2025深圳中考数学复习专练：填空压轴重点题（解析版）

专题10填空压轴题

一、填空题

1.（2024.广东深圳•统考中考真题）如图，在中，AB^BC,tanZB=—,D为BC上一点,且

12

RDQ

满足一=—,过。作DESAD交AC延长线于点E,则——=

CD5AC

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设A6=5C=13x,根据

tanZB=—,AH±CB,得出AH=5x,5〃=12刘再分别用勾股定理AD=历的AC=4x，

故3〃叱=器=等'再运用解直角三角形得出呼X,代入

CE

~AC加，化简即可作答.

【详解】解：如图，过点A作AHLCfi垂足为

..BD|,AB=BC,

.DC

设AB=BC=13x,

BD-8x,DC=5x，

tanNB=—,AH_LCB，

12

•AH_5

••而一五’

AB=BC=13x，

，AH-+BH2=AB2=169x2，

解得AH=5x,BH=12x,

=12x-8x=4x,HC=5x-4x=x,

；•AD=yjAH2+DH2=Ex,AC=y/AH2+CH2=>j26x，

过点C作CM，AD垂足为M,

­•DM=CD-cosNADC=--------x，AM=AD-DM=---------x，

,/DE,AD,CM工AD,

：.MC^DE,

20A/41

CE_DM__4i<_20

AC-21^-21

--------X

3

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）如图，在一A5c中，AB=AC,tan5=：,点。为上一动点,

连接AO,将△ABD沿AO翻折得到VAD£,交AC于点G,GE<DG,且AG:CG=3:1,则

S三角形AGE

S三角形ADG

A

【解析】

【分析】于点M,AN_L£）E于点N,则40=AN,过点G作GPLNC于点P,设40=12a,

根据taiLB=20=3得出=16〃，继而求得AB二JAM?+BM?=20〃,CG=5a,AG=15a?

BM4

22

再利用tanC=tan3=旅=：,求得GP=3a,CP=4a,利用勾股定理求得GN=yjAG-AN=9a，

EN=y/AE2-AN2=16a-故EG=EN-GN=1a,

【详解】由折叠的性质可知，DA是N3DE的角平分线，AB=AE,用HL证明△ADM之△ADN，

从而得到DM=DN,设DM=DN=x,则DG=x+9a,DP=12a-x,利用勾股定理得到

,°91275

。尸+Gp2=OG2即（12a—龙）+（3a）=（%+9。）一，化简得x=5~a,从而得出。G=3a,利用三

c-EG,AN口一写Ad

角形的面积公式得到：三角形AGE=[-------==*_=

175

S三角形AQG-DGANDG1a

27

作AM,皮）于点〃，AN上DE于点、N,则A"=AN,

过点G作GPLNC于点P,

：AM_L5r）于点跖

AM3

tanB=

BM—4

设AM=12。，则5Af=16a，AB=>JAM2+BM2=20a>

又=AM±BD,

CM=AM=12a,AB=AC=20a,=Z.C,

・・,AG:CG=3:1,即CG=』AC,

4

:.CG=5a,AG=15Q,

RtZ\_PCG中，CG=5〃，tanC=tanB=二—，

CP4

设GP=3m，则CP=4m,CG=1GP。+CP°=5m

:.m=a

:.GP=3a,CP=4Q,

VAG=15a,AM=AN=12a,ANIDE,

•*-GN=《AG2-AN。=9。，

VAB=AE=20a,AN=12a,AN±DE

EN=y/AE"-AN2=16。，

EG=EN—GN=7a,

VAD=AD,AM^AN,AM±BD,ANIDE,

：.AADM^AACW(HL),

DM=DN,

设DM=DN=x,则DG=D/V+G/V=x+9a,DP=CM-CP-DM=16a-4a-x=12a-x,

在RtAPDG中，DP2+GP2=DG2，即(12a—x7+(3aJ=(x+9a)2,

化简得：x——Cl,

7

75

DG—x-\-9〃——a,

7

EGAN

ASMAGE_2__EG_la_49

DG75

S三角形ADGLDGAN—a

27

49

故答案是：.

【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等

知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键.

3.(2022・广东深圳•统考中考真题)已知一ABC是直角三角形，ZB=90°,A3=3,BC=5,AE=2J5,连

接CE以CE为底作直角三角形COE且尸是AE边上的一点，连接3。和且

NFBD=45°,则AF长为.

