反比例函数中的等腰三角形（解析版）

专题04反比例函数中的等腰三角形

4

1.如图，点A是反比例函数》=—图像上的一动点，连接力。并延长交图像的另一支于点5.在点A

的运动过程中，若存在点。（加，耳，使得AC=BC,则加，〃满足（）

【答案】B

【分析】连接。C,过点A作轴于点过点。作。尸，歹轴于点尸，根据等腰直角三角形

的性质得出通过角的计算找出=,结合〃乙4£。=90。，/。尸。=90。〃可得

tH\AOE=\COF,根据全等三角形的性质，可得出4-加,〃），进而得至I」-加〃=4,进一步得到加〃=-4.

【详解】解：连接0C,过点A作轴于点E,过点。作天轴于点方，如图所示：

4

,・,由直线AB与反比例函数V=-的对称性可知A、5点关于。点对称,

x

AO=BO,

又Q/CJ_3C,AC=BC,

COLAB,CO=-AB=OA,

2

••ZAOE+ZAOF=90°fZAOF+ZCOF=90°f

NAOE=ZCOF,

又・・・ZAEO=90。,/CFO=90。，

..AAOE=ACOF(AAS),

第1页共34页

:.OE=OF,AE=CF,

•・•点C（W）,

/.CF=-m,OF=n,

二.AE=-m,OE=n,

4

,・,点A是反比例函数>=一图像上，

X

：.-mn=4,ipmn=-4,

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质

以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点A的坐标.

2.已知，在平面直角坐标系中，/的坐标为(4,0),点8是。/中点，点C(2,〃)在y=£i(x>0)的

图像上，点。从点。出发沿着>=逋(》>0)的图像向右运动，在形状的变化过程中，依次

A.直角三角形玲等边三角形玲等腰三角形玲直角三角形

B.直角三角形玲直用三角形好等腰三角形)等腰三角形

C.直角三角形玲等边三角形玲直角三角形好等腰三角形

D.等腰三角形玲等边三角形玲直角三角形玲等腰三角形

【答案】C

【分析】画出图形，然后把。依次从点C出发向右运动，即可得到△外形状的变化，从而得解.

【详解】解：由题意可知2(2,0)、C(2,述)，

2

在C点时，BDLx^,△48D为直角三角形，

当。点运动到(3,空)即(3,百)时，可以得到：

3

80=J(3-2y+(6『=2,ND==2,即BD=AD=AB=2,

：.此时AABD为等边三角形,

第2页共34页

当。点运动到(4,述)时，可以得到轴，即为直角三角形，

4

综上所述，只有C符合题意，

故选C.

【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，熟练掌握反比例函数的性质、直角三角形、等边三角形、

等腰三角形的意义是解题关键.

3.如图，^OAlBl,AAXA2B2,△4/383，……是分别以4，4，4，……为直角项点，一条直角边在

X轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点。1(匹,弘)，C2(x2,y2),C3(x3,y3),.…,均在反比

A.2^/2021B.272022C.472021D.442022

【答案】B

【分析】根据点。的坐标，确定经，可求反比例函数关系式，由点。是等腰直角三角形的斜边中

点，可以得到04/的长，然后再设未知数，表示点Cz的坐标，确定”，代入反比例函数的关系式,

建立方程解出未知数，表示点C的坐标，确定”，・・・・・・然后再求和.

【详解】解：如图，过C/、C2、C3......分别作X轴的垂线，垂足分别为。八。2、D3......

则NO2G=NOD2c2=NOD3c3=90°

•・・△044是等腰直角三角形

•••乙iQB[=45°

•••NOCQi=45°

OD、=CQ],

其斜边的中点G(X],乂)在反比例函数y=[(x>0)中

，G(2,2),即必=2,

OD[=D[A]-2,

第3页共34页

OAX=20D[=4,

设a,则CD=a

AXD2=22

4

此时将。2(4+w。)代入V=—得

x

a(4+a)=4,

角犁得“=28一2,即％=2a-2,

同理%=2石-2在

”=2“-2技

••%+%+...........+%022

=2+272-2+273-272+....2/2022-2/2021

=2J2022

【点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质

等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案.

