高考数学一轮复习重难点突破：直线与圆的综合应用（含解析）

直线与圆的综合应用

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：距离的创新定义.........................................................2

题型二：切比雪夫距离...........................................................6

题型三：曼哈顿距离'折线距离、直角距离问题....................................11

题型四：闵氏距离问题..........................................................15

题型五：圆的包络线问题........................................................17

题型六：阿波罗尼斯圆问题'反演点问题、阿波罗尼斯球问题.........................20

题型七：圆中的垂直问题........................................................25

题型八：圆的存在性问题,........................................................28

03过关测试....................................................................31

直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。

0

题型归纳与总结

题型一：距离的创新定义

【典例1-1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决，例如，与J(x-a『+b-6)2相关的代数问题,可以转化为点/(xj)与点8(氏6)之间

距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程+4x+5+-4x+5=6的解是()

3阮„工3版「6耶„645

AA.------D.±-----C.------U.±------

4455

【答案】D

[解析]因为\lx2+4x+5=&x+2)2+1=yJ[x-(-2)]2+(1-0)2，

所以&+4x+5可以转化为1)到N(-2,0)的距离，

同理，—4x+5可以转化为M(x,l)到尸(2,0)的距离，

因为Jx?+4x+5+&-4x+5=6，

所以M(x,l)到两定点N(-2,0)和尸(2,0)的距离之和为6,

所以M1)在以点N(-2,0)和尸(2,0)为焦点的椭圆上，

22

设椭圆的标准方程为：=+q=1(。>6>0),

ab

则,2a=6,

即a=3,

又/=4,

所以/=5，

所以椭圆的方程为：—+^=1,

95

由了=1,

95

解得,x=±"5.

5

故选：D.

【典例1-2】人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和

余弦距离.若二维空间有两个点/(石,%)，8(%,为)，则曼哈顿距离为：d(A,B)=\xx-x^+\yx-y^

余弦相似度为：cos（48）=/Jx%,+/J、x余弦距离为1—cos(45).

Vxi+K，石+了24万+%VX2+^2

若/(—1,2)，B,贝ija2之间的余弦距离为()

A.1_叵B.1+叵C.「叵D.]_叵

5555

【答案】A

【解析】由题J—+M=J(_iy+22

/…、-13^24亚

c°s（4B）=7r丁丁分彳,

所以43之间的余弦距离为l-cos(4S)=l-—•

故选：A.

【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120。时，

费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120。.根据

以上性质，已知4一2,0),5(2,0),C(0,4),尸为V/8C内一点，记〃户)=阳|+忸同+|尸。［,则〃尸)的

最小值为()

A.273B.4+273

C.4+V3D.2+V3

【答案】B

【解析】设。。0)为坐标原点，由次一2,0),8(2,0),C(0,4),

知\AC\=\BC|=2^/5，且VABC为锐角三角形，

因此，费马点M在线段OC上，设河(0,〃)，如图，

A

AO\Bx

则△肠43为顶角是120。的等腰三角形，故"=|08地1130。=竿,

所以/(尸)2/(AO=|M4|+|Affi|+|MC|=4〃+4-〃=4+2G,

则“尸)的最小值为4+26.

故选：B

【变式1-2]以三角形边3C,CA,为边向形外作正三角形3C4',CAB',ABC,则44,，BB'，

CC三线共点，该点称为V/8C的正等角中心.当V/2C的每个内角都小于120阳寸，正等角中心点尸满足

以下性质：

(1)£)/必=D/PC=B3PC=120°；(2)正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点(也即费

马点).由以上性质得商+0-1)2+"+(y+l)2+J(x-2)2+J?的最小值为

【答案】2+6

【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点40,1),5(0,-1)，C(2,0),

则&+(了-1)2+JY+0+1)2+J(x-2)2+。表示坐标系中一点(x,y)到点A、8、C的距离之和，

因为A4BC是等腰三角形，AC=BC,

所以C'点在无轴负半轴上，所以CC与无轴重合，

令ZL4BC的费马点为尸(见6),则尸在CC'上，则6=0,

因为ZL4BC是锐角三角形，由性质(1)得ZAPC=120°,

所以乙4尸0=60。，所以工=6，所以°=

a3

...P专，0)到A、B、C的距离分别为*=孚，PC=2-^~,

所以+(y_l)2+J无2+(y+])2+J(x-2『+了2的最小值,

即为费马点尸到点A、B、C的距离之和，则PN+PB+PCuZ+e.