A

F

/

【答案】~45

4

【解析】

［分析】将线段BD绕点、D顺时针旋转90°,得到线段HD，连接BH，HE,利用SAS证明AED77=ACDB,

得EH=CB=5,ZHED=ZBCD=90°,从而得出HE//DC//AB,则人4/?4s人切尸,即可解决问题.

【详解】解：将线段5。绕点。顺时针旋转90。，得到线段HD,连接HE,

是等腰直角三角形，

又・AEDC是等腰直角三角形，

:.HD=BD,ZEDH=ZCDB,ED=CD,

NEDH=ACDB(SAS),

：.EH=CB=5,ZHED=ZBCD=90°,

NEDC=90°,ZABC=90°,

:.HE!IDCI/AB,

ZABF=ZEHF,ZBAF=ZHEF,

:.MBFSMHF,

,AB_AF_AF

"~EH~~EF~AE-AF

AE=2底

3AF

"5~2y/5-AF'

3A/5

AF=----，

4

故答案为：:•

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等

知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形.

4.（2024・广东深圳•盐田区一模）如图，在4ABe中，AB=AC,点。是边的中点，过点。作边A3

的垂线，交AB于点、E,连接CE,若DE=2,AE=4，则CE=.

【答案】V17

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，合理的作出辅助线是解决

问题的关键.连接AD，作跖，CB于点歹，证得石Ds一0石4,可得鹿=i,BD=5AB=5,

进而可得所=撞，同理可得BEFs_EDF，求得DF=隹,CE=2叵，根据勾股定理可得结

555

果.

【详解】解：连接AZ）,作EFLCB于点厂，

AB=AC,点。是边的中点，过点。作边A5的垂线,

AD1BC,DE±AB,

ZBDE+ZADE=90°,ZDAE+ZADE=90°,

ZBDE=ZDAE,ZBED=ZDEA，

△BEDs」DEA，

.DE_BE

~\E~~DE9

DE=2,AE=4，

BE=1,

BD=^DE2+BE2=V5-AB=AE+BE=5,

S=—BExDE=—BDxEF,

BREFDn22

.s2加

一EF------

5

同理可得八班歹s二功犷，

BE_EF

■cu4行

…Dr------,

5

9.J5

•CF=CD+DF=^—,

5

CE=YIEF2+CF2=V17•

故答案为：717.

5.（2024・广东深圳•福田区三模）如图，正方形ABCD的边长为4,尸为对角线AC上一动点，延长JB户，

A。交于点E,若BFBE=24,则CR=.

I答案】三

【解析】

【分析】本题考查相似三角形性质及判定，勾股定理.根据题意利用勾股定理得到AC的长，再证明

r.AFEs；CFB,再设=继而得到AE=4+x,再利用相似三角形性质即可得到本题答案.

【详解】解：：正方形ABC。的边长为4,尸为对角线AC上一动点，

•*,AC=/不+4、=4-\/2，A石〃BC,

：.ZEAC=ZACB,ZE=ZEBC,

・・・AFE^CFB,

设DE=x,则AE=4+%,

.CF_BF_CB_4

AFEFAE4+x

"­'AF=AC-CF=4y/2-CF，EF=BE-BF=^x2+Sx+32-BF-

CFBF4

"4A/2-CFVX2+8X+32-BF4+X'

整理得：(8+x)CF=1672,即：5=电2,

8+x

(8+x)3E=4jx2+8x+32，即：=4—+8%+32，

8+x

•：BF・BE=24,

...4jx+8x+32.&+8升32=24，整理得：x2+2x-16=0，

8+x

解得：石二万一1,X2=-1-V17(舍)，

：・x=5-\，

检验：当犬=，17-1时，8+xwO,

%2+8x+32=(4+%)2+16>0成立,

x=JI7—1是4，广+8》+3乙•JY+8X+32=24的根，

8+x

.〜16016727后-国

8+屈-17+V172

故答案为：7—.

2

6.（2024・广东深圳・33校联考二模）在ABC中，ZABC=90°,AB=3,6C=4,点。在边AC上,

Q

CD=—,连接3£），过点A作于点E,且AE的延长线交边于点凡则3尸=________

3

A

【解析】

【分析】由AG3C得到」LGD一CBD算出AG的长度，利用_54尸_AGB得到3户的长度.