4.如图，AO/C和都是等腰直角三角形，NACO=NADB=90°,反比例函数＞=9在第一象

X

限的图象经过点5,贝lUCMC与的面积之差黑比-S的。为（）

A.9B.12C.6D.3

【答案】D

第4页共34页

【分析】已知反比例函数的解析式为,根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(如

X

@)再结合已知条件求解即可；

m

【详解】解：如图，设点C(m0),

:点8在反比例函数y=9的图象上，

二设点5(冽，—).

・・・AOAC和都是等腰直角三角形，

・•・点/的坐标为伪，力，点。的坐标为仇，—),AD=BD,

m

.6

..n---=m-n,

m

化简整理得m2-2mn=-6.

SAOAC-SABAD=yn2-y(m-n)2=-ym2+mn=-y(m2-2mn),

：.SAOAC-SABAD=3.

故选D.

【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，三角形面积，等腰直角三角形的性质，解题的关

键在于能够熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征.

1Q2

5.如图，点A为函数y=1(x>0)图象上一•点，连结04,交函数y=((x>0)的图象于点B,点C

是x轴上一点，S.AO=AC,则三角形43C的面积为()

第5页共34页

【答案】B

【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点0、A、B在同一条直线上可以得到A、

B的坐标之间的关系，由A0=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到4ABC的

面积.

1O,

【详解】解：设点A的坐标为(a,二)，点B的坐标为(b,：),

ab

,点C是X轴上一点，且A0=AC,

二点C的坐标是(2a,0),

1Q

设过点O(0,0),A(a,—)的直线的解析式为：y=kx,

a

•史.

••—3K),

a

1Q

解得，|<=坟，

)1Q

又•点B(b,-)在y二上，

ba1

***7=解得，?=3或：=一3(舍去)，

babb

♦18r2

.2。—2a•—

.・SAABC=SAAOC-SAOBC=ab=18-6=12.

22

故选：B.

【点睛】本题考查反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意,

找出所求问题需要的条件.

第口卷(非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

6.如图,AOAJBI,AA1A2B2,△4皿心..是分别以4,也,出...为直角顶点,一条直角边在x轴正

半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点。，C2,a...均在反比例函数(x>o)的图象上，则

点也如的坐标为.

第6页共34页

【答案】(272021,0)

【分析】先设点。的坐标为(x」)，然后由点G是。片的中点得到点耳的坐标为(2x,2),进而得到

XX

22

4的坐标为(2x,0),即可得到O4=2X,44=4,然后由△04耳是等腰直角三角形得到2x=4,

XX

解方程得到X的值，即可得到点4的坐标；然后设点C，的坐标为(a,-)，进而得到点B,和4的坐标,

a

从而由等腰直角三角形的性质得到44=4修，求得。的值即可得到4的坐标，用同样的方法求得

点4坐标，结合点4、点4、4的坐标猜测规律，得到点4以的坐标.

【详解】解：设点G的坐标为(x2)，

X

•.•点。是的中点，

•••点生的坐标为(2X,2),

X

•••4的坐标为(2羽0),

2

/.OA=2x,AB=—,

XXXx

•・•△。4片是等腰直角三角形，

2

\OA=AB,即2x=—,

}XXX

解得：x=l或％=—1(舍)，

•••点4的坐标为(2,0)；

设点C,的坐标为(a-)，

a

・・•点是4名的中点,

•••点B的坐标为(2a-2,-),点4的坐标为(2a-2,0),

2a

442=2a—4,A，232——,

第7页共34页

△4^4是等腰直角三角形，

2

/.442="2'2'即2。—4——,

a

解得：a=l+C,或a=l-也（舍），

•••点4的坐标为（2夜，0）,

设点G的坐标为（见,），

m

•・•点C3是4员的中点,

・・•点名的坐标为（2加-2后，2）,点4的坐标为（2冽-2亚，0）,

m

44=2m-4V2,A3B3=—,

m

・・・△出名4是等腰直角三角形，

n

4/3=4B3，即2m-46=一,

m

解得：m=V2+A/3sKm=V2-A/3（舍），

•••点4的坐标为（2百，0）,…，点4o2i的坐标为（2如五，0）,

故答案为：（272021,0）.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解

法，解题的关键是设中点的坐标得到点A和点8的坐标.

