高考数学模拟大题规范训练18（含答案及解析）

高三数学大题规范训练（18）

15.己知等比数列｛4｝满足4=4,%=32.

（1）求数列｛%,｝的通项公式；

⑵设勿=:-------.-------，求数列也｝的前"项和5”.

log2%Tog2an+l

16.如图，平行六面体ABC。-4瓦£。的底面ABC。是菱形，且

NBCD=ZC.CB=NC，D=60°.试用尽可能多的方法解决以下两问:

3

（1）若A5=2，AA=Q,记面BQ。为a,面BCD为5,求二面角a-5。—月的平面

角的余弦值；

AB

（2）当笳-的值为多少时，能使平面Cd。？

17.金华轨道交通金义东线金义段已于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从金华站到义

乌秦塘站一路经过17座车站.万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站

作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了200名乘客，记录了他们从来源地到

万达广场站所花费时间t.得到下表：

时间t(min)[0,6)[642)[12,18)[18,24)[24,30)[30,36)

人数（人）106070302010

（1）从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间/大于或等于18min的

概率；

(2)估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间r的中位数；

(3)己知6)的10人，其平均数和方差分别为2,1；rw[6,12)的60人，其平均数

和方差分别为9,2,计算样本数据中r€[0,12)的平均数和方差.

注：已知西,々,％”的平均数为。，方差为6,%,%，…，”的平均数为以方差为力

玉，々，…，/，/，％，…，%的平均数为e,则玉，九2,…，/，%，为，…，笫的方差为

52=m+n|"d+(c_c)2].

m+n'-」m+n'-」

18.已知函数/(x)=sin22x-sin2xcos2x.

(1)化简函数的表达式，并求函数八％)的最小正周期；

冗

(2)若点4(%,%)是y=/(x)图象的对称中心，且0,—,求点A的坐标.

7TJTTT

19.已知函数/(x)=2sin(ox+0)(o＞0,——＜。＜一)的图象关于直线x=—对称，且图

226

象上相邻最高点的距离为万.

(1)求/(x)的解答式；

77

(2)将y=/(x)的图象向右平移二个单位，得到g(x)的图象，若关于x的方程

6

7T

g(x)—(2m+1)=0在[0,-]上有唯一解，求实数m的取值范围.

2

高三数学大题规范训练（18）

15.己知等比数列｛4｝满足4=4,%=32.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

,1，、

⑵设d=--------.-------,求数列也｝的前〃项和s„.

10g2"aT°g2an+l

【答案】（1）an=T

【解答】

【分析】（1）设公比为q,根据等比数列的通项公式求出q、％,即可求出通项公式;

（2）由（1）可得b“=L——L，利用裂项相消法求和即可；

n〃+1

【小问1详解】

解：因为｛4｝为等比数列，且。2=4,%=32,设公比为4,

所以/=8=8,所以4=2,q="=2,

%q

所以%=a/qi=2"；

【小问2详解】

r_1_1_1_1__1_

斛.因为“log?4.log?a〃+]log?2'•log22"in(n+l)nn+1

*/111111,1n

所以S“=-----1-----1---1-------=1------=----

1223nn+1n+1n+1

16.如图，平行六面体ABC。-AgGA的底面ABC。是菱形，且

/BCD=NGCB=ZQCD=60°.试用尽可能多的方法解决以下两问:

3

(1)若A3=2，AA=5,记面Bq。为a,面BCD为夕，求二面角a-5。—/的平面

角的余弦值；

AB

(2)当工了的值为多少时，能使AC，平面£3。？

【答案】(1)B

3

(2)1

【解答】

【分析】(1)根据二面角的定义作图分析确定二面角的平面角，计算二面角的平面角可结合

直角三角形中的边角关系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角a-3。-尸的平

面角的余弦值；

AB

(2)可先猜测二-的值，然后证明AC，平面G3D,根据平行六面体法人几何性质结合

线面垂直的判定定理证明、或者补形证明、或者利用空间向量的线性运算证明.

【小问1详解】

连接AC、设AC和交于。，连接G。，作GELC。，垂足为£,作G8，OC，垂

足为“，连接HE.

•••四边形A3CD是菱形,

:.ACYBD,又/BCD=60。,：.BD=CD.