【详解】作AG交的延长线与点G

AGBC,

ZAGB=ZDBC,ZGAC^ZC,

AGDCBD,

AGAD

~BC~~CD'

ZA6c=90，AB=3,BC=4,

AC=7AB2+BC2=A/32+42=5'

Q7

:.AD=AC-CD=5——=-,

33

，心改任二”」，

CD82

3

AGBC,ABC=90，

ZG4B=180—ZABC=90，

■■-ZBAE+ZGAE=90，

AE±BD,

•••ZAEG=90，

ZGAE+ZG=90，

ZBAE=ZG,

在△BAE和-AGB中，ZBAE=ZG,ZABF=ZGAB=9Q>

BAF_AGB,

,BA_BF

,,一,

AGAB

3_BF

••z=v>

2

BF=—.

7

【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，勾股定理的应用，平行线的性质，同角的余角相等，正确

的作出辅助线构造三角形相似是解题的关键.

7.(2024・广东深圳-33校联考一模)如图，在直角坐标系中，已知A(4,0),点B为y轴正半轴上一动点，

连接AB,以AB为一边向下作等边△ABC,连接OC,则OC的最小值为.

【答案】2

【解析】

【分析】以0A为对称轴，构造等边三角形4。尸，作直线DC,交x轴于点E,先确定点C在直线。£上运

动，根据垂线段最短计算即可.

【详解】如图，以OA为对称轴，构造等边三角形ADF,作直线QC,交x轴于点E,

,•'△ABC,△AZ）尸者B等边三角形，

：.AB=AC,AF=AD,ZFAC+ZBAF=ZFAC+ZCAD=60°,

：.ZBFA=ZCDA=120°,

：.ZODE=ZODA=60°,

：.ZOED=30°,

：.OE=OA=4,

.•.点C在直线。E上运动，

.•.当OCJ_QE时，0c最小,

此时OC=L（9E=2,

2

故答案为：2.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形

全等和垂线段最短原理是解题的关键.

8.（2024・广东深圳•南山区一模）如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=242>AC=6,点E

在线段AC上，且AE=1，。是线段5C上的一点，连接。E,将四边形A3DE沿直线OE翻折，得到

四边形RGDE,当点G恰好落在线段AC上时，AF=.

【答案】一

3

【解析】

【分析】过点尸作FM，AC于点M,由折叠的性质得/G=AB=20，ZEFG=ABAC=90°,EF=AE=1,

再证明J/MsGEE,得应0=MF=-y/2f进而即可求解.

【详解】解：过点尸作FMLAC于点M,

•••将四边形ABDE沿直线OE翻折，得到四边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上,

:.FG=AB=26,^EFG=ZBAC^90°,EF=AE=\,

•••EG=JF+(20『=3，

,/ZFEM=ZGEF,ZFME=ZGFE=90°,

A二FMEs一GFE,

.EM_EFMF\

"EF~EG^FG~3

：.EM=-EF=-,MF=-FG=-yf2,

3333

4

：.AM=AE+EM=-,

【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三

角形“是解题的关键.

9.（2024.广东深圳•宝安区二模）如图，矩形ABCZ）的对角线AC和3。交于点。，AB=3,BC=4.将

△ADC沿着AC折叠，使点。落在点E处，连接OE交于点口，AE交BC于点、G,则石尸=

【答案】—

39

【解析】

【分析】连接DE,BE,设DE交AC于点H,勾股定理得出AC=5,等面积法求得CH,然后求得OH,

根据中位线的性质得出OC//BE,证明.OFCsEFB,根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，连接设DE交AC于点

n

;矩形ABCD中，AB=3,BC=4.

AC^BD=y/AB2+BC2

;矩形ABC。的对角线AC和交于点。，将ZW）。沿着AC折叠，使点O落在点E处

DE1AC

•：S=-ADxDC=-ACxDH,

ADnCr22

.ADxDC12

..L)rL=-----------=—,

AC5

；•CH=y]DC2-DH2=1

597

：.OH=OC-HC=——,

2510

DH=HE,OD=OB,

：.OH=-BE,OH//BE,

7

BE=-,NOCF=NFBE,

5

又：ZOFC=ZBFE,

_OFCS_EFB,

.EFBE

"''OF~'OC'

7

._5_14

*'OF-J_25)

2

,/OE=OF+FE=-,

2

25395

即EF+——EF=—EF=—,

14142

故答案为：—.