k

7.如图，4是双曲线＞=-（左＞0户＞0）上一点，5是x轴正半轴上一点，以为直角边向右构造等

x

腰直角三角形/8C,ZBAC^90°,过点N作ND，/轴于点。，以为斜边向上构造等腰直角三

角形4DE,若点C,点E恰好都落在该双曲线上，A48c与的面积之和为28,则左=.

【答案】36

【分析】分别过点E作E尸，x轴于点R交/。于点M,BGLAD,CHLAD,垂足分别为G、H,

第8页共34页

由题意易得△ABG/4CAH,进而可得及0=MF,BG=AH,则设E(a,2a),/(2a,a),

则点,然后根据A/BC与A/ZM的面积之和为28可构建方程进行求解.

【详解】解：分别过点£作轴于点凡交/。于点M,BGL4D,CHLAD,垂足分别为G、

H,如图所示：

,/AADE是等腰直角三角形，

；.EM=DM=AM,

.••根据反比例函数的性质可知点/、E的横坐标之比为2:1,则它们的纵坐标之比为1:2,

•*.EF=2MF,即反攸=MF,

^ABC是等腰直角三角形,

：.AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZGAB+NHAC=AGAB+NGBA=90°,

AHAC=ZGBA,

'：NBGA=ZAHC=90°,

:.4ABG沿ACAH（44S）,

：.BG=AH,

设E（q,2a）,4（2a,a）,

k=2a2,BG=AH=a,

：.DH=3a,

••点,

CH=-a,

3

AC2=AH2+CH2=y«2,

第9页共34页

2

SADF=~AD-EM=aS=L/c2_§2,

△ADE27△ABC29

AABC与"DE的面积之和为28,

a2-----〃2—28,

9

・•・“2=18,

k=36；

故答案为36.

【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与等腰直角三角形的性质是

解题的关键.

8.如图，在方格纸中(小正方形的边长为1),反比例函数y=&的图象与直线的交点A、B在

X

图中的格点上，点。是反比例函数图象上的一点，且与点A、5组成以45为底的等腰△,则点。的

44

【分析】先求得反比例函数的解析式为^=—,设C点的坐标为(％,-),根据AC二BC得出方程，求

出X即可.

【详解】由图象可知：点A的坐标为(-1,-4),

代入》二七得：k=xy=4,

x

所以这个反比例函数的解析式是丁=之4，

x

4

设C点的坐标为(％,-),

x

VA(-1,-4),B(-4,-1),AC=BC,

即+14一3]二(-4-xj+1一1一»,

解得：x=±2,

第10页共34页

4

当x=2时，y=—=2,

4

当x=-2时，y=-=-2,

所以点C的坐标为(2,2)或(-2,-2).

故答案为：(2,2)或(-2,-2).

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上

点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键.

k

9.如图，在A48O中，NA4O=90。，AO=AB,且点4(2,4)在双曲线y=—(x>0)上，03交双曲线

X

【分析】根据等腰直角三角形求得B得坐标，联立方程即可求得C得坐标.

【详解】解：将A点代入得4=：,

k=8,

O

二・双曲线y=—(x>0),

x

设点B(m,n)m>0

•••△ABO为等腰直角三角形贝UAO=BO=T^OB

2

(〃-4/+(m-2)2=4+16

且m>0,

m2+n2=2(4+16)

m=6

解得

n=2

即B(6,2),

・,・直线OB得解析式为y=；x,

,1

尸.工

联立方程:，且x>0

o

y=-

IX

第11页共34页

X=2y[6

解得2V6，

y=---

13

，c点的坐标为：（2次，巫）

3

故答案为：（2面，—）.

