高考数学一轮复习讲义：等比数列

等比数列

【考试要求】1.理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数

列与指数函数的关系.

・落实

佚口识梳理】

1.等比数列有关的概念

(1)定义：如果一个数列从第1项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母乳4/0)表示.

(2)等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,6成等比数列,那么G叫做a与b

的等比中项，此时，G2=ab.

2.等比数列的通项公式及前〃项和公式

(1)若等比数列｛啰｝的首项为田，公比是q,则其通项公式为a“=纭女」.

nm

(2)等比数列通项公式的推广：an=amq-.

⑶等比数列的前〃项和公式：当q=1时，S=na^当qWl时，S〃=」~~—=------.

1~q1~q

3.等比数列性质

(1)若加+〃=p+q,则4也〃=%他,其中冽，n,p,q£N*.特另U地，若2(4=加+〃，则?他=

磅,其中加，n,分£N*.

a

(2)恁，ak+m,恁+2加，…仍是等比数歹U，公比为型(左，加仁N*).

(3)若数列｛a“｝,｛儿｝是两个项数相同的等比数列，则数列｛斯也｝,｛pan-qbn｝^］也是等

IqbnJ

比数列(6,p,qWO).

(4)等比数列｛四｝的前〃项和为S〃，则S〃，以二国,%—S2仍成等比数列,其公比为(〃为

偶数且q=—1除外)

⑸若或则等比数列｛0〃｝递填

若1腹°；1或*1°'则等比数列｛斯｝递减.

【常用结论】

1.等比数列｛a“｝的通项公式可以写成斯=的"，这里c#0,qWO.

2.等比数列｛%｝的前〃项和S“可以写成S,,=/q"—/(NWO,qWl,O).

3.数列｛a“｝是等比数列，S”是其前〃项和.

rTinT3n

⑴若QiQ斯=*P则%，，…成等比数列.

-TnTin

S偶S奇一aiS偶

(2)若数列｛a”｝的项数为2〃，则一=q；若项数为2〃+1,则------=q,或------=q.

S«S奇一。”

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是按=ac.(X)

(2)当公比《>1时，等比数列｛6｝为递增数列.(X)

(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.(V)

(4)数列｛诙｝为等比数列，则S4,Ss-S4,82-$8成等比数列.(X)

【教材改编题】

1.设a,b,c,d是非零实数，则"ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若a,b,c,d成等比数列，MOad=bc,

数列一1,—1,1,1.满足一IX1=—1X1,但数列一1,—1,1,1不是等比数列，

即“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要不充分条件.

2.设等比数列｛四｝的前"项和为S,,.若$2=3,&=15,则S6等于()

A.31B.32C.63D.64

答案C

解析根据题意知，等比数列噂”｝的公比不是一L由等比数列的性质,得(&-S2)2=S2-(S6—

5),即122=3义06—15),解得$6=63.

3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13,积等于27,则这三个数为

答案1,3,9或9,3,1

解析设这三个数为3a,aq,

q

'a

a~\—+aq—\?>,(a=3,_

则q解得1或“胃

Q0—3,

a-aq=27,13

q

・•・这三个数为1,3,9或9,3,1.

■探究核心题型

题型一等比数列基本量的运算

例1(1)(2022•全国乙卷)已知等比数列｛诙｝的前3项和为168,念一。5=42,则他等于()

A.14B.12C.6D.3

答案D

解析方法一设等比数列｛四｝的公比为g,易知gWL

由题意可得

Q542,

_仲尸96,

即皿:空4168,解得1

3久1—。)=42,[q=29

所以诙=。115=3,故选D.

方法二设等比数列｛为｝的公比为q,

易知户1.由题意可得，二黑42,

tzi(l~q3)口i=96,

即1—q=168,解得

3

aiq(l—q)=42f口2，

所以—3,故选D.

