导数压轴大题归类知识清单（15题型提分练） 原卷版-2025年高考数学一轮复习

导数压轴大题归类知识清单（15题型提分练）

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目录

题型一：不等式证明1：无参基础思维型.........................................................1

题型二：不等式证明2：有参数型基础证明.......................................................2

题型三：极值点偏移：和型......................................................................2

题型四：极值点偏移：积型......................................................................3

题型五：极值点偏移：含参型....................................................................3

题型六：极值点偏移：平方型....................................................................4

题型七：极值点偏移：非对称型..................................................................5

题型八：比值代换型证明.........................................................................5

题型九：三零点型不等式证明....................................................................6

题型十：三角函数型不等式证明..................................................................7

题型十一：零点与求参..........................................................................7

题型十二：三个零点型求参......................................................................8

题型十三：恒成立求参：三角函数型..............................................................8

题型十四：恒成立求参：整数解型................................................................9

题型十五：能成立求参：双变量型...............................................................10

良突围・檐;住蝗分

题型一：不等式证明1：无参基础思维型

L——一—_—__一一_一_―_一_一一一—一一一一一一一一________一___________一一一__________________________

"旨I点I迷I津

证明不等式基础思维：

：L移项到一侧，证明函数的最值大于0（小于0）证明法

2.恒等变形，再证明新恒等式法。

1.(四川省金太阳普通高中高三第三次联考数学)已知函数7'(x)=ax2_(l+2a)x+lnx.

(1)讨论/(x)的单调性.

(2)当a=0时，证明：—>—-X2-2/(X).

x10')

2.已知函数y(x)=3"叱.

X

(1)讨论函数/(X)在［1,2］上的单调性；

(2)若。=-1,求证：〃x)>-3x-2在(0,+与上恒成立.

3.(2022•河南南阳•南阳中学校考模拟预测)已知函数〃x)=ae―4x,aeR.

(1)求函数/(尤)的单调区间；

(2)当°=1时，求证：/(x)+x2+1>0.

题型二：不等式证明2：有参数型基础证明

;指I点I迷I津

有参数型不等式证明：

通过参教范围，确定由教的单调性，然后利用最值裁缩证明不等式

1.(2024高三•全国•专题练习)设函数〃x)=e*-alnx.

⑴当。=1,求/(x)在点(Le)处的切线方程;

(2)证明：当。>0时，f(x)>2a-a\na■

2.(2024•全国•高考真题)已知函数/(x)=a(x-l)-lnx+l.

⑴求的单调区间；

(2)当。<2时，证明：当x>l时，/(x)<ei恒成立.

3.(2024•江苏苏州•模拟预测)已知函数/(x)=lnx+ax+l,aeR.

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)当。42时，证明：<e2x.

X

题型三：极值点偏移：和型

指I点I迷I津

处理极值点偏移问题中的类似于玉+工2>4的问题的基本步骤如下：

①求导确定f(x)的单调性，得到的范围；

②构造函数尸(x)=/(x)-/(a-x),求导后可得尸(X)恒正或恒负；

③得到/(网)与/-再)的大小关系后，将〃占)置换为/(3)；

④根据巧与a-玉所处的范围，结合/(无)的单调性，可得到乙与。-无1的大小关系，由此证得结论.

1.(22-23高三广东深圳•阶段练习)已知函数/(x)=:("0).

e

①若对任意的xeR,都有/(x)4L恒成立，求实数a的取值范围;

e

⑵设加，〃是两个不相等的实数，且加="e"f.求证：加+〃>2.

2.(22-23高三・陕西安康)已知函数

⑴当a=1时，求曲线V=〃x)在点(-lj(-l))处的切线方程；

(2)若函数/(X)有两个不同零点三,吃,求。的取值范围，并证明玉+々>0.

3.(2023•河南平顶山•模拟预测)已知函数/(x)=e*-xlnx-办-l(aeR)有两个零点.

⑴求。的取值范围；

(2)设为,三是/(x)的两个零点，证明：X1+x2>2.