3

【点睛】本题主要考查双曲线与一次函数的交点问题，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关

键.

三、解答题

10.如图，在平面直角坐标系xQy中，一次函数y=x+l的图象与反比例函数卜=幺（七0）的图象交

X

于4,8两点，直线与x轴交于点C,点3的坐标为（-2,〃），点/的坐标为（加，2）.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求A4O2的面积；

⑶在x轴上是否存在一点尸，使A4O尸是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

【答案】⑴反比例函数的解析式为y=4；

x

3

（2）SAAOB=~；

⑶点尸的坐标为（10）或（2,0）或（石，0）或（-V5-0）.

【分析】（1）将点2坐标代入直线y=x+1中，求出点8的坐标，再将点8的坐标代入反比例函数解

析式中，求解即可求出答案；

第12页共34页

(2)先求出点C的坐标，再求出点N的坐标，即可求出答案；

(3)设点尸的坐标，再用等腰三角形的两腰相等，分三种情况，建立方程求解，即可求出答案.

(1)

解：:点B(-2,〃)在直线y=x+l上，

：.B(-2,-1),

•:点B(-2,-1)在反比例函数产上的图象上,

X

:・k=-2x(-1)=2,

2

・•・反比例函数的解析式为方—；

x

(2)

解：•直线产x+1①与1轴交于点C,

：.C(-1,0),

：.OC=1,

7

由反比例函数的解析式为y=二②,

X

x——2

联立①②解得,

夕=-i

：.A(1,2),

113

SAAOB^S/^4OC+SABOC=-OC(yA-yB)=-xlx(2+1)=5；

(3)

解：设P(.m,0),

'：A(1,2),

OP-1m\,AP=+2?,OA-4S，

•.•△/o尸是等腰三角形，

①当OP=AP时，|m|=J(〃I)2+22，

.5

..m=—,

2

二.尸(一，0)；

2

②当OP=OA时，\m\=y/5，

m=±y/5，

第13页共34页

:.p(5o)或(-Vs,o)；

③当。/=”时，y/5=^m-l)2+22,

/.m=0或m=2,

：.P(2,0)；

即点P的坐标为(g,0)或(2,0)或(石，0)或(-V5,0).

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性

质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键.

11.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知N/C8=90。，N(0,2),C(6,2).。为等腰直

角三角形48c的边8C上一点，且S443c=3SHOC.反比例函数y尸"(上0)的图象经过点。.

X

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若所在直线解析式为％=办+”。彳0),当%>力时，求x的取值范围.

【答案】(1)反比例函数的解析式为y尸三；

x

(2)当%>%时，0<x<4或x<-6.

【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质以及5/80=35/。。，求得。C=2,得到。(6,4),利用

待定系数法即可求解；

(2)利用待定系数法求得直线42的解析式,解方程》+2=上24，求得直线”=x+2与反比例函数y尸2三4

xx

的图象的两个交点，再利用数形结合思想即可求解.

(1)

解：\'A(0,2),C(6,2),

：.AC=6,

第14页共34页

・・・AABC是等腰直角三角形，

：.AC=BC=6,

9：SAABC=3SAADC,

.\BC=3DC,

：.DC=2,

AD(6,4),

k

•・,反比例函数歹尸一(心0)的图象经过点Q,

x

.*.^=6x4=24,

.••反比例函数的解析式为y尸2三4；

X

(2)

VC(6,2),BC=6,

8),

6a+b=S

把点5、4的坐标分别代入歹2="+6中，得

b=2

a=l

解得:

b=2

：.直线AB的解析式为%=x+2,

24

解方程x+2二一，

x

整理得：X2+2X-24=0,

解得：x=4或x=-6,

24

・•・直线”二%+2与反比例函数”二一的图象的交点为(4,6)和(-6,・4),

X

：.当外>>2时，0<x<4或x<-6.

【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数与一次函数的综合，等腰直角三角形的

性质等，求得点。的坐标是解题的关键.