(2)(2023•桂林模拟)朱载埴(1536〜1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,

他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一

组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二

等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最

初那个音的2倍.设第二个音的频率为力，第八个音的频率为力.则以等于()

力

A.72B：y/2C：^2D.40

答案A

解析设第一个音的频率为。，相邻两个音之间的频率之比为q,那么a〃=aq"T,

根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得。13=2。=收巴即q=2”,

所以

fl及

思维升华等比数列基本量的运算的解题策略

⑴等比数列中有五个量力，n,q,a,„S„,一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而

解.

(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.

(3)运用等比数列的前〃项和公式时，一定要讨论公比q=l的情形，否则会漏解或增解.

跟踪训练1(1)设正项等比数列｛斯｝的前〃项和为S“，若$2=3,&=15,则公比q等于()

A.2B.3C.4D.5

答案A

解析•.•$2=3,$4=15,

tzi(l一寸)

①

由题意，得i-q

ai(l-q*14)

②

Lq

q2=4,又g>0,:.q=2.

⑵在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个

数之和为插入11个数后这13个数之和为N,则依此规则，下列说法错误的是()

A.插入的第8个数为ya

B.插入的第5个数是插入的第1个数的0倍

C.M>3

D.N<7

答案D

解析设该等比数列为｛即｝,公比为公

则=1,。13=2,

,,413

故qn=—=2.

a\

插入的第8个数为=故A正确；

。6a\q5*,,,

插入的第5个数为曲=。/5,插入的第1个数为°2=。q，所以一=---=04=6，故B正确;

。2a\q

及(1—4”)g(L,8)1

1-q1-'V2

12”

要证A/>3,即证一1一——?~—>3,

1-2,1

即证一?!—>4,

21i-1

51

即证—>2”,

4

即证212>2,

而4｝12>(11>2成立，故C正确；

N=M+3.

因为g)12>(1.4)6>(1.9)3>2,

61

所以《>2”,

所以一二>5,

2,»-1

所以一1———j->4,即V>4,

1-2,1

所以N=M+3>7,故D错误.

题型二等比数列的判定与证明

例2已知数列｛隔｝的各项均为正数，记必为｛隔｝的前〃项和，从下面①②③中选取两个作

为条件，证明另外一个成立.

①数列｛。“｝是等比数列；②数歹U｛S,+ai｝是等比数列；③々=2。1.

注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解选①②作为条件证明③：

nx

设S“+Qi=4q〃T(4W0),则Sn=Aq-—ax，

当〃=1时，a\=Sx=A~a19所以4=2可；

=

当时，anSn—Sn_i=Aq〃-2(q—1),

心，A(q-1)A

因为｛恁｝是等比数列，所以、~解得9=2,所以〃2=2。1.

q2

选①③作为条件证明②：

因为。2=2。1，｛为｝是等比数列，所以公比9=2,

41(1—2")

所以&=--------=。1(2"-1),即5〃+。1=⑥2〃，

1—2

S”+i+ai

因为F-=2,所以｛&+可｝是等比数列.

S?十m

选②③作为条件证明①：

nx

设S〃+〃i=4/T(/W0),则Sn=Aq~—ax，

当77—1时，ci\=S1—A—ci\9所以4=2可；

=n

当〃22时，an=Sn—Sn_\Aq~\q—1),

因为。2=2。1，所以4(q—1)=4解得夕=2,

nn2ni

所以当时，an=Sn—Sn-i=Aq~\q—\)=A-2~=ax'2~,

.,,。篦+1

又因为---=2(〃三2),且&2=2的，

Cln

所以｛斯｝为等比数列.

思维升华等比数列的三种常用判定方法

Q〃+1Cln

⑴定义去若一=虱4为非零常数，〃GN*)或——=a4为非零常数且〃22,“GN*),则｛6｝

ClnCln~\

是等比数列.

(2)等比中项法：若数列｛&｝中,&W0且忌+i=a〃•斯+2(〃£N*),则｛斯｝是等比数列.

(3)前〃项和公式法：若数列｛恁｝的前〃项和&=左"一网左为常数且左WO,qWO,l),则｛恁｝是

等比数列.

