导数的综合应用-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第22讲导数的综合应用

【人教A版2019】

目录

r模块一：导数中的函数零点（方程根）问题

一模块二：导数中的不等式问题

夯基•基础知识梳理

j模块三：导数中的双变量问题

J模块四：导数在解决实际问题中的应用

题型1利用导数研究函数零点（方程根）

题型2利用导数证明不等式

导数的综合应用题型3利用导数研究不等式恒成立问题

题型4利用导数研究存在性问题

题型5利用导数研究双变量问题

题型6导数中的新定义问题

题型7导数在实际问题中的应用

课后提升练（19题）

模块一飞、导数中的函数零点（方程根）问题

►►知识梳理

1.导数中的函数零点（方程根）问题

利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法:

（1）利用导数研究函数/U）的最值，转化为图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

（2）分离参变量，即由兀0=0分离参变量，得a=g（x）,研究y=a与尸g（x）图象的交点问题.

2.与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特

殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

A题型归纳

【题型1利用导数研究函数零点(方程根)】

「e%%>—1

【例1.1X23-24高二下•湖南益阳・期中)已知函数/(%)=J(X)(x)—x+a,

Iin\x)fx

若g(%)存在3个零点，则〃的取值范围是()

A.B.(1,|+1)C.[-|-1,-1]D.[一：一1,一1)

〈0)

inxf]、，若关于x的方程产⑺—(a+l)/(>)+a=

0有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为()

C(*)

【变式1.1](23-24高二下•四川遂宁•阶段练习)已知函数/'(x)=x3+2ax2+bx+a-1在刀=-1处取得

极值0，其中a,beR.

⑴求a,6的值;

(2)当尤G[-1,2]时，方程/(久)=k有两个不等实数根，求实数k的取值范围.

【变式1.2](2024・湖南郴州"模拟预测)己知函数/(久)=2alnx+}/一缶+2)久，其中a为常数.

(1)当a>0时，试讨论“X)的单调性；

(2)若函数/(%)有两个不相等的零点与，久2，

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：/+久2>4.

模块二N导数中的不等式问题。|

►知识梳理

i.导数中的不等式证明

(1)一般地，要证/(x)>g(x)在区间(。，6)上成立，需构造辅助函数—x)=/U)—g(x),通过分析F(x)在端点

处的函数值来证明不等式.若尸(a)=0,只需证明尸(x)在(a,6)上单调递增即可；若F(b)=O,只需证明尸(x)

在(a,6)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

2.导数中的不等式恒成立、存在性问题

解决不等式恒(能)成立问题有两种思路：

(1)分离参数法解决恒(能)成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另

一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题.

(2)分类讨论法解决恒(能)成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.

►题型归纳

【题型2利用导数证明不等式】

【例2.1](24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/(%)=(%—1)(%+2alnx—In2%—1).

(1)当a=0时，证明：/(%)存在唯一零点；

(2)当a之ln2—1时,证明：/(%)>0.

【例2.2】(24-25高三上•全国•阶段练习)已知函数f(%)=ex+x2—(ax+1),xER的图象在％=0处的切

线方程为y=—x.

(1)求a的值；

(2)证明:/(%)>%2-1.

【变式2.11(24-25高三上・贵州贵阳•阶段练习)已知函数/(x)=-#，+4於-ax/O)有两个极值点判,久2.

(1)求a的取值范围；

(2)iIE明：ci—(a—l)lna—2Vo.

【变式2.2](24-25高三上•内蒙古包头•开学考试)设函数/(%)=

(1)证明：/(%)有两个零点；

⑵记尸⑺是/(久)的导数，久1，亚为/(%)的两个零点，证明：/(包詈)>-1.

【题型3利用导数研究不等式恒成立问题】

【例3.1](24-25高三上•安徽六安•阶段练习)对于％E(0,+oo),不等式e%-ln(mx)+(1-m)x>0恒成

立，则实数机的取值范围为()

A.0<m<1B.0<m<1C.0<m<eD.0<m<e

【例3.2](2024.陕西铜川.模拟预测)已知函数f(%)=亍一ln(x-1)一Ina+1,若/(%)20对任意的工£

。+8)恒成立，贝南的取值范围是()

A.(0,Ve]B.(0,e]C.(0,el]D.(0,e2]

【变式3.11(24-25高三上•辽宁大连•期中)已知函数/(%)=%2+alnx—(a+2)%,g(x)=xlnx—x—a+1,

aER.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若f(%)+1>g(%)+aln%对任意%>1恒成立，求实数a的取值范围.