题型四：极值点偏移：积型

:指I点I迷I津

处理极值点偏移问题中的类似于再马<a(/(xj=7@2))的问题的基本步骤如下：

；①求导确定/(X)的单调性，得到冷超的范围；

②构造函数尸(X)=/(X)-H1,求导可得F3恒正或恒负；

③得到/(再)与/-的大小关系后，将/(再)置换为/(z);

④根据巧与/的范围，结合/(X)的单调性，可得巧与/的大小关系，由此证得结论.

1.(22-23高三上•北京房山•期中)已知函数/(x)=lnx-x

⑴求函数/(x)单调区间；

⑵设函数g(x)=/(x)+a,若占,尤2e(O,e］是函数g(x)的两个零点,

①求。的取值范围；

②求证：XjX2<1.

2.(2024•广东湛江•一模)已知函数〃x)=(l+lnx)e哈•

(1)讨论/'(x)的单调性；

(2)若方程/(力=1有两个根不，求实数a的取值范围，并证明：^>1.

3.(23-24高三•河南•阶段练习)已知函数/■(x)=gax2-(2a+l)x+21nxmeR).

⑴若/(x)有唯一极值，求a的取值范围；

(2)当aVO时，若/(网)=/(%)，%彳了2，求证：x\xi<4'

题型五：极值点偏移：含参型

1指I点I迷I津

含参型极值点偏移：

1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；

2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

1.(23-24高三上•江苏镇江•阶段练习)已知函数/(x)=lnx+干,aeR.若函数/'(x)有两个不相等的零点%,马.

⑴求a的取值范围；

(2)证明：xx+x2>Aa.

2.(22-23高按•四川泸州)已知函数g(x)=e'-2a(x-l),e为自然对数的底数.

⑴若函数g(x)在(1,+s)上有零点，求”的取值范围；

(2)当。>0,再片小，且g(xJ=g(X2)，求证：X1+x2<21n(2a).

3.(21-22高三•河南郑州・)已知函数”x)=(lnx-"l)x(左eR).

(1)当x>l时，求/(x)的单调区间和极值；

2k

(2)若网力马，且/(占)=/(%),证明：XjX2<e

题型六：极值点偏移：平方型

指I点I迷I津

对于平方型，可以应用对数平均不等式卮<“一：<九芥证明极值点偏移:

In再-lnx22

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到*一：；

i।nX]in

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

1.(2024•吉林•二模)在平面直角坐标系xQy中，RbO/B的直角顶点A在X轴上，另一个顶点B在函数

〃x)=¥图象上

⑴当顶点8在x轴上方时，求RbCMB以x轴为旋转轴，边4B和边08旋转一周形成的面所围成的几何体

的体积的最大值；

(2)已知函数g(x)=e“、ex+ax2—l,关于x的方程〃x)=g(x)有两个不等实根“x2(Xl<x2).

(i)求实数。的取值范围；

2

(ii)证明：x；+工；>—.

2.(22-23高三•辽宁•模拟)已知函数/(x)=1n叶1.

ax

(1)讨论;'(X)的单调性；

(2)若(exj%=(%广(e是自然对数的底数)，且%>0,x2>0,再W%，证明：x；+x：>2.

3.(2023•广东广州•模拟预测)已知函数/(x)=lnx-办2.

(1)讨论函数/(x)的单调性：

(2)若再,三是方程/(x)=0的两不等实根，求证：x；+x；>2e；

题型七：极值点偏移：非对称型

1.(2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=l-Inx-f(aeR).

⑴求/(x)的单调区间；

⑵右f(无)有两个零点X1，X2,且X；<%2>求证：xfx2<e-a.

2.(22-23高三•福建福州)已知函数/(力=111丫-。(％-2)(aeR).

⑴试讨论函数/(尤)的单调性；

3

(2)若函数/(X)有两个零点X],X?(西〈尤2),求证：XJ+3X2>--67+2.

3.(21-22高三・浙江・模拟)已知函数〃x)=lnx-x.

⑴求函数〃x)的单调区间；

(2)若函数y=/(x)的图象与3=加(加eR)的图象交于/(再,为),8(%,%),(为<9)两点，证明:

2x1+x2>4-2In2.