跟踪训练2在数列｛。“｝中，晶+i+2a〃+1=a“a“+2+a〃+a〃+2，且QI=2,42=5.

(1)证明：数列｛〃〃+1｝是等比数列；

(2)求数列｛a〃｝的前〃项和

(1)证明因为扇+i+2a〃+i=QM"+2+a〃+a^+2，

1+2

所以(为+l)=(an+l)(an+2+1),

6Zn+l+1Q〃+2+l

即——=---

a〃+i

an\1十1

因为药=2,42=5,所以可+1=3,6/21=6,

所以数歹以。〃+1｝是以3为首项，2为公比的等比数列.

(2)解由(1)知，&+1=3,2"-1,所以诙=3,2〃T—1,

3(1一2")

所以S=-------------n=3,2〃—n—3.

n1—2

题型三等比数列的性质

a2a12

例3(1)(2023・黄山模拟)在等比数列｛恁｝中，6Zp勾3是方程N—13x+9=0的两根，则——

Q7

的值为()

A.7I3B.3C.±可D.±3

答案B

解析VtZi，。13是方程N—13工+9=0的两根，。1，。13=9,

。］3>0，，。13=。2，。12=。彳=9,

又数列｛四｝为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得。7=3,

Q2a129

----=一=3.

CL73

(2)已知正项等比数列｛a〃｝的前〃项和为S〃且Sg—2&=6,则的+〃10+〃11+。12的最小值为

答案24

解析由题意可得S&-2s4=6,可得&-84=84+6,

S4,&2—

由等比数列的性质可得58-54,S8成等比数列，

2

则54(SI2-S8)=(S8-S4),

、(S4+6)236

综上可得的+QIO+QU+〃i2=Si2-&=---------=S4HI-12224,

S4S4

当且仅当84=6时等号成立.综上可得，+。12的最小值为24.

思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形,

三是前〃项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问

题的突破口.

⑵巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.

跟踪训练3(1)(2023・六安模拟)在等比数列｛恁｝中，若幻+〃2=16,的+。4=24,贝|田+。8等

于()

A.40B.36C.54D.81

答案C

解析在等比数列｛斯｝中,。1+。2，的+。4，的+。6，劭+改成等比数列，

/。3+。4、/24\

的+〃4=24,.•・。+。8=(。3+。4>—:—2=24X—2=54.

7\ai+a2i\16/

(2)等比数列｛飙｝共有奇数个项，所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=—126,末项是

192,则首项心等于()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析・・4=192,

S偶—126-126

:・q=--------=-------------=--------=—2,

S奇一。〃255-19263

ai~anq

又Sa=­、-------=S奇+Sft,

1~q

QI—192X(—2)

即---------------=255+(-126),

1-(-2)

解得41=3.

111

(3)在等比数列｛a篦｝中,an>0j+〃2+的+…+。8=4,为奥...。8=16,则—I-----1■…H的值

QIaiQ8

为()

A.2B.4C.8D.16

答案A

解析…。8=16,

・・。1。8=。2。7=〃3a6=〃4。5=2,

J+L…+T+J+D+5+M

a\aias\aias/\。2ay/\asw\i4as!

1111

1

…-FQ8）=2.

课时精练

至基础保分练

1.（2023•岳阳模拟）已知等比数列｛斯｝满足四一的=8,恁一。4=24,则的等于（）

A.1B.-1C.3D.-3

答案A

解析设4〃=。©"-1,•%一的=8,恁—。4=24,

.[aiq4-的炉=8,

**laiq5—mg3=24,

1

解得9'/.6Z=d!i^*12=3*-X32=l.

1=3,39

2.数列｛。“｝中，〃i=2,^■m+n—。加。“，若以+1+。左+2H----H耿+io=215—25,则左等于（）

A.2B.3C.4D.5

答案C

an+l

解析令加=1,则由Q加+〃=〃冽为，得Q〃+1=即=41=2,所以数列｛四｝是首项为2,

an

n

公比为2的等比数列，所以an=2,所以僚+i+ak+2~1卜恁+1（）=2左（ai+a2T公io）=2无X

2X（1-210）

——_^=2左+iX（210-1）=215—25=25X（210-1）,解得k=4.