39

【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质

与判定是解题的关键.

【答案】一

3

【解析】

【分析】过点尸作于点M,由折叠的性质得BG=AB=2jLZEFG=ABAC=90°,EF=AE=1,

12/­

再证明二E0Es_GEE,得EM=:，MF=-y/2,进而即可求解.

【详解】解：过点尸作FMLAC于点

•••将四边形ABDE沿直线OE翻折，得到四边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上,

：.FG=AB=242^ZEFG=ZBAC=90°,EF=AE=1,

•••EG=J12+(2行『=3,

VZFEM=ZGEF,ZFME=ZGFE=90°,

_FMEs_GFE,

EM_EFMF_1

EF~EG~FG~3

：.EM=-EF=-,MF=-FG=-^2,

3333

4

：.AM=AE+EM=-,

3

•*.AF=S]AM2+MF2=二心

3

故答案是：-V6.

3

【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三

角形“是解题的关键.

10.（2024・广东深圳•宝安区三模）如图，已知A3=10,点C,。在线段A5上，&AC=DB=2.尸是

线段CD上的动点，分别以"，PB为边在线段A3的同侧作等边△AEP和等边△尸EB，连接EF,

设所的中点为G,则CG+GD的最小值是

【答案】VTTT

【解析】

【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPm为平行四边形，得出6为叨中点，则G的

运行轨迹为二HCD的中位线MN.作点、C关于MN的对称点/,连接D7交于点G',连接,C7,

则四边形C7HK是矩形，此时CG+DG的值最小，最小值为线段OJ的长.

【详解】解：如图，分别延长AE、BF交于点H,过点"作于点K.

ZA=ZEPB=60°,

/.AH//PF,

'：ZB=ZEPA=60°,

BH//PE,

四边形EPEH为平行四边形，

.•.EF与HP互相平分.

：G为防的中点，

，G也正好为PH中点，

即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，

G的运行轨迹为_HCD的中位线.

作点C关于"N的对称点/,连接ZV交于点G',连接HJ,CJ,则四边形C7S次是矩形，此时

CG+ZX7的值最小，最小值为线段。J的长.

,/是等边三角形，AB=10,HK±AB,

.-.AK=KB=5,

cj=KH=7102-52=5/，

,/AC=DB=2,

:.CD^AB-AC-DB=6,

DJ=VcZ+DC2=7（5A/3）2+62=-Jin,

:.CG+DG的最小值为JHT.

故答案为：JTTT.

【点睛】本题考查了等边三角形性质，中位线的性质，平行四边形的

AcPKDB

性质，以及动点问题，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找点G的运动轨迹，学会利用轴对称

解决问题.

11.（2024广东深圳•福田区二模）如图，矩形ABC。，AB=4,BC=8,E为A5中点，尸为直线

上动点，B、G关于所对称，连接AG,点P为平面上的动点，满足NAPB=LNAGB,则OP的最小

值

【答案】2M-2拒

【解析】

【分析】由题意可知，NAG8=90°,可得NAPB=，NAGB=45。，可知点P在以A3为弦，圆周角

2

Z4PB=45。的圆上,（要使0P最小，则点尸要靠近蒂点。，即点尸在AB的右侧），设圆心为。，连接。4,

OB,OE,OP,0D,过点。作OQLAD,可知_A0S为等腰直角三角形，求得

0A=[AB=2近=0P，AQ=0Q=104=2，QD=AD-AQ=6,

OD=J。。?+QD2=2M,再由三角形三边关系可得：DP>OD-OP=2y/lQ-2y/2，当点P在线

段OD上时去等号，即可求得。。的最小值.

【详解】解：：夙G关于EF对称，

ABH=GH,且EFLBG

为AB中点，则EH为―/1SG的中位线，

：.EH//AG,

：.ZAGB=90°,

,/ZAPB=-ZAGB,即ZAPB=-ZAGB=45°,

22

点P在以AB为弦，圆周角NAPB=45。的圆上，（要使。尸最小，则点P要靠近蒂点£>,即点尸在AB

的右侧）

设圆心为。，连接Q4,OB,OE,OP,0D,过点。作OQJ_AD,

则Q4=05=0尸，

,/ZAP3=45°,

ZAOB=9Q°,贝UAOB为等腰直角三角形,

•*.OA=—AB=272=OP，

2

又为AB中点，

/.OE_LAB,OE=—AB=AE=BE,

2

又•.•四边形ABC。是矩形，

：.ZBAD^9Q°,AD=BC=8,

四边形AEOQ是正方形，

/.AQ=OQ=^OA=2,QD^AD-AQ=6,

•••OD=y/OQ2+QD2=2V10，

由三角形三边关系可得：DPNOD-OP=2M-2屈,当点尸线段OD上时去等号，

；•DP的最小值为2屈-2J5，

故答案为：2M-2版.

