复数、平面向量（十大题型） -2025年上海高考数学复习热点题型专练（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题05复数平面向量(十大题型)

o-------------题型归纳•定方向-----------♦>

题型01复数的有关概念........................................................................1

题型02复数的模..............................................................................2

题型03实系数一元二次方程...................................................................2

题型04复数与其他模块........................................................................2

题型05平面向量的有关概念...................................................................2

题型06平面向量的运算、基本定理.............................................................3

题型07平面向量的简单应用...................................................................3

题型08平面向量与平面解析几何...............................................................4

题型09平面向量的其他应用...................................................................5

题型10平面向量难点分析......................................................................5

♦>-----------题型探析・明规律-----------O

【解题规律•提分快招】

1、解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形

式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bGR)的形式，以确定实部和虚部.

2、利用共线向量定理解题的策略

(1b〃1)0=加(1>邦)是判断两个向量共线的主要依据.

(2)若a与b不共线且Xa=pib,则A,=(x=0.

(3)=九+四。，n为实数)，若A,B,C三点共线，则九+N=1.

3、(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用|a|=及(a±b)2=hi|2±2a-b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算；

②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余

弦定理等方法求解.

(2)求平面向量的夹角的方法

①定义法：cos®=,求解时应求出a-b,|a|,|b|的值或找出这三个量之间的关系；

②坐标法.

(3)两个向量垂直的充要条件

a_Lbua-b=0u|a-b|=|a+b|(其中aRO,b^O).

题型01复数的有关概念

【典例1-1].设aeR,若存在复数Z满足Z-12=a+2i(i为虚数单位)，则〃=.

【典例1-2].设i为虚数单位，若3-2)+(2.-l)i为纯虚数，则实数.

7—

【变式.对于复数丁一=i(i是虚数单位)，=.

【变式1-2】.若复数z满足乙=i(i为虚数单位)，则2=.

【变式1-3】•复数z满足力=2-i,则下列结论正确的是（）

A.Z2+2Z-5=0B.J=1+2i

C.z在复平面内对应的点位于第四象限D.z-z=5

题型02复数的模

【典例2-1].已知复数Z=3+i,z2=«+4i,aeR,若4-z?为纯虚数，则闾=.

【典例2-2].设复数2/2满足㈤=|&|=2,4+Z2=G+i,则区一气|=.

【变式2-1】.已知i为虚数单位，复数z满足（l-3i>z=|3+4i|,则复数z的虚部为.

【变式2-2].在复平面上，已知复数Z1和马的对应点关于直线y=x对称，且满足z&=4i,则㈤=.

【变式2-3].已知复数4和复数Z?满足Z1+Z2=3+4i）乜=-2+i（i为虚数单位），则忖-z；卜.

题型03实系数一元二次方程

【典例3-1].已知“,6eR,方程尤2-办+5=0一个虚根为1+历，则。+网=.

【典例3-2].已知i为虚数单位，3+i是实系数一元二次方程Y+px+q=0的一个虚根，则0+4=.

【变式3-1].己知方程x2—2x+〃=0（peR）的一个根是1+百i（i是虚数单位），则。=.

【变式3-2].已知关于x的一元二次方程/+丘+L2一2左=。有两个虚根X”％,且看+考=3,则实数上的

值为.

【变式3-3].复数z满足忖=1,且使得关于x的方程/+）无+z=o有实根，则这样的复数z的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型04复数与其他模块

【典例4-1].设复数4与z?所对应的点为4与Z?,若4=l+i,z2=i-Z1,则区涔卜.

【典例4-21.设复数z=cos,+（夜sinc）i（j为虚数单位）且a,若|z|=1,贝Ijtan2a=.

【变式4-1].已知4、22€。，且区-时=1,卜2-2闽=卜-2/1（谭虚数单位），则卜-22|的最小值为（）

A.4B.3C.2D.1

【变式4-2】•复数z满足卜-应卜卜+打|=2,EF是复平面上以（0,2）为圆心、1为半径的圆的任意一条

直径，若尸是z在复平面上对应的点，则访.而的最小值为.

【变式4-3】.关于x的实系数方程/-4x+5=0和炉+2,改+机=0有四个不同的根，若这四个根在复平面

上对应的点共圆，则机的取值范围是.

题型05平面向量的有关概念

【典例5-1].已知向量商=（1,3）,5=（3,4）,若"码工石,则2=.

【典例5-2].已知平面向量各满足|,咽=**2,则£%=—.

【变式5-1】.已知向量力=（-1,2）出=（3,2）,贝篙在4方向上的数量投影为.

【变式5・2】.已知向量商=。,2）石=（3,4），若日//5，则实数左=.

【变式5-3].已知向量£,B的夹角为9,且同=2々，忖=5,则，+2力卜.

题型06平面向量的运算、基本定理

【典例6-1].已知Z=（L3）/=（2+/l,l）,且江与5的夹角为锐角，则实数2的取值范围是—.