故答案为：2+.

【变式1-3］已知平面上的线段/及点尸，任取/上一点Q,线段P。长度的最小值称为点尸到线段/的距离,

记作以尸,/).请你写出到两条线段心4距离相等的点的集合。=｛门"(尸，G="(P,4)｝,其中(=皿

l2=CD,A,B,C,。是下列两组点中的一组.对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是①3分;

②5分.①4L3),5(1,0),C(-l,3),£>(-1,0)；②4(1,3),5(1,0),C(-l,3),。(-1,-2).你选择第

种情形，到两条线段4，4距离相等的点的集合。=.

【答案】①，歹轴②y轴非负半轴，抛物线必=以(-2小《),直线y=-x-i(x>i)

【解析】根据题意从两组点的坐标中选一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方

程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果.

对于①，/(1,3),5(1,0),C(-l,3),D(-l,0)；

利用两点式写出两条直线的方程NB：x=l,CD-.x=-1,

到两条线段4，4距离相等的点的集合。=｛门"仍，4)="(P，外｝，

根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，

到两条线段4，4距离相等的点的集合为。=｛(x/)|x=0｝，

对于②，41,3),5(1,0),C(-l,3),。(-1,-2).

根据第一组作出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点

是y轴的非负半轴，抛物线抛物线产=以(-2亦《),直线y=-x-i(x>i)

故满足条件的集合。={(x/)k=O且了20}U=4x,0VxVl,-2•缶与u[(X,y)\y=-x-l,x>}^.

综上所述，①，Q={(x,y)|x=0)；②，O={(x/)|x=0且了20}U

{(x,j)|/=4x,0<x<l,-2-v)r^)u{(无，力=.

题型二：切比雪夫距离

【典例2-1]在平面直角坐标系中，定义"(43)=11^{卜1-_¥2|"]-为|}为两点4(再,乂)、网超,%)的“切比

雪夫距离”，又设点P及/上任意一点称〃(尸，2)的最小值为点尸到直线/的“切比雪夫距离"记作"(尸,/)，给

出下列四个命题：

①对任意三点4B,C,都有d(C,N)+d(C,8)24(48)；

4

②已知点尸(3,1)和直线/：2x-y-l=0,则d(尸，/)=§；

③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；

其中真命题的是()

A.①②B.②③C.①③D,①②③

【答案】D

【解析】①对任意三点A、B、C,若它们共线，设次为，乂)、B(X2,y2),C(x3,%),如图，结合三角

形的相似可得d(C，Z),d(C,B),d(A,B)为AN,CM,AK,或CN,BM,BK,则

d(C,A)+d(C,B)Nd(A,B)；

若B,。或A,C对调，可得d(CZ)+d(CI)2d(48)；

若A,5,。不共线，且三角形中。为锐角或钝角，如图，

由矩形CM\K或矩形3MAK,d(C,A')+d(C,B)>d(A,B)；

则对任意的三点A,B,C,都有"9,/)+4«,5)24(45),故①正确;

