专题6.3 向量的数量积【七大题型】（人教A版2019必修第二册）

专题6.3向量的数量积【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1向量数量积的计算】 3【题型2求投影向量】 3【题型3向量夹角（夹角余弦值）的计算】 4【题型4垂直关系的向量表示】 4【题型5求向量的模】 5【题型6已知模求参数】 6【题型7向量数量积的几何应用】 6【知识点1向量的数量积】1．向量的数量积(1)向量数量积的物理背景在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.

我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.(2)向量的夹角已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB=(0≤≤π)叫做向量与的夹角，也常用表示.(3)两个向量数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.(4)向量的投影如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量数量积的性质和运算律(1)向量数量积的性质设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

①==.

②=0.

③当与同向时，=；当与反向时，=-.

特别地，==或=.

④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.

⑤=.(2)向量数量积的运算律由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量，，和实数，有

①交换律：=；

②数乘结合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.3．向量数量积的常用结论(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.

以上结论可作为公式使用.4．向量数量积的两大应用(1)夹角与垂直根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)向量的模的求解方法：①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【题型1向量数量积的计算】【例1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量a，b满足a=2，b=4，向量a与b的夹角为2π3，则a⋅a+b=（

）A．0 B．8 C．4+43 D．【变式1-1】（23-24高一下·河南周口·阶段练习）设向量a，b的夹角的余弦值为−13，a=2，b=3，则A．-23 B．23 C．-27 D．27【变式1-2】（23-24高一下·河南漯河·期末）已知向量a，b满足a=1，b=3，且a与b夹角的余弦值为13，则aA．−13 B．−28 C．23 D．13【变式1-3】（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且AB=2,ABA．2 B．3 C．2+1 D．【题型2求投影向量】【例2】（23-24高一下·河南漯河·阶段练习）已知a=23b，且满足a,b=5πA．b B．−b C．3b 【变式2-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6,AD=4，E为BC的中点，则向量AE在向量AC上的投影向量是（

）A．1113AC B．1213AC C．【变式2-2】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量a，b满足a=b=2，且a+b=10A．14 B．14b C．1【变式2-3】（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量a=3,b=5，设a与b的夹角为60°，则b在A．−536a B．536【题型3\o"向量夹角的计算"\t"/gzsx/zj168400/_blank"向量夹角（夹角余弦值）的计算】【例3】（23-24高一下·四川眉山·期末）向量a，b满足a=3，b=1，a−2b=1，则向量A．π6 B．π3 C．2π【变式3-1】（23-24高一下·河南新乡·期末）已知平面向量a，b满足a=1，b=2，且2a−bA．12 B．14 C．16【变式3-2】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，设向量a=2e1+e2，A．13π B．16π C．【变式3-3】（23-24高一下·湖北·期末）已知单位向量a，b互相垂直，若存在实数t，使得a+1−tb与1−ta+b的夹角为A．−1±22 B．−1±2 C．−1±【题型4\o"垂直关系的向量表示"\t"/gzsx/zj168400/_blank"垂直关系的向量表示】【例4】（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量a，b满足|a|=3|b|，cosa,bA．−3 B．−13 C．−2 【变式4-1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）在四边形ABCD中，若AB=DC，且AB⋅A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰形【变式4-2】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知向量a，b满足|a|=2，|b(1)求a在b上的投影向量；(2)若向量2a−λb与λ【变式4-3】（23-24高一下·云南·阶段练习）如图，在△ABC中，AD=13DB，点E,F分别是AC,BC(1)用a,b表示(2)如果∠A=60∘,AB=2AC【题型5求向量的模】【例5】（23-24高一下·河南开封·期末）已知a=3，b=4，且a与b的夹角θ=2π3A．13 B．13 C．37 D．37【变式5-1】（23-24高一下·福建宁德·期末）若平面向量a,b,c两两的夹角相等，|aA．3 B．6 C．3或6 D．3或6【变式5-2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）在△ABC中，AC=1，BC=2，CA⋅CB=1，CD=2tCA+1−tA．2 B．3 C．32 【变式5-3】（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知向量a，b的夹角为2π3，a=1，b=2，在△ABC中，AB=2a+3b，A．2 B．22 C．23【题型6已知模求参数】【例6】（2024高三·全国·专题练习）若单位向量e1，e2的夹角为π3，向量a=e1+λe2A．12 B．－C．34 D．－【变式6-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量|a|=2，|b|=1，a,b的夹角为60∘A．−1 B．1 C．12 D．【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知a，b都是单位向量，若a−12b与b垂直，且a+A．1 B．2 C．2 D．3【变式6-3】（23-24高一·安徽·期末）设非零向量a,b的夹角为θ，若a=2b，且不等式2a+bA．−1,3 B．−1,5 C．−7,3 D．5,7【题型7向量数量积的几何应用】【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN∥CD，点P在正六边形的边上运动，则PM⋅PN的最小值为（A．5 B．6 C．7 D．8【变式7-1】（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则PC⋅PD的取值范围为（A．0,2 B．0,4 C．0,3 D．0,1【变