12.如图，等腰的直角顶点。与平面直角坐标系的原点重合，反比例函数y=—卜<0)的

X

图象经过点A,反比例函数y=>0)的图象经过点B.

第15页共34页

⑴试猜想相与〃的数量关系，并说明理由；

（2）若〃=2,求当点B的纵坐标分别为1和2时，等腰用的面积;

⑶请直接写出当〃=2时，等腰MANB。的面积的最小值________.

【答案】（1）m=-〃，理由见解析

,55

（叩I

（3）2

【分析】（1）分别过点A,B向X轴作垂线，垂足为c,D.由已知可证得及A/CO丝MAODB.有

AC=OD,OC=BD.由反比例函数的性质可知，|利=|“。冈0。，同=|OD|x忸必.从而有同=同.由

点A位于第二象限，点3位于第一象限，可得其关系.

（2）当〃=2,点8的纵坐标为1时，得点8的横坐标为2.点8的纵坐标为2时，得点8的横坐标

为L勾股定理可得。3=石.从而求得等腰MA/BO的面积；

（3）过点B作员轴，轴，垂足分别是M,N.有四边形（WBN是矩形，且面积为定

值2.当四边形为正方形时，的值最小，且最小值为2.由此可求得MA/8O的面积的

最小值.

⑴

解：m=-n,理由如下：

如图，分别过点A,5向％轴作垂线，垂足为C,D.

ZAOB=ZACO=ZBDO=90°,

・•・ZCAO=ZBOD.

在RMACO与RtLBDO中,ZACO=/BDO,

/CAO=/BOD,AO=BO,

RMACO2RMODB.

：.AC=OD,OC=BD.

第16页共34页

由反比例函数的性质可知,H=|^C|x|OC|,\n\^\OD\x\BD\

\m\-\n\.

又•..点A位于第二象限，点8位于第一象限,

m<0,n>0.

解：当"=2,点8的纵坐标为1时，得点8的横坐标为2.

如图，在心△BDO中，由勾股定理可得08=石.

._75x75_5

・・、AABO=2=~2•

当〃=2,点3的纵坐标为2时，得点B的横坐标为1.

在R/XADO中，由勾股定理可得08=石.

,„V5xV?5

•'S.ABO=­；-=•

⑶

解：过点3作轴，轴，垂足分别是M,N.

则四边形是矩形，且面积为定值2.

所以OM-8M=2,

第17页共34页

又OB=yjOM-+BM2=yJ(OM-BM『+2OM-BM，

所以当0M=BA/时，OB取得最小值OB=N20M-BM=2，

则当四边形OMBN为正方形时，03的值最小，且最小值为2.

/.Rt^ABO的面积的最小值为工xO5x。/=』x2x2=2.

22

【点睛】本题考查反比例函数的性质和几何意义，关键在于利用反比例函数的性质和几何意义求得

三角形的边长以及其面积与反比例函数的k的关系.

4

13.如图，一次函数>=-工+5与反比例函数y=1(xwO)的图象交于点4、B.

(1)求点4、B的坐标；

4

⑵观察图象写出不等式r+5〉一的解集；

X

4

⑶若位于第三象限的点M在反比例函数V=、(xwO)的图象上，且是以45为底的等腰三角

形，请直接写出点〃的坐标和△跖13的面积；

【答案】⑴4(1,4),B(4,1)；

(2)1<%<4；

(3)13.5

【分析】(1)解函数解析式组成的方程组即可；

4

(2)不等式f+5>—即一次函数图象在反比例函数图象的上方，根据图象可得解集;

x

第18页共34页

(3)由N、8的坐标得到N5中点。的坐标为(2.5,2.5),得至!!直线OC_L/B,且直线OC的解析

式为y=x,求出点M的坐标，过点〃作y轴，交直线于点尸，利用的面积

=SAAMF-SABMF求出面积.

