高等数学（第2版）课件：定积分在几何上的应用

二、体积

一、平面图形的面积定积分在几何上的应用

三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直及x轴所则围曲边梯形面积为A,线

，图形面积元素为：对右图所示图形、与垂直于x轴的直线仅有一个交点，则可取x为积分变量；积分区间为图形所占有的区间面积公式：上边界曲线函数下边界曲线函数，曲线步骤，图形面积元素为：对右图所示图形、与垂直于y轴的直线仅有一个交点，则可取y为积分变量；积分区间为图形所占有的区间面积公式：右边界曲线函数左边界曲线函数，曲线步骤例2.计算曲线所围图形的面积A。解:由得由于上下边界曲线形成交叉，所以面积需分块计算

例3.计算抛物线与直线围图形的面积.解:由得交点所为简便计算,选取y作积分变量,则有

例4.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式

一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,端点处对应的参数值为，则曲边梯形面积

例5.求变量t

的取值填充部分的面积A1+A2为最小。解:1tA1A2，使图中令，得当时，，即A取值最小。

2.极坐标情形极坐标概念：xyoyrP对平面直角坐标系，实现了平面点P平面曲线与方程之间的对应极坐标与直角坐标具有同等的地位：表示平面点P与原点连线段的距离：表示连线段与x轴正向之间的夹角如果规定：，则平面点P称为点P的极坐标

直角坐标与极坐标的关系：特殊曲线的极坐标方程：表示圆心在原点，半径为r0的圆表示由原点发出，与x轴正向夹角为的射线Poxyry

阿基米德螺线点击图片任意处动画开始或暂停心形线点击图中任意处动画开始或暂停星形线点击图片任意处播放开始或暂停

极坐标下计算平面图形面积求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为

例6.计算阿基米德螺线解:对应

从0变到2

所围图形面积.

例7.计算心形线所围图形的面积。解:(利用对称性)

例8.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积

例9.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.答案:

1.平行截面面积为已知函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,则

二、体积当考虑连续曲线段绕x轴旋转一周围成的旋转体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的旋转体体积时,有

2.旋转体的体积绕x：绕y：例10.计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)

方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积

例11.计算摆线的一拱与所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性y＝0

例12.一平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成

角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.

思考:

可否选择y

作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:

例13.试用定积分求圆上半圆为下提示:绕x轴旋转而成的环体体积V。

(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长三、平面曲线的弧长

(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长

(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则转化为参数方程情形弧长元素(弧微分):

例14.求连续曲线段解:在之间的弧长.

例15.计算摆线一拱的弧长.解:

例16.求阿基米德螺线于0≤

≤2

一段的弧长.解:相应

内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程直角坐标方程2.平行截面面面积为已知函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:绕y轴:

3.平面曲线的弧长曲线方程参数方程极坐标方程直角坐标方程