2025年中考数学一轮复习学案：3.4 二次函数 （学生版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第三章函数

3.4二次函数

考点分布考查频率命题趋势

考点1二次函数的图象与数学中考中，有关二次函数的部分是每年全国各省市

☆☆☆

性质必考内容，也是中考数学难点，每年压轴题之一必定

有二次函数综合题。每年考查道题分值为

考点2二次函数的图象与1~3,3~15

☆☆☆

分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。

a,b,c之间的关系

对于二次函数的复习需要学生熟练掌握二次函数的图

考点3二次函数与方程、

☆☆象与性质、二次函数的图象与a,b,c之间的关系、二次

不等式之间的关系

函数与方程、不等式之间的关系。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1.二次函数的图象与性质

1.二次函数的概念：一般地，形如__________（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．

2.二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：__________（a，b，c为常数，a≠0）．

（2）顶点式：___________（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．

（3）交点式：___________，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．

【注意】求二次函数解析式的一般方法：

（1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写

出二次函数的解析式.

（2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，

即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.

（3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，

再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.

3.二次函数的图象及性质

解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）

b

对称轴x=–

2a

b2

顶点（–，4acb）

2a4a

a的符号a>0a<0

图象

开口方向开口向上开口向下

b4acb2b4acb2

最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=

2a4a2a4a

最点抛物线有最低点抛物线有最高点

bb

当x<–时，y随x的增大而减小；当x<–时，y随x的增大而增大；

2a2a

增减性

bb

当x>–时，y随x的增大而增大当x>–时，y随x的增大而减小

2a2a

4.抛物线的平移

二次函数平移遵循“______，______”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后

的解析式；二次函数图象的平移可看作____间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．

【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或

减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化

后的解析式．

考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系

【提示】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的常见结论

考点3.二次函数与方程、不等式之间的关系

（1）二次函数与一元二次方程的关系

（2）二次函数与不等式的关系（拓展）

【易错点提示】对二次函数与一元二次方程关系密切这句话的理解．

举例说明：已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3

（即x2－4x+3=0）．

反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．

考点1.二次函数的图象与性质

2a

【例题1】（2024福建省）已知二次函数yx2axaa0的图象经过A,y1，B3a,y2

2

两点，则下列判断正确的是（）

A.可以找到一个实数a，使得y1aB.无论实数a取什么值，都有y1a

C.可以找到一个实数a，使得y20D.无论实数a取什么值，都有y20

【变式练1】（2024北京一模）下列关于二次函数的说法正确的是()

2

A．图象是一条开口向下的抛物线B．图�象=与(�轴−没2)有−交3点

C．当时，随增大而增大D．图象的顶�点坐标是

【变式�练<22】（202�4哈�尔滨一模）已知是抛物线(2,−3)（a是常数，

2

上的点，现有以下四个结论：①该抛物�1线�的1,对�1称,�轴2是�2直,�线2；②�点=��+在4抛�物�+线3上；③若�≠0

，则；④若，则其中，正�=确−结2论的个数0,3为（）�1>�2>

−A．21个�1>�2�B1．=2�个2�1+�2=−C2．3个D．4个

考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系

【例题2】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数yax2bx2a0的图象与x轴交于1,0，

(x1,0)，其中2x13．结合图象给出下列结论：

①ab0；②ab2；

③当x1时，y随x的增大而减小；

2

④关于x的一元二次方程ax2bx20a0的另一个根是；

a

4

⑤b的取值范围为1b．其中正确结论的个数是（）

3

A.2B.3C.4D.5

【变式练1】（2024陕西一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标

为（1，0），对称

轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：

①abc＜0；

②4a﹣2b+c＜0；

③3a+c＝0；

④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．

其中正确结论的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式练2】（2024贵州一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图

象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1

时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（）

A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①④⑤

考点3.二次函数与方程、不等式之间的关系

【例题3】（2024四川成都市）在平面直角坐标系xOy中，Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二

2

次函数yx4x1图象上三点．若0x11，x24，则y1______y2（填“”或“”）；

若对于mx1m1，m1x2m2，m2x3m3，存在y1y3y2，则m的取值

范围是______．

【变式练1】（2024福州一模）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝．

2

【变式练2】（2024贵阳一模）如图，已知抛物线y＝ax+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，

2

y2）两点，则关于x的不等式ax+c≥﹣kx+m的解集是（）

A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3

【变式练3】（2024山东青岛一模）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣

2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为．

考点1.二次函数的图象与性质

22，，，，5，，，

1.（2024四川凉山）抛物线yx1c经过2y10y2y3三点，则y1y2y3

32

的大小关系正确的是（）

A.y1y2y3B.y2y3y1C.y3y1y2D.y1y3y2

2.（2024四川泸州）已知二次函数yax22a3xa1（x是自变量）的图象经过第一、二、

四象限，则实数a的取值范围为（）

93

A.1aB.0a

82

93

C.0aD.1a

82

k

3.（2024广州）函数yax2bxc与y的图象如图所示，当（）时，y，y均随着x

12x12

的增大而减小．

A.x1B.1x0C.0x2D.x1

4.（2024陕西省）已知一个二次函数yax2bxc的自变量x与函数y的几组对应值如下表，

x…42035…

y…2480315…

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向上B.当x0时，y的值随x的值增大而增大

C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x1

5.（2024江苏苏州）二次函数yax2bxca0的图象过点A0,m，B1,m，C2,n，

m

D3,m，其中m，n为常数，则的值为______．

n

6.（2024贵州省）如图，二次函数yax2bxc的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是3，