(1)

4

解：•・•一次函数P=r+5与反比例函数歹=[(片0)的图象交于点/、B,

y=-x+5

・••解方程组4，

y=-

IX

X]—1x2=4

解得

4=1

7i=y2

：.A(1,4),B(4,1)；

(2)

4

由图象得，当1<x<4时，—X+5>—；

x

(3)

'：A(1,4),B(4,1),

的中点C的坐标为(2.5,2.5),

•.•直线48交x轴、y轴于点E、D,

.•.点E(5,0),点。(0,5),

：.OE=OD,

：.直线0C_L/8,且直线OC的解析式为y=x,

4

当》=一时，解得x=2(舍去)或x=-2,

X

・・卢2

：.M(-2,-2),

第19页共34页

过点M作MFLy轴，交直线AB于点F,

-x+5=-2,得x=7,

点尸(7,-2),

/.LMAB的面积

=—x9x6--x9x3

22

=13.5.

【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合题，求函数解析式，利用图象得到不等式的解集,

等腰三角形的性质，求图形的面积，正确掌握一次函数与反比例函数的知识是解题的关键.

14.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数以=履+6(即0)与反比例函数竺=一(m^O)的图

尤

4

象交于N、8两点，过点/作/D_Lx轴于。，/。=5,tan/40D=§,且点8的坐标为(〃，-2).

⑴求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)请直接写出〃>为时，x的取值范围；

⑶在x轴上是否存在一点E,使△/OE是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的£点坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)H=上，fx+2

X3

(2)x<-3或0<x<6

25

(3)(-6,0),(-5,0),(5,0)或(--0)

6

【分析】(1)先解直角三角形求出。。=3,40=4,得到点/的坐标为(-3,4),求出反比例函数解

析式，从而求出2点坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；

(2)观察图象可知时，即为一次函数图象在反比例函数图象上方，由此求解即可；

(3)分三种情况当时，当CM=OE时，当/£=。£时，三种情况讨论求解即可.

⑴

第20页共34页

4

解：U：ADLOD,tanZAOD=-,

3

Ar)44

—=—,即4D=—QD,

OD33

,AO2=AD2+OD2=—OD2=25,

9

.OD=3,

AD=4f

；・点/的坐标为（-3,4）,

4——,即左=—12,

-3

・•・反比例函数的解析式为竺=1-2上，

・・・5的坐标为（力-2）,且5在反比例函数图像上,

：.n=6,即点5的坐标为（6,-2）,

.j-3k+b=4

[6k+b=-2f

一二

・・,3,

b=2

；•一次函数的解析式为”=-jx+2；

⑵

解：观察函数图象，可知；当x<-3或0<x<6时，一次函数图象在反比例函数图象上方,

.•.当以>丁2时，x<-3或0<x<6.

⑶

解：如图3-1所示，当时，

"CADLOE,

：.OE=2OD=6,

.♦.点E的坐标为(-6,0)；

图3-1

第21页共34页

如图3-2所示，当CM=OE=5时，则£点坐标为(5,0)或(-5,0)；

图3-2

如图3-3所示，当£/=£。时，设点£坐标为(加，0),

AE2=(m+3)2+42=m2,

25

解得m=--—,

6

25

・••点£1的坐标为(--0)；

6

25

综上所述，点E的坐标为(-6,0),(-5,0),(5,0)或(——，0).

6

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰

三角形的性质与定义，两点距离公式等等，熟知相关知识是解题的关键.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线N3与x轴交于点2,与y轴交于点。(0,2),且与反比例

函数V=9在第一象限内的图象交于点A,作ND，x轴于点。,。。=2.

X

第22页共34页

y

/0|DX

(1)求直线45的函数解析式；

(2)设点尸是〉轴上的点，若△/CP的面积等于4,求点尸的坐标；

⑶设E点是x轴上的点，且AEBC为等腰三角形，直接写出点£的坐标.

【答案】(l)y=gx+2

⑵尸(0,6)或尸(0,-2)

(3)(275-4,0)或(-2V5-4,0)或(4,0)或(-1.5,0).

