上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

第页，共页第19页，共19页徐汇中学2024学年第一学期高二年级数学期末一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）.1.某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是________．【答案】【解析】【分析】确定抽样比，即可求解；【详解】由题意可知抽样比为：，所以高一年级应抽取的人数是，故答案为：2.已知球的半径为1，则球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】直接代入球的表面积公式，即可得出结论．【详解】解：球的半径，球的表面积为，故答案为：．【点睛】本题主要考查球的表面积公式，属于基础题．3.某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分【答案】【解析】【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.【详解】由直方图知：平均成绩为分.故答案为：4.如图正方体的棱长为2，则二面角的大小为________．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，,0,，,0,，,,，，0，，,,，,,，,0,，设平面的法向量,,，则，取，得,1,，又平面的法向量,0,，设二面角的大小为，，二面角的大小为．故答案为：5.若展开式的各项系数之和为，其展开式中的常数项为______.（用数字作答）【答案】10【解析】【详解】由题意，二项式展开式的各项系数之和为，令，可得，解得，则展开式的通项为，令，可得常数项为.故答案为：10.6.已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是________．【答案】【解析】【分析】分别求解不同情况下的展开图的长度，即可比较作答.【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1）此时,若沿着侧重展开，可得图（2），此时,若沿着侧重展开，可得图（3），此时由于，故最短距离为，故答案为：7.如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为__________．【答案】【解析】【分析】首先根据正棱台的侧面积得到斜高为1，再计算正棱台的高即可.【详解】如图所示：设正四棱台的侧高为，高为，棱台的侧面积，所以.所以.故答案为：8.某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为______．【答案】；【解析】【分析】利用插空法求出符合题意的排列情况总数，再结合古典概型的概率公式求解.【详解】先把4个语言类节目全排列，中间形成5个空，5个空中选3个空排三个歌舞类节目，共有种情况，又因为7个节目全排列有种情况，所以所求概率为.故答案为：.9.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为个.点数和为5的基本事件有，，，共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知棱长为1的正方体，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量，与向量的数量积共有________种结果．【答案】【解析】【分析】讨论当的起点和终点分别为正方体上相邻的两个顶点、正方体侧面上对角的两个顶点、正方体底面上对角的两个顶点、正方体体对角线的两端点时，的取值，即可得解.详解】①当起点与终点为正方体上相邻的两个顶点，，与平行或垂直，若，且与同向，即，；若，且与反向，即，；若，即，；②当的起点与终点为正方体侧面上对角的两个顶点，，与的夹角为或，若与的夹角为，即，；若与的夹角为，即，；③当的起点与终点为正方体底面上对角的两个顶点，，与的垂直，即，;④当的起点与终点为正方体体对角线的两端点，，或，若，即，；若，即，.综上：与向量的数量积共有3种结果，分别为-1，0，1.故答案为：3.11.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则______．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，求出数列的递推关系，利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求和作答.【详解】依题意，在数列中，，当时，，满足上式，因此，，数列的前项和为，则，所以故答案为：12.如图，一个底面半径为，高为的半椭球放置在平面上，用平行于平面且与平面任意距离处的平面截几何体，截面为圆面，运用祖暅原理，若图中半椭球底面半径为1，高为6，则该半椭球体的体积为________．【答案】【解析】【分析】由底面半径都为b，高都为的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，总成立．结合祖暅原理即可求解；【详解】可设椭圆方程为：，当高度为时，设此时截面半径为，由题意可知：在椭圆上，即，解得，所以此时截面面积为：而此时同样高度时，由底面半径都为b，高都为的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截面面积：画出圆锥的截面图，如下图所示，易知，，由可得：，即，则，所以，所以总成立．所以半椭球体的体积为由题意知：，所以半椭球体的体积为：．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）.13.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A.恰好有1件次品和恰好有2件次品 B.至少有1件次品和全是次品C.至少有1件正品和至少有1件次品 D.至少有1件次品和全是正品【答案】A【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，即可判断.【详解】A.由条件可知，恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件，故A正确；B.至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B错误；C.至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C错误；D.至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D错误.故选：A14.已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】按照斜二测画法画出直观图，利用梯形面积公式便可求得其面积.【详解】如图所示，实线表示直观图，.,,∴直观图的面积为,故选：C.【点睛】本题主要考查斜二测画法，关键是掌握斜二测画法的要领.15.已知数列是严格增数列，满足，，且.则n的最大值为（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】欲使得n尽可能大，则的各项应尽可能小，据此即可求出n的最大值.【详解】∵，并且是严格增数列，，∵，即，，即n的最大值为12；故选：C.16.五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）A.3125 B.1000 C.1040 D.1020【答案】D【解析】【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可.【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.故问题转化为如图五个区域，有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.分为以下两类情况：第一类：三个区域涂三种不同的颜色，第一步涂区域，从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法，第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，由分步计数原理，则共有种方法；第二类：三个区域涂两种不同的颜色，由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同.若涂一色，第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，即涂个区域不同色，从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法，第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，由分步计数原理，则共有种方法；若涂一色，与涂一色的方法数相同，则共有种方法.由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种.故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分44分）．17.如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点.（1）求此圆锥的体积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由轴截面为等边三角形确定圆锥的高，再由圆锥的体积公式进行求解；（2）取的中点，连接，利用三角形的中位线得到，得到为异面直线与所成的角或其补角，再利用两个直角三角形和进行求解.【小问1详解】因为圆锥的底面半径，且截面三角形SAB是等边三角形，所以，，所以圆锥的体积为.【小问2详解】取的中点，连接、，又点为母线的中点，所以，故为异面直线与所成的角或其补角.由点为半圆弧的中点，得，在中，因为，，所以，因为，且平面，所以平面，又平面，所以因为，在中，，且,所以.即求异面直线与所成角的大小为.18.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，为数列前项和，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）把数列的通项公式代入，分组后利用等差数列与等比数列前项和公式求解．【详解】由题可知，且即可得点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题．19.在二项式的展开式中：（1）若，求（2）若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把代入，利用赋值法求得答案.（2）由二项式系数性质求出，求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项.【小问1详解】当时，，取，得，取，得，所以.【小问2详解】由所有项的二项式系数和等于4096，得，解得，二项式展开式的通项公式，令展开式中系数最大的项是第项，则，整理得，解得，而，因此，所以展开式中系数最大的项.20.某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：（1）求该公司员工年龄的极差和第25百分位数；（2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由；【答案】（1）极差为；第25百分位数为（2）事件和相互独立，理由见解析【解析】【分析】（1）根据定义直接计算极差和百分位数得到答案.（2）计算得到，，，即，得到答案.【小问1详解】员工年龄的极差为，，故第25百分位数为.【小问2详解】，，，故，故事件和相互独立.21.如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，.（1）证明：；（2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；（3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.【答案】（1）证明见解析.（2）存在，线段AM的长为.（3）【解析】【分析】（1）通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直.（2）通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM与和都垂直，求出点M的坐标，进而求出线段AM的长.（3）通过向量关系表达出，再表达出，列