②设点。是直线了=2x-l上一点，且。(x,2x-l),

可得d(P,0)="{|x-3|,|2-2x|),

由|x-3闺2-2x|,解得一即有d(P,Q)=|x-3|,

54

当x时，取得最小值：；

由|x-3|<|2-2x|,解得或x<-l,即有或产,。)=|2》-2],

4一,

"(P,。)的范围是(§,+8),无取值；

4

综上可得，P,。两点的“切比雪夫距离”的最小值为:；故②正确；

③由题，到原点。的“切比雪夫距离”的距离为1的点尸(X/)满足“。，尸)=max{|x|，M=l,即或

x<Iy|,…

；1,显然点尸的轨迹为正方形，故③正确：

[了=L

故选:D

【典例2-2】在平面直角坐标系中，定义例48)=|占-电|+|%-为|为两点必)、2区，力)的“切比雪夫

距离”，又设点尸及直线/上任意一点。，称"(尸,。)的最小值为点尸到直线/的“切比雪夫距离”，记作或尸,/),

给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有"(C,4)+d(C,8)21(48)；

4

②已知点P(3,l)和直线/：2x-yT=0,则或P,/)=g；

③定义0(0,0),动点尸(x,y)满足d(P,O)=l,则动点尸的轨迹围成平面图形的面积是4；

其中真命题的个数()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由新定义表示出三点4RC两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①,

由新定义计算出d(PJ),判断②，

根据新定义求出户的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③.①设

A(xl,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则火4夕)=|再-司+|%一%|，

d(A,C)+C)=|xj-x31+|yj-y31+|x2-x31+|y2-y31,

显然|再一百+民一百2|(再一工3)-(>2-工3)|=N,同理上一%|+|%-%以必一词,

.■.d(C,A)+d(C,B)>d(A,B),①正确;

②设尸(x,y)是直线/上任一点，则y=2x-l,

3x-5,x>3

或尸,/)=卜_3|+b_1|=|无一3|+悟x—2|=x+l/V尤<3,易知以尸,/)在口,+8)上是增函数，在(一*1)上是减

5-3x,x<1

函数,「=1时，d(尸,/焉=|1一3|+|2-2|=2,②错；

③由次2。)=1得同+可=1,易知此曲线关于x轴，>轴，原点都对称，它是以(1,0),(01),(-1,0),(0,-1)为

顶点的正方形，其转成图形面积为S=；x2x2=2,③错.

故选：B.

【变式2-1](2024・上海•二模)在平面直角坐标系中，定义式42)=01期{|占-々二乂-%|}为两点4(再,必)、

5(%，%)的“切比雪夫距离”，又设点尸及/上任意一点。，称"(2。)的最小值为点P到

直线/的“切比雪夫距离”，记作或尸,/),给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有d(C,/)+点C,3)2d(43)；

②已知点尸(3,1)和直线/：2x-y-l=0,则或P,/)=：；

③定点片(一c,0)、&(G。),动点尸C")满足|d(E,片)一d(P，E)|=2a(2c>2a>0),

则点尸的轨迹与直线>=左(左为常数)有且仅有2个公共点；

其中真命题的个数是

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】设/(乙,”),8(由题意可得：

d(C,^)+J(C,5)=max{|xA~^\\yA一封}+ma#%一名卜弘一诩

可山一Xcl+阵-4斗.一喇

同理可得：〃(理/)+d(C,3)之历一词，则:

d(C,/)+d(C,B)2max{|/-不"%-%|}=&A,^,

命题①成立；

设点0是直线尸2x-l上一点，且。(x,2x-l),可得d(P,Q)=max{k-3|,|2-2x|},

由卜一3|耳2-2x|,解得TVxvg,即有=当z=g时取得最小值g；

由以一3|<|2-2x|,解得或x<-l,即有［（尸,0）=|2x-2|,

"（R。）的范围是（3,+8）U,+°o,无最小值.

综上可得，尸，。两点的“切比雪夫距离”的最小值为4.

说法②正确.

定点与（-。,0）、心（。,0）,动点尸（x,y）满足=2a（2c>2a>0）,则:

|max^|x+c|,|y|j-max{卜-c|,|y|}|=2a,

显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设公0,y>0.

x+c>yx=a

⑴当时,<||x+c|-|x-c||=2a,得:

x-c>y0<y<a-c

x+c<y

⑵当时,有0=2。,此时无解;

x-c<y

x+c>y

⑶当时,有x+c—y=2a,a<x；

x-c<y

则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.

结合图象可知，点P的轨迹与直线、=左（左为常数）有且仅有2个公共点，命题③正确.