顶点坐标为1,4，则下列说法正确的是（）

A.二次函数图象的对称轴是直线x1

B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2

C.当x1时，y随x的增大而减小

D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3

7.（2024内蒙古赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线yx24上，点D在y轴上．若

A，C两点的横坐标分别为m，n（mn0），下列结论正确的是（）

m

A.mn1B.mn1C.mn1D.1

n

8.（2024山东烟台）已知二次函数yax2bxc的y与x的部分对应值如下表：

x43115

y059527

下列结论：①abc0；②关于x的一元二次方程ax2bxc9有两个相等的实数根；③当

y

4x1时，的取值范围为0y5；④若点m,y1，m2,y2均在二次函数图象上，则

2

y1y2；⑤满足axb1xc2的x的取值范围是x<2或x3．其中正确结论的序号为

______．

9.（2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数yx22axa3的最值问

题展开探究．

【经典回顾】二次函数求最值的方法．

（1）老师给出a4，求二次函数yx22axa3的最小值．

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，

并整理成下表：

a…42024…

x…*2024…

y的最小值…*93515…

注：*为②的计算结果．

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”

甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取xa，就能得到y的最小值．”

乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，

所以我猜想y的最小值中存在最大值．”

（2）请结合函数解析式yx22axa3，解释甲同学的说法是否合理？

（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．

考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系

1.抛物线yx2bxc与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小

于1，则下列结论正确的是（）

A.bc1B.b2C.b24c0D.c0

2.（2024黑龙江绥化）二次函数yax2bxca0的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，

则下列结论中：

b

①0②am2bmab（m为任意实数）③3ac1

c

④若Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点，则x1x23．其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2024武汉市）抛物线yax2bxc（a，b，c是常数，a0）经过1,1，m,1两点，

且0m1．下列四个结论：

①b0；

2

②若0x1，则ax1bx1c1；

③若a1，则关于x的一元二次方程ax2bxc2无实数解；

11

④点Ax,y，Bx,y在抛物线上，若xx，xx，总有yy，则0m．

112212212122

其中正确的是__________（填写序号）．

4.（2024湖北省）抛物线yax2bxc的顶点为1,2，抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以

下结论正确的是（）

A.a0B.c0C.abc2D.b24ac0

考点3.二次函数与方程、不等式之间的关系

1.（2024福建省）如图，已知二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点

C，其中A2,0,C0,2．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是

△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．

2.（2024湖北省）如图1，二次函数yx2bx3交x轴于A1,0和B，交y轴于C．

（1）求b的值．

（2）M为函数图象上一点，满足MABACO，求M点的横坐标．

（3）如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L,L与y轴交于点D，记DC=d，记L顶

点横坐标为n．

①求d与n的函数解析式．

②记L与x轴围成的图象为U,U与ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且

W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．

考点1.二次函数的图象与性质

1.关于二次函数，下列说法正确的是（）

2

A．图象的对称轴�在=y�轴+的2右�−侧8

B．图象与y轴的交点坐标为，

0−9

C．图象与x轴的交点坐标为和

D．y的最小值为−2,04,0

2.已知抛物线−9过点，其中，以下结论正确的

2

是（）�=��−4����1,�1,��2,�2,��1,�3�2=−4�

A．若，则B．若，则

C．若�1−�2≤�，3−则�2�2≥�3≥�1D．若�1−�2≥�，3−则�2�2≥�3≥�1

3.若点�1<�3≤在�2抛物线�1−�2（<�2−）�3上，则下列�1各<点�3在≤抛�物2线�1−�2>上�2的−是�3（）

22

A．��,�B．�=���≠0C．�D=．��+1

4.在�平,�面+直1角坐标系中，将�抛+物1,线��,先�绕−原1点旋转180°，�再−向1,下�平移5个单位，所

2

得到的抛物线的顶点坐标是�．=�+2�−1

5.点，在抛物线上，存在正数，使得且

2

��1,�时1，�都�有2,�2，则�的=取��值范−围2�是�−（3�≠0）�−2<�1<0�<

�A．2<�+1�1≠�2�B．

C．1<�≤4或D．2<�≤4或

6.0对<于�二≤次函1数�≥4，已知1，<当�≤2�≥时4，有下列说法：

2

①若y的最大值为�=−，�则−�+；1�>3−1≤�≤3

②若y的最小值为−8，则�=4；

③若，则y的−最8大值�为=6．

则上达�说=法5（）−3

A．只有①正确B．只有②正确C．只有③正确D．均不正确

7.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）

A．y=-6x2+3x+4B．y=-2x2+3x-4

C．y=x2+2x-4D．y=2x2+3x-4

8.一个二次函数的图象的顶点坐标为3,1，与y轴的交点0,4，这个二次函数的解析式

是（）

11

A．yx22x4B．yx22x4

33

1

C．y(x3)21D．yx26x12

3

9．求经过A(1，4)，B(﹣2，1)两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式______．

10.已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+3/2=0的根的情况是（）

A．无实数根B．有两个相等实数根

C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根

考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系

1.已知抛物线yax2bxc（a，b，c是常数，0ac）经过点(1,0)，有下列结论：

①2ab0；

②当x1时，y随x的增大而增大；

③关于x的方程ax2bx(bc)0有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：

①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．

其中，正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三

人的说法如下，

甲：若b＝5，则点P的个数为0；

乙：若b＝4，则点P的个数为1；

丙：若b＝3，则点P的个数为1．

下列判断正确的是（）

A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对

4.如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：