【分析】(1)由轴，。。=2,即可求得点N的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次

函数的解析式；

(2)由点尸是y轴上的点，若A4CP的面积等于4,可求得CP的长，继而求得点尸的坐标；

(3)先求出8坐标，由勾股定理求出8C值，分三种情况：①当&£=BC时，②当CB=CE时,

③当班=EC时，分别讨论即可.

(1)

解：轴，OD=2,

...点。的横坐标为2,

将x=2代入得y=3,

x

.,.A(2,3),

设直线N5的函数解析式为夕=区+6("0)

fb=2

将点C(0,2)、A(2,3)代入y=fcc+6得、

\2k+b=3

b=2

k=—

[2

直线N3的函数解析式为y=；x+2；

(2)

第23页共34页

解：：点尸是y轴上的点，A4C尸的面积等于4,A(2,3),

S.UCP=yCPx|xJ1CPx2=4,

:.CP=A,

VC(0,2),点尸是y轴上的点，

：.P(0,6)或P(0,-2)；

(3)

解：直线N5的函数解析式为y=gx+2,

令产0,得x=-4,

：.B(-4,0),

VC(0,2),

.".05=4,OC=2,

：.BC=V42+22=25/5>

①当3£=2C=2右时，Ei(275-4,0),或E?(-275-4,0)；

②当CB=CE时，OB=OE3,则£3(4,0)；

③当班=EC时，点E在线段8c的垂直平分线上，设点以(加，0),连接C&,

则(m+4)2=22+m2,解得ZM=-1.5,

故。(-1.5,0)；

综上：E的坐标为(2店40)或(-2际-4,0)或(4,0)或(-1.5,0).

【点睛】此题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数

与一次函数的交点问题.此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.

16.如图所示，ACMB的顶点A在反比例函数＞=£(左＞0)的图象上，直线交V轴于点C,且点

第24页共34页

C的纵坐标为5,过点A、B分别作〉轴的垂线/E、BF,垂足分别为点E、F,且/E=1,

0E:EC=2:3.

(1)求上的值；

(2)若AO48为等腰直角三角形，NAOB=90。.求证：^OAE=^BOF；

(3)把归-引+|必-印称为“(匹,弘)，N®,%)两点间的“力距离"，记为d(MN)在(2)条件

下，求d(4C)+d(4B)的值.

【答案】(1)2；(2)见解析；(3)8.

【分析】(1)先根据OE：EC=2:3、OC=5求出0E的长度，确定E的坐标，再结合V轴、AE=\

确定/的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求得匕

(2)由△0/8为等腰直角三角形，可得。4=02、ZAOB=90°,再根据同角的余角相等可证

ZAOE=ZFBO,然后根据44s证明AO/EMABO尸即可；

(3)由"Z/距离"的定义可知dN)为MV两点的水平距离与垂直距离之和，由“AE*BOF

可得8尸=。£=2、OF=AE=l,即可确定2点坐标，再结合C点坐标解答即可.

【详解】解：(1)；OE：EC=2:3,OC=5,

2

OE=-OC=2,即：E点坐标为(0,2).

又•.•4£1_Ly轴，AE=l,

：./(1,2),

...左=1x2=2.

(2)在为等腰直角三角形中，AO=OB,ZAOB=90°,

：.ZAOE+ZFOB=90°,

又二BFly^,

第25页共34页

ZFBO+ZFOB=90°,

：.ZAOE=ZFBO,

在△O4E■和ABOF中，

ZEO=NOFB=9（T

，/AOE=NFBO,

AO=BO

：.△CUE三ABOF（AAS）.

（3）解：点A坐标为（1,2）,

"AEmBOF,

:.BF=OE=2,OF=AE=1,

又•；C（0,5）,

6?（4C）+6?（AS）=|l-0|+|2-5|+|l-2|+|2+l|=8,

d（4C）+"（45）=8.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、一次函数的性质、全等三角形的判定与

性质、等腰直角三角形性质等知识，掌握三角形全等的性质和判定以及数形结合的思想是解本题的

关键.