综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3.

本题选择。选项.

【变式2-2］（2024•高三•上海浦东新•期中）在平面直角坐标系中，定义d（43）=max｛卜_司,|必-%|｝为两

点4（再,%）、以马,%）的“切比雪夫距离”，又设点P及/上任意一点Q,称"（2。）的最小值为点尸到直线/

的“切比雪夫距离”，记作八尸,/）,给出四个命题，正确的是—.

①对任意三点A、B、C,都有d（C,4）+d（C,B）2d（a8）;

②到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；

4

③已知点尸（3,1）和直线/：2x-y-l=0,贝！|d（P,/）=§；

④定点租-c,0）、巴（c,0）,动点P（x,y）满足|d（尸,硝-d（P,丹）|=242c>2”0）,则点尸的轨迹与直线

y=k（左为常数）有且仅有2个公共点.

【答案】①②③④

【解析】①对任意三点A、B、C,若它们共线，设N（X],以）、2（%,%）、C（x3,j3）,

如下图，结合三角形相似可得"（C,Z）=/N或CN,d（C,B）=CM或BM,d（A,B）=AK或BK,则

d（C,4）+d（C,3）=d（4B）；

若B、C或A、C对调，可得d（C,/）+d（C,8）>d（4B）;

若A、B、C不共线，且ZL4BC中C为锐角或钝角，由矩形CMAK或矩形,

d{C,A）+d{C,B）>d{A,B）.

则对任意的三点A、B、C,都有d（意⑷+d（C,8）2d（48）,命题①正确;

②到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为max{国,闻=1,若日性国,则卜=1；

若N<|x|，则|尤|=1,故所求轨迹是正方形，命题②正确；

③设点。是直线>=2x-l上•一点，且。（x,2x-l）,可得,（尸,。）=11^{卜-3|,|2-2刈，

由以一3|川2-2x],解得TVxvg,即有"（RQ）=|x-3|.

54

当x=:时，"（尸,。）取得最小值：；

由卜_3|<|2-2不解得x<-l或x>g,即有以尸,0）=|2_2',

d（P,。）的取值范围是（3,+8）U（：,+"=1,+力，无最值，

所以，尸、。两点的“切比雪夫距离''的最小值为:，命题③正确；

④定点片（-c,0）、名（c,0）,动点尸（x,y）,满足U（尸,4）-"（尸，耳）|=242c>2a>d）,

可得尸不在V上，P在线段片8间成立，可得x+c-（c-x）=2a,解得x=a.

若P在第一象限内，满足I"（尸,耳）-"（尸,即|=2°,即为x-y+c=2“，为射线,

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，

则点P的轨迹与直线>=左（左为常数）有且仅有2个公共点，命题④正确.

故答案为：①②③④.

题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题

【典例3-1］（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐

标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点1（网,必）,现乙,外）的曼哈顿距离

或43）=|尤1一百+|必一切,则下列结论正确的是（）

A.若点尸（2,4）,0（-2,1）,则d（P,Q）=7

B.若点M（-1,O）,N（1,O）,则在x轴上存在点P,使得d（尸,M）+d（P,N）=l

C.若点M（2,l），点尸在直线x-2y+6=0上，则的最小值是3

D.若点M在圆一+/=4上，点N在直线2x-y+8=0上，则"（MN）的值可能是4

【答案】ACD

【解析】对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知"（R。）=|2+2|+|4-1卜7,则A正确；

—2x,x<—1

对于B选项，设尸（x,0）,贝1］外尸,河）+4尸,"）=卜+1|$》一］=<2,-1小才，从而d（尸,M）+d（RN卜W,

2x,x<1

故B错误；

对于C选项，作轴，交直线x-2y+6=o于E,过P作尸〃_L〃E,垂足为

由曼哈顿距离的定义可知"（RM）=\PH\+\MH\.

当P不与E重合时，因为直线x-2y+6=0的斜率为g,所以户叫>忸叫，所以

\PH\+\MH\>\EH\+\MH\=\ME\；

当P与E重合时，|尸叫=忸司.