又NBCG—NDCC[,C]C=CXC,

△C[BC=ACtDC,:.CtB=GD,

,:DO=OB,：C]O：LBD,

又AC，BD,ACC\ClO=O,AC，GOu平面AC]C

.•.即,平面4。]。，

又GCu平面AC；。，C]C_LB。.

NCQC是二面角。—5。一夕的平面角.

方法一：：/。10)=60°,£。=44=^,可得GE=36，CE=1,

又/BCD=60°,ZHCE=30°.

因为BDu平面ABC。，故平面ABCDJ,平面OCC1,

而平面ABCDC平面OCG=OC,G〃u平面OCC1,

故G"_L平面ABCD,而CDu平面ABC。，故

而GECGH=G，GE，G"U平面GE”，故CD,平面GEH,

而EHu平面GE"，故EHLC。，

22

•••EH=与C[H=^CXE-EH=---

2

又HO=CO-CH=昱,：.CXO=^CH-+HO

22

cosZCOC=—=—.

1CQ3

3

方法二：在△G3C中，BC=2,C,C=|,ZBCC1=60°.

,,,93113

由余弦定理知储4=3。2+0。2—28CCC-cos60°=4+3—2x2x^x士=£,

4224

1,,,139

又NOC3=30°,O8=—BC=1,/.CO=cp—OB?=—-1=-,

21144

3

CQ=j即GO=G。.

•••”是OC中点，cosZC,OC=—=—.

1CQ3

CFCFCH

方法三：・・・。。5/6”=不7；，©。5/50"=力，。。5/。。"=片7；，

CjCCH7C]C

:.cosZCjCE=cos/ECHcosZCjC/7,

BPcos60°=cos30°•cosZQCH.

coszqcn=g,sin/G"=~

C〔E=CjCsinZCjC//=乎，

CH=GC.cos/GCH=曰,CO=CDcos30°=73.

...CH=HO,ZC,OC=ZQCH,故cos/GOC=f

小问2详解】

CD,

当石石=1时，能使&C_L平面GBD.

方法一：由前知二平面AC1，.•.3。，4c.

CD,

当记=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形.

同3。，4c的证法可得AAC,

而BDpiqB=B,BD,CXBu平面C&D,故A。，平面QBD.

方法二：：=1,BC=CD=QC.

由题设可知三棱锥c-是正三棱锥，设AC与C.O相交于G.

VAjQ//AC,且4。：0。=2:1,，。16:。0=2:1.

又CXO是正三角形£3。的边上的高和中线，

点G是正三角形C&D的中心.

CGL平面G3D,即AC_L平面G3D.

方法三：如图，沿面4补一个全等的平行六面体.

/.\C//DN.若A。，平面GB。，则。N1平面

:.QD工DN,BD工DN.令CD=k,C[C=l.

1

由余弦定理可知CN=7心,CiD-=k-k+1,BN-=4/+2左+1.

2222

又BD=CD=左2,则CXN--Cp=BN-BD,

即7左2—（左2—左+1）=4左2+2左+1—左2.

2

•••342—左—2=0,解得左=1或左=—§（舍）.

CD,

由此可知当6}=1时，4。，平面63。.

方法四：如图，若A。，平面G3。，则4。与成90。的角.过G作GQ〃ac交

AC的延长线于。，则NQC1D=90°.四边形A£QC为平行四边形.设CD=k,

qc=1,则AC=CQ=G匕Gr>2=r—左+i.

•••COSZQG4=.cos/4AC=~^

VcosZQCD=cosZCjCA-cosZACD

4。2=孰。2=（也左丁+]2_26左—立=3k2+2k+l,

I3/

DQ2=（G左丁+lc-2G代cosl5。=Ik2.

在RtZ\QG。中，GQ2+C]£>2=。。2,即7左2=公—左+1+3/+2k+1,

2

，342一左—2=0，解得左=1或左=—]（舍去）.

CD,

由此可知当=1时，ACJ_平面GBD.

：ABC£＞是菱形，BD±AC.

又BDLCG，，应＞1平面AC£A，得5。，AC,要使A。，平面GBD,还需

A；C1BC「

由C4|=Z?+<7+c,Bq=c—d,

则

CABCi=伍+2+,卜-B)=d-c+c2-b2-b-d=(c-〃).(c+Q+acos60。)=0,

得。=。，即然=1时成立.