3.若等比数列｛斯｝中的a5,。2019是方程％2—4x+3=0的两个根，则logsQl+logsW+logB的

H----Hog342023等于（）

20242023

A.-------B.1011C.-------D.1012

32

答案C

解析由题意得。5。2019=3,

根据等比数列性质知，

023=a2^2022=""=^lOUal013=al012al012=3，

I

于是012=3',

贝log3a1+log3tZ2+log3%H-----Hlog3a2023

=log3（a1。2。3…。2023）

12023

l

=log3（3*".3J）=-y-.

4.（2022・日照模拟）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门

石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共

7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优

美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列｛四｝,贝也。g2（O325）的值为（）

A.16B.12C.10D.8

答案B

解析由题意，得｛即｝是以2为公比的等比数列，

<71（1—27）

:.S[=]_2=1016,127。1=1016,解得田=8,

/.Iog2（fl3,。5）=log2（8X22X8X24）=12.

5.（多选）已知｛a“｝是各项均为正数的等比数列，其前〃项和为必，且｛a｝是等差数列，则下

列结论正确的是（）

A.｛a“+S“｝是等差数列

B.｛&$｝是等比数列

C.｛届｝是等差数列

D.〕是等比数列

答案ACD

解析由｛S〃｝是等差数列，可得2（。1+〃2）=。1+。1+。2+〃3，1・。2=的，

•；｛&｝是各项均为正数的等比数列，・•・。2=。2夕，可得q=1.

.,・斯+£=（〃+1）41，・,•数列｛q〃+S〃｝是等差数列，因此A正确；

届=济，・・.｛易｝是常数列，为等差数列，因此C正确；

sS]

-=6Zi>0,A-是等比数列，因此D正确；

nInJ

anSn=nai,：.｛Q〃S｝不是等比数列，因此B不正确.

1

6.已知数列｛四｝是等比数列，若。2=1，。5=-，则aiz+a2a3T--卜恁斯+i（〃£N*）的最小值

8

为（）

8

A-B.1C.2D.3

3

答案C

451

解析由已知得数列｛〃〃｝的公比满足/=-=-,

6Z28

11a2a31,,

解得乡=一，，。1=2,的=一，故数列｛为。〃+1｝是首项为2,公比为---=一的等比数列，

22a\ai4

.2[1七）«]

..Q]+〃2〃3H-----HClnan+1=-------------J--------

y

=|[1-（|Eel，）故选C.

7.已知S,是等比数列｛斯｝的前"项和，且°“>0,&+的=2,63+03=22,则公比g=

9S5+=•

答案3202

人，7

解析由题意得2的=2,・・。1=1.由。1+。q+2。闯2=22,得q=3或1=一•a〃>0,・・q=一

71X（1-35）

一不符合题意，故9=3,：.S+a=----------------+1X34=2O2.

2551—3

8.已知数列缶〃｝为等比数列，若数歹U｛3〃一“〃｝也是等比数列，则数列｛。〃｝的通项公式可以为

.（写出一个即可）

答案为=3〃T（答案不唯一）

3

解析设等比数列｛〃〃｝的公比为9，令与=3"一恁，则仇=3—可，62=32—4©,b3=3—

为夕2,・.,｛6“｝是等比数列，，胡=仇仇，即02—。©）2=（3—41）（33—可12）,可化为q2-6q+9=

0,解得q=3,取心=1,则Q〃=3〃T.（注：句的值可取任意非零实数）.

9.等比数列｛斯｝中,句=1,45=4的.

（1）求数列｛四｝的通项公式；

（2）记S〃为｛诙｝的前〃项和，若S加=63,求"

解（1）设数列｛〃”｝的公比为q,由题设得Q〃=9〃T.