综上，|尸回斗阳|,则“尸,M）=|尸M+平M+|M7|=|Affi|=3.故c正确.

对于D选项，若M（0,2）,N（-2,4）,则"（MN）=4,故D正确.

【典例3-2］（2024•高三・江苏无锡•开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如

下：设力（国,弘），3（%,%）,则A,3两点间的曼哈顿距离"（48）=、-%|+|乂-司.已知赫（4,6）,点N

在圆C:x2+/+6x+4y=0上运动，若点?满足d（M,P）=2,则|两|的最大值为.

【答案】7149+5/13/^+7149

【解析】由题意得，圆C:（x+3）2+3+2）2=13,圆心c（_3,_2）,半径百，

设点P（%o，yo）,则卜o-4卜|%-6卜2,

故点P的轨迹为如下所示的正方形，其中/（4,8）,5（6,6）,

贝|J|/C|=J（4+3）2+（8+2）2=V149，忸c|=』6+3丫+（6+2丫=V145，

则|尸N|4\AC\+r=V149+拒，即\PN\的最大值为V149+岳.

故答案为：7149+713.

【变式3-1]在平面直角坐标系中，定义"（尸,。）=|玉-Z|+|乃-必|为两点尸（七,必），0（%，%）之间的“折

线距离”，则圆（x-4『+（了一3户4上一点与直线尤+了=0上一点的“折线距离”的最小值是—.

【答案】7-2及

【解析】将直线x+y=O平移到与圆相切，求出此时的直线方程为x+y-7+2亚=0,利用结论二可知，

圆G-4）2+（歹-3）2=4上一点与直线》+了=0上一点的“折线距离”的最小值是7-2逝.

【变式3-2]（2024•广东广州•二模）在平面直角坐标系X0中,定义〃（48）=|再一刃+|必-闾为"占,必）,

5（左,%）两点之间的“折线距离”.已知点。（1,0）,动点尸满足"（0,尸）==,点M是曲线了=《上任意一点,

2x

则点尸的轨迹所围成图形的面积为，〃尸,河）的最小值为

1y

【答案】：/0.5y23-1

【解析】设尸（x,y）,6/（e,p）=|x-i|+M=1'

13

当1420时，贝%—1+>=5，即％+>—5=0,

,,13

当x21,y<0时，则x_]_y=5，Wflx—y——=0,

当x<l,y<0时，则I—%—>=工，即x+y_，=0

22

当x<1/20时，则]—x+y=5，—y——=0,

故点。的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形的面积:

1111

则nlSo=_x_x_x4=一.

2222

如下图，设尸优,外),M(X],m)，显然X]＞Xo，乂＞外,

d(尸也)=|再一％|+|%一刃=占一％+%一%=再+以一(％+%)

求d(P,Af)的最小值，即再+%的最小值，%+%的最大值，

3

又(%+%)max=5，下面求再+%的最小值，

令歹=石+弘=石+不，/=]_==*2=0,gp_73，

玉x；耳共一乙

令人＞0,解得：西〉2；，令•/＜。，解得：再＜23，

所以》在-上单调递减，在2*+8上单调递增，

\7\7

1_3

所以时，＞有最小值，且Wn=三，

123

所以小⑼皿二/3一3二3十f一-

题型四：闵氏距离问题

【典例4-1】(2024•全国•模拟预测)闵氏距离(Minkowskidistance)是衡量数值点之间距离的一种非常常

见的方法，设点A、8坐标分别为(孙乙)，(巧,％)，则闵氏距离

4(43)=(匕-匕「+卜-%『)%0。*卜若点人、8分别在y=e，和>=x-l的图像上，则。。(，⑻的最

小值为()

A.21/pB.2PC.el/pD.ep

【答案】A

【解析】由题意得,设4(看,1),8(方2,电T)，

因为点/、8分别在函数y=e'和y=x-l的图象上，

1_1_1

所以4(48)=(归一4+产f+■_/)_©f+l)F=|(x「e』_中，

当且仅当(%-%)(铲-/+D2。时等号成立.

x

设g(x)=k—e"-1],A(x)=x-e-l,则〃0)=1-3，

令h\x)〉0nx<0,h\x)<0=>x>0,

所以函数力(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

所以〃(x)max=力(。)=-2,即h(x)<-2,所以g(尤)=|/?(x)|=-h{x}>2,

11

即与(4团》2]，所以2(48)的最小值为2人

故选：A.