【典例6-2].在VABC中，M是BC的中点，=1,点尸在AM上，且满足丽=一2可乙则身•（而+汽）=

（）

4444

A.-B.——C.一D.——

9339

【变式6-1].在平行四边形A2CZ）中，BE=^BC,AF=^AE.若吞=“而+”恁，则相+〃=.

【变式6-2].在VABC中，/C=90°，N8=30。，/BAC的平分线交BC于点若砺=几砺+〃蔗（X,〃eR）,

则4=.

—.―.—.、12

【变式6-3],在VABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若AF=xAB+2yACz（x>0,y>0）,则1+7

的最小值为.

题型07平面向量的简单应用

【典例7-1].在VABC中，。是BC边的中点.若AB=2,BC=4,AC=3,则而.而=.

AB-AC

【典例7-2].已知A,3,C是单位圆上任意不同三点，则।而।的取值范围是

【变式7-11.VABC中，BC边上的中垂线分别交8cAe于。M,若丽7.肥=6,AB=2,则AC=.

【变式7-2].如图，已知点O,E分别在VABC的边AC,BC上，且诟=2反，CE=2EB>直线DE交

边A5的延长线于点尸，记衣=4丽，则彳=

TT

【变式7-3].如图，C是以A3为直径的半圆。（不含端点）上一动点，4»CB=5,且OC=CB.若4?=2,

则能•防的取值范围是.

题型08平面向量与平面解析几何

2

【典例8-1】.双曲线「：/-工=1的左右焦点分别为月、F2,过坐标原点的直线与r相交于42两点，

6

若国目=2|耳明则可.印=.

【典例8-2】.过点P作圆。:/+9=1的两条切线，切点分别是A、B.若NAPB.,则次.而=.

【变式8-1】.已知A、B、C是椭圆片+工=1上的三点，点尸（3,0）,若丽+丽+斤="则

2516

商+园+冈=.

【变式8-2].设。为坐标原点，尸为抛物线/=4x的焦点，A是抛物线上一点，若方./=-4,则点A

的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【变式8-3].在平面直角坐标系xOy中，点A,B是圆Y+y2-6x+5=0上的两个动点，且满足|AB|=2百，

贝U|次+砺|的最小值为.

题型09平面向量的其他应用

【典例9-1].已知尸是0ABe所在平面内的一点，若屈-痛=2而，其中加R,则点P一定在（）

A.AC边所在的直线上B.8c边所在的直线上

C.A8边所在的直线上D.0ABe的内部

【典例9-2].已知VABC是边长为6的等边三角形，M是VABC的内切圆上一动点，则通.再0的最小值

为.

【变式9-1].设。为VABC的内心，且满足（9-元）•（砺+定一2函）=0,则VABC的形状为（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.以上都不对

【变式9-2].如图，网=|喝=1,（弧丽），点C在以。为圆心的圆弧上运动，贝区的取

【变式9-3】..设。为两个非零向量入B的夹角，已知对任意实数r,出+办|的最小值为1

A.若6确定,则|Z|唯一确定B.若6确定,则出|唯一确定

C.若|£|确定，则。唯一确定D.若确定，则。唯一确定

题型10平面向量难点分析

_,.—>—>—>—>—>—>O77"

【典例10・11.已知平面向量凡》,0,6满足1。1=4,|6|=1,|/?-〃|=1,<。,6>=3",且对任意的实数3均有

口一定白忸一2a•则।:士的最小值为

【典例10-2】•平面上到两个定点距离之比为常数“4>。,4=1）的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确

定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知日石忑满足|司=同=1柩|=2/Z=1,贝I]

111-I

e+51+/卜_■的取值范围为.

【变式10-11.已知平面向量。乌,。,B,其中q,为单位向量，且满足6=0,若苕与4夹角为：，向量

方满足4（e/B）-e2-b+2=0,则.最小值是.

【变式10-21.我们把一系列向量泊（i=l,2,L,〃）按次序排列成一列，称之为向量列，记作｛4｝.已知向量

列何｝满足：用=。,1）,an=（x„,yn）=1（xn_,-yn_x,xn_,+yn_l）（n>2）,设。“表示向量瓦-与4的夹角，若

I不等式出+…+>1l°g«（l-2a）恒成立，则实数”的取值范

b„=—0„,对于任意正整数〃,

71\b2n2

围是.

【变式10-31.对任意两个非零的平面向量日和耳，定义2。/=若平面向量2、石满足同2.卜0,

P-P

£与8的夹角。e0,?,且2力和石。日都在集合］"ez1中,给出下列命题:

①若根=1时，贝!JZoB=boa=l

②若m=2时，贝|〃。石=］.

③若〃7=3时，则£。方的取值个数最多为7.

④若m=2014时，则的取值个数最多为粤t

其中正确的命题序号是（把所有正确命题的序号都填上）

*>----------题型通关•冲高考-----------*>

一、填空题

1.（2024・上海奉贤•三模）复数3+2i的虚部是.

2.（2024・上海,三模）已知复数z满足（3-4i）z=5,则2=.

3.（2023・上海黄浦・