【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直

角三角形的判定及性质，根据NAPB=LNAGB=45。得知点P在以A3为弦，圆周角Z4PB=45。的圆

2

上是解决问题的关键.

12.（2024.广东深圳•光明区二模）在_帅。中，tan5=5，NACB+2N3=90，线段CD平分/ACS.己

知。。=4后，则线段的长为.

【答案】475

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形.过点C作CELB4交5A的延长线于点E,根据角平分线得到

ZEDC=45°,根据三角函数得到CE=4,进而求出5E=8,然后利用勾股定理求出5C长.

【详解】过点C作CE，BA交物的延长线于点E,

'：CD平分ZACB,

ZBCD=-ZACB,

2

；.ZEDC=ZB+ZDCB=1(2NB+ZACB)=1x90°=45°,

/.CE=CDtanZEDC=4A/2x—=4，

2

..nCE1

•tanB----——,

BE2

BE=8,

BC=y/CE2+BE2=V42+82=475•

13.(2024•广东深圳33校三模)如图Rtz\A3C,NAC5=90。，A。垂直/ABC外角角平分线于。点,

过。作5C的垂线，交CB延长线于点E,连接。C交A3于点R^=|,DE=75,那么破的长为

【解析】

【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，延长A。交CB于

点、H,延长AB,OE相交于点G,证明，A3Z运一HBD(ASA),则AT>=DH,AB=BH，证明

一DESACH,求出AC=2逐，证明DGF^CAF,求出。G=—AC=—义2君=—君，则

442

石6=。6-。石=!逐，证明，8石匕BC4,得到3E=LCB,则3石=工。石=，£“，BC=4BE,

2455

得到则AB=65E,在Rt^ACfi中，AB2=BC2+AC2,则

66

（6BE）2=（4BE）2+（2^）\即可求出班的长.

【详解】解：延长A。交CB于点打，延长AB,OE相交于点G,

A。垂直/ABC外角角平分线于。点，

ZABD=ZHBD,ZADB=ZHDB=90°

BD=BD

ABD^^HBD(ASA),

AD=DH，AB=BH

RtAABC,ZACB=90°,DELCH,

DEAC

DEHs.ACH

DEDH_EH__1

AC-A"-C"-5'

AC=2DE=275，EH=CE

DEAC

DGFS.CAF

DGDF_3

AC-CF-4'

DG=-AC=-x245=-45,

442

Q1

EG=DG-DE=-45-45=-45,

22

DEAC

，BEGsBCA

.BEEG_1

"BC-AC-4'

：.BE=-CB,

4

：.BE=-CE=-EH,BC=4BE

55

：.BE=-BH=-AB,

66

•*.AB=6BE,

在RtAACB中，AB2=BC2+AC2

即（65E）2=（45E『+（2君『，

解得BE=1（负值已舍去），

故答案为：1

14.（2024・广东深圳•龙华区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,P是边上一点，将，PCD沿CP

折叠，若点。的对应点E恰好是的重心，则的长为.

【答案】3c

【解析】

【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形的重心，图形的折叠变换及其性质，勾股定理，延长CE交A3

于F,在所的延长线上取一点"，使FH=FE,连接AH,BH,PF,连接AE并延长交于点T,

连接BE,由折叠的性质得PPD=PE,CE=CD=6,根据点E是的重心，得AT是边上

的中线，Cb是A3边上的中线，则==CT=BT,先证四边形是平行四边

2

形得BH〃AE,进而得ET是ACBH的中位线，则EH=CE=6,进而得EH=EE=3,在Rt_5CF

中，由勾股定理得BC=dCF「BF2=6及，再判定Rt一尸”ZRt—P跖（HL）,得PA=PE,进而

得尸。=24=工4。=3应，据此可得出答案.