【典例4-2】(2024・高三・安徽阜阳•期末)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两

组数据分别为/=(q,。2，…，％)和3=伍也,…也)，这两组数据间的闵氏距离定义为

4B⑷,£瓦其中q表示阶数.现有下列四个命题：

_k=\_

①若N=(1,2,3,4),3=(0,3,4,5),则“⑴=4；

②若4=(。,。+1),8=(6-1,6),其中a,6eR,则虑式1)="«(2);

③若4=(a,b),8=(c,d),其中a,瓦c,deR,则1必⑴2刈£2)；

④若/=(.,/),8=(46-1),其中a,beR,则2£2)的最小值为迪.

8

其中所有真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】对于①：^(1)=|1-0|+|2-3|+|3-4|+|4-5|=4,故①正确.

对于②：＜7^(1)=2\a-b+l\,dAB(2)-42\a-b+\\,故②错误.

对于③：dAB—c\+\b-d\,dAB(2)—yj(a-cj+(b-dj,不妨设|a-c|=6-"|=N,

(M+N)2>+,且M,N均为非负数，所以M+NNYM2+N?故③正确.

对于④：构造函数/&)=必名(工)=》-1,则“⑵=J(X「X21+E-%)2，应式2)的最小值即两曲线动

点间的最小距离，设/(x)=/与直线g(x)=x-l平行的切线方程为y=x+6,联立1=”,得：

[y=x+b

x2-x-b=Q,令A=l+46=0得，b=-]所以切线方程为夕=x-。：g(x)=x-l与夕=无+1之间的距离

444

d_4.=3V2,所以最小值为处，故④正确.

088

故选C

【变式4-1](2024•全国•模拟预测)在直角坐标系尤0中，已知点/(国,外)，BN，%)，记

0(43)=(|再-尤2「+帆-%「)，其中。为正整数，称。(43)为点A,8间的M距离.下列说法正确的

是().

A.若4(。,/)=1,则点A的轨迹是正方形

B.若4(45)=4(48),则A与3重合

C.d\(A,B)4亚d"A,B)

D."2(43)24(42)

【答案】A

【解析】由4(。,4)=1得恸|+闵=1,所以点A的轨迹是以。为中心的正方形，故4正确；

记羽=恸-工2|,”=|乂-%|,则加20,”20,

若&(A,B)=d2(A,B),则加+〃=/+/,显然有机=0,〃=1满足此等式，可取点7(1,1),5(1,2),显然

A与B不重合，故2错误；

取点4(0,1),4(48)=；，用(48)=；,则属2(4可=包，

/244

此时4(48)>四办(48),故c错误，也可得。错误.

故选：A.

【变式4-2](多选题)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为

/=(%,如…,。“)和8=(4也，…也)，这两组数据间的闵氏距离定义为九①)='其中g表示

_k=l_

阶数.下列命题中为真命题的是()

A.若-=(1,2,3,4),8=(0,3,4,5),则“⑴=4

B.若2=B=(b-l,b),其中Q,beR,则％。)=“⑵

C.若4=(4,6),B=(c,d),其中q,b,c,deR,则〃⑴之九⑵

D.若/=(a,/),B=(b,b-1),其中0,beR,则442)的最小值为逆

8

【答案】ACD

【解析】对于A：^a(l)=|l-0|+|2-3|+|3-4|+|4-5|=4,故A正确.

对于B：%(1)=2|"6+1，%(2)=亚+故B错误.