题型八：比值代换型证明

指I点I迷I津

应用对数平均不等式XL：<土产证明极值点偏移:

In玉-lnx22

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到I；

in*X]一in:

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

构造对数不等式时，比值代换是常见经验思维：

1.一般当有对数差时，可以运算得到对数真数商，这是常见的比值代换形式

2.两个极值点(或者零点)，可代入得到两个“对称”方程

3.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。

1.(2023•山西运城•山西省运城中学校校考二模)已知函数/(x)=X?+2cosxJ'(x)为函数/(%)的导函数.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)已知函数g(x)=7'(x)-5x+5aln无，存在g(xj=8(超)(再Wx?),证明：xl+xi>2a.

2.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=lnx+/0!x2-(a+i)x,(qeR).

(1)当。=1时，判断函数y=/(x)的单调性；

⑵若关于x的方程/(无有两个不同实根玉,马，求实数。的取值范围，并证明x「X2>e2.

3.(21-22高三・重庆•模拟)已知函数〃x)=lnx-a无+6(a,6eR)有两个不同的零点玉,2.

⑴求了(x)的最值；

(2)证明：x,x<―.

2a

题型九：三零点型不等式证明

指I点I迷I津

三个零点型不等式证明常见思维，关键是问题的转化.证明不等式问题第一步转化是消元，把三个根用一

个变量加表示，第二步构造新函数g(〃?)，证明g(M的最小值g(町))>0,第三步由导数求得极小值点明的

范围，并对g(叫))变形，第四步换元好/加),最终转化为关于/的多项式不等式，问题易于解决.

1.(广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三上学期四校联考数学试题)

无2

/(x)=--a(x-1)+(a-1)Inx,a>2

已知函数

(1)求函数〃x)的单调区间；

(2)若/⑴且证明：Vxe(l,m),(a-l)lnx>尤-1；

丫2I—

(3)记方程5~-4x+31nx=-4的三个实根为再，x,,x3,若改<乙<X3，证明：x3-x2<2^/3.

2.(浙江省舟山中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数

f(x)=(x+1)lux+a^x-1),aGR

(1)求函数y=/'(x)的最小值;

(2)若/(x)有三个零点看,无2，尤3,

①求。的取值范围；

1113

②求证:------1-------1------<一

hiX]+alnx2+alnx3+aa

犬+2x—1x<0

3.已知:一，关于x的方程/a)="?的不同实数解个数为k.

Inx,x>0

(1)求k分别为1,2,3时，m的相应取值范围；

35

(2)若方程/(%)=加的二个不同的根从小到大依次为国，求证：x1+x3>x2——m――.

题型十：三角函数型不等式证明

;指I点I迷I津

对于含有三角困教型不等式证明:

:1.证明思路和普通不等式一样。

2.充分利用正余弦的有界性

(x_sinx+cosx-1

1.(河南省开封市杞县高中2023届高三文科数学第一次摸底试题)已知函数,为一产

⑴求函数/'(x)在(0,万)内的单调递减区间；

(2)当xe[0,+oo)时,求证:/(x)<x.

/(x)=Inx+—

2.(云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学(理)试题)己知函数x,

g(x)=e、'+sinx,其中.eR.

(1)试讨论函数/(x)的单调性；

(2)若。=1,证明：〃x)<3.

X

3.已知函数/(x)=e-+bsinx-l的图象在原点处的切线方程为了=2x.

⑴求函数V=/(x)的解析式；

(2)证明:f[x}>2x.

题型十一：零点与求参

:指I点I迷I津

i函数零点的求解与判断方法：

⑴直接求零点：令/(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[。回上是连续不断的曲线，且〃a)〃6)<0,还必须结合函

；数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的

i值，就有几个不同的零点.

1.(23-24高三广东清远・模拟)己知定义在正实数集上的函数〃x)=gx2+2办，g(x)=3/lnx+b.

