高考数学模拟大题规范训练十（含答案及解析）

高三数学大题规范训练(10)

15.若数列｛%｝是公差为1的等差数列，且％=2,点(%,%)在函数/(%)=3”的图象上

("eN*),记数列也｝的前〃项和为S”.

(1)求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

b,.1

(2)设共，记数列｛%｝前〃项和为7“，证明:刀小谷.

16.如图，在四棱台A5CD—4耳中，底面四边形A8CZ)为菱形，

ZABC=60°,AB=2AAi=2AlBi,AAl1平面ABCD.

(1)证明：BD±CQ；

(2)若M是棱3c上的点，且满足也=2,求二面角-。的余弦值.

BC3

17.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，

分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测

结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(〃,b2),并把质量指标值不小于80的产

品称为A等品，其它产品称为5等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样

本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数亍作

为〃的近似值，用样本标准差S作为。的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该

芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量&服从正态分布

〃)，则P(/z-cr<&<〃+cr)a0.6827,P(/z-2cr<。<〃+2cr)«0.9545,

P"-3cr<J<月+3cr)®0.9973.)

(2)(i)从样本质量指标值在［45,55)和［85,95］的芯片中随机抽取3件，记其中质量

指标值在［85,95］的芯片件数为〃，求〃的分布列和数学期望；

(ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知

一件A等品芯片的利润是切(1<加<24)元，一件8等品芯片的利润是ln(25-加)元，根

据(1)的计算结果，试求加的值，使得每箱产品的利润最大.

18.已知动圆M与圆G：(x+iy+V=49和圆C2：(%—1了+/=1都内切，记动圆圆

心"的轨迹为r.

(1)求r方程；

(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为

于2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则曲线上一点(%,%)处的切线方程为：

AxgX+B^y+为x)+Cyoy+%+x)+E(%+y)+P=0.试运用该性质解决以下问

题：点p为直线x=9上一点(尸不在》轴上)，过点p作r的两条切线p4，尸&，切点

分别为4，

(i)证明：AA±；

PC2

(ii)点A关于x轴的对称点为A，直线44交X轴于点N,直线尸。2交曲线「于

G,"两点.记aGCzN,△"GN的面积分别为跖，邑，求S「S2的取值范围.

19.若函数/(%)的定义域为/,有与©a使/''(%)=0且/(尤0)=。，则对任意实数匕

b,曲线y=/(x)+Ax+b与直线y=Ax+b总相切，称函数y=/(x)为恒切函数.

(1)判断函数/(%)=x-sinx是否为恒切函数，并说明理由；

Z7AX

(2)若函数g(x)=*_—x—为恒切函数(a,peR).

(i)求实数P的取值范围；

(3e'

(ii)当P取最大值时，若函数丸(刈=8(为＜田+2"为恒切函数，记A=一至，°，证

明：meA.

(注：e=2.71828是自然对数的底数.参考数据：e3«20)

高三数学大题规范训练(10)

15.若数列｛%｝是公差为1的等差数列，且％=2,点(%,%)在函数/(%)=3”的图象上

("eN*),记数列也｝的前〃项和为S”.

(1)求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

b,.1

(2)设共，记数列｛5｝的前〃项和为7“，证明:7；〈二.

【答案】(1)4="—1,2=3'」

(2)证明见解答

【解答】

【分析】(1)根据等差数列基本量的计算即可求解4=〃T,代入(4也)到f(Q=3'中

即可求解勿=3"」，

(2)利用裂项求和即可求解.

小问1详解】

由。3=2得％=0,二=G+(〃-l)xd=72-1,

一点(。“也)在函数/(x)=3*的图象上(〃eN*),

bn=3%=3'」

【小问2详解】

一1

，2=3乐=3"」,显然数列也｝为等比数列，首项为1,公比为3,则

1

.°bn=3"-=11______1_

一_4_S“+i—(3"-1)(3"+—)-63n-l-3n+1-r

:.Tn=C1+c2+c3++cn

_j_1_1_1__L_J__1_11

-62882626803,!-l3n+1-1

111111

--(Z-------------)x--------------------<---

623"i-1126(3/i-1)12

■.T<—

n12

16.如图，在四棱台ABC。—44GA中，底面四边形ABC。为菱形,

ZABC=60°,AB=2AAi=2AlBl,AAl±平面ABCD.

（1）证明：BD±CQ；

（2）若M是棱2C上的点，且满足啰幺=2,求二面角的余弦值.

BC3

【答案】（1）证明见解答

⑵

55

【解答】

【分析】（1）先根据线面垂直的性质得A4，5。，再根据线面垂直的判定定理得80人

平面ACCiA,从而利用线面垂直的性质定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，然后利用法向量求法求出平面AMR和平面

的法向量，再利用向量法求解即可.