22

对于C：晨⑴=|a-c|+|b+d,dAB(2)=y/(a-c)+(b-d),不妨设|a-c|=Af,|6-d|=N,因为

M>Q,N>Q,所以2ACV20,所以"+产+2A/N2M?+产，所以(M+N)?NM?+N?,所以

M+N>^IM2+N2>故c正确.

对于D：构造函数〃x)=x2,g(x)=x-l,则4/2)的最小值即两曲线动点间的最小距离，设直线

y=x+m与曲线/(X)=x,相切，则由1；_工2，得/-X-机=0，由/=1+4s=0,得％=-1,所以切

线方程为-

4

1--厂

所以两曲线动点间的最小距离为7430,故D正确.

418

故选：ACD

题型五：圆的包络线问题

【典例5-1】(多选题)设有一组圆Q：(》-左+1)2+(了-3勾2=2及(左©N*).下列四个命题中真命题的是

A.存在一条定直线与所有的圆均相切

B.存在一条定直线与所有的圆均相交

C.存在一条定直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

【答案】BD

【解析】圆心为CM4-1,3左)，半径为〃=亚2,

G(0,3),“=&,C2(l,6),々=4收，|C£|=Jf+32=M<4逝-&=3&,圆。与圆G是内含关系,

因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A错误；

易知圆心在直线了=3(x+l)上，此直线与所有圆都相交，B正确；

若左取无穷大，则所有直线都与圆相交，C错；

将(0,0)代入圆方程得(左-If+9左2=2左"，即10公一2左+1=2左％等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程

无整数解，即原点不在任一圆上，D正确.

故选：BD.

【典例5-2](多选题)设有一组圆C*:(x-l)2+(y-幻2=-/eN*).下列四个命题正确的是

A.存在左，使圆与x轴相切

B.存在一条直线与所有的圆均相交

C.存在一条直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

【答案】ABD

【解析】根据题意得圆的圆心为(1,左)，半径为公，

选项人,当1<=左2,即k=l时，圆的方程为+(y-l)2=1,圆与x轴相切，故正确；

选项B,直线x=l过圆的圆心(1,后)，x=l与所有圆都相交，故正确；

选项C,圆心圆心(1,k),半径为小，圆叶1：圆心(1,叶1),半径为(R1)2,

两圆的圆心距d=l,两圆的半径之差R-r=2什1,(R-Ck含于之中，

若左取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；

选项D,将(0,0)带入圆的方程，则有1+左2=/，不存在蛇N*使上式成立，

即所有圆不过原点，正确.

故选ABD

【变式5-1](多选题)已知圆Af:(x-l-cos8)2+(y-2-sinO)2=1,直线/：kx-y-k+2=0,下面五个命

题，其中正确的是()

A.对任意实数左与仇直线/和圆M有公共点；

B.对任意实数先与仇直线/与圆”都相离；

C.存在实数左与仇直线/和圆M相离；

D.对任意实数总必存在实数仇使得直线/与圆M相切：

E.对任意实数0,必存在实数后，使得直线/与圆M相切；

【答案】AD

【解析】42选项，由题意知圆M的圆心为点M(l+cos6,2+sin。)，半径为尸1,

直线/的方程可写作了=心-1)+2,过定点41,2),因为点/在圆上，

所以直线/与圆M相切或相交，任意实数人与0,直线/和圆M有公共点，/正确3错误；

C选项，由以上分析知不存在实数后与0,直线/和圆M相离，C错误；

。选项，当直线/与圆M相切时，点N恰好为直线/与圆M的切点，故直线■与直线/垂直,

①当左=0时，直线/“与x轴垂直，则l+cos0=l,

7T

即cos6=0,解得8=5+左万(左eZ),存在。，使得直线/与圆河相切;

②当发片0时，若直线与直线/垂直，则cosSwO,

2+sin6-2sin£

直线的斜率为3M=cot0,

1+cos0-1cos。

所以右/左=—1,即cotO=—J,

k

使得cotO=-J,则直线与直线/垂直.

