专题8.1 基本立体图形【八大题型】（人教A版2019必修第二册）

专题8.1基本立体图形【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1简单几何体的识别】 4【题型2棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 5【题型3旋转体的结构特征】 6【题型4空间几何体的有关计算】 7【题型5组合体的结构特征】 9【题型6平面图形旋转形成的几何体】 11【题型7空间几何体的截面问题】 12【题型8多面体与球体内切外接问题】 12【知识点1空间几何体的结构特征】1．空间几何体的有关概念(1)空间几何体的定义

对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.(2)定理的实质多面体及其相关概念

①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.

②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.

③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.

④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.(3)旋转体及其相关概念

①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.

图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.

②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征棱柱棱锥棱台定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.相关概念(1)底面(底)：两个互相平行的面；

(2)侧面：其余各面；

(3)侧棱：相邻侧面的公共边；

(4)顶点：侧面与底面的公共顶点.(1)底面(底):多边形面；

(2)侧面：有公共顶点的各个三角形面；

(3)侧棱：相邻侧面的公共边；

(4)顶点：各侧面的公共顶点.(1)上底面：原棱锥的截面；

(2)下底面：原棱锥的

底面.

(3)侧面：其余各面.

(4)侧棱：相邻侧面的公共边；

(5)顶点：侧面与底面的公共顶点.图形及表示棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

(或六棱柱AD').棱锥S-ABCD(或四棱锥S-AC)棱台ABCD-A'B'C'D'结构特征(1)底面互相平行且全等；

(2)侧面都是平行四边形；

(3)侧棱都相等，且互相平行.(1)底面是多边形；

(2)侧面都是三角形；

(3)侧面有一个公共顶点.(1)上、下底面互相平行，且是相似图形；

(2)各侧棱的延长线交于一点；(3)各侧面为梯形.分类棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥……由几棱锥截得的就叫几棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征圆柱圆锥圆台球定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.相关概念(1)轴：旋转轴.

(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.

(3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面.

(4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.(1)轴：旋转轴.

(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.

(3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面.

(4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线

(5)顶点：母线的交点.(1)上底面：原圆锥的截面.

(2)下底面：原圆锥的底面.

(3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线.

(4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面.

(5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分.(1)球心：半圆的圆心.

(2)半径：连接球心和球面上任意一点的线段.

(3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.图形及表示圆柱OO'圆锥SO圆台OO'球O结构特征(1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.

(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.

(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.(1)底面是圆面.

(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.

(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形.(1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.

(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.

(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴

的截面(轴截面)是全等的等腰梯形.(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.

(2)球的截面都是圆面.棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.4．空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.【题型1简单几何体的识别】【例1】（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）下列图形中，不是棱柱的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式1-1】（23-24高一下·天津·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（

）

A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱【变式1-2】（23-24高一下·山西晋城·期中）下面四个几何体中，是棱台的是（

）A． B．C． D．【变式1-3】（23-24高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是（

）A．①是圆台 B．②是圆台 C．③是圆锥 D．④是圆台【题型2棱柱、棱锥、棱台的结构特征】【例2】（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（

）A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台【变式2-1】（23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（

）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．一个多面体至少有4个面C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台【变式2-2】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）有下列命题：①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．其中正确的命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式2-3】（2024高一下·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（

）A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台D．棱台的各侧棱延长后必交于一点【题型3旋转体的结构特征】【例3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（

）．A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高【变式3-1】（23-24高一下·天津南开·期末）给出下列命题：①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台；④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形．其中正确命题是（

）．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【变式3-2】（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）下列说法中错误的是（

）A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线【变式3-3】（24-25高一下·天津和平·阶段练习）下列命题中不正确的是（

）A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面B．正四棱锥的侧面都是正三角形C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台【题型4空间几何体的有关计算】【例4】（24-25高一·全国·课后作业）长方体ABCD−A1B1C1DA．2 B．5 C．3 D．2【变式4-1】（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（

）

A．3 B．3 C．23 D．【变式4-2】（23-24高一下·广东潮州·期末）正四棱台ABCD−A1B1C1DA．23 B．3 C．2 D．【变式4-3】（23-24高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱OO′中，AB，CD分别为圆O，O′的直径，AB//CD，AB=BC=2，E为BC的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从A爬到E

A．π2+1 B．4π2+1 C．【知识点2简单组合体】1．简单组合体的结构特征(1)简单组合体的定义由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

(2)简单组合体的构成形式

①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.

(3)常见的几种组合体

①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.

③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.2．正方体的截面形状的探究通过尝试、归纳，有如下结论.

(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.

(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行.

(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形.

(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.

对应截面图形如图中各图形所示【题型5组合体的结构特征】【例5】（24-25高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（

）

A．该几何体的面是等边三角形或正方形B．该几何体恰有12个面C．该几何体恰有24条棱D．该几何体恰有12个顶点【变式5-1】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（

）A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成B．一个球、一个长方体、一个棱台构成C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成【变式5-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，说出图中两个几何体的结构特征.【变式5-3】（24-25高一·全国·课后作业）指出如图所示的图形是由哪些简单几何体构成的．【题型6平面图形旋转形成的几何体】【例6】（23-24高一下·陕西榆林·期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式6-1】（24-25高一下·广东珠海·阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（

）A．一个球B．一个球挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球挖去一个正方体【变式6-2】（2024高一·江苏·专题练习）若将如图所示的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．

【变式6-3】（24-25高一·全国·课后作业）一直角梯形ABCD如图所示，分别画出以AB，BC，CD，DA所在直线为轴旋转一周所得几何体的大致形状，试说明所得几何体的特征.【题型7\o"组合体截面的形状"\t"/gzsx/zj168425/_blank"空间几何体的截面问题】【例7】（23-24高一下·福建南平·期中）用一个平面截一个几何体，得到的截面是一个梯形，这个几何体不可能是（

）A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台【变式7-1】（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为A．32 B．62 C．63【变式7-2】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）如图，在正方体ABCD−