⑴设两曲线V=/(x),V=g(x)有公共点为尸，且在点P处的切线相同，若。>0,求点P的横坐标；

(2)在(1)的条件下,求证：/(x)>g(x)；

(3)若Z)=0,以幻=!/(乃+冬?-9/,函数以x)在定义域内有两个不同的零点玉应，求实数。的取值范围.

23a4

2.(23-24高三上•西藏林芝•期末)已知函数〃力=砂+办-1(。€阳.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若函数f(x)在x=l处取得极值，不等式/(x)26x-l对Vxe(O,+8)恒成立，求实数6的取值范围;

⑶若函数/(x)在定义域内有两个不同的零点，求实数。的取值范围.

3.(22-23高三上•福建福州•阶段练习)已知函数/(x)=lnx+ax(aeR).

⑴当a=-l时，求“X)在点口/6))处的切线方程；

(2)若/(x)在(03)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

题型十二：三个零点型求参

4

1.(23-24高三•湖北省直辖县级单位•模拟)若函数〃x)=ax3-6x+4,当x=2时，函数/⑴有极值-

⑴求函数的极值；

(2)若关于X的方程“无)=k有三个零点,求实数k的取值范围.

2.(23-24高三•云南玉溪・模拟)设/(力=g-5产+61吟曲线尸〃力在点。，/⑴)处的切线与y轴相交

于点(0,6).

⑴求实数。的值；

(2)若函数v=/(x)+6有三个零点，求实数6的取值范围.

4

3.(2022高三•河南南阳•专题练习)若函数/(x)=a(x-l)3-6(x-1)+4,当x=3时，函数/⑶有极值-鼠

⑴求函数/(x)的解析式；

(2)若关于尤的方程=k有三个零点,求实数k的取值范围.

题型十三：恒成立求参：三角函数型

;指I点I迷I津

不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),xe[a,6],y=g{x),x^\c,d]

⑴若“c[4例,也小,引，总有/(xj<g(x2)成立，故/(x)1nl„<g(z)1nhi；

；⑵若“目2"，Bx2e[c,d],有/(xj<g(9)成立，故/(力2<gHL；

(3)若叫e[a,6],3x,e[c,d],有〃再)<g(9)成立，故/(力1nhi<g(%)1n^,；

(4)若修«则,3X2e[c,d],有/(xj=g(xj,则/(x)的值域是g(x)值域的子集.

1.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e*+acosx.

⑴若函数/(X)在区间(0,兀)上单调递增，求实数。的取值范围.

(2)当xe05时，“X”办恒成立，求实数。的取值范围.

2.(2023•河南洛阳•校联考模拟预测)已知函数〃x)=，-,xe

COSX

⑴求/(X)的最值;

(2)当xe时，/(“。。立-x(l+cosx)+a20,求实数。的取值范围.

3.(2023上•福建莆田,高三莆田第十中学校考期中)已知函数/(x)=e-l-asinx.

⑴若曲线N=在点(0J(0))处的切线方程为k0,判断当x>0时函数/(x)的单调性;

(2)当。=2时，"022<3-5(<；€2)在工€[0,兀]恒成立，求。的最大值.

题型十四：恒成立求参：整数解型

;指I点I迷I津

解决不等式恒成立问题，常用方法有：

：(1)将原不等式变形整理，分离参数，继而构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；

：(2)直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于(或小于等于)

0,解不等式即可.

1.(2023•山东•山东省五莲县第一中学校联考模拟预测)已知函数-x+lnx),其导函数为

⑴若/(x)在(1，+8)不是单调函数，求实数〃的取值范围；

(2)若/(x)20在(1,+s)恒成立，求实数。的最小整数值.1227.39)

2.(2023下•天津滨海新•高二统考期末)已知函数〃x)=lnx-mx2+(1-2加)x+l,(meR).

⑴若/⑴=T,求心的值及函数〃x)的极值；

(2)讨论函数“X)的单调性：

⑶若对定义域内的任意x,都有/(x)V0恒成立，求整数加的最小值.

3.(2023下•辽宁朝阳•高二校联考期末)已知函数/(x)=ae-ln(x+2)(aeR),

⑴若。=-