同理可证：AABM、BCG,由折叠的性质在中AE2+£Af2=AA/2即可求解；

（3）过点E作〃产G,过点G作GM〃砂，当A、G、M三点共线时，AG+GN的值最小，可求解.

23

【详解】（1）AE=BF.证明：•.・四边形ABC。是正方形，.-.ABuBC,ZABC=ZC=90°,

ZABM+ZCBF=90°,--AELBF,ZBAM+ZABM=90°,:.ZBAM=ZCBF,

2ABE=NC

在AABE和△3CF中，AB=BC,.^ABE^ABCF（ASA）,；,AE=BF.

ZBAE=ZCAF

（2）解：过C作CG〃E尸，交A3于G,连接BM,

,•・四边形ABC。是正方形，，EG〃/C,.,.四边形EGC尸是平行四边形，.〔EGuFC,

将正方形ABC。沿直线E尸折叠，使点8对应的点M始终落在边AD,

BMA.EF,FC=FN,EB=EM,:.CGLBM,EG=FN,

由（1）得同理可证：AABM当ABCG,:.AM=BG,^FN=EG=y,-：AE=t,:.EB=EM=2—t,

:.BG=BE-GE,=2--y,.•.AM=27_y,在RuEW中隹2+石以2=.2,...产+（2__＞）2=（27）2,

整理得：y=2-r-2^/1^7,FN=2-t-2.y/r^t.

(3)解：如图，过点后作£^〃尸3,过点6作。1/〃防，

.,.当A、G、〃三点共线时，AG+GM的值最小，

四边形EFGN是平行四边形，.：GM=EF,EM=FG,由(2)可证：FG=AE,:.EM=AE,

•.•四边形45CD是正方形，=；3c=1,：.AEAB?+BE：=亚，

-.■AE±FG,EM//FG,..EM1.AE,AM=yf2AE=V10,

，当A、G、M二点共线时，AG+GM=AM=VTo,AG+GM的值最小^/10>AG+EF的值最小Ji6.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定

及性质，正方形的性质，折叠的性质，动点线段最小值问题，掌握相关的判定方法及性质，理解折叠的性

质，会根据动点的特征找出线段和最小值的条件是解题的关键.

24

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）

模型解读

矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩

形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。

模型证明

1）条件：如图1,在矩形A5CD中，若E是A5上的点，JaDELAC,结论：——=——

ACCD

DE_LAC/./EDC+Z.DCA=90°,/.NAZ）石=NDCA,ADEA—△C4D,-----=-----,-----=-----.

9ACCD