2

【详解】解：延长CE交AB于凡在所的延长线上取一点H,使FH=FE,连接AH,BH,PF,

连接AE并延长交于点T,连接班，如下图所示：

•..四边形ABC。为矩形，48=6,

AZBAD^ZD=90°,CD=AB=6,AD=BC,

由折叠的性质得：PD=PE,CE=CD=6,ZPEC=ND=9。。,

:点后是_45。的重心，

•••AT是5C边上的中线，Cb是A3边上的中线，

即AE=3F=^AB=3,CT=BT,

2

又：FH=FE,

四边形AEBH是平行四边形，

/.BH//AE,

即BH〃ET,

.CTCE

,,BT—EH'

'：CT=BT,

：.CE=EH,

:.ET是,CBH的中位线，

：.EH=CE=6,

：.FH=FE=3,

：.CF=CE+FE=6+3=9,

在Rt_BCF中，由勾股定理得：BC=\ICF2-BF2=6、/1，

•>-AD=BC=672，

FE=3,AF=3,

:.AF=FE,

•••NF£C=90°,ZBAD=9Q°,

；.ZBAD=NPEF=90°,

在RtAB4F和RtAPEF中,

AF=FE

PF=PF'

RtPAF^RtPEF(HL),

：.PA=PE,

：.PD=PA=-AD=342,

2

故答案为：3后.

4

15.(2024广东深圳•罗湖区二模)如图，直线丁=-x+a与反比例函数y=—(X>0)只有唯一的公共点A,

k

与反比例函数y=—(x>0)交于点C,与x轴交于点8,如果A5=25C,则A的值为

X

【答案】-5

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数解析式，联立方程组根据只有一个交

点求出。值得到交点坐标4(2,2),根据直线解析式求出8点坐标，依据中点坐标公式分别求出点。和点C

坐标，即可得到左值，求出点C坐标是关键.

y=-x+a

【详解】解：联立方程组得4

尸一

Ix

整理得：X2-ax+4=0,

・・•只有一个交点,

△=a?—16=0,

〃=±4,舍去负值,

.,.(2=4,

国一次函数解析式为y=-x+4,

y=一犬+4

团联立方程组得，4,

y=-

IX

解得：％=2,x2=-2(舍去),

回点4(2,2),

•.•当y=0时，x=4,

5(4,0),

2+42+0

线段A5的中点。的横坐标为:——=3,纵坐标为：二^二1,

22

.•.0(3,1),

AB=2BC,

BD=BC,

=1

0-^,yc=-1,

2

AC（5,-l）,

工图象上,

。（5,—1）在反比例函数y

X

k=—5,

故答案为：-5.

16.（2024・广东深圳.罗湖区三模）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=9,cotA=2,点。在

边A3上，点E在边AC上，将沿着折痕OE翻折后，点A恰好落在线段5C的延长线上的点P处，

如果NB?D=NA,那么折痕OE的长为.

【答案】20

【解析】

【分析】过点。作£）/工4。于点F,首先根据题意可证得，ZBDP=90°,

tanA=tanZBPD=-=—=根据勾股定理即可求得3。=2叵，人。=竺心，再由折叠的性

ACPD255

质可知：AE=PE，AD=PD，即可求得BD—3,AD=PD=6,再根据勾股定理即可求得BP=3A/5，

。。=述，由。尸〃5。，可证得八位见口八钻。，t=竺=迫=2,据此即可求得。歹=述,

5BCACAB35

AF=^H,FC二处,再根据勾股定理即可求得EC=8叵，EF=^,据此根据勾股定理即可

5555

求得结果.

【详解】解：如图：过点。作£R_ZAC于点R

DF//BC,ZA+ZB=90%

ZBPD=ZA，

ZBPD+ZB=90°,

.\ZBDP=90°,

在中，ZACB=90°,cotA=2,

..tanA,—1—1,

cotA2

,/neBCBD1

..tunA—tanNBPD--——

ACPD2

在RtzXABC中，AC~+BC~=AB2,

:.4BC2+BC2=92,

解得BC=%叵，

5

.-.AC=^l，

5

由折叠的性质可知：AE=PE，AD=PD，

9-PD1

tanZBPD=--------=

PD2

解得PD—6，

:.BD=3,AD=PD=6

在RtABPD中，BD2+PD2=BP?,

:.BP=^+e=375-

:.CP=BP—BC=3后—=，

55

DF〃BC，

；qADFs_ABC,

DF_AFAD_6_2

"BC-AC-AB-9-3)

DFAF_2

9^/5-1875~3

丁5

解得。歹=二一,AF=——，

55

FC=AC.AF=©L©i2

555

在RtAECP中，EC2+CP?=PE2，

\2

EC2+-EC

/

解得EC=85

5

在RtADEF中，DE2=DF-+EF2，

故答案为：2拒.