【小问1详解】

在四棱台AB。—44G2中，AA，ca延长后必交于一点，

故A,C,Ci，A四点共面，因为A&，平面ABCD,&）u平面ABCD,故

连接AC，4C],因为底面四边形ABCD为菱形，故AC/BD,

故5D工平面ACG4，

因为CC1U平面ACQA，所以BD工CC[.

【小问2详解】

过点A作3c的垂线，交BC与息N,以AN.ARAA所在直线分别为x轴，y轴，z轴

建立空间直角坐标系A-孙z(如图)，

设44=1,则48=244=2,由于NABC=60°,故BN=\,

则4(0,0,0),。(0,1,1),D(0,2,0),M(V3,1,0),

ULIL1----------[―1

则AD|=(0,U),AM=(V3,j,0),AD=(0,2,0),

记平面AMD｝的法向量为〃=(a,4c),

b+c=0

AD,-n=0

则,即《a+2=0'令》=3,

AM•〃二0

则〃=一^>0=一3，即〃二

,3,-3)，

3

平面AD。的法向量可取为m=(1,0,0),

n-m

贝Ucos(n,ni)=

\n\\m\

卜个+32+(—3)2

所以二面角M-AD.-D的余弦值为上工.

55

17.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，

分别对应如下五组质量指标值：［45,55),［55,65),［65,75),［75,85),［85,95］.根据长期检测

结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(〃,b2),并把质量指标值不小于80的产

品称为A等品，其它产品称为3等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数元作

为〃的近似值，用样本标准差s作为。的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该

芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量自服从正态分布

N(〃,/)，则-cr<J<〃+cr)a0.6827,P(/z-2cr<J<〃+2cr)»0.9545,

P(/j—3b<J<月+3cr)。0.9973.)

(2)(i)从样本的质量指标值在［45,55)和［85,95］的芯片中随机抽取3件，记其中质量

指标值在［85,95］的芯片件数为〃，求〃的分布列和数学期望；

(ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知

一件A等品芯片的利润是机(1(加<24)元，一件3等品芯片的利润是ln(25-形)元，根

据(1)的计算结果，试求加的值，使得每箱产品的利润最大.

【答案】(1)0.16

379

(2)(i)分布列见解答，一；(ii)m——

24

【解答】

【分析】(1)根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.

(2)(i)先求出〃取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；

(ii)先根据二项分布的期望求出E(Z)=16m+841n(25-m),然后构造函数

f(x)=16x+84ln(25-x)(l<x<24),利用导数求出最大值时的加即可.

【小问1详解】

由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：

x=10x(0.01x50+0.025x60+0.04x70+0.015x80+0.01x90)=69.

即〃”最=69,cr«5«ll,所以X〜N(69,U2),

因为质量指标值X近似服从正态分布2V(69,H2)，

1-P(69-11<X<69+11)1—尸(〃—b<X<〃+b)

所以P(X»80)=

22

1—0.6827

=0.15865^0.16,

2

所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16.

【小问2详解】

⑴(0.01+0.01)x10x100=20,所以所取样本的个数为20件,

质量指标值在［85,95］的芯片件数为10件，故〃可能取的值为0,1,2,3,

相应的概率为：

。(〃=。)=*P(〃=D=善=||，

P①=2)=要如7=3)=等4，

V->2QJ-

随机变量〃的分布列为:

0123

215152

P

19383819

2151523

所以〃的数学期望E(〃)=0X—+1X—+2X—+3X—=—.

193838192

(ii)设每箱产品中4等品有y件，则每箱产品中8等品有(100—Y)件，

设每箱产品的利润为Z元，

由题意知：Z=mY+(100-K)ln(25-m)=(m-ln(25-m))Y+1001n(25-m),

由(1)知：每箱零件中A等品的概率为0.16,

所以y~5(100,0.16),所以£(7)=100x0.16=16,

所以E(Z)=E[(m-ln(25-m))Y+l001n(25-m)]

=(m-ln(25-ni))EY+1001n(25-m)=16(m-ln(25-m))+1001n(25-m)

=16m+84ln(25—m).

8479

令/(x)=16x+841n(25—x)(l<x<24),由了'(尤)=16—---=0得，x=—,

25-x4

7Q79

又xe(l,‘)，/'(x)>0,/(%)单调递增，xe(—,24),/'(x)<0,/(%)单调递

4'4

减，

79

所以当x=二e(1,24)时，/(%)取得最大值.

4

79

所以当"2=一时，每箱产品利润最大

4

18.已知动圆M与圆G：(x+ff+V=49和圆C2：(%—1了+/=1都内切，记动圆圆

心"的轨迹为r.

(1)求「的方程；

(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为

于2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则曲线上一点(%,%)处的切线方程为：

AxgX+B^y+为x)+Cyoy+%+x)+E(%+y)+P=0.试运用该性质解决以下问

题：点p为直线x=9上一点(尸不在》轴上)，过点p作r的两条切线p4，尸&，切点

分别为4，

证明：

(i)AA±PC2；

(ii)点A关于x轴的对称点为A，直线44交X轴于点N,直线PG交曲线「于

G,H两点、.记LGC?N,△HC2N的面积分别为跖，邑，求S「S2的取值范围.