此时对任意的左片0,均存在实数仇

k

综上所述，对任意实数上，必存在实数仇使得直线/与圆M相切.。正确.

|hcos6—sin6|

E选项，点M(l+cos0,2+sin9)到直线I的距离为d=

yjk2+l

令6=0,当左=0时，<7=0,；当发片0时，d=I,<=11

，左+17k

即此时d<l恒成立，直线/与圆M必相交，

故此时不存在实数匕使得直线/与圆M相切.£错误.

故选：AD

【变式5-2](多选题)已知圆M：(x-1-cos。)?+(y-sin0)2=1,直线/：kx-y-k=Q,下面命题中正

确的是()

A.对任意实数左与0,直线/和圆/有公共点；

B.对任意实数后与。，直线/与圆M都相离；

C.存在实数人与。，直线/和圆M相交；

D.对任意实数上，必存在实数0,使得直线/与圆W相切.

【答案】ACD

【解析】对于A,圆/：(x-l-cos0)2+(y-sin0)2=1的圆心为(l+cose,sine),半径为厂=1；无论。取何

值，都有(1-1-cos0y+(sin0)2=l,.•.圆过定点(1,0)；

又直线/：6-y-左=0可化为左。-1)-了=0,过定点(1,0)；

直线/和圆”有公共点(1,0),A正确；

lA：cos0-sin0\।,、i

对于B,圆心河到直线/的距离为4=]~~L=|sin^_cz)|<i=r；其中tana=0：.d<r,故B错

yjk2+l

误;

根据B的分析，可得C、D正确.

故选：ACD

题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题

【变式5-31(多选题)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学

三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点45的距离之比为定值”彳＞0,且4片1)的点的轨迹是圆，

P41

此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系X0中，4(-2,0),5(4,0),点尸满足面~=5.设点尸的轨迹为

曲线C,则下列说法正确的是()

A.C的方程为(尤+4『+/=16

B.点48都在曲线C内部

C.当4三点不共线时，贝！=

D.若。(2,2),则|「耳+2|尸必的最小值为4支

【答案】ACD

【解析】设尸(x,y),(P不与A,3重合)，

由4一2,0),8(4,0),有I尸川=J(x+2)2+r,\PB\=^x-4)2+y2,

i^j=r即HW4’化简得(尤+4)2+/=16,

所以点尸的轨迹曲线。是以C(-4,0)为圆心，半径厂=4的圆，如图所示，

对于A选项，由曲线C的方程为(x+4)2+/=16,选项A正确;

对于B选项，由8c=8,点8在曲线C外，选项B错误；

对于C选项，由|。*=2,|O5|=4,有嘿^=；=焉，

|UD|Z|CD|

则当A,B,P三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，P。是尸8内角/4P3的角平分线,

所以N4PO=NAP。，选项C正确;

IpAI1

对于D选项，由扁=w，得|P8|=2|尸图,

I厂*，

贝!JIP51+21尸0=21尸川+21P0=2(|融|+1尸0)22|力0=2x7(-2-2)2+(0-2)2=4百，

当且仅当尸在线段ND上时，等号成立，

则|尸耳+21尸M的最小值为4vL选项D正确.

故选：ACD.

【变式5-4】圆的反演点：已知圆。的半径是「，从圆心O出发任作一条射线，在射线上任取两点M,N,

若10MHCW|=/,则互为关于圆。的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点M在圆

。外，过M作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是点M的反演点；若点M在圆。内，则连接

OM,过点M作的垂线，该垂线与圆两交点处的切线的交点即为M的反演点.已知圆0:/+/=4,

点则M的反演点的坐标为.

【答案】

【解析】圆。：/+/=4,圆心。（0,0）,半径厂=2,

点（W=Jf+32=而＞2,点M在圆。外，

过“作圆的两条切线，两切点为48,则48在以CW为直径的圆上,

即48是圆+［一£|=g与圆。：/+y=4的交点,

两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为尤+3了-4=0,

2

x=—

x+3歹一4=05

又直线0M的方程为＞=3x,由;,解得

y=3x6

26

所以M的反演点的坐标为

595

26