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切的定义，作出辅助线及准确

找到各线段之间的关系是解决本题的关键.

17.（2024・广东深圳•南山区三模）如图，在矩形ABCD中，AD=3,AC=6,点E是A5中点，点

歹是对角线AC上一点，尸与ZVIEF关于直线所对称，EG交AC于点〃，当_CGH中有一个

内角为90。时，则CG的长为

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、含30。角的直角三角形

的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键.

因为四边形ABC。是矩形，所以A3=CD,?B90?,BC=AD=3,因为AC=6,所以

CD=AB=VAC^BCr=A/62-32=373>^BAC=3Q°,因为点E是AB的中点，所以

AE=BE=空，当.CGH中有一个内角为90。时，分两种情况:①当ZCGH=90°时，则EGLCD,

2

四边形5CGE是矩形，所以。6=5£=工45=之叵；②当NCHG=90°时，则NAHE=90°,所以

EH，AE=^

24

由折叠的性质得：GE^AE^—,所以GH=GE—叵—型=3叵，

【详解】解：：四边形ABCD是矩形,

AAB=CD,?B90?,BC=AD=3,

：AC=6,

,•CD-AB=VAC2—BC2-A/62-32=3^3'^BAC=30°，

•・•点E是AB的中点,

；•AE=BE=越

2

当,CGH中有一个内角为90。时，分两种情况:

当NCGH=90°时，如图1所示：

则EGLCD,四边形BCGE是矩形,

•••CG=BE==AB=^~；

22

当NCHG=90°时，如图2所示:

贝UNAHE=90°,

：.EH，AE=^，AH=ylAE2-HE2

24

915

CH=AC-AH=6——=—,

44

由折叠的性质得：GE=AE=正

2

GH=GE—EH=^—^=^，

综上所述，CG的长为士叵或上也;

22

故答案为乎或平.

18.（2024•广东深圳•南山区二模）已知.ABC,AB=AC,AO工BC,点尸在AC上，作石户，A3于

E,交延长线于G,连接位），NGFC=2ZEDA,DH=CG=2,则"的长为.

【解析】

【分析】可证得A、E、D、G四点共圆，推出/2=/3,推出AF=bG,证得△AFH0△GFC,得

到彼=FC,AH=CG=2,再证得八4。^40«0,从而得到AH=CG=CD==2,利用

2

三角形中位线定理以及△HRCs\GE4,可推出AF=—AC,利用勾股定理求得AC的长，即可求解.

Z3

【详解】解:连接HC,AG,如图：

,/AD1BC,EF±AB,

：.ZAEG=ZADG=90°,

.”、E、D、G四点共圆,

AZ1=Z2，

NGFC=2/1

：.ZGFC=2Z2,

又；ZGFC=Z2+Z3,

：.N2=N3,

：.AF=FG,

'：AB=AC,ADIBC,

N4=N5,

VZ4+ZB=90°,Z6+ZB=90°,

AZ4=Z5=Z6,

在，AFH和.GFC中，

"Z5=Z6

<AF=FG,

ZAFH=ZGFC

：..AFH^GFC(ASA),

：.HF=FC,AH=CG=2,

•：AF=FG,

：.AF+FC=FG+HF,

：.AC=GH,

在,ACD和46印)中，

ZADC=ZGDH=90°

<Z5=Z6,

AC=GH

.ACD^GHD(AAS),

CD=DH=2,

：.AH=CG=CD=DH=2,

・••点”为AD中点，点。为OG中点,

：.HC=-AG,HC//AG,

2

AHFCs^GFA,

.FCCH1

・,瓦一花一3'

：.AF=2FC,

：.AF=-AC,

3

在Rt^AC。中，AD=AH+DH=4,DC=2,

AC=ylAD2+DC2=V42+22=245，

AF=-AC=-X2A/5=-75.

333

故答案为：—A/5.

3

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，

四点