由已知得炉=4炉，解得q=0（舍去），q=—2或q=2.

故恁=（一2）〃-1或恁=2〃T（〃£N*）.

（2）若为=（-2）〃T,则用=­

由必=63得（一2）加=—188,此方程没有正整数解.

若为=2〃T,则&=2篦-1.

由S„=63得2加=64,解得加=6.综上，m=6.

10.S"为等比数列｛即｝的前〃项和，已知。4=9。2，53=13,且公比4>0.

(1)求斯及囚；

(2)是否存在常数九使得数列｛&+小是等比数列？若存在，求出力的值；若不存在，请说明

理由.

aiq3=9aiq,

处0=13,解得m=1,4=3,

i-q

夕>0,

11—3〃3〃—1

所以S=~~.

n1-32

(2)假设存在常数九使得数列｛S〃+A｝是等比数列.

因为Si+a=2+i,82+4=4+4,83+4=2+13,

,1

111a+1+5

所以(2+4)2=(/+1)(2+13),解得2=一，此时■一=一义3",则------=3.

222

故存在常数2=1，使得数列卜"+；］是等比数列.

立综合提升练

a^2~a+\

11.(多选)在数列｛a“｝中，〃GN*,若--n-----n--=断左为常数)，则称｛斯｝为“等差比数列”，下

斯+i—服

列关于“等差比数列”的判断正确的是()

A.左不可能为0

B.等差数列一定是“等差比数列”

C.等比数列一定是“等差比数列”

D."等差比数列”中可以有无数项为0

答案AD

解析对于A,后不可能为0,正确；

对于B,当即=1时，｛斯｝为等差数列，但不是“等差比数列“，错误；

对于C,当等比数列的公比q=l时，a„+1-a„=0,分式无意义，所以｛。〃｝不是“等差比数

列”,错误；

对于D,数列0,1,0,1,0,1,…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0,正确.

12.记&为等比数列｛为｝的前〃项和,已知0i=8,a4=-l,则数列｛S“｝()

A.有最大项，有最小项

B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项

D.无最大项，无最小项

答案A

。411

解析根据题意，等比数列｛四｝中,避=8,a^=—1,则析=—=，贝!］夕=，

16/1\16

若〃为奇数，则s“=-1+—,此时有S1>$3>…>S,=；

3\2"/3

16/1\16

若"为偶数，则S”=-1-----,此时有S2Vs4<…<S.<一，

3\2"/3

故乡最大，%最小.

13.设｛斯｝是公比为4的等比数列,团>1,令/=斯+1(〃=1,2,…),若数列｛儿｝有连续四项

在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，则6q=.

答案一9

解析｛6“｝有连续四项在｛-53,—23,19,37,82｝中，b„=an+l,则为=6"—1,｛a“｝有连续四

项在｛-54,—24,18,36,81｝中.又｛%｝是等比数列，等比数列中有负数项则q<0,且负数项为

相隔两项,

等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18,—24,36,

-54,81,

-244363-543813

相邻两项相除----=一一，-------一,

183-24236-2)-542

很明显，一24,36,—54,81是｛a｝中连续的四项,

q=-g或^=—-(|^|>1,,此种情况应舍),

.3.

:.q=——,6q=一9.

14.记S”为数列｛。“｝的刖n项和，Sn~1—61〃,记7^=。1的+。3。5+…+。2应-1。2〃+1，则=

=

Tn•

答案,拉—-

解析由题意得。1=1—〃i，故.当〃22时，由_1得诙=—为一1,

2lo»-l—1Cln~19

an1111

则一=-，故数列｛。〃｝是以-为首项，-为公比的等比数列，故数列｛飙｝的通项公式为四=一.

2222〃

由等比数列的性质可得。1的=。3,Q3a5=后，…，-1°2计1=的德，所以数列｛。2〃-是以Q

11布［1-16"）1I1\

3=一为首项，一为公比的等比数列，则T“=/+况+…+。％="~茨=-1—•

1616,115\16"/