17.设/（a,n）为双曲线y=—（k>0,x>0）上一点，过点/作48_Lx轴于2点，48的垂直平分

X

线交〉轴于点C,交双曲线于点P定义：P为4点的中垂点；特别的，当△ABP为等腰直角三角

形时，又称P为N点的完美中垂点.

（1）若后=8,且/点存在完美中垂点，则N的坐标是

（2）四边形ACBP一定为.（填字母）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

（3）若的面积为6时，则k=_.

（4）设P为N的中垂点，。又为P的中垂点，且△/P。是等腰三角形，试求左关于。的函数表达

式.

第26页共34页

【分析】（1）利用等腰直角三角形和垂直平分线的性质求解即可；

（2）根据垂直平分线的性质得出/尸=8P=3C=NC,从而可判断四边形的形状；

（3）用含有左的式子表示出P的面积，进而建立方程即可求解；

（4）根据4P,。的坐标，表示出4炉,/02,尸02,然后利用等腰三角形的定义分三种情况:

①/尸2=尸切；②/产=/°2；③AQ2=PQ"分别进行讨论即可.

【详解】解：（1）：4=8,

8

2=-•

X

Q

A（a,n）为双曲线y=—（x〉0）上一点，

an=S,

8

ci——,

n

'：A点存在完美中垂点，

•••72P为等腰直角三角形,

ZBAP=NABP=45°.

第27页共34页

TCP垂直平分

/.NDAP=ZAPD=45°,

/.AD=PD.

•・•」(〃,〃),尸为4点的完美中垂点,

〃168

n—=--------

2nn

n=4,〃=-4,

经检验：它们都是原方程的根，但〃=-4不符合题意，舍去,

4(2,4)；

(2)Ye尸垂直平分48,

/.AP=BP,AC=BC.

,/A^a,n),P

:.CD=-,PD=-

nn

:.CD=PD.

ABLCP,

CB=BP,

AP=BP=BC=AC,

・・・四边形4c5尸一定为菱形;

2k11.1(2kk\(,

----n—7k—k—-----------n—=o,

n222(〃nJ\2)

-k=6

4

=8；

(4)I•尸为/的中垂点，。又为尸的中垂点,

J,

AP2=

nn)2J”4

第28页共34页

•••△/尸0是等腰三角形，

①/尸2=尸02

•k=4a2;

②/产=/°2,无解;

③AQ2=PQ2,无解；

综上所述，k=^a2.

【点睛】本题主要考查反比例函数与等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，分情况讨论是关键.

18.点8的坐标为（2,4）,轴于点A,连接,将绕点A顺时针旋转90。，得到△D4E.

【答案】（1）F的坐标为3+底；（2）满足条件的点P的坐标为（4,0）或（5,0）或（275,0）

\7

或卜2石,0）.

2

【分析】（1）先求出点C（1,2）,进而求出反比例函数解析式为y二一，再由旋转求出AD=OA=2,

x

AE=AB=4继而求出OE=6,再判断出△FMEs/\DAE,得出点F（6-2a,a）,即可得出结论；

（2）分三种情况，利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论.

【详解】解：（1）:点C是OB的中点，B（2,4）,

AC（1,2）,

设反比例函数解析式为y=-,

X

第29页共34页

.*•k=lx2=2,

2

，反比例函数解析式为y=—,

X

VBA±x轴于点A,

0A=2,AB=4,

由旋转知，AADE四△AOB,

AZDAE=ZOAB=90°,AD=OA=2,AE=AB=4,

AOE=OA+AE=6,

.,.△FME^ADAE,

AFM：AD=EM：AE,

设FM=a(a>2),

.aEM

••一二,

24

AEM=2a,

AOM=OE-EM=6-2a,

・・・F(6-2a,a),

2

・・,点F在反比例函数y二一图象上，

x

Aa(6-2a)=2,

...a=3+〃(舍)或a=3一0,

22

Z.F(3+右，上正)；

2

(2)设点P(m,0),

VO(0,0),B(2,4