2025年指对幂函数试题及答案

指对幂函数试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共15分）

1.下列函数中，是幂函数的是（）

A.\(y=x^2+1\)

B.\(y=\sqrt{x}\)

C.\(y=x^3\)

D.\(y=\frac{1}{x}\)

2.幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图像在\(y\)轴上的截距为（）

A.0

B.1

C.\(\alpha\)

D.\(\alpha^2\)

3.若幂函数\(y=x^{\alpha}\)在\(x=1\)时取最小值，则\(\alpha\)的取值范围是（）

A.\(\alpha>0\)

B.\(\alpha<0\)

C.\(\alpha=0\)

D.\(\alpha\neq0\)

4.幂函数\(y=x^{\alpha}\)在\(x=0\)处的值是（）

A.0

B.1

C.不存在

D.无法确定

5.幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图像与\(x\)轴的交点个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.无法确定

二、填空题（每题3分，共15分）

6.幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图像在\(x\)轴上的截距为______。

7.当\(\alpha=-1\)时，幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图像是______。

8.幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图像在\(y\)轴上的渐近线方程是______。

9.若幂函数\(y=x^{\alpha}\)在\(x=2\)时取得最大值，则\(\alpha\)的取值范围是______。

10.幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图像在\(x=0\)处的导数是______。

三、解答题（每题10分，共20分）

11.请证明：幂函数\(y=x^{\alpha}\)在\(x=1\)处的导数等于\(\alpha\cdotx^{\alpha-1}\)。

12.请说明幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图像在\(x\)轴上的截距和\(y\)轴上的渐近线方程。

四、计算题（每题10分，共20分）

13.若幂函数\(y=x^{\alpha}\)在\(x=2\)时取得最小值，求\(\alpha\)的值。

14.已知幂函数\(y=x^{\alpha}\)在\(x=1\)处的导数等于\(4\)，求\(\alpha\)的值。

五、应用题（每题10分，共20分）

15.一物体做匀速直线运动，速度\(v\)与时间\(t\)的关系可表示为\(v=k\cdott^{\beta}\)，其中\(k\)和\(\beta\)是常数，且\(k>0\)，\(\beta\neq0\)。若物体在\(t=1\)秒时的速度为\(5\)米/秒，求\(\beta\)的值。

16.一个人在爬楼梯，每分钟可以爬\(n\)阶楼梯，楼梯总数为\(m\)阶。设\(h\)为爬楼梯的高度（米），\(d\)为楼梯的宽度（米），则\(h\)与\(n\)和\(d\)的关系可以表示为\(h=kn^{\alpha}\)，其中\(k\)和\(\alpha\)是常数，且\(\alpha\neq0\)。若此人爬\(10\)分钟共爬了\(100\)阶楼梯，且每阶楼梯的宽度为\(0.5\)米，求\(\alpha\)的值。

六、综合题（每题10分，共20分）

17.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，求函数在\(x=1\)处的切线方程。

18.某商品的单价为\(p\)元，销售量为\(q\)件，总成本为\(C\)元，其中\(C=100+10q+0.5q^2\)。求当\(q=50\)件时的平均成本。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.C。幂函数的定义是形如\(y=x^{\alpha}\)的函数，其中\(\alpha\)是常数。选项C符合这个定义。

2.B。当\(x=0\)时，\(y=0^{\alpha}=0\)，所以图像在\(y\)轴上的截距为0。

3.A。当\(\alpha>0\)时，函数在\(x=1\)处取得最小值。

4.A。当\(x=0\)时，\(y=0^{\alpha}=0\)。

5.A。当\(\alpha\neq0\)时，图像与\(x\)轴有一个交点。

二、填空题答案及解析思路：

6.0。幂函数在\(x=0\)处的值为0。

7.双曲线。当\(\alpha=-1\)时，函数变为\(y=\frac{1}{x}\)，其图像是双曲线。

8.\(y=0\)。幂函数在\(y\)轴上的渐近线是\(y=0\)。

9.\(\alpha<0\)。当\(\alpha<0\)时，函数在\(x=2\)处取得最大值。

10.0。当\(x=0\)时，\(y=x^{\alpha}\)的导数不存在，但在\(x=0\)处导数为0。

三、解答题答案及解析思路：

11.证明：\(f(x)=x^{\alpha}\)，则\(f'(x)=\alpha\cdotx^{\alpha-1}\)。在\(x=1\)处，\(f'(1)=\alpha\cdot1^{\alpha-1}=\alpha\)。

12.解答：幂函数\(y=x^{\alpha}\)在\(x\)轴上的截距为0，因为当\(x=0\)时，\(y=0\)。\(y\)轴上的渐近线方程为\(y=0\)，因为当\(x\)趋向于无穷大或无穷小时，\(y\)趋向于0。

四、计算题答案及解析思路：

13.解答：\(y=x^{\alpha}\)在\(x=2\)处取得最小值，所以\(\alpha<0\)。设\(\alpha=-\frac{1}{n}\)，则\(y=x^{-\frac{1}{n}}\)。在\(x=2\)时，\(y=2^{-\frac{1}{n}}\)取得最小值，解得\(n=1\)，所以\(\alpha=-1\)。

14.解答：\(y=x^{\alpha}\)的导数为\(f'(x)=\alpha\cdotx^{\alpha-1}\)。在\(x=1\)时，\(f'(1)=\alpha\cdot1^{\alpha-1}=\alpha=4\)，所以\(\alpha=4\)。

五、应用题答案及解析思路：

15.解答：\(v=k\cdott^{\beta}\)，在\(t=1\)时，\(v=k\cdot1^{\beta}=k\cdot1=5\)，所以\(k=5\)。因此，\(v=5\cdott^{\beta}\)。当\(t=1\)时，\(v=5\)，所以\(\beta=1\)。

16.解答：\(h=kn^{\alpha}\)，在\(n=10\)时，\(h=k\cdot10^{\alpha}\)。总成本\(C=100+10q+0.5q^2\)，在\(q=50\)时，\(C=100+10\cdot50+0.5\cdot50^2=100+500+1250=1750\)。平均成本\(\frac{C}{q}=\frac{1750}{50}=35\)。因为\(h=kn^{\alpha}\)，所以\(35=k\cdot10^{\alpha}\)，解得\(\alpha=\frac{\log35}{\log10}\)。

六、综合题答案及解析思路：

17.解答：\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，\(f'(x)=3x^2-6x\)。在\(x=1\)时，\(f'(1)=3\cdot1^2-6\cdot1=-3\)，所以切线斜率为-3。切点为\((1,f(1))=(1,2)\)。切线方程为\(y-2=-3(x-