【变式3.2](24-25高三上•北京•阶段练习)设函数/(X)=Ta£2—(2a+l)K+ln(x—l)+4.其中a>0.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当a=：时.对于V%i，X2C(2,m],不等式f(久2)32/(%1)-[恒成立，求m的取值范围.

【题型4利用导数研究存在性问题】

【例4.1](2024高三・全国・专题练习)若故€(0,+8),使得不等式Inx-2ax+1N0成立，则实数a的取

值范围是()

A.[―,+8)B.[1,+8)C.(-00,—]D.(-8,1]

【例4.21(23-24高三上•全国•阶段练习)已知函数/(久)=3x>0.若存在实数ae[0,1],使得f(1一小)<

a3-3a+工成立，则正实数小的取值范围为()

e

A-&1]B.[”]

C.(0,1)D.(0,1]

【变式4.1](2024・四川乐山•三模)已知函数/'(x)+In%—ax2

(1)当a=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)若存在%。€(1,+8),使得f(Xo)>O，求a的取值范围.

【变式4.2](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=d—2aln%—2(aeR).

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若不等式/(无)<2(lnx)2+x2-2x在区间(1,+8)上有解，求实数a的取值范围.

模块三;、导数中的双变量问题

►知识梳理

1.导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数

不等式的方法：

一是转化，即由己知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

►题型归纳

【题型5利用导数研究双变量问题】

【例5.1】(23-24高三上•山东•阶段练习)已知函数/(%)=e2x,,g(x)=%-1,对任意刈ER,存在冷6(0,+8),

使f(%i)=0(%2)，则久2-汽1的最小值为()

A.1B.V2

71

C.2+ln2D.-+-ln2

22

【例5.2](23-24高二下•四川眉山•阶段练习)已知函数f(%)=e%+a%有两个零点%I,%且X1>%2，则下

列说法不正确的是()

A.a<—eB.%1+外>ln(%i%2)+2

C.>1D./(%)有极小值点

【变式5.1](23-24高二下.广东揭阳•阶段练习)设函数/(%)=ln%+%2—a%(aeR).

⑴当a=3时，求函数/(%)的单调区间；

(2)若函数/(%)有两个极值点%1/2，且%1e(0,1]，求/(%i)-/(&)的最小值.

【变式5.2](23-24高二下•江苏盐城•开学考试)已知函数f(%)=(x-l)e支+2a(x2+l)(aeR).

(1)讨论函数的单调性；

(2)当函数仅有两个零点时.

①求实数a的取值范围；

②求证：x1+x2<0.

【题型6导数中的新定义问题】

【例6.1](23-24高二下.江西萍乡•期中)对于三次函数/(£)=ax3+bx2+ex+d(a*0),给出定义：/'(%)

是y=/(x)的导函数，尸'(久)是尸(为的导函数，若方程r'(久)=0有实数解而，则称点(久。/0。))为函数y=

/(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”

就是对称中心.设函数或")=淖-#+3”*则g(募)+g(急)+…+g(翳)=()

A.2022B.2023C.2024D.2025

【例6.2)(23-24高二下•江苏常州•期中)设/(%)定义在R上,若对任意实数3存在实数无〜冷，使得止止幽=

f'(t)成立，则称f(x)满足“性质T”，下列函数满足“性质T”的有()

A./(%)=x3—3xB./(%)=ex-1C./(x)=sin2xD./(%)=

【变式6.1](23-24高三下•重庆•期中)若函数f(x)在定义域内存在两个不同的数与,冷，同时满足/(/)=

/(右)，且/(x)在点(/,/(/)),(0"(久2))处的切线斜率相同，则称/0)为“切合函数”

(1)证明:fix)Mx3-2x为“切合函数”；

(2)若g(x)=x\nx-x2+ax为“切合函数”，并设满足条件的两个数为万],小-

(i)求证：xrx2<

2

(ii)求证：(a+1)X1X2-，久i久2<|-

【变式6.2］(24-25高三上•内蒙古赤峰•阶段练习)若函数/(%)在［a,切上存在久1，久2(。＜久1＜血＜b)，使得

a

/'0)=八,/(右)=，则称/0)是［a,6］上的“双中值函数”，其中修,乂2称为/0)在上的

7D—⑷CLu-CL*，()

中值点.

⑴判断函数/(久)=/_3/+1是否是［—1,3］上的“双中值函数”，并说明理由；

(2)已知函数/(%)=|%2一xlnx-ax,存在＞n＞0,使得f(TH)=/(n),且f(%)是阿TH］上的“双中值函数”,

xlfx2是f(%)在［九,租］上的中值点.