17.金华轨道交通金义东线金义段已于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从金华站到义

乌秦塘站一路经过17座车站.万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站

作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了200名乘客，记录了他们从来源地到

万达广场站所花费时间t.得到下表：

时间t(min)[0,6)[642)[12,18)[18,24)[24,30)[30,36)

人数（人）106070302010

（1）从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间/大于或等于18min的

概率；

（2）估计所有在万达广场站上车乘客花费时间/的中位数；

（3）已知/且0,6）的10人，其平均数和方差分别为。1；问6,12）的60人,其平均数

和方差分别为9,2,计算样本数据中fe［0,12）的平均数和方差.

注：已知七,看,…,4的平均数为a,方差为b,%,当，…，先的平均数为c,方差为d,

xl,x2,---,xm,y1,y2,---,yn的平均数为e,则yn的方差为

/=—^―「b+（a-e）］+—「"（c-e）］.

m+n'~」m+n'-」

【答案】（1）0.3；

（2）14.6min；

（3）平均数为8,方差为巨.

7

【解答】

【分析】（1）根据给定r数表，利用古典概率公式计算即得.

（2）利用频率分布表估算中位数的方法，求出中位数.

（3）利用分层抽样的平均数、方差的求法计算得解..

【小问1详解】

花费时间t大于或等于18min的乘客人数为60,

所以该乘客花费时间t大于或等于18min的概率p==0.3.

【小问2详解】

70

由表格数据知：花费时间♦小于12分钟的频率为——=0.35,花费时间♦小于18分钟的频

200

率为黑=。7,

170

因此花费时间f的中位数［12,18),ao-12)x-x^=O.5-O.35,解得:

t0h14.6,

所以估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间f的中位数为14.6min.

【小问3详解】

样本数据中fe[0,12)的平均数亍=芯60x9=&；

1006055

方差$02=玄＞＜口+(2-8)2]+右＞[2+(9-8力0=

70707

18.已知函数/(x)=sin22x-sin2xcos2x.

(1)化简函数〃九)的表达式，并求函数八外的最小正周期;

(2)若点4(%,%)是y=/(x)图象对称中心，且x()e0,—,求点A的坐标.

【答案】(1)/(%)=s^n++，最小正周期为'；⑵[、肛己]或[正.

【解答】

【分析】(1)利用降幕公式、二倍角公式、辅助角公式化简/(x)=—¥sin(4x+7)+g，

代入周期公式计算周期；

(2)由对称中心的性质可知sin4/+?)=(),结合玉)£0,^求出》,即可得到点A

的坐标.

【详解】(1)

l-cos4x1..1/..x1

sin22x-sin2xcos2x----------------sin4x=——(sin44x+cos4x)+—

222V72

=-2in(4x+3+L

2I4j2

所以，函数y=/(x)的最小正周期为7=子=胃；

(2)由/(X)=一^^sin14x+(1

+一,

2

•・,点A(%o，%)是函数y=/(x)图象的对称中心,

贝ijsin[4毛+；■)=0,得4%o+?=左》(左£Z),.,.九0="^一微(女£Z),

knJTJT1Q

由0<7——<—(A:GZ),解得zV左Kw(左eZ),得左=1或左=2,

377

当左=1时，x=—，此时，点A的坐标为

016

7万

当左=2时，x=—,此时，点A的坐标为

016髭1

3〃1

综上所述，点A的坐标为或

【小结】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.

JTTTTT

19.已知函数/Cx)=2sin(5+0)(G>O,——«。<一)的图象关于直线x=—对称，且图

226

象上相邻最高点的距离为万.

(1)求/(%)的解答式;

7T

(2)将y=F(x)的图象向右平移7个单位，得到g(x)的图象，若关于X的方程

6

TT

g(x)—(2根+1)=0在［0,万］上有唯一解，求实数m的取值范围.

71

【答案】(1)/(%)=2sin(2%+-)

6

⑵[一1,0)°11

【解答】

【分析】(1)利用题意首先求得。的值，然后求解。的值即可求得了(%)的解答式;

(2)首先求得函数g(x)的解答式，然后结合函数在区间0,|上的性质即可求解实数m

的取值范围.

【小问1详解】

因为/(幻的图象上相邻最高点的距离为万，所以/(%)的最小正周期T=»