22

【答案】(1)土+匕=1;

98

808A/2

(2)(i)证明见解答；(ii)——.

33

【解答】

【分析】(1)根据椭圆的几何定义求解动点的轨迹方程；

(2)(i)根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点尸坐标后，得出直线44的方

程，从而算出斜率，再去判断与另一直线是否垂直；

(ii)联立直线A4的方程与椭圆r的方程，由韦达定理得出%+%，%%，进而求解出直

线44与％轴的交点的坐标，再用垂直关系又去设出直线的方程与椭圆r的方程联

NPC2

立，再用坐标去表示出I、-邑|,最后可由基本不等式得出结果.

【小问1详解】

设动圆河的半径为「，由题意得圆G和圆C2的半径分别为7,1,

因为/与G，c2都内切,

所以|MCj=7_r"MG|=rT，

所以=7-厂+厂-1=6,

又G(—1,0),C2(l,0),故|GG|=2<6,

所以点〃的轨迹是以G，G为焦点的椭圆,

22

设「的方程为：=+与=l(a〉6〉0),

ab

则2a=6,2c=2,所以—c~=9—1=8,

22

故「的方程为：土+匕=1

98

【小问2详解】

⑴证明：设4（和％），4（%，%），尸（9,/）（"0）,

由题意中的性质可得，切线尸4方程为总+空=1,

98

切线P4方程为号+青=1，

因为两条切线都经过点P（9/）,所以西+他=1，々+皿=1,

88

故直线A4的方程为：x+型=1,可得直线的斜率为：kM2=--

82t

而直线PC2的斜率为：kp「占=（，

因为kpc,此出=；（一%=一1，所以A41PC2；

=1,可改设直线A4的方程为:

%=冲+1（冽wO）,

x=my+1

联立"3整理得（8/+9）丁+16my-64=0,

16m

%+%=-

8m2+9

由韦达定理得＜

64

8m2+9

又A'(%,—X),所以直线AA的方程为y+%=匹曰(％-西)，

X2—玉

令产。得，

_X(无2—%)X/+%为_X(切2+1)+%(7町+1)

XN—rXy——

%+X%+%+%

"64)

=2切通+乂+%=1+2切通=1+I8"+T=I+8=9,

%+%为+%16m

8m2+9

所以直线44经过定点N(9,o),又G(1,O)，

再由可设直线尸02的方程为：y=-m(x-\),

y=-m(x-\\(816

再联立/2\/，整理得J+9W9――y-64-0,

8/+91/=72(〃2一)m

16

m16m

%+”=色+9-8+9疗

2十”

设6（七,%），〃（x4，%），则由韦达定理得《m

6464m2八

y3y4=o=…2<0

Qq8+9m

Im

因为）V4＜。，所以|S「S2|=gGNh|一切|=4|%+%|

64|m|_6464872

3，

\m\

8

m=土马但时取等号.

所以国―邑|=—,当且仅当9H=L时，即

I12Imax3\m\3

8080

又因为nzwO,所以S]—邑｛

亍，亍

【小结】方法小结：

（1）利用两圆相内切的几何关系来推导出椭圆的几何定义，从而求出轨迹方程;

(2)利用曲线上某点的切线方程去推导出切点弦方程.

19.若函数/(%)的定义域为/,有与©/,使/'(%)=0且/(5)=0,则对任意实数上

b,曲线y=/(x)+Ax+b与直线y="+/?总相切，称函数y=/(x)为恒切函数.

(1)判断函数/(x)=x-sinx是否为恒切函数，并说明理由；

Z7AX

(2)若函数g(x)—pa为恒切函数(a,peR).

(i)求实数P的取值范围；

(3e-

(ii)当P取最大值时，若函数丸(刈=8(兀)<>1+27〃为恒切函数，iHA=--,0,证

明：A.

(注：e=2.71828.是自然对数的底数.参考数据：e3«20)

【答案】(1)是恒切函数，理由见解答

(2)(i)(―*；］；(ii)证明见解答

【解答】

【分析】(1)对/(幻求导，利用恒切函数的定义求出与,即可判断；

(2)(i)根据恒切函数的定义解方程，用与表示P,再利用导数即可求解P的取值范围;

(ii)由P的值可得。的值，从而可得〃(％)的解答式，利用新定义，可得2e*。-％-2=0,

令T(x)=2e、-x-2,求出X。的取值范围，由—2根=(e*-X。—l)e加+'=—1毛(毛+2),从而可

得加的取值范围，从而得证.

【小问1详解】

设函数/(x)=x,sinx为恒切函数，则有与e/,

,sinx+cos=0

使八%)=0且/(%)=0,即•n八，

xQsmx0=0

解得/=0,故函数/(x)=x-sinx是恒切函数.

【小问2详解】

ae,x

(i)由函数g(x