①求a的取值范围；

②证明：％i+%2＞a+2.

模块四N导数在解决实际问题中的应用。|

'-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

►知识梳理

1.导数在解决实际问题中的应用

(1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解

时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境”翻译为数学语言，抽象成数学问题，

再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.

(2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本

不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.

(3)利用导数解决实际问题的一般步骤

A题型归纳

【题型7导数在实际问题中的应用】

【例7.11（24-25高三上•重庆・开学考试）已知直角^的斜边长为2,若沿其直角边所在直线为轴，

在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（）

A8A/3D4A/3「5遮「16A/3

A.——nB.——iiC.——TCD.-----ir

279927

【例7.2]（23-24高二下.吉林.期末）某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15

万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额y（单位：万元）与莲藕种植量单位：万斤）满足y=-i%3+

6

3x2+x,要使销售利润最大，每年需种植莲藕（）

A.12万斤B.10万斤C.8万斤D.6万斤

【变式7.1]（23-24高一上.上海.期末）学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如图，运动场由一

个矩形力BCD和分别以4D、BC为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，

其它地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元.

（1）设半圆的半径04=r（米），试建立塑胶跑道面积S与r的函数关系式S（r）；

（2）由于条件限制r6[30,40],问当r取何值时，运动场造价最低？（精确到元）.

【变式7.2]（23-24高三上•安徽•期中）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武

湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉.夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现

观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛

开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P在半圆形的中轴线

OC上（图中。C与直径2B垂直，P与O,C不重合），通过栈道把P4,PB,PC,AB连接起来，使人行在其中，犹

如置身花海之感.已知4B=200m,NP4B=8,栈道总长度为函数〃。).

⑴求/⑻；

(2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P的位置，使实现该愿景的建造费用最小(观景台的建造费用

忽略不计)，并求出实现该愿景的建造费用的最小值.

A课麻棺(19题)

一、单选题

1.(24-25高三上•山西忻州•阶段练习)已知a>0,设函数/(x)=e2x+(2—a)x—Inx-Ina,若/'(x)>0在

(0,+8)上恒成立，则a的取值范围是()

A.(0,|]B.(0,1]C.(0,e]D.(0,2e]

2.(23-24高二下.广东广州.期末)下列四个不等式①In%<%<ex,②e%T之％，③Inx>%—1,④x\nx>

%-1中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

3.(2024高三.全国.专题练习)小李准备向银行贷款久(0<%<10)万元全部用于某产品的加工与销售，据

测算每年利润y(单位：万元)与贷款x满足关系式y=lnx-%-?+9,要使年利润最大，小李应向银行贷

款()

A.3万元B.4万元C.5万元D.6万元

4.(2024・安徽・模拟预测)给出定义：若函数/(%)在。上可导，即/(%)存在，且导函数r(%)在。上也可导，

则称/(%)在。上存在二阶导数，记/〃(%)=(/'(%))'.若/〃(%)<0在。上恒成立，则称/(%)在。上为凸函数.

以下四个函数在(0,9上不是是凸函数的是()

A./(%)=sin%+cosxB./(%)=Inx-2x

C.f（x）=—%3+2x—1D./（x）=—xe~x

5.（23-24高二下•广东广州•阶段练习）己知函数/（x）=x\nx,若存在xG（0,+8）,使得/（无）<土詈匚成

立，则实数m的最小值是（）

A.-2B.-1C.-D.4

2

6.（23-24高三上.天津•期中）已知函数/（X）=J，<0,若函数y=/（x）-或有且只有3个零点,

lln（x+1）,%>0

则实数k的取值范围为（）

A.%B.I4C.(1,+8)D.I1

7.（23-24高二下•福建福州•期中）已知函数f（%）=（x-2）e%,若f(%1)=/(%2),且%1。X2>0,

则()

3

A.!B.%2C.%i%2>1D./+g<2

ex+l,x<1

8.（2024・山西太原•二模）已知函数/（%）=1，若方程/（%）-川％+2|=0恰有三个不

—%2+4%—1,%>

同实数根，则实数左的取值范围是（)

A.(0,8-2VT3)U(1,+OO)

B-(冷)

C.(|,8-2何U(1再

二、多选题

9.（24-25高三上•河南•阶段练习）已知对任意%>0,不等式e*-ax3+2ax2\nx>0恒成立，则实数a的

可能取值为（）

A.1B.-C.eD.e2

2

10.（24-25高三上•黑龙江绥化•阶段练习）已知函数/（X）=a%3一3x+1,则（）

A